2026高考數學漲分秘籍：第19講 選修系列“冷知識點”真的不考嗎

第19講選修系列“冷知識點”真的不考嗎？

在教學選修系列時，老師們一般就根據高考出題導向教學，很多知識點，一筆帶過，

甚至直接給學生說，某某知識點以往高考從未涉及，我們就不講哈.實際上，高考考綱

中，是有明確說明，所學內容均屬考試范疇，只是以往考試題目未曾涉及.事實上，這

幾年高考選修的冷知識點已經連續集中在合情推理與其他知識綜合考查，例如2022年

的乙卷第4題，2022年的新高考II卷第3題，等等而2020年的新課標（Ⅲ）第17題

考察了歸納法.如果考試題目中對其他部分進行簡單的知識點考查，學生十之八九，要

“欲哭無淚”.本專題詳細整理選修系列的冷知識，就是力爭有備無患，萬無一失，保

證備考不留死角.涉及十個方面：反證法、復數范圍內方程的根、合情推理、證明方法、

結構圖與流程圖、坐標變換（可以用此法完成解析幾何的壓軸題）、柱坐標與球坐標、

圓的擺線與漸開線、數學歸納法、排序不等式等等，供同仁們教學參考，學生備戰2024

高考的培優專題.

冷知識一反證法

名師導航

“反證法”就是從命題的反面即否定形式推導出否命題時不成立的，反證法的第一步是

必須掌握的，即假設命題的結論反面成立.

反證法適合證明否定性結論，或者正面難以入手的問題

【典例1】在用反證法證明“已知x，yR，xy0則x，y中至多有一個大于0”時，假設

應為（）

A．x，y都小于0B．x，y至少有一個大于0C．x，y都大于0D．x，y至少有一個小

于

解析：

“x，y至多有一個大于0”包括“x，y都不大于0和有且僅有一個大于0”，故其對立面為“x，y

都大于0”.故選：C.

【典例2】用反證法證明命題:“若xy2，則x1或y1”時，應假設（）

A．x1或y1B．若x1或y1，則xy2

C．x1且y1D．若x1且y1，則xy2

解析：

用反證法證明命題，應先假設它的反面成立，即x1且y1，

故選:C．

2

xnxn3

【典例3】已知x0,x1，且，試證數列x對任意正整數n都

11xn12nN"n

3xn1

滿足xnxn1，或者對任意正整數n都滿足xnxn1，當此題用反證法否定結論時，應為（）

A．對任意的正整數n，都有xnxn1

B．存在正整數n，使xnxn1

C．存在正整數nn2，使xnxn1且xnxn1

D．存在正整數nn2，使xnxn1xnxn10

解析：

命題的結論等價于“數列xn是嚴格單調遞增數列或嚴格單調遞減數列”，其反設是“數列

xn是常數列或者擺動數列”，因而存在一項不比兩邊的項大或者不比兩邊的項小，即

xnxn1且xnxn1，或者xnxn1且xnxn1，所以xnxn1xnxn10.故選；D.

2n1*

【典例4】已知數列an滿足，a13，anan192，nN.

(1)求數列an的通項公式；

(2)證明:數列an中的任意三項均不能構成等差數列.

a

2n1n2

【分析】(1)由anan192得4,分奇偶項分別求通項，最后寫出通項公式；(2)假

an

設數列an中存在三項數列am,ak,ap,(其中mkp）成等差數列，應用反證法得出矛盾

證明即可.

解析：

a

2n12n1n2

（1）由anan192，得an1an292，以上兩式相比，得4,

an

1

由a1a292，a13得a26,所以，數列a2n1是首項為3，公比4為的等比數列，

2n2

a2n132,

2n1

數列a2n是首項為6，公比為4的等比數列，a2n62,綜上，數列an的通項公式為

n1

an32.

（2）假設數列an中存在三項數列am,ak,ap,(其中mkp）成等差數列，則

2akamap.

由（1）得232k132m132p1，即2k2m12p1,兩邊同時除以2m1，得

2km112pm(*)

(*）式左邊為奇數，右邊為偶數，(*）等式不成立，假設不成立.所以，數列an中得任

意三項均不能構成等差數列．

能力達標訓練

1.利用反證法證明“若x2y0，則xy0”時，應假設為（）

A．x0且y0B．xy且x，y都不為0

C．xy且x，y不都為0D．x0或y0

解析：

利用反證法證明,應先假設結論不成立，本題應假設x0或y0，故選：D

2.用反證法證明命題“設a，b為實數，則方程x3axb0至少有兩個實根”時，要做的假

設是（）

A．方程x3axb0沒有實根B．方程x3axb0恰好有兩個實根

C．方程x3axb0至多有兩個實根D．方程x3axb0至多有一個實根

解析：

方程x3axb0至少有兩個實根的反面是方程x3axb0至多有一個實根，

因此，用反證法證明命題：“設a、b為實數，則方程x3axb0至少有兩個實根”時，

要做的假設是“方程x3axb0至多有一個實根”.故選：D.

3.用反證法證明命題：“若正整數a,b,c滿足b24ac，則a,b,c中至少有一個是偶數”時，下

列假設正確的是（）

A．假設a,b,c都是偶數B．假設a,b,c都不是偶數

C．假設a,b,c至多有一個偶數D．假設a,b,c至多有兩個偶數

解析：

“至少有一個是偶數”的否定形式為“都不是偶數”，

假設正確的是：假設a,b,c都不是偶數.故選：B.

4.用反證法證明命題：“已知a,bN，若ab不能被7整除，則a與b都不能被7整除”時，假

設的內容應為（）

A．a,b都能被7整除B．a,b不都能被7整除

C．a,b至少有一個能被7整除D．a,b至多有一個能被7整除

解析：

“a與b都不能被7整除”的否定為：a,b至少有一個能被7整除.故選：C.

冷知識二實系數方程在復數范圍內的根

名師導航

實系數的n次方程，在復數范圍內有n個根，如果有復數根，則其共軛復數也是該

方程的根，即成對出現；對于一元二次方程，韋達定理，依然適用．

【典例4】虛數單位i的平方根是（）微信公眾號：鉆研數學

22

A．1B．i

22

222222

C．iD．i或i

222222

解析：

a2b20

設i的平方根為abi(a,bR)，則(abi)2a2b22abii，所以，解得

2ab1

22

aa

222222

或．所以i的平方根為i或i．故選：D．

222222

bb

22

【典例5】已知復數i2是關于x的方程x2pxq0p,qR的一個根，則piq（）

A．25B．5C．41D．41

解析：

2

因為復數i2是關于x的方程x2pxq0的一個根，所以i2pi2q0，所以

piq4i2p3，所以p4,q2p3，所以p4,q5，則piq4i541，故選：

C.

【典例6】設f(x)ax2bxc,(a,b,cR).已知關于x的方程f(x)0有純虛數根，則關于x

的方程f(f(x))0（）

A．只有純虛數根B．只有實數根

C．有兩個實數根，兩個純虛數根D．既沒有實數根，也沒有純虛數根

解析：

因為關于x的方程f(x)0有純虛數根，不妨設為xmim0,mR，

2

所以amibmic0，即am2bmic0，所以bm0,cam2，

所以b0,a0，a,c同號，

所以f(x)ax2c,(a0,a,cR)，所以

2

f(f(x))aax2ccaa2x42acx2c2ca3x42a2cx2ac2c0，

令x2t0，所以a3t22a2ctac2c0，

即因為4a4c24a4c24a3c4a3c4a2ac0，

2a2ci4a3ccia3cca3c

所以x2i，

2a3aaa

所以x不可能為純虛數，也不可能為實數，

所以關于x的方程f(f(x))0既沒有實數根，也沒有純虛數根，故選：D

能力達標訓練

4.復數2i的平方根是（）

A．1i或1iB．2iC．1iD．1i

解析：

設2i的平方根為xyi(x,yR)，則(xyi)22i，即x2y22xyi2i，

x2y20,x1,x1,

從而解得或所以復數2i的平方根是1i或1i，故選：A

2xy2,y1y1.

5.定義：若z2abia,bR，則稱復數z是復數abi的平方根.根據定義，復數940i的

平方根為（）

A．34i，34iB．43i，43iC．54i，54iD．45i，45i

解析：

設復數940i的平方根為xyi(x,yR)，則(xyi)2940i，化簡x2y22xyi940i，

所以x2y29，2xy40，解得x5，y4或x5，y4，即復數940i的平方根

為54i或54i，故選：C

6.已知m，n為實數，1i（i為虛數單位）是關于x的方程x2mxn0的一個根，則mn

（）

A．0B．1C．2D．4

解析：

由1i是關于x的方程x2mxn0的一個根，則1i是關于x的方程x2mxn0的一個

根，

則m1i1i2，n(1i)(1i)2，即m2，n2，則mn4，故選：D.

7.已知復數z是方程x22x20的一個根，則z（）

A．1B．2C．2D．3

解析：

2

因為方程x22x20是實系數方程，且24240，所以該方程有兩個互為

22i2

共軛復數的兩個虛數根，即z1i，所以z1212.故選：C

2

8.若復數z是x2x10的根，則z（）

A．2B．1C．2D．3

解析：

11413i13i

∵x2x10，∴由求根公式得：x，即：z，

222

13131313

∴當zi時，|z|()2()21，當zi時，|z|()2()21.

22222222

綜述：|z|1.故選：B.

9.已知，為關于x的實系數方程x24x50的兩個虛根，則（）

55

A．B．C．5D．5

22

解析：

2

由x24x50，441540，∴方程x24x50的兩個虛根為

44i44i

2i，2i或2i，2i，不妨取2i，2i，則

22

2

22125，2215，

555

∴.故選：A.

2i2i2

10.2的平方根是______，512i的平方根是______，i所有的三次方根為______．

解析：

2

設2的平方根是abi(a,bR)，則abi=2，即a2b2+2abi2，

a2b22b2

所以，解得，所以2的平方根是2i；

2ab0a0

2

設512i的平方根是mni(m,nR)，則mni=512i，即m2n2+2mni512i，

m2n25m2m2

所以，解得或，所以512i的平方根是23i和23i

2mn12n3n3

故答案為：2i；23i和23i

3

設i的三次方根為xabi(a,bR)，則abii，

(abi)3(abi)2(abi)(a2b22abi)(abi)a3a2biab2b3i2a2bi2ab2

(a33ab2)(3a2bb3)ii，

33

32aa

a3ab0a022

，解得或或，即i所有的三次方根為

3a2bb31b111

bb

22

3131

i,i,i

2222

3131

故答案為：i,i,i.

2222

5

11.已知復數z．

12i

(1)求|z|；

(2)若z是關于x的方程x2axb0的一個根，求實數a，b的值．

解析：

55(12i)

（1）因為z12i，所以2．

12i(12i)(12i)|z|125

（2）由（1）可得：z12i，將z代入方程x2axb0得：

2

12ia12ib(ab3)i(2a4)0，

ab30

則，解得：a2,b5．

2a40

12.已知復數z是方程x26x130的一個復數根，且z的虛部大于零．

(1)求z；

(2)若azbi（a，bR，i為虛數單位），求ab．微信公眾號：鉆研數學

解析：

（1）由x26x13(x3)240，即(x3)24，可得x32i，解得x32i，

因為z的虛部大于零，所以z32i

（2）由（1）知z32i，因為azbi，所以aza(32i)3a2aibi

3ab133

則解得a，b，所以ab．

2a1224

冷知識三結構圖與流程圖

名師導航

結構圖是指以模塊的調用關系為線索，用自上而下的連線表示調用關系并注明參數

傳遞的方向和內容，從宏觀上反映軟件層次結構的圖形；結構圖反映的要素之間關

系是從屬關系或者邏輯關系.

流程圖用來描述動態過程，且只能用帶箭頭的流程線表示各單元的先后關系；工序

流程圖又稱統籌圖，根據各工序之間的關系，有時可將一些工序同時進行，以節省

時間，完成一件事，巧妙運用統籌圖，適當安排，能夠在盡可能節省人力，物力和

時間的前提下，努力爭取獲得在允許范圍內的最佳效益，實現優化．

【典例7】對下列三種圖形，正確的表述為（）

A．它們都是流程圖B．①是流程圖，②③是結構圖

C．①②是流程圖，③是結構圖D．它們都是結構圖

解析：

由題意可知，①表示的借書和還書的流程圖，所以①是流程圖；②表示基本初等函數的分類

結構，所以②是結構圖；③表示的是學生會的部門分布機構，所以③是結構圖.故選：B.

【典例8】下列結構圖中表示從屬關系的是（）

A．B．

C．D．

解析：

分析四個選項中各要素之間的關系知，A、B、D均為邏輯關系，選項C是從屬關系．

故選：C

【典例9】硫酸工業在國民經濟中占有極其重要的地位，在工業上黃鐵礦制取硫酸的工序流

程圖如圖所示，則SO3的下一道工序為（）

A．接觸氧化B．吸收塔反應C．SO2D．硫酸

解析：

工序流程圖反映的是從開始到結束的全部步驟，根據流程圖的流向即可確定SO3的下一道工

序為吸收塔反應.故選：B

【典例10】明天小強要參加班里組織的郊游活動，為了做好參加這次郊游的準備工作，他測

算了如下數據：整理床鋪、收拾攜帶物品8分鐘，洗臉、刷牙7分鐘，煮牛奶15分鐘，吃

早飯10分鐘，查公交線路圖9分鐘，給出差在外的父親發手機短信6分鐘，走到公共汽車

站10分鐘，等公共汽車10分鐘．小強粗略地算了一下，總共需要75分鐘，為了趕上7:50

的公共汽車，小強決定6:30起床，不幸的是他一下子睡到7:00！請你幫小強安排一下時間，

畫出郊游出行前時間安排流程圖，使他還能來得及參加此次郊游．

解析：

出行前時間安排流程圖如圖所示．

這樣需要50分鐘，剛好可以趕上7：50的公共汽車，并來得及參加此次郊游．

能力達標訓練

13.新零售以互聯網為依托，使得消費者的購物方式可多樣化選擇，如圖是消費者購物方式

的流程圖，則①，②，③處理框中可依次為（）

A．店鋪配送店鋪體驗線上配送B．店鋪體驗店鋪配送線上配送

C．線上配送店鋪配送店鋪體驗D．店鋪體驗線上配送店鋪配送

解析：

根據流程圖可知①，②，③中可分別填寫店鋪體驗?店鋪配送?線上配送.故選：B

14.如圖所示的是一個結構圖，在框①②③中應分別填入（）

A．虛數，整數，分數B．復數，虛數，整數

C．虛數，復數，純虛數D．復數，虛數，純虛數

解析：

復數分為實數和虛數，虛數又分為純虛數和非純虛數，故選：D

15.下列框圖中是結構圖的是（）

A．

B．

C．

D．

解析：

根據結構圖和流程圖的定義可知，選項A、C、D是動態過程，有先后順序，故A、C、D

是流程圖，不是結構圖；選項B是靜態過程，無先后順序，故選項B是結構圖，不是流程

圖.故選：B

16.如圖是某公司的組織結構圖，則生產部的直接上位領導是（）

A．董事會B．總經理C．副總經理一D．副總經理二

解析：

從組織結構圖可知生產部的直接領導是副總經理一；故選：C

17.某學校組織結構圖如圖所示，其中總務處的直接領導是（）

A．校長辦B．教務處C．業務副校長D．政教副校長

解析：

由組織結構圖可知，總務處由政教副校長直接領導．故選：D

18.某公司組織結構圖如下，不屬于工程部門的是（）

A．工程部B．產品開發部C．售后服務部D．后勤部

解析：

根據給定的組織結構圖，結合選項，可得工程部、售后服務部和后勤部屬于工程部門，

但產品開發部不屬于工程部門.故選：B.

19.著名數學家華羅庚先生曾在《統籌方法平話》一文中，談到“喝茶問題”：假設洗水壺需1min，

燒開水需15min，取茶葉需1min，洗茶壺、茶杯需2min，沏茶需1min．則下列“喝茶問題”

的流程圖中效率最高的方案是（）

A．

B．

C．

D．

解析：

A．需要時間為：115211=20分鐘；

B.需要時間為：1151=17分鐘；

C.需要時間為：121151=20分鐘

D．需要時間為：11521=19分鐘

經比較可知：B方案用時最少，所以效率最高．故選：B．

20.華為產品具有先進的科技性和實用性，深受廣大用戶的喜愛．芯片生產被限制后，手機

業務受到很大的影響．華為積極拓展新的市場，設立了一個新的產品，計劃對深圳、鄭州、

上海三地進行市場調研，待調研結束后，對產品進行優化，并決定生產的產品數量，下列四

種方案中最可取的是（）

A．

B．

C．

D．

解析：

分別派出調研人員齊頭并進赴三地搞調研，以便提早結束調研，盡早投產．

通過四種方案的比較，方案C更為可取．故選：C

21.某人帶著包裹進入超市購物的流程圖如圖所示，則在空白處應填的是（）

進入超市→存放包裹→在貨架上選擇物品→付款→→離開超市

A．退換物品B．歸還貨車C．取回包裹D．參加抽獎

解析：

根據流程中有存放包裹事件，故在付款完成后，先取回包裹再離開超市.故選：C

22.如圖是某產品加工為成品的流程圖，從圖中可以看出，零件到達后，一件成品最少?最多

需要經過的工序數目分別為（）

A．4，6B．4，7C．5，6D．5，7

解析：

由某產品加工為成品的流程圖看出，一件成品最少經過的工序有：粗加工，檢驗，精加工，

最后檢驗，共4道程序；一件成品最多經過的工序有：粗加工，檢驗，返修加工，返修檢驗，

精加工，最后檢驗，共6道程序.故選：A

23.如圖是某工廠加工手機屏幕的流程圖，根據此流程圖，要得到一件手機屏幕成品，至少

經過的檢驗程序個數為（）

A．1B．2C．3D．4

解析：

由流程圖可知，若要得到一件手機屏幕成品，至少要經過檢驗與最后檢驗兩次檢驗程序，故

選：B

24.某學校用投票選舉的方式從兩名候選人中確定一個副校長，具體過程如流程圖所示，則

在圖中①處可以填的是___________.

解析：

根據判斷框的條件，得出圖中①處可以填的是得票數相等.故答案為：得票數相等.

25.在工商管理學中，MRP（MaterialRequirementPlanning）指的是物資需求計劃，基本MRP

從圖中可以看出，主生產計劃受________和________的影響．

解析：

從結構圖中可以看出主生產計劃受用戶訂單和需求預測影響．故答案為：用戶訂單；需求預

測

26.栽種一棵梧桐樹，種樹過程是：①取樹苗；②挖直徑1米，深1.5米的樹坑；③將樹苗放

至樹坑中央；④向樹坑中培土到樹坑邊，離邊緣0.2米；⑤向樹坑中澆水；⑥判斷水是否澆

透，若水未澆透，則轉⑤；否則轉⑦；⑦栽種完畢.試畫出該過程的流程圖.

解析：

流程圖如圖所示：

冷知識四合情推理

名師導航

從特殊到特殊的推理，為類比推理，屬于合情推理.

從由部分到整體的推理，是歸納推理，屬于合情推理.

從一般到特殊的推理，是演繹推理.

【典例12】下面四種推理是合情推理的是（）

①由圓的性質類比出球的有關性質．

②指數函數的圖象經過定點0,1，因為y3x是指數函數，所以y3x圖象經過定點0,1．

③由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內角和是180°，歸納出所有三角形的內角和

是180°．

④由金導電、銀導電、銅導電、鐵導電，所以一切金屬都導電．

A．①②B．①③④C．①②④D．②④

解析：

①為類比推理，由圓的性質類比出球的性質；②為演繹推理，是由一般到特殊的推理過程；

③為歸納推理，是由特殊到一般的推理過程；④為歸納推理，是由特殊到一般的推理過程；

故①③④是合情推理.故選：B.

【典例13】下列三句話按“三段論”的表述形式，排列順序正確的是（）

①ylnx是偶函數；②ylnx的圖像關于y軸對稱；③偶函數的圖像關于y軸對稱．

A．①→②→③B．③→②→①C．②→①→③D．③→①→②

解析：

根據“三段論”：“大前提”，“小前提”則“結論”可知：偶函數的圖像關于y軸對稱是“大前提”，

ylnx是偶函數是“小前提”，ylnx的圖像關于y軸對稱是“結論”，故選：D

【典例14】甲、乙、丙三位同學討論一道數學題．甲說：“我做錯了．”乙說：“甲做對了．”

丙說：“我做錯了．”老師看過他們的答案并聽了他們的上述對話后說：“你們有一個人做對

了，有一個人說錯了．”則根據以上信息可以推斷出（）

A．甲做對了B．乙做對了C．丙做對了D．無法確定誰做對了

解析：

列表即得．

同學做題說話做題說話做題說話

甲√××√×√

乙×√√×××

丙×√×√√×

故選：C.

243

【典例15】觀察x2x，x4x，cosxsinx，由歸納推理得：若偶函數fx是

定義在R上的可導函數，記gx為fx的導函數，則gx等于（）

A．fxB．fxC．gxD．gx

解析：

由條件歸納推理可得偶函數的導函數為奇函數，因為fx為偶函數，所以g(x)為奇函數，

所以g(x)g(x).故選：D

1121131114

【典例16】已知不等式1,1,1,1由此可猜想：若

2223223242232425

1111

1m，則m等于（）

223242122

11241213

A．B．C．D．

12251314

解析：

1121131114

由1,1,1,1，觀察發現不等式右邊分式的分母是左

2223223242232425

111112

邊項數加1，分子比分母小1，故1，故選：C.

22324212213

能力達標訓練

27.由①y2x5是一次函數；②一次函數的圖象是一條直線；③y2x5的圖象是一條直

線．寫一個“三段論”形式的正確推理，則作為大前提、小前提和結論的分別是（）

A．③②①B．②①③C．①②③D．③①②

解析：

根據三段論易得：大前提是：②一次函數的圖象是一條直線．

小前提是：①y2x5是一次函數，結論是：③y2x5的圖象是一條直線

故正確的順序為：②①③，故答案為：B

28.指出三段論“整數是自然數（大前提），5是整數（小前提），所以5是自然數（結論）”

中的結論錯誤原因是（）

A．大前提錯誤B．小前提錯誤C．推理形式錯誤D．無錯誤

解析：

整數是自然數大前提錯誤.故選:A.

111

29.三段論形式如下：因為對a，bR，ab2ab，有x2x，所以x2，

xxx

以上推理過程中的錯誤為（）

A．大前提B．小前提C．推理形式D．無錯誤

解析：

11

根據已知條件，對a，bR，ab2ab，故小前提中的x2x沒有限定x的取

xx

值范圍，故小前提錯誤.故選：B

30.下列推理形式正確的是（）

A．大前提：老虎是食肉者小前提：老李是食肉者結論：所以老李是老虎

B．大前提：凡對頂角都相等小前提：AB結論：A和B是對頂角

C．大前提：白馬是馬小前提：白馬有四條腿結論：馬有四條腿

D．大前提：所有演說家都是騙子小前提：所有說謊者都是演說家結論：所有說謊者都是

騙子

解析：

因為大前提是一般原理（規律），即抽象得出一般性、統一性的成果；小前提是指個別對象，

對于A，B，C小前提不是大前提中的個別對象，故不符合演繹推理的形式，即A，B，C

不正確；對于D，滿足大前提是一般原理（規律），小前提是個別對象，從而可的結論.故

選：D.

31.甲、乙、丙三位同學被問到是否去過A，B，C三個城市時，

甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市；

乙說：我沒去過C城市；

丙說：我們三人去過同一城市．

由此可判斷乙沒去過的另一城市為（）

A．AB．BC．CD．不確定

解析：

先從乙說的出發，可以推出乙可能去過A城市或B城市，

再由甲說的，可以推出甲去過兩個城市A、C，乙只能去過A和B城市中的一個，

再結合丙說的，利用集合交集的思想，即可判斷出乙一定去過A城市，沒有去過B城市.故

選：B.

32.下列三句話按“三段論”的形式排列，順序正確的是（）

①ysinxxR是三角函數；②三角函數是周期函數；③ysinxxR是周期函數．

A．②③①B．②①③C．③②①D．③①②

解析：

由題意，該演繹推理的大前提是“三角函數是周期函數”，小前提是“ysinxxR是三角

函數”，

結論是“ysinxxR是周期函數”．故選:B．

33.在運動會中，甲、乙、丙參加了跑步、鉛球、標槍三個項目，每人參加的比賽項目不同．已

知①乙沒有參加跑步；②若甲參加鉛球，則丙參加標槍；③若丙沒有參加鉛球，則甲參加鉛

球．下列說法正確的為（）

A．丙參加了鉛球B．乙參加了鉛球C．丙參加了標槍D．甲參加了標槍

解析：

由①乙沒有參加跑步，則乙參加鉛球或標槍，

若乙參加鉛球，則丙就沒有參加鉛球，由③可知甲參加鉛球，故矛盾，

所以乙參加標槍，顯然丙沒有參加標槍，則丙參加鉛球，甲參加跑步，

綜上可得：甲參加跑步，乙參加標槍，丙參加鉛球.故選：A

34.某項球類比賽的決賽階段只有美國、德國、巴西、西班牙、英國、法國六個國家參加．球

迷甲、乙、丙對哪個國家會獲得此次比賽的冠軍進行了一番討論．甲認為，西班牙和法國都

不可能獲得冠軍；乙認為，冠軍是美國或者是德國；丙堅定地認為冠軍絕不是巴西．比賽結

束后，三人發現他們中恰有兩個人的看法是對的．那么獲得冠軍的國家是（）

A．英國B．德國C．巴西D．西班牙

解析：

根據題意，有

冠軍甲乙丙

美國√√√

德國√√√

巴西√××

西班牙××√

英國√×√

法國××√

因此獲得冠軍的國家是英國．故選：A.

35.在黑板上從左到右寫2，0，2，3四個數，對兩個相鄰的數，每次用右邊的數減左邊的數

的差填在這兩數中間，從3開始到最左邊的2為止，稱為填一次.比如填第一次：2，-2，0，

2，2，1，3，其中劃線部分是填的右邊的數減左邊的數的差.則這樣填2023次之后，黑板上

所有數的和是（）

A．2023B．2025C．2028D．2030

解析：

原來四個數的和為2+0+2+3=7，填第一次后，七個數分別為2，-2，0，2，2，1，3，其和

為8，

填2次之后，數變為了2，-4，-2，2，0，2，2，0，2，-1，1,2，3，其和為9，

……，每填寫一次，黑板上的數字之和增加1，故填2023次之和，黑板上所有數字之和為

7202312030.

故選：D

36.觀察下列的圖形中小正方形的個數，則第7個圖中有___個小正方形，第n個圖中有___

個小正方形（）

n1n2n1n2

A．28，B．36，

22

n2nn2n

C．28，D．36，

22

解析：

設小正方形的個數構成的數列為an，

由圖形可知：a112，a2123，a31234，，以此類推，

n1n289

a123nn1，a736，

n22

n1n2

即第7個圖中有36個小正方形，第n個圖中有個小正方形.

2

故選：B.

37.把正整數按下圖所示的規律排序，則從2021到2023的箭頭方向依次為（）

A．B．C．D．

解析：

∵1和5的位置相同，∴圖中排序每四個一組循環，∵2021除以4余數為1，

∴2021的位置和5的位置相同，∴2021到20232的箭頭方向依次為A選項所示.故選：A．

38.下列類比推理正確的序號為（）

3a

①“邊長為a的正三角形內任一點到三邊距離之和是定值”類比空間，“棱長為a的正四

2

6a

面體內任一點到四個面的距離之和是定值”；

4

②在平面上，若兩個正三角形的邊長比為1:2，則他們的面積比為1:4.類似的，在空間中，

若兩個正四面體的棱長比為1:2，則他們的體積比為1:8；

x2y2

③已知橢圓具有性質：若M，N是橢圓上1ab0關于原點對稱的兩個點，點

a2b2

b2

P是橢圓上任意一點，則當PM，PN的斜率都存在，KK，類似的，點P若在

PMPNa2

x2y2b2

雙曲線1上，則KK.

a2b2PMPNa2

④長寬分別為a，b的矩形的外接圓的面積為a2b2，類比空間中，長寬高分別為a，b，

4

c的長方體的外接球的面積為a2b2c2.

4

A．①③B．②④C．①④D．②③

解析：

①、如圖在棱長為a的正四面體ABCD中，H為CD的中點.

13

每一個面均為全等的等邊三角形，其面積為Sa2sin60a2

24

設點P為正四面體內任一點，設點P到四個面的距離分別為d1,d2,d3,d4

11111

則正四面體的體積為：SdSdSdSdSdddd

3132333431234

設O為正四面體ABCD的頂點A在底面BCD上的射影,則AO為該正四面體的高.

323

由正四面體的性質可得：O為三角形BCD的重心，則BHa，則BOBHa

233

a26

所以AOBA2BO2a2a，所以正四面體的體積為：

33

11616

ShSaSdddd，所以dddda，故①不正確.

3333123412343

②、在空間中，若兩個正四面體的棱長比為1:2，則其底面積之比為1:4，對應高之比為1:2

所以其體積之比為1:8，故②正確.

22m2m2a2

③mn222

、設點Mm,n，則點Nm,n，且1，則nb21b2

a2b2aa

22x2x2a2

xy222

設點Px,y，則1，則yb21b2

a2b2aa

ynyn

當PM，PN的斜率都存在時，k,k

PMxmPNxm

2222

2xa2ma

22bb2

則ynynyn22b，故③正確.

kkaa

PMPNxmxmx2m2x2m2a2

④、長方體的對角線長為：a2b2c2

1222

設長方體的為接球的半徑為R，則2Ra2b2c2,即Rabc

2

a2b2c2

4R24a2b2c2

所以長方體的為接球的表面積為：

2

所以④不正確.故選：D

39.我國古代數學名著《九章算術》的論割圓術中有：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以

至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，它體現了一種無限與有限的轉化過程．比如在

1

1+1

1表達式中“…”既代表無限次重復，但原式卻又是個定值，它可以通過方程1x

1x

1

51

解得x，類比上述方法，則22（）

2

5151

A．B．C．2D．2

22

解析：

x2x20

類比上述方法可得：2xx，即2x0，解得：x2.故選：D.

x0

冷知識五直接證明方法

名師導航

綜合法又叫順推證法或由因導果法.

分析法又叫逆推證法或執果索因法.

【典例17】證明7253，即證：7325．只要證：1022120，只要證：

215，只要證：2125.這種證明方法是（）

A．反證法B．分析法C．綜合法D．間接證法

解析：

要證明7253，即證：7325．

只要證：1022120，只要證：215，只要證：2125.這是一種執果索因的方法.從

證明的結論出發，逐步尋求使它成立的充分條件直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個

明顯成立的條件，即為分析法.

故選：B．

【典例18】“分析法”的原理是“執果索因”，用分析法證明命題：

xx5x2x3(x0)所要“索”的“因”是（）

A．06B．56C．107D．50

解析：

xx5x2x3(x0)，

即要證xx52xx5x2x32x2x3，

即xx5x2x3，即06.故選：A.

【點睛】本題考查了分析法，意在考查學生的推斷能力.

能力達標訓練

40.欲證3256，只需證（）

A．(32)2(56)2B．(35)2(26)2

C．(36)2(52)2D．(325)2(6)2

解析：

要證3256，由于不等式兩邊均為負數，故需變形為證明3652，

此時不等式兩邊都是正數，所以只需證(36)2(52)2．故選:C．

41.“分析法”的原理是“執果索因”，若用分析法證