《大學數學（Ⅰ）Ⅰ、Ⅱ》課程教學大綱

大學數學（I）I、n

AdvancedMathematics（I）I'II

課程代碼：B902040I45,B902040146

學時數：160學分數：10

董建國、劉憲敏、關馳、陶桂洪

一、教學目的

大學數學（I）是理工類專業中職本學生必修的基礎課。通過本課程的學習，使學生掌握高等

數學的基本理論、基本方法，同時通過高等數學教學，讓學生的思維更加嚴密，邏輯推理更加嚴格。通

過高等數學的學習培養學生具有比較熟練的運算能力、抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能

力和自學能力。最后使學生具有抽象概括問題和綜合運用知識來分析解決實際問題的能力。

二、教學內容、教學目標及學時分配

第一章函數、極限（18學時）

埋解函數的概念，掌握函數的單調性、周期性和奇偶性、了解反函數的概念；熟練掌握基本初

等函數的性質和復合函數的概念；能正確應用極限四則運算法則；掌握兩個極限存在準則，會用兩

個重要極限求極限；了解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較；掌握函數在一點連續與間斷

的概念；掌握初等函數的連續性；了解在閉區間上連續函數的性質。

1.函數：函數的概念；函數的幾種特性；反函數；基本初等函數；復合函數、初等函數；經濟

學中常用的函數模型。

2.數列的極限:數列的概念：數列的極限；收斂數列的性質。

3.函數的極限：自變量趨于無窮大時函數的極限；自變量趨于有限值時函數的極限：左極限與

右極限；函數極限的性質。

4.無窮小與無窮大：無窮小；無窮大。

5.極限的運算法則：極限的運算法則。

6.兩個重要極限：lim"1=1；扁尸_

V-KOI

xXJ

7.無窮小的比較：無窮小的比較的定義：等價無窮小代換定理。

8.函數的連續與間斷：函數的連續性；函數的間斷性。

9.初等函數的連續性：初等函數的連續性；閉區間上連續函數的性質。

第二章導數與微分（10學時）

理解導數和微分的概念，了解函數的可導性與連續性的關系。熟悉導數和微分的運算法則，以

及導數的基本公式。會求隱函數的導數及由參數方程所確定的函數的導數。

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I.導數概念：導數的定義；導數的幾何意義；函數可導性與連續性的關系.

2.函數的求導法則：函數和、差、積、商的求導法則；反函數的求導法則。

3.復合函數的求導法則：復合函數的求導法則及應用。

4.高階導數、隱函數及由參數方程所確定的函數的導數：高階導數；隱函數的導數；由參數方

程所確定的函數的導數。

5.函數的微分：微分的概念；微分的幾何意義；微分公式與微分法則；微分的應用。

6.導數在經濟問題中的應用：邊際函數；函數的彈性。

第三章微分中值定理及導數的應用（14學時）

掌握羅爾定理、拉格朗日中值定理、了解泰勒公式。熟練掌握洛比達法則，會用導數求函數的

極值，會判斷函數的單調性、凹凸性；會求曲線的漸近線和拐點，會作函數的圖形。會解決應用中

的簡單的最大值和最小值問題。

1.微分中值定理：羅爾定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理。

2.羅必塔（LUospital）法則：羅必塔（^Hospital）法則。

3.泰勒（Taylor）公式：泰勒公式；爰克勞林公式。

4.函數單調性的判定：函數單調性的判定法。

5.函數的極值及其求法：函數極值的定義：函數極值的必要條件；函數極值的充分條件。

6.函數的最大值與最小值及其應用：函數最大值與最小值的定義；函數的最大值與最小值的應

用。

7.曲線的凸凹性及拐點：曲線的凸凹性定義及判別法；拐點的定義及求法。

8.曲線的漸近線及函數作圖：曲線的漸近線；函數作圖。

理解不定枳分的概念。熟悉不定積分的基本公式，熟練掌握不定枳分的兩類換元法和分部積分

法。

1.不定積分的概念與性質：不定積分的概念；不定枳分的性質；基本枳分公式。

2.換元積分法：第一類換元積分法；第二類換元積分法。

3.分部積分法：分部積分法。

4.幾種特殊類型函數的積分舉例：有理函數枳分舉例；三角有理式的枳分舉例：簡單無理函數

的積分舉例。

5.積分表的使用：積分表的使用。

第五章定積分（8學時）

理解定積分的概念及其幾何含義。熟練掌握牛頓-萊布尼茲公式及定積分的換元公式。掌握變

限函數及其性質。

1.定積分概念：定積分問題舉例；定積分定義；定積分幾何意義。

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2.定積分的性質：定積分的8條性質及應用。

3.微積分學基本定理：可變上限積分及其導數；牛頓一萊布尼茲公式。

4.定積分的計算：定積分的換元積分法；定積分分部積分法。

5.廣義積分：無窮區間上的廣義積分；被積函數無界的廣義積分；r函數。

第六章定積分的應用（6學時）

理解定積分的元素法和掌握定積分在幾何上的應用（平面圖形的面積，體積、平面曲線的弧長）

和定積分在物理學上的應用（變力沿直線所作的功、水壓力）。

1.定積分的元素法。

2.定積分在幾何上的應用（平面圖形的面積）。

3.定積分在幾何上的應用（體積、平面曲線的弧長）。

4.定積分在物理學上的應用（變力沿直線所作的功、水壓力）。

第七章空間解析幾何（12學時）

熟悉空間直角坐標系。掌握向量的線性運算及向量的數量積、向量積運算。了解平面方程、直

線方程和簡單的二次曲面方程。

I.向量及其線性運算：空間直角坐標系；空間兩點間距離；向量及其線性運算；向量在軸上的

投影；向量的坐標及利用坐標作向量的線性運算；向量的模與方向余弦。

2數量積向量積：向量的數量積；數量積的坐標表達式；向量的向量積；向量積的坐標表達式。

3.平面及其方程：平面的點法式方程；平面的一般方程。

4.空間直線及其方程：空間直線的一般方程；空間直線的對稱式方程及參數方程。

5.曲面與曲線：曲面方程；空間曲線；二次曲面。

第八章多元函數的微分法（18學時）

掌握多元函數的極限、連續、偏導數、全微分等概念。熟練掌握好合函數的微分法。會應用偏

導數，求函數的極值。了解條件極值及其求法。

1.二元函數的基本概念：二元函數的概念；二元函數的極限與連續。

2.偏導數與全微分：偏導數定義及其計算方法；高階偏導數：全微分。

3.多元復合函數及其微分法：全導數；多元復合函數的偏導數。

4.隱函數及其微分法：方程確定的一元函數的導數；方程確定的多元函數的偏導數。

5?多元函數的極值：二元函數的極值及其求法；最大值與最小值；條件極值；拉格朗日乘數法。

第九章重積分（14學時）

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掌握二重積分的概念及性質，熟練二重積分的計算。會用元素法將一些簡單的幾何量：如面積、

體積）表達成二重積分。熟練計算三重積分（直角，柱面，球面）

1.二重積分的概念與性質：引例；二重積分定義及其幾何意義；二重積分的性質。

2.二重積分的計算法：右直角坐標下二重積分的計算；在極坐標下二重積分的計算。

3.二重積分應用舉例：求平面圖形的面積；求立體的體積；求平面薄片的質量。

4.三重積分的計算法：在直角坐標下三重積分的計算；在柱面，球面坐標下二重積分的計算。

第十章曲線積分與曲面積分（18學時）

熟練計算對弧長的曲線積分和對坐標的曲線積分，掌握格林公式及應用，熟練計算對面積的曲

面積分和對坐標的曲面積分，掌握高斯公式

1.對弧長的曲線積分。

2.對坐標的曲線積分。

3.格林公式及應用（平面上曲線積分與路徑的條件）。

4.對面積的曲面積分。

5.對坐標的曲面積分。

6.高斯公式。

第十一章無窮級數（14學時）

理解級數收斂和發散的概念以及收斂級數的和的概念，知道級數收斂的必要條件和級數的基本

性質。知道幕級數在其收斂區間內的一些基本性質；知道函數的泰勒級數、知道函數的泰勒級數收

斂到該函數的充要條件；能記住F,sinx,cosln（l+x）,（1+x）”的麥克勞林展開式；能將一些簡單

函數用間接方法展成箱級數。理解傅立葉級數。

|.常數項級數的概念與性質：常數項級數的概念；常數項級數的性質；級數收斂的必要條件。

2.常數項級數的審斂法：正項級數及其審斂法；交錯級數及其審斂法；絕對收斂與條件收斂。

3.旅級數：函數項級數及其一般概念：‘恭級數及其收斂性：恭級數的運算。

4.函數展開成基級數：泰勒級數；函數展開成基級數；歐拉公式。

5.傅立葉級數。

第十二章微分方程（16學時）

了解微分方程的基本概念。會求可分離變量的微分方程、一階線性微分方程、三種類型可降階

的微分方程。知道二階線性微分方程解的結構。會求二階常系數齊次或簡單的非齊次微分方程的通

解。

1.微分方程的基本概念：微分方程概念：微分方程的通解：微分方程的特解：積分曲線。

2.一階微分方程：可分離變量的微分方程；一階線性微分方程。

3.可降階的二階微分方程：/GO型微分方程；），=/（My）型微分方程；y=/G，y）

型微分方程。

4.二階常系數線性微分方程：二階常系數齊次線性微分方程；二階常系數非齊次線性微分方程。

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創新創業案例八:費爾曼

三、課程教學的基本要求

本課程的教學環節主要包括:課堂講授、課外作業及考試三部分。重點培養學生的自學能力、分

析問題和解決問題的能力。

（-）課堂講授

主要教學方法：

采用肩發式教學，鼓勵和培養學生自學能力。讓學生明例高等數學知識在各自專業中的重要作

用，可以舉一反三。

原則性建議：在條件允許下，介紹Mathemalica軟件的使用。

（二）課外作業

課外作業是本課程的重要教學環節，通過作業鞏固課堂講授的基本理論知識，培養學生分析問

題和解決問題的能力。

課外作業：每四學時安排1次作業，共安排20次。

（三）考試環節

學生成績評定：平時成績30%+期末考試70%。其中平時成績包括上課出勤、課堂學習情況、

課后作業等；期末成績為期末試卷成績。

期末考試主要采用筆試形式閉卷考試，題型主要分為：填空題、選擇題、判斷題、計算題、應

用題、證明題等。

四、參考教材

[1]《高等數學》第五版，同濟大學數學教研室主編,