2023-2024學年河南省鄭州市高新區九年級（上）期末數學試卷

2023?2024學年河南省鄭州市高新區九年級（上）期末數學試卷

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1.（3分）-工的相反數是（）

3

A.-工B.工C.3D.-3

3377

2.（3分）如圖①，用一個平面截長方體，得到如圖②的幾何體，它在我國古代數學名著《九章算術》中

被稱為“塹堵”.圖②“塹堵”的俯視圖是（）

3.（3分）2024年1月，河南省農業農村廳發布信息，我省小麥越冬期苗情好于常年，全省一類苗平均畝

群體73.34萬，數據“73.34萬”用科學記數法表示為（）

A.73.34X1034B.73.34X105C.7.334X104D.7.334X105

4.（3分）近幾年中學生近視的現象越來越嚴重，為響應國家的號召，某公司推出了護眼燈，其側面示意

圖（臺燈底座高度忽略不計）如圖所示，其中ED//AB,經使用發現，當NOC8=I4（）。時,

臺燈光線最佳.則此時NEDC的度數為（）

A.130°B.120"C.110°D.10()'

5.（3分）下列運算正確的是（）

A.3a~+4（r=7a4B.

C.（a2）3=〃,D.（-3ab）2=6a2b1

6.（3分）要檢驗一個四邊形的桌面是否為矩形，可行的測量方案是（）

A.測量兩條對角線是否相等

B.度量兩個角是否是90°

C.測量兩條對角線的交點到四個頂點的距離是否相等

D.測量兩組對邊是否分別相等

7.（3分）關于x的一元二次方程，+x-"f=o的根的情況是（）

A.有兩個不相等的實數根

B.有兩個相等的實數根

C.只有一個實數根

D.沒有實數根

8.（3分）科技承載夢想，創新始于少年，某校科技社團的學生制作了一艘輪船模型，實驗過程中他們發

現在某段航行過程中輪船模型的牽引力/（N）是其速度了（〃??$［）的反比例函數，其圖象如圖所示，

下列說法不正確的是（）

1

0

9

8

7

6

5

4

3

2

—

O

A.該船航行過程中，尸隨,的增大而減小

B.尸>10N時，V>2W5-1

C.該段航行過程中，函數表達式為卜=型

v

D.時，F=2.5N

9.（3分）如圖，二次函數1y=,/+歷:+（?（〃N0）的圖象與x軸分別交于人、B兩點,與），軸交于點C,點

B的坐標為（-1,0）,下列結論中正確的是（)

a-P+C<0C.a+b+c>0D.4a+2b+c=0

10，（3分）如圖①，在菱形A5CQ中，垂直于A4的直線￡尸（直線E”與菱形A5CQ的兩邊分別交于￡、

F兩點,且點E在點〃的上方）沿方向從點八出發到點8停止運動，設直線E尸平移距離為x,△

4E尸的面積為y,若y與x之閏的函數圖象如圖②所示，則加+〃的值為（）

C.7D.6

二、填空題（每小題3分，共15分）

11.（3分）若代數式」一有意義，則實數x的取值范圍是__________.

4-x

12.（3分）如圖，若一次函數），=依+5的圖象經過A、B兩點.則方程區+6=0的解為

13.（3分）鄭州是華夏文明的重要發祥地，是非遺文化傳承的魅力名城，某校舉行超化吹歌、小相獅舞、

少林功夫、榮陽笑傘四個專題活動，小智、小慧兩位同學各自參加其中一個活動，每位同學參加各個活

動的可能性相同，則這兩位同學恰好參加同一個活動的概率為

14.（3分）如圖，在等邊△A8C中，48=8,點尸在AC上且4尸=1,分別以點8和點。為圓心，以大于

工BC的長為半徑作弧，兩弧分別交于點M和點N,作直線MN交BC于點E,連接EF,則EF

2

15.（3分）如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=4,A8=5,點。是斜邊A8上的動點且不與點A和

點占重合，連接CD,點8'與點"關于直線C。對稱,連接B'Lh當垂直于RtZ\A4CHj直角邊時,

BD的長為__________

三、解答題（本大題共8個小題，滿分75分）

16.（10分）（1）計算：（/）-1一病-（冗一/^）0；

2

（2）化簡：（卜，）+一學+年

2

x+3X-9

17.（9分）從文本生成到語音識別，從繪畫到編程，八/的應用范圍不斷擴大，為各行各業帶來了前所未

有的創新與變革.為了解甲、乙兩款A/軟件的使用效果，數學興趣小組從甲、乙兩款軟件使用者中各

隨機抽取20名，記錄使用者對兩款軟件的相關評價，并進行整理、描述和分析如下：

。.信息處理速度（滿分10分）

人數

口甲得分情況口乙得分情況

T-甲得分情況-?-乙得分情況

10...........................................................................

1234567891011121314151617181920使用者編號

c.信息處理速度和信息識別準確度得分統計表

項目信息處理速度得分信息識別準確度得分

統計量平均數中位數眾數平均數方差

AI軟件

甲7.37b5.6S甲2

乙7.65a74.9SJ

根據以上信息，解答下列問題：

（1）表格中4=,b=,S甲2S乙2（填“＞，，“=，，或"V”）；

（2）若某市共有20.4萬人使用甲款4軟件，請你估計對本款軟件信息識別準確度打分超過7分的人

數；

（3）綜合上表中的統計量，你認為哪款4軟件使用效果更好？請說明理由（列出兩條即可）.

18.（9分）如圖，一次函數），=/1與反比例函數y=K（x>0）的圖象在第一象限的交點4橫坐標為1，

X

直線LLr軸于點N（〃，0）,且與一次函數和反比例函數的圖象分別交于點8和點C,且點8在點C上

方.

（1）求反比例函數的表達式：

（2）若四邊形OQ6C是平行四邊形，求。的值.

19.（9分）河南新密伏羲山小馬高原風景秀麗，成為新晉河南打卡景區，景區為旅游旺季的到來做物資準

備，需要購買A、8兩種型號R勺帳篷.若購買A種型號帳篷2頂和8種型號帳篷4頂，則需520。元；

若購買A種型號帳篷3頂和3種型號帳篷1頂，則需2800元.

（1）求每頂A種型號帳篷和每頂B種型號帳篷的價格：

（2）若該景區需要購買A、8兩種型號的帳篷共70頂（兩種型號的帳篷均需購買），且購買4種型號

帳篷數量不超過購買B種型號帳篷數量的工，為使購買帳篷的總費用最低，應購買人種型號帳篷和13

3

種型號帳篷各多少頂？

20.（9分）黃河滾滾流，風車悠悠轉，一批批風力發電設備給黃河岸邊增添了一道別樣的風景.如圖，風

力發電機艙在點O處，三片扇葉兩兩所成的角為120°,某中學九年級數學興趣小組攜帶皮尺、測角儀

進行了實地測量，他們在距離塔桿65米的點C處安放測角儀（測角儀高度AC=1米），當扇葉。恰好

與塔桿重合時，測得扇葉匕的末端點8的仰角為54.5°,經查閱資料知此型號的發電機每片扇葉長26

米，結合當地氣候條件，當發電機艙的高度在45米到50米之間時，發電機的工作效率最高.請你判斷

該發電機機艙的高度是否合適.（參考數據sin54.5°Q0.8Lcos54.5°a0.58,tan54.51l.40,如?1.73）

21.（9分）如圖，△AAC的外接圓是以48為直徑的O。，過點A作的切線，與4C的延長線交于點

。，在8。上截取EC=C。，連接人七并延長交。。于點尸，連接C/7.

（1）求證：CF=CA；

（2）若AC=2,tanB=—?求BE的長.

2

22.（10分）如圖1,某噴泉公司生產的可升降式噴頭，噴出的水柱形狀呈拋物線，如圖2,以圓形水池中

心。為原點，水平方向為x軸，豎直方向為y軸，1米為1個單位長度建立平面直角坐標系，噴頭A的

坐標為（0,1）.

（1）當水柱滿足到水池中心水平距離為3米時，即08=3時，水柱達到最大高度5米，求第一象限內

水柱的函數表達式；

（2）若圓形水池的半徑為7米，在（1）的條件下噴出的水柱是否會落在水池外（不考慮水柱落到水面

后造成的進濺），請通過計算說明.

圖I圖2

23.（10分）綜合實踐課上，數學老師帶領學生探究矩形的旋轉.

【動手操作】

如圖1,四邊形A4CO是一張矩形紙片，A4=8,AD=5.先將矩形4BCO對折，使4C與A。重合，

折痕為MM沿MN剪開得到兩個矩形.矩形AMND保持不動，將矩形M8CN繞點”逆時針旋轉，點

N的對應點為N',MC所在直線與DN所在直線交于點G.

【探究發現】

（1）連接MG,???NN=NN=90°,MN=MN,MG=MG,根據（填選項），證得△MMG

絲△MNG,:?NG=NG；

A.SAS

B.HL

C.AAS

D.ASA

（2）數學老師讓學生動手操作后提出問題：

①“勤奮”組發現，如圖2,當點N落在A。邊上時，8c邊恰好經過點N,提出問題：求兩個矩形重

疊部分四邊形MNGN的面積；請你直接寫出四邊形MMGN的面積；

②“好學”組提出問題：如圖3,當N落在例。上時，連接。C,NN,發現NN〃OC,請你嘗試證明

NN,//DC；

【引申探究】

（3）當點M落在矩形4MM）中NAMN的平分線所在直線上時，請直接寫出線段GN的長.

圖1圖2圖3

AD

備用圖

2023?2024學年河南省鄭州市高新區九年級（上）期末數學試卷

參考答案與試題解析

一.選擇題（共1。小題）

題號12345678910

答案BCDABCABCA

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1.（3分）-工的相反數是（）

3

A.-工B.工C.3D.-3

3377

【分析】根據相反數的定義直接得到-工的相反數是工.

33

【解答】解：-工的相反數是工.

33

故選：B.

【點評】本題考查了相反數.解題的關鍵是明確相反數的意義：。的相反數為

2.（3分）如圖①，用一個平面截長方體，得到如圖②的幾何體，它在我國古代數學名著《九章算術》中

被稱為“塹堵”.圖②“塹堵”的俯視圖是（）

（圖①）

（圖②）

【分析】根據從I:面看得到的圖形是俯視圖，可得答案.

【解答】解：圖②“塹堵”從上面看，是一個矩形，

故選：C.

【點評】本題考查了簡單幾何體的三視圖，從上面看得到的圖形是俯視圖.

3.（3分）2024年1月，河南省農業農村廳發布信息，我省小爰越冬期苗情好于常年，全省一類苗平均畝

群體73.34萬,數據“73.34萬”用科學記數法表示為（）

A.73.34X104B.73.34X105C.7.334X104D.7.334X105

【分析】用科學記數法表示較大的數時，一般形式為其中1W|〃|V1（）,〃為整數，且〃比原來

的整數位數少1,據此判斷即可.

【解答】解：73.3477=733400=7.334X105.

故選：D.

【點評】此題主要考查了用科學記數法表示較大的數，一般形式為aX10〃，其中1WMIV10,確定。與

〃的值是解題的關鍵.

4.（3分）近幾年中學生近視的現象越來越嚴重，為響應國家的號召，某公司推出了護眼燈，其側面示意

圖（臺燈底座高度忽略不計）如圖所示，其中ED//AB,經使用發現，當NOCB=140°時，

臺燈光線最佳.則此時NEDC的度數為（）

D.100°

【分析】過。作CK//AB,得到CK//ED,由BCLAB,推出BCLCK,由垂直的定義得到/BCK=90°,

求出NQCK=NOC8?NBCK=50°,由平行線的性質推出NEQC+NOCK=180°,即可求出NEOC

=130°.

【解答】解：過C作CK〃A6,

*：ED//AB.

，CK//ED,

'JBCLAB,

???N8CK=90°,

VZDCB=140°,

ZDCK=ZDCB-N8CK=500,

'：CK//DEy

：.ZEDC+ZDCK=\S00,

AZEDC=130°.

故選：A.

ED

AB

【點評】本題考查平行線的性質，關鍵是過。作CK〃A&得至IJCK〃ED,由平行線的性質來解決問題.

5.(3分)下列運算正確的是()

A.3a2+4a2=la4B.4a2-i-a=4a

C.(a2)3=a5D.(.?3ab)2=6a2lr

【分析】利用合并同類項、單項式除以單項式、幕的乘方、積的乘方法則，逐個計算得結論.

【解答】解：A.3a2+4/=7〃2#7〃4,故選項A運算錯誤;

B.4cr-ra=4a,故選項B運算正確；

C.(j)3="6#〃5,故選項c計算錯誤；

D.(-3ab)2=9/信￥6/戶，故選項。計算錯誤.

故選:B.

【點評】本題考查了整式的運算，掌握整式的運算法則是解決本題的關鍵.

6.(3分)要檢驗一個四邊形的桌面是否為矩形，可行的測量方案是()

A.測量兩條對角線是否相等

B.度量兩個角是否是90°

C.測量兩條對角線的交點到四個頂點的距離是否相等

D.測量兩組對邊是否分別相等

【分析】由平行四邊形的判定與性質、矩形的判定分別對各個選項進行判斷即可.

【解答】解：小測量兩條對角線是否相等，不能判定為平行四邊形，更不能判定為矩形，故選項A不

符合題意；

氏度量兩個角是否是90°,不能判定為平行四邊形，更不能判定為矩形，故選項8不符合題意：

C、測量對角線交點到四個頂點的距離是否都相等，可以判定是否為矩形，故選項。符合題意；

。、測量兩組對邊是否相等，可以判定為平行四邊形，故選項。不符合題意；

故選：C.

【點評】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定與性質等知識；熟記“對角線互相平分的四邊形為

平行四邊形”是解題的關鍵.

7.（3分）關于x的一元二次方程/+工-川=0的根的情況是（）

A.有兩個不相等的實數根

B.有兩個相等的實數根

C.只有一個實數根

D.沒有實數根

【分析】先求出△的值，再判斷出其符號即可.

【解答】解:VA=12-4X1X（-m2）=l+4m2>0,

工方程有兩個不等實根.

故選:A.

【點評】本題考查的是根的判別式，熱知一元二次方程—+灰+。=0（“W0）的根與八=廿-4"的關

系是解答此題的關鍵.

8.（3分）科技承載夢想，創新始于少年，某校科技社團的學生制作了一艘輪船模型，實驗過程中他們發

現在某段航行過程中輪船模型的牽引力/（N）是其速度丫的反比例函數，其圖象如圖所示，

下列說法不正確的是（）

A.該船航行過程中，”隨u的增人而減小

B.尸>ION時，v>2m*s

C.該段航行過程中，函數表達式為卜=型

v

D.時，F=25N

【分析】根據圖象和反比例函數的性質，逐項判斷各項的正誤即可.

【解答】解：4、根據圖象可知，八V是定值，尸隨U的增大而減小，選項正確，不符合題意;

B、當尸＞1ON時，V＜2/7r.y-',選項錯誤，符合題意；

C、根據圖表信息，函數表達式為尸=陪，選項正確，不符合題意；

D、當V=8〃LS1時，F=2。=25N,選項正確，不符合題意.

8

故選：B.

【點評】本題考查了反比例函數的應用，熟練掌握反比例函數性質是解答本題的關鍵.

9.（3分）如圖，二次函數），=公2+區+。（。工0）的圖象與x軸分別交于A、3兩點，與y軸交于點。，點

)

a+b+c>0D.4a+2Z?+c=O

【分析】根據所給函數圖象可得出出b,。的正負，再結合勉物線的對稱性和增減性即可解決問題.

【解答】解：由函數圖象可知，

〃V0,b＞（）,c＞（）,

所以acVO.

故4選項錯誤.

因為拋物線與x軸的一個交點坐標為（-1，0）,

所以a-b+c=O.

故8選項錯誤.

因為拋物線與x軸的一個交點坐標為（-1,0）,且對稱軸為直線工=1,

所以拋物線與x軸的另一個交點坐標為（3,0）.

因為拋物線的開口向下，

所以當X=1時，其函數值大于零,

即a+b+c>0.

故。選項正確.

由上述過程可知，

當x=2時，其函數值大于零，

即4a+2b+c>0.

故。選項錯誤.

故選：C.

【點評】本題考查二次函數圖象上點的坐標特征，熟知二次函數的圖象和性質是解題的關鍵.

10.（3分）如圖①，在菱形A8CQ中，垂直于A3的直線￡尸（直線E”與菱形A8CQ的兩邊分別交于七、

F兩點,且點E在點〃的上方）沿方向從點八出發到點8停止運動，設直線E尸平移距離為x,△

4E尸的面積為y,若y與x之閏的函數圖象如圖②所示，則加+〃的值為（）

圖①娥）

A.9B.8C.7D.6

【分析】圖②中有點（2,啦）,結合圖①，表示點E移動到點D時，AF=2,SMEF=4近,那么

。。與A6之間的距離為：啦*2=4近.直線石戶繼續向右平移，結合圖②，讓6&X2+4企即

2

可得到〃?的值，讓12&><2：4加即可得到〃的值，計算川+〃即可.

【解答】解：???點（2,4近）在兩段函數上，

/.點E移動到點D時，AF=2,5MEF=4A/2.

s?

.?,-4立X2:4圾

2

?D

<S/MEF=6破，

/.AF=W=6V2X24-4V2=3.

同理可得：〃=12點義2?4亞=6,

，/〃+〃=3+6=9.

故選：A.

【點評】本題考查動點問題的函數圖象.根據圖象獲取關鍵點的信息是解決本題的關鍵.用到的知識點

為：三角形的高=2X面積4■底邊；三角形的底邊=2X面積4■高.

二、填空題（每小題3分，共15分）

II.（3分）若代數式N一有意義，則實數x的取值范圍是#4.

4-x

【分析】根據分母不為零的條件進行解題即可.

【解答】解：???代數式2有意義，

4-x

???4-/0,

解得xN4.

故答案為：xW4.

【點評】本題考宣分式有意義的條件，掌握分母不為零的條件是解題的關犍.

12.（3分）如圖，若一次函數），="+》的圖象經過A、8兩點.則方程依+人=0的解為N=-2

【分析】直接利用圖象得出答案.

【解答】解：如圖所示：不等式H+b=O的解為：x=-2.

故答案為：x=-2.

【點評】此題主要考查了一次函數與一元一次方程，正確數形結合分析是解題關鍵.

13.（3分）鄭州是華夏文明的重要發祥地，是非遺文化傳承的魅力名城，某校舉行超化吹歌、小相獅舞、

少林功大、榮陽笑傘四個專題活動，小智、小慧兩位同學各自參加其中一個活動，每位同學參加各個活

動的可能性相同，則這兩位同學恰好參加同一個活動的概率為1.

一4一

【分析】畫樹狀圖得出所有等可能的結果數以及這兩位同學恰好參加同一個活動的結果數，再利用概率

公式可得出答案.

【解答】解：將超化吹歌、小相獅舞、少林功夫、榮陽笑傘川個專題活動分別記為A,B,C,D,

畫樹狀圖如下：

開始

共有16種等可能的結果，其中這兩位同學恰好參加同一個活動的結果有4種，

???這兩位同學恰好參加同一個活動的概率為且=工.

164

故答案為：1.

4

【點評】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關鍵.

14.（3分）如圖，在等邊△A8C中，A8=8,點/在AC上且4廣=1,分別以點8和點。為圓心，以大于

工BC的長為半徑作弧，兩弧分別交于點M和點N,作直線MN交BC于點E,連接EF,則￡：F=_V37_.

2

【分析】過點尸作/G_LBC于點G,由作圖痕跡可知，直線MN為線段8c的垂直平分線.則可得8E

=CE.根據等邊三角形的性質以及銳角三角函數的定義可求出CG,尸G的長，進而可得EG的長，再

利用勾股定理可得答案.

【解答】解：過點F作FG_L8C于點G,

由作圖痕跡可知，直線MN為線段4C的垂直平分線，

/.RE=CE.

???△ABC為等邊三角形，AB=8,

：,BC=AC=AB=S,ZC=60°,

：?BE=CE=4.

VAF=1,

ACF=7,

.??CG=CP?cos60°=7X—="?〃G=C/?sin6U°=/X2/1.=

2222

：,EG=CE-CG=4-工=工

22___________

在RtZXEFG中，由勾股定理得，^=A/FG2+EG2=J(^^-)2+(—)2=V37.

V22

故答案為：V37.

【點評】本題考查作圖一基本作圖、線段垂直平分線的性質、等邊三角形的性質、勾股定理，熟練掌握

線段垂直平分線的性質、等邊三角形的性質、勾股定理是解答本題的關健.

15.（3分）如圖，在RtZ\48C中，ZC=90°,AC=4,A8=5,點。是斜邊A8上的動點且不與點A和

點8重合，連接CD,點8與點8關于直線CO對稱，連接B7）,當8D垂直于RtZ\ABC的直角邊時，

BD的長為1或3.

【分析】分兩種情形分別證明AC=4。，BC=B。即可解決問題.

【解答】解：VZC=90°,AC=4,A8=5,

=22

ABCVAB-AC=^52-42=3

①如圖1中，當8'O_L8C時，設8'D交BC于E,可得CD平分NAOE,

/.ZADC=ZCDE,

，：AC〃B'E,

：.ZACD=ZCDE=ZADC,

?"O=AC=4,

：,BD=AB-AD=5-4=\.

②當。B'_LAC于E時，同法可證BC=BO=3,

綜上所述，滿足條件的BD的值為1或3.

故答案為：1或3.

【點評】本題考查直角三角形的性質、勾股定理、等腰三角形的性質，平行線的性質等知識，解題的關

鍵是學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型.

三、解答題（本大題共8個小題，滿分75分）

-1

16.(10分)(1)計算:(y)-V64-(冗-V2)°；

2

（2）化簡：（卜，）+x學+年

2

x+3X-9

【分析】（1）先化簡各式，然后再進行計算即可解答；

（2）先利用異分母分式加減法法則計算括號里，再算括號外，即可解答.

【解答】解：（1）g）T-洞-（兀日^）。

=3-4-1

=-2；

2

(2)(卜，)尸+4x+4

2

x+3X-9

x+3-1.(x+3)(”3)

x+3(x+2)2

x+2,(x+3)(x-3)

x+3（x+2）2

=x-3

百

【點評】本題考查了分式的混合運算，實數的運算，零指數零，負整數指數累，準確熟練地進行計算是

解題的關鍵.

17.（9分）從文本生成到語音識別，從繪畫到編程，A1的應用范圍不斷擴大，為各行各業帶來了前所未

有的創新與變革.為了解甲、乙兩款4軟件的使用效果，數學興趣小組從甲、乙兩款軟件使用者中各

隨機抽取2（）名，記錄使用者對兩款軟件的相關評價，并進行整理、描述和分析如下：

公信息處理速度（滿分10分）

人數

口甲得分情況口乙得分情況

T-甲得分情況-?-乙得分情況

10...........................................................................

1234567891011121314151617181920使用者編號

c.信息處理速度和信息識別準確度得分統計表

項目信息處理速度得分信息識別準確度得分

統計量平均數中位數眾數平均數方差

AI軟件

甲7.37b5.6S甲2

乙7.65a74.9SJ

根據以上信息，解答下列問題：

（1）表格中7.5,h=9,S甲2vs乙2（填“＞，，”=，，或，，＜"）；

（2）若某市共有20.4萬人使用甲款AI軟件，請你估計對本款軟件信息識別準確度打分超過7分的人

數；

（3）綜合上表中的統計量，你認為哪款4/軟件使用效果更好？請說明理由（列出兩條即可）.

【分析】（I）根據中位數、眾數與方差的定義即可求解;

（2）用樣本估計總體即可；

（3）根據平均數、中位數和方差的意義進行選擇即可.

【解答】解：（1）共20個數據，乙組數據第10個，第11個數據分別為7、8,

所以中位數。=工盤=7.5,

2

甲組數據中9出現的次數最多，

故〃=9,

由信息識別準確度的折線圖可知，5甲2Vs乙2.

故答案為：7.5,9,<；

（2）204000X-^-=51000（人），

20

估計對本款軟件信息識別準確度打分超過（7分）的人數為51000人；

（3）甲款4/軟件使用效果更好（答案不唯一），理由如下：

;信息識別準確度得分的平均數甲高于乙，而且甲的方差小于乙的方差，

，甲更穩定，

???甲款4軟件使用效果更好.

【點評】本題考查了方差，它反映了一組數據的波動大小，方差越大，波動性越大，反之也成立.，也考

查了平均數、中位數.關鍵是能根據平均數、中位數、方差的意義對本題進行分析.

18.（9分）如圖，一次函數y=/+l與反比例函數y=X（x>0）的圖象在第一象限的交點A橫坐標為1,

x

直線LLx軸于點N（小0）,且與一次函數和反比例函數的圖象分別交于點B和點C,且點B在點C上

方.

（1）求反比例函數的表達式；

（2）若四邊形ODBC是平行四邊形，求。的值.

/01x

I

【分析】（1）先求出A點坐標，再求反比例函數解析式即可；

（2）先確定84+1）,2）,分別求出BC=〃+1-2,07）=1,再由平行四邊形的性質得到

方程4+1-2=1,求出。的值即可.

a

【解答】解：（1）???點A橫坐標為1,且在一次函數y=x+l上，

???4（1,2）,

將點4代入），=工，可得％=2,

x

???反比例函數的解析式為產2；

（2）由題可知8（a,a+1）,C（a,2）,

a

???點8在點C上方，

：.BC=a+\-2,

a

當x=0時，y=1,

：.D（0,1）,

JOD=\,

???四邊形0。8c是平行四邊形，

AOD=BC,即a+1-2=1,

a

解得。=±&，

???反比例函數中X>0,

*.a=y[2.

【點評】本題考查反比例函數的圖象及性質，熟練掌握反比例函數的圖象及性質，平行四邊形的性質是

解題的關鍵.

19.（9分）河南新密伏羲山小馬高原風景秀麗，成為新晉河南打卡景區，景區為旅游旺季的到來做物資準

備，需要購買A、8兩種型號的帳篷.若購買A種型號帳篷2頂和B種型號帳篷4頂，則需5200元；

若購買A種型號帳篷3頂和8種型號帳篷1頂，則需2800元.

<1）求每頂A種型弓帳篷和每頂〃種型號帳篷的價格；

（2）若該景區需要購買A、B兩種型號的帳篷共70頂（兩種型號的帳篷均需購買），且購買A種型號

帳篷數量不超過購買B種型號帳篷數量的1,為使購買帳篷的總費用最低，應購買A種型號帳篷和B

3

種型號帳篷各多少頂？

【分析】（1）設每頂4種型號帳篷〃，元，每頂B種型號帳篷〃元，根據若購買A種型號帳篷2頂和8

種型號帳篷4頂，則需5200元；若購買A種型號帳篷3頂和B種型號帳篷1頂，則需2800元得：

2m+4n=5200f即可解得答案；

3m+n=2800

(2)設購買4種型號帳篷x頂，總費用為卬元，由購買A和型號帳篷數量不超過購買B種型號帳篷數

量的工，可得xW5,而卬=600工+1000(20-x)=-400x+20000,根據一次函數性質可得答案.

3

【解答】解：(1)設每頂A種型號帳篷加元，每頂8種型號帳篷〃元,

f2m+4n=5200

根據題意得:

13m+n=2800

(m=600

解得:

ln=1000

???每頂4種型號帳篷600元，每頂B種型號帳篷1000元;

(2)設購買A種型號帳篷x頂，總費用為w元，則購買8種型號帳篷(70-x)頂,

???購買A種型號帳篷數量不超過購買B種型號帳篷數量的工，

3

??.啟工(70-%),

3

解得xW17.5,

根據題意得：w=600x+1000(70-x)=-400x+70000,

????400<0,

???卬隨x的增大而減小,

.??當x=17時，w取最小值,最小值為-400X17+70000=63200(元),

「.707=70-17=53,

答：購買A種型號帳篷17頂，購買8種型號帳篷53頂.

【點評】本題考查二元一次方程組和一次函數的應用，解題的關鍵是讀懂題意，列出方程組和函數關系

式.

20.(9分)黃河滾滾流，風車悠悠轉，一批批風力發電設備給黃河岸邊增添了一道別樣的風景.如圖，風

力發電機艙在點。處，三片扇葉兩兩所成的角為120°,某中學九年級數學興趣小組攜帶皮尺、測角儀

進行了實地測顯，他們在距離塔桿65米的點C處安放測角儀(測角儀高度AC=1米)，當扇葉a恰好

與塔桿重合時，測得扇葉力的末端點B的仰角為54.5°,經查閱資料知此型號的發電機每片扇葉長26

米，結合當地氣候條件，當發電機艙的高度在45米到50米之間時，發電機的工作效率最高.請你判斷

該發電機機艙的高度是否合適.(參考數據sin54.5°-0.81,cos54.5°-0.58,ian54.5F.40：V3^1.73)

【分析】過點A作A￡_L。。，垂足為￡,過點4作出」4石，垂足為凡過點。作。G_L4F,垂足為G,

根據題意可得：DE=AC=\米，4E=C3=65米，OG=EF,OE=GF,NBOD=120°,N/)OG=9()°，

從而可得NBOG=30°,然后在RSOG中，利用含30度角的直角三角形的性質可得BG=13米，

OG=I3五米，從而可得七產=OG=13爪米，進而可得(65-13百)米，再在Rt△48/中，利

用銳角三角函數的定義求出8F的長，從而求出G尸的長，最后利用線段的和差關系求出OD的長，即

可解答.

【解答】解：該發電機機艙的高度合適，

理由：如圖：過點A作4E_L。。，垂足為E,過點3作用UAE,垂足為R過點。作OGJ_8F,垂足

為G,

由題意得：OE=AC=1米，AE=CQ=65米，OG=EF,OE=GF,ZBOD=\20°,NOOG=90°,

J4BOG=ZBOD-NOOG=30°，

在RtZXAOG中，04=26米，

：.BG=^0B=\3（米），OG=aBG=13炳（米），

2

???七/=。6=137§米，

：,AF=AE-EF=（65-13乃）米，

在R1△人8/中，NBAF=54.5’，

???8/=4尸?lan54.5°&(65-13?)X1.4=(91-18.2五)米,

：,OE=GF=BF-BG=（78-18.2近）米,

：.0D=0E+DE=19-18.273^47.514（米），

當發電機艙的高度在45米到50米之間時，發電機的工作效率最高，

，該發電機機艙的高度合適.

【點評】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的

輔助線是解題的關鍵.

21.（9分）如圖，aABC的外接圓是以A8為直徑的。。，過點A作。。的切線，與8c的延長線交于點

D,在3。上截取EC=C￡>,連接AK并延長交。。于點凡連接CF.

（1）求證：CF=CA；

（2）若AC=2,tanB=",求8E的長.

2

【分析】（1）由4B是。。的直徑，NAC8=90°,則4c垂直平分QE,所以AE=A。，由等腰三角形

的“三線合一”得NCAF=NC4。，由切線的性質證明/84￡）=90°,則N8=NC4D=90°-ABAC,

所以N8=NCA尸=/凡則CF=CA；

（2）由@=tan/CAD=tanB=9=L,且AC=2,求得CO=Lc=l,8c=2AC=4,則EC=CO

ACBC22

=1,所以BE=BC?EC=3.

【解答】（1）證明：???A3是0。的直徑，

AZACB=90<>,

VEC=CD,

工AC垂直平分DE,

：.AE=AD,

：.ZCAF=ZCAD,

:A。與。。相切于點A,

：.AD±OAf

???N8AO=90°,

/.ZB=ZC4D=90°-ABAC,

/.ZB=ZC4F,

'：NB=/F,

：.ZCAF=ZF,

JCF=CA.

（2）解：VZACD=ZACB=90°,4B=/CAD,AC=2,

/.^2.=tanZCAD=（anB=—=—,

ACBC2

：,CD=1AC=\,BC=2AC=4,

2

：,EC=CD=\,

：,BE=BC-EC=4-1=3,

的長是3.

【點評】此題重點考查直徑所對的圓周角等于90°、線段的垂直平分線的性質、等腰三角形的“三線

合一”、切線的性質、圓周角定理、“等角對等邊“、銳角三角函數與解直角三角形等知識，證明AC垂

直平分并且推導出NB=NC4尸是解題的關鍵.

22.（10分）如圖1,某噴泉公司生產的可升降式噴頭，噴出的水柱形狀呈拋物線，如圖2,以圓形水池中

心O為原點，水平方向為x軸，豎直方向為y軸，1米為1個單位長度建立平面直角坐標系，噴頭A的

坐標為（0,1）.

（1）當水柱滿足到水池中心水平距離為3米時，即。8=3時，水柱達到最大高度5米，求第一象限內

水柱的函數表達式；

（2）若圓形水池的半徑為7米，在（1）的條件下噴出的水柱是否會落在水池外（不考慮水柱落到水面

后造成的進濺），請通過計算說明.

圖I圖2

【分析】（1）由題意得拋物線的頂點坐標為（3,5）,點A（0,I）,設拋物線的解析式為（x-3）

2+5,待定系數法求出解析式即可；

（2）令y=0,解方程求出x的值與7比較即可.

【解答】解：（1）由題意得拋物線的頂點坐標為（3,5）,點A（0,1）,

設拋物線的解析式為y=a（A--3）2+5,

將點A坐標代入，得9〃+5=1,

解得。=-匡，

9

???第一象限內水柱的函數表達式為y=-三（x-3）2+5；

9

（2）令）=（）,則-三（x-3）2+5=0,

9

解得內=3+苴叵，月=3-苴叵（舍去），

22

V3+-^5_<7,

2

???在（1）的條件下噴出的水柱是不會落在水池外.

【點評】此題考查了二次函數的實際應用以及二次函數的性質，理解題意，利用數形結合思想解題是關

鍵.

23.（1（）分）綜合實踐課上，數學老師帶領學生探究矩形的旋轉.

【動手操作】

如圖1,四邊形48C。是一張矩形紙片，AB=8,4）=5.先將矩形4BC。對折，使BC與A。重合，

折痕為MM沿MN剪開得到兩個矩形.矩形AMNO保持不動，將矩形M8CN繞點M逆時針旋轉，點

N的對應點為N',NC所在直線與DN所在直線交于點G.

【探究發現】

（1）連接MG,???/"=NN=90。，MZ=MN,MG=MG,根據8（填選項），證得△MMGg△MNG,

:.NG=NG；

A.SAS

B.HL

C.AAS

D.ASA

<2）數學老師讓學生動手操作后提出問題：

①“勒奮”組發現，如圖2,當點“落在4。邊上時，4。邊恰好經過點M提出問題：求