2026高考數學復習高效培優專題4.3 幾何法求線線角、線面角、二面角（解析版）

專題幾何法求線線角、線面角、二面角

內容導航

熱點解讀題型突破限時訓練

熱點內容解讀

深度剖析解讀熱點：分析解讀熱點考查內容，精準預測命題方向。

熱點題型突破

逐一剖析解題歸納：對熱點的各類題型逐一突破，歸納解題方法與技巧。

熱點限時訓練

模擬實戰鞏固提升：限時完成題目訓練，提升解題能力。

近三年：

在立體幾何板塊，高考命題強調“建系法、幾何法、向量法三法并重”，突出化歸轉化思想。這些年立體幾

何大題逐漸顯示出非常規建系、配合幾何法、向量法等方式。幾何法并非“備用”方法，而是與向量法并列的

通性通法。在圖形規則或難以建系時，往往是更優選擇。而在立體幾何小題中，大概率使用幾何法跟向量

法，而比較少的能用到建系，建系計算更費時。

預測2026年：

基于以上分析，幾何法在2026年高考中預計將繼續受到重視，“幾何法”的核心價值在于它直接鍛煉了立

體幾何最本質的空間想象與邏輯推理能力，這在當前“去套路化”的命題趨勢下尤為重要。你在備考中需要將

其放在與向量法同等重要的位置進行系統性訓練。

題型01定義法求線線角

解｜題｜策｜略

一、概念

異面直線所成角是空間中兩條不共面直線的夾角，通過“空間問題平面化”轉化為兩條相交直線的夾角，

其取值范圍為（在求夾角的時候，要注意異面直線所成角的范圍）。

?

二、用定義求(異0,面2]直線所成角

利用平行去平移，分別作兩條異面直線的平行直線，使這兩條平行線的夾角即為原異面直線的夾角。隨

后在由平行線構成的三角形中，利用邊角關系（如余弦定理、正弦定理）求解角度。

3

1．（2025·貴州·模擬預測）在正三棱柱ABCABC中，已知AAAB，D，E分別在棱AA，BB上，且

1111211

AD2DA1，B1E2EB，則異面直線BC與DE所成角的余弦值為（）

55252

A．B．C．D．

5653

【答案】A

1

【分析】在棱AA上取點G，使得AGAA，異面直線BC與DE所成的角為GBC或其補角，結合余弦

131

定理求解即可.

1

【詳解】在棱AA上取點G，使得AGAA，連接BG，CG，如圖所示．

131

11

由AD2DA，BE2EB，所以DGAA，BEBB，

113131

又AA1//BB1，所以DG//BE且DGBE，得四邊形DGBE為平行四邊形，

則有DE//BG，所以異面直線BC與DE所成的角為GBC或其補角．

31

設AB2，則AAAB3，AGAA1，

1231

在GBC中，BGCG22125，BC2，

BG2BC2CG25455

由余弦定理得cosGBC．

2BGBC2525

5

所以異面直線BC與DE所成角的余弦值為.

5

故選：A

2．（2025·遼寧遼陽·一模）如圖，三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長都為2，且A1AC60，D、E、F分

別為A1C1、A1B1、BC的中點，則異面直線AD和EF所成角的余弦值為（）

33721

A．B．C．D．

3277

【答案】D

【分析】連接CD、DE，推導出CD//EF，可知異面直線AD和EF所成角等于ADC或其補角，利用余弦

定理求出AC、CD的長，推導出ACCD，可求出ADC的余弦值，即為所求.

【詳解】連接CD、DE，如下圖所示：

1

因為D、E分別為AC、AB的中點，所以，DE//BC且DEBC，

111111211

因為BB1//CC1且BB1CC1，所以，四邊形BB1C1C為平行四邊形，

所以，BC//B1C1且BCB1C1，

11

因為F為BC的中點，所以，CF//DE且CFBCBCDE，

2211

所以，四邊形CDEF為平行四邊形，則EF//CD，

故異面直線AD和EF所成角等于ADC或其補角，

在菱形AA1C1C中，AA12，A1D1，AA1D120，

由余弦定理可得221，

ADAA1A1D2AA1A1Dcos120412217

2

在CC1D中，CC12，C1D1，CC1D60，

1

由余弦定理可得CDCC2CD22CCCDcos60412213，

11112

在ACD中，AC2，CD3，AD7，所以，AC2CD2AD2，故ACCD，

CD321

所以，cosADC.

AD77

21

因此，異面直線AD和EF所成角的余弦值為.

7

故選：D.

3．（2025·新疆喀什·二模）《九章算術》中將正四棱臺稱為方亭，如圖，在方婷ABCDA1B1C1D1中，

282與

AB2A1B14，其體積為，E，F分別為AB，BC的中點，則異面直線AA1EF所成角的余弦值為（）

3

1232

A．B．C．D．

2322

【答案】D

【分析】根據異面直線夾角的定義，在圖中明確夾角，根據正四棱臺的幾何性質以及體積公式，求得夾角

所在的直角三角形的邊長，結合銳角三角函數的定義，可得答案.

【詳解】連接AC,A1C1,A1B,A1D，過A1作A1O平面ABCD，其中垂足為O，連接OD,OB，如下圖：

在正四棱臺ABCDA1B1C1D1中，易知A1ABA1AD，ABAD，

則A1ABA1AD，所以A1BA1D，

因為A1O平面ABCD，OB,OD平面ABCD，所以A1OOB，A1OOD，

易知RtA1OBRtA1OD，所以OBOD，

因為AOAO，ABAD，所以△AOB△AOD，則DAOBAO45，

故OAC，

因為E,F分別為AB,BC的中點，所以EF//AC，

則異面直線AA1與EF的夾角為A1AC，

因為A1O平面ABCD，AC平面ABCD，所以A1OAC，

在正方形ABCD中，AC2AB42，同理可得A1C122，

1

在等腰梯形AACC中，易知AOACAC2，

11211

在正四棱臺ABCDA1B1C1D1中，上下底面面積分別為S14，S216，

1

正四棱臺的體積，

ABCDA1B1C1D1VA1OS1S2S1S2

3

2821

則，解得AO2

A1O4164161

33

AO2

在△中，22，

RtA1AOAA1AOA1O2cosA1AO.

AA12

故選：D.

4．（2025·江蘇南京·三模）在直三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱長都相等，D，E，F分別是棱AB，BC，

B1C1的中點，則異面直線DF與C1E所成角的余弦值是（）

191999

A．B．C．D．

10101010

【答案】D

【分析】連接BF，得DFB即為異面直線DF與C1E所成的角，設AB2，利用余弦定理可得答案.

【詳解】連接BF，因為C1FBE,C1F//BE，所以四邊形C1FBE為平行四邊形，

所以BF//C1E，所以DFB即為異面直線DF與C1E所成的角或補角，

設，則，22，

AB2BD1BFB1FBB15

1

連接EF,DE，則DEAC1，因為EF//BB，

21

所以EF平面ABF，DE平面ABF，所以EFDE，

22

EF=BB12，DFEFDE415，

DF2BF2BD25519

由余弦定理得cosDFB.

2DFBF1010

9

所以異面直線DF與CE所成角的余弦值是.

110

故選：D.

5．（2025·江西宜春·模擬預測）已知平面l,Al,Bl,AB3,C,CAl,D,DBl,ACDB4，

π

異面直線AC與BD所成的角是，則線段CD的長為.

3

【答案】5或57

π2π

【分析】作輔助線，可知CAE或CAE，可證ED平面AEC，進而分情況求解即可.

33

【詳解】如圖，作AE∥BD且AEBD，連接ED,EC，

可知CAE（或其補角）為異面直線AC,BD所成的角，

π2π

則CAE或CAE.

33

因為AE∥BD，且AEBD，可知ABDE是平行四邊形，

則DE∥AB,DEAB3，

因為ABAC,ABBD，則EDAC,EDAE，

且ACAEA，AC,AE平面AEC，則ED平面AEC，

且CE平面AEC，則EDCE.又ACAE4，

π

若CAE，則CE4,CD32425；

3

2π

若CAE，則CE43,CD32(43)257.

3

綜上所述：CD的長為5或57.

故答案為：5或57.

題型02定義法求線面角

解｜題｜策｜略

線面角的定義：平面上的一條斜線與它在平面的射影所成的角即為斜線與平面的線面角，范圍為

.找線面角的方法有兩種定?義?法與體積法。???

°°

[定0義,9法0]：能直接找到點在平面的射影點，能計算出或者，則線面角的正弦或余弦可求。

1．（2025·湖北·三模）?在正?三棱臺ABC?DEF中，P,Q分|?別?|為棱|A?B?,|BC的中點，AB2DE，四邊形PQFD

為正方形，則BC與平面ACFD所成角的正弦值為（）

3636

A．B．C．D．

3366

【答案】B

【分析】延長AD,BE,CF交于點G，，根據正棱臺可判斷三棱錐GABC為正三棱錐，根據棱長進而判斷

為正四面體，由正四面體的性質即可結合長度以及線面角的定義求解.

【詳解】由題意可知，延長AD,BE,CF必交于一點G，

1

由DE=AB,DE//AB可知，D,E分別是GA,GB的中點，

2

1

又點P為線段AB的中點，所以DP//GB,DPGB，

2

1

因P,Q分別為棱AB,BC的中點，則PQ//AC,PQAC，

2

又四邊形PQFD為正方形，所以DPPQ，所以ACGB，

由于三棱錐GABC為正三棱錐，因此三棱錐GABC為正四面體，

因此直線BC與平面ACFD所成的角即為直線GC與平面ABC所成角，

取ABC的中心為O，連接GO,OC，則GO平面ABC，

所以GCO為直線GC與平面ABC所成角，

設正四面體GABC的棱長為a，

2

在中，2233，22236，

ABCCOCPaaGOGCOCaaa

332333

GO6

在△GOC中，sinGCO=，

GC3

6

故直線BC與平面ACFD所成角的正弦值為.

3

故選：B

2．（2025·河南·模擬預測）如圖，在四棱臺ABCDA1B1C1D1中，CC1平面ABCD，四邊形ABCD為正方

形，AB2,CC12，則直線BC1與平面ACC1A1所成角的正弦值為.

【答案】3

3

【分析】根據線面垂直判定定理得出BD平面ACC1A1，則BC1O即為所求的線面角，再計算求解.

【詳解】連接BD,AC與BD交于點O，因為CC1平面ABCD，BD平面ABCD，

所以BDCC1，

因為四邊形ABCD為正方形，所以BDAC,BDCC1,AC,CC1平面ACC1A1，

又ACCC1C，則BD平面ACC1A1，

故C1O即為C1B在平面ACC1A1上的射影，BC1O即為所求的線面角，

BO23

又BO2，BC16，故sinBC1O.

BC163

3

故答案為：.

3

3．（2025·廣東廣州·模擬預測）在三棱錐PABC中，若PAPB，APCBPC60，則直線PC與平

面PAB所成角的正弦值是（）

1236

A．B．C．D．

2233

【答案】B

【分析】設PAPB1，建立空間直角坐標系，設點Cx,y,z，得出向量坐標，利用向量數量積公式結

合已知條件得出x,y，再利用向量的模的計算公式求出z，最后求出線面角的正弦值．

【詳解】設PAPB1，以P為原點，PA為x軸，PB為y軸，建立如下圖所示空間直角坐標系，

則P0,0,0,A1,0,0,B0,1,0，設點Cx,y,z，

PA1,0,0,PB0,1,0,PCx,y,z，

APCBPC60，

1

PAPCPAPCcos60，即xPC，

2

1

同理PBPCPBPCcos60，即yPC

2

tt

設PCt，則x,y，

22

PCx2y2z2，

22

tt22t

tz，解得z，

222

直線PC與平面PAB夾角的正弦值等于點C到平面PAB的距離z與PC的比值，即

2

t

z2．

sin2

PCt2

故選：B．

4．（2025·上海嘉定·一模）如圖，在四面體VABC中，ACBC，從頂點V作平面ABC的垂線，垂足O

恰好落在ABC的中線CD上.

(1)如果DVDA2，直線VD與平面ABC所成的角為，求直線VA與平面ABC所成角的大小；

4

(2)證明：平面VCD平面VAB.

π

【答案】(1)

6

(2)證明詳見解析

【分析】利用幾何法找到線面成角，利用線面垂直證明面面垂直.

【詳解】（1）連接AO，如圖.

由題可知，VO平面ABC，AB平面ABC,則VOAB，

且VDO即為直線VD與平面ABC所成角，

π

即VDO.由ACBC，CD為AB邊的中線，

4

可得ABCD.而DVDA2，可得OVOD2，AOAD2OD26.

π

而VAO即為直線VA與平面ABC所成角，且VAO0,,

2

23π

則tanVAO，可得直線VA與平面ABC所成角為.

636

（2）由VOAB，ABCD，CDVOO，CD,VO平面VCD,故AB平面VCD，

而AB平面VAB，則平面VCD平面VAB.

5．（2025·全國·模擬預測）如圖所示，在菱形ABCD中，AB4，BAD60，E,F分別為AD,AB的中

點，EFACO，BDACG，將△AEF沿EF翻折，使A到V處，VC26．

(1)證明：VC平面VEF；

(2)求VB與平面BCDEF所成角的正弦值．

【答案】(1)證明見解析

3

(2)

3

【分析】（1）根據給定條件，利用線面垂直的判定，結合勾股定理逆定理推理得證.

（2）結合（1）的信息可得平面VOC平面BCDEF，法1，利用幾何法求出線面角的正弦；法2，建立空

間直角坐標系，利用向量法求出線面角的正弦.

【詳解】（1）在菱形ABCD中，AB4,BAD60，則△VEF為等邊三角形，VOAO3，OF1，

CO33，VFAF2，EFAC，CF2OF2OC212(33)228，

于是VF2VC222(26)228CF2，即VFVC，

又VO2VC2(3)2(26)227CO2，則VOVC，

而VFVOV,VF,VE平面VEF，所以VC平面VEF.

（2）方法1：由△VEF為等邊三角形，得VOEF，又EFAC,ACVOO,VO,OC平面VOC，

則EF平面VOC，又EF平面BCDEF，于是平面VOC平面BCDEF，

在平面VOC內過V作VHAC于H，連接BH，又平面VOC平面BCDEFAC，

因此VH平面BCDEF，VBH為VB與平面BCDEF所成角，

VOVC3262

在RtVOC中，由VOVCVHOC，得VH6，

OC333

263

在Rt△VOH中，OHVO2VH2(3)2()2，

33

32

則GHOGOH33，

33

2343

在Rt△BGH中，BHHG2BG222()2，

33

2643

在Rt△VBH中，VBVH2BH2()2()222，

33

2

6

則VH3，所以與平面所成角的正弦值為3

sinVBH3VBBCDEF.

VB2233

方法2：由△VEF為等邊三角形，得VOEF，又EFAC,ACVOO,VO,OC平面VOC，

則EF平面VOC，又EF平面BCDEF，于是平面VOC平面BCDEF，

在平面VOC內過V作VHAC于H，因此VH平面BCDEF，

VOVC3262

在RtVOC中，由VOVCVHOC，得VH6，

OC333

263

在Rt△VOH中，OHVO2VH2(3)2()2，

33

以O為坐標原點，直線OF,OC分別為x,y軸，垂直于底面BCDEF的直線Oz為z軸建立空間坐標系，

326226

則平面BCDEF的法向量為n(0,0,1)，點B(2,3,0),V(0,,)，VB(2,3,)，

3333

26

VBn

設VB與平面BCDEF所成角為，則33，

sincosVB,n

VBn2213

3

所以VB與平面BCDEF所成角的正弦值為.

3

題型03體積法求線面角

解｜題｜策｜略

體積法：如果沒法直接找到點在平面的射影點，則可以看看題目條件中是否有跟體積有關的信息，

通過體積求出點到平面的?高度??，則線面角的?正弦可求。

??

1．（2025·安徽蚌埠·模擬預測）已知三棱錐PABC的體積為1，ABC是邊長為2的正三角形，且PA2，

則直線PA與平面ABC所成角的正弦值為（）

123

A．B．C．D．1

222

【答案】C

【分析】由體積和底面積，可求出頂點P到底面ABC的垂直高度h，進而由直線與平面所成角的正

弦值等于該直線與平面內某條直線(投影)形成的直角三角形中，計算即可求得結果.

3

【詳解】ABC是邊長為2的正三角形，其面積為：S223.

ABC4

因為三棱錐的體積為和底面積，

PABC1SABC3

113

得：VSh3h1.解得：h3.

3ABC33

h3

設直線PA與平面ABC所成角為，所以sin.

PA2

故選：C

2．（2025·甘肅·二模）如圖，在三棱錐SABC中，SA平面ABC，BAC90且SAABAC2，

6

若在△SBC內（包括邊界）有一動點P，使得AP與平面SBC所成角的正切值為，則點P的軌跡長為（）

2

4π2π

A．B．πC．D．6

33

【答案】C

6

【分析】過A作AH平面SBC，H為等邊△SBC的中心，由等體積發可得AH，則AP與平面SBC所

3

22

成角為APH，所以PH，P的軌跡為以H為圓心，以為半徑的落在△SBC內的圓弧．

33

【詳解】過A作AH平面SBC，因為SAABAC2，

所以△SBC是邊長為2的等邊三角形，易知H為△SBC的中心，

11113

由VSABCVASBC，則22222AH，

32322

6

則AH，AP與平面SBC所成角為APH，

3

66

因為AP與平面SBC所成角的正切值為，所以tanAPH，

22

22

解得PH，所以P的軌跡為以H為圓心，以為半徑的落在△SBC內的圓弧．

33

23π

根據SH，可知四邊形SMHN是菱形，且MHN，

33

2π

根據對稱性可知：P所形成的軌跡是三段等長的圓弧，故P的軌跡長為πr．

3

故選：C

【點睛】關鍵點點睛：根據線面角的定義找到AP與平面SBC所成角，從而得P的軌跡是解題關鍵.

3．（2025·山東·模擬預測）如圖，AB是O的直徑，PA與O所在的平面垂直，PAAB2，C是O上

的一動點（不同于A,B），M為線段PB的中點，點N在線段PC上，且ANPC．

(1)求證：ANMN

(2)當ACBC時，求直線PC與直線AM所成角的余弦值

(3)當三棱錐PAMN的體積最大時，求直線PC與平面PAB所成角的正弦值．

【答案】(1)證明見解析

3

(2)

6

6

(3)

6

【分析】（1）應用線面垂直判定定理得出BC平面PAC，AN平面PBC進而得出線面垂直；

（2）應用異面直線所成角結合余弦定理計算求解；

h6

（3）先根據線面垂直得出點H到平面PAM的距離，進而結合基本不等式得出正弦值為．

PC6

【詳解】（1）因為PA平面ABC，BC平面ABC，所以PABC，

又因為BCAC，PAACA,PA,AC平面PAC，所以BC平面PAC，

又因為AN在平面PAC內，所以ANBC

又因為ANPC，PCBCC,PC,BC平面PBC，所以AN平面PBC，

又因為BN平面PBC，所以ANBN．

（2）因為ACBC，所以AC2，所以PC6

又因為PAB為等腰直角三角形，M為PB的中點，所以AM2

6

取BC的中點為S，連接MS，則MS//PC，且MS，

2

所以AMS為異面直線PC，AM所成的角或其補角

210

在直角ACS中，AC2,CS，所以AS，

22

610

在△AMS中，AM2,MS,AS，

22

AM2MS2AS23

所以cosAMS，

2AMMS6

3

直線PC與直線AM所成角的余弦值為．

6

（3）設CAB，則AC2cos，

設CPA，則AC2tan2cos．

過點N作AC的垂線，垂足為H，

由于△PAM是確定的，

所以當三棱錐PAMN的體積最大時，

即為點N到平面PAM的距離最大，

即點H到平面PAM的距離最大．

過點H向AB作垂線，垂足為T，又因為PA平面ABC，

所以PAHT，PAABA,PA,AB平面PAB，所以HT平面PAB，

所以HT為點H到平面PAM的距離．

2tan2tan

故HTAHsinANcossin2sincossinsin1tan2，

1tan21tan2

2

2tan21tan2

4tan21tan2

221，

HT222

1tan21tan22

223

當2tan1tan，即tan時等號成立

3

3

此時，cos，則點C到平面PAB的距離為

3

22

hACsin2cossin，

3

h6

故直線PC與平面PAB所成角的正弦值為．

PC6

4．（2025·陜西西安·二模）如圖，已知三棱錐PABC,ABACCP1,BP2,BC2,CAP30.

(1)證明：平面PAC平面ABC；

(2)若三棱錐PABC的各頂點都在球O的球面上，求球O的半徑：

(3)求直線AP與平面BCP所成的角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

5

(2)

2

7

(3)

7

【分析】（1）先由幾何知識證明ABAP及ABAC，再利用線面垂直證明AB平面PAC，即可求證；

（2）建立空間直角坐標系，利用球心到球面上各點距離相等列出相應等式，即可求解；

（3）結合（2）利用空間向量法求解線面夾角.

【詳解】（1）在ACP中，由ACCP1，得CAPAPC30，所以ACP120，

1

所以AP2AC2PC22ACCPcosACP112113，

2

所以AP3.

又因為AB1,BP2，所以AB2AP2BP2，所以ABAP.

又因為ABAC1,BC2，所以AB2AC2BC2，所以ABAC，

又因為APACA,AP?AC平面PAC，

所以AB平面PAC，又AB平面ABC，所以平面PAC平面ABC.

（2）由（1）可知，以A為原點，AB,AC分別為x軸和y軸正方向建立如圖所示空間直角坐標系Axyz，

33

則A0,0,0,B1,0,0,C0,1,0,P0,,，

22

設球心Oa,b,c，半徑R，則AOBOCOPOR，所以

22

2222222222332，

abc(a1)bca(b1)cabcR

22

11355

解得a,b,c,R，所以球O的半徑為.

22222

3313

（3）由（2）知，AP0,,,BC1,1,0,CP0,,，

2222

mBC,mBC0,

設平面BCP一個法向量分別為mx,y,z，則，即

mCPmCP0

xy0

3

則13，取x1，則得m1,1,；

yz03

22

設直線AP與平面BCP所成的角為，所以

31

mAP227

sincosm,AP.

mAP77

3

3

5．（2025·上海靜安·一模）已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面邊長為1，點E、F分別在邊AD、CD上，

22

且AE，CF．

33

(1)證明：AC//平面B1EF；

(2)若AA12，求直線BB1與平面B1EF所成角的正弦值．

【答案】(1)證明見解析

597

(2)

97

【分析】（1）根據平行線的性質可得AC//EF，進而可證線面平行；

（2）方法一：建系標點，求平面B1EF的法向量，利用空間向量求線面夾角；方法二：利用等體積法求點B

到平面B1EF的距離，進而求線面夾角.

22EDDF1

【詳解】（1）因為AE，CF，則，可得AC//EF，

33AEFC2

且AC平面B1EF，EF平面B1EF，所以AC//平面B1EF.

（2）方法一：以D為坐標原點，以DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，

如圖所示：

11

則B1,1,0,B11,1,2,E,0,0,F0,,0，

33

211

可得BB10,0,2,EB1,1,2,EF,,0，

333

2

nEBxy2z0

13

設平面B1EF的法向量為n(x,y,z)，則，

11

nEFxy0

33

55

令x3，則y3，z，可得n3,3,，

22

nBB5597

1

cosn,BB1

則nBB9797，

12

2

597

所以直線BB1與平面B1EF所成角的正弦值是．

97

1327

方法二：由題意可知：BEBF，EF，B1EB1F，

333

22

121325

則，

SBEF

233618

22

127297

S，

B1EF

233618

設點B到平面B1EF的距離為d，

因為三棱錐B1BEF的體積即為三棱錐B-B1EF的體積，

151971097

則2d，解得d，

31831897

1097

設直線BB與平面BEF所成角為，則d597，

11sin97

BB1297

597

所以直線BB1與平面B1EF所成角的正弦值．

97

題型04定義法求二面角

解｜題｜策｜略

二面角的定義：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，這兩

個半平面叫做二面角的面.在兩個半平面作兩條與棱垂直的射線，如圖則它們組成的角為二面角的平

面角，范圍為