概率論與數理統計 教案 第4章 數字特征與極限定理

經濟數學一概率論與數理統計教案

第4章數字特征與極限定理

授課序號01

教學基本指標

教學課題第4章第1節數學期望課的類型新知識課

教學方法講授、課堂提問、討論、啟發、自學教學手段黑板多媒體結合

教學重點數學期望、根據隨機變量的概率分布求其函數的教學難點運用數字特征的基本性質計算

數學期望具體分布的數字特征、根據二維

隨機變量的聯合概率分布求其

函數的數學期望,

參考教材《經濟數學一概率論與數理統計（慕課版）》作業布置課后習題

大綱要求1.理解隨機變量數字特征（數學期望、方差、標準差、協方差、相美系數）的概念，并會運用

數字特征的基本性質計算具體分布的數字特征，掌握常用分布的數字特征。

2.會根據隨機變量的概率分布求其函數的數學期望：會根據二維隨機變量的聯合概率分布求其

函數的數學期望。

教學基本內容

一.隨機變量的數學期望

1.離散型隨機變量的數學期望：設離散型隨機變量X的分布律為P{X=%}="￡,2=1,2,,若級數

絕對收斂，則稱其和為隨機變量X的數學期望，簡稱期望或均值，記為E（X）或外,即E（X）=

?=1

8

Zap-

*=|

2.連續型隨機變量的數學期望；設連續型隨機變量X的概率密度為/（x）,若積分絕對收斂，

則稱該積分值為隨機變量X的數學期望，簡稱期望或均值，記為E（X）或〃x，即七（乂）=匚礦（外公.

隨機變量函數的數學期望

1.定理：設有隨機變量x的函數y=g（x）,且日g（x）］存在.

（1）設X為離散型隨機變量，P{X=Z}=PK，Z=1,2,???，則￡（丫）=石兇（*）］=￡＞（4）/人.

k=\

（2）設x為連續型隨機變量，概率密度為了（X）,則石（youEigixHurgao/oodr

2.定理：設有隨機變量（X,丫）的函數z=g（x,y）,且Eig（x,y）j存在.

（1）若（x,y）為離散型隨機變量，其聯合分布律為F{乂=4丫=①}=〃/力=1,2,...,則

E（Z）=E[g（X,V）]=-g（4x）p7

J=1j=l

（2）若（X,y）為連續型隨機變量，其聯合概率密度為/（x,y）,則

E（Z）=E[g（X,y）]=rrg。,y）/（x,y）dxdy.

J-x>

三.數學期望的性質

I.設。為常數，則E（C）=C.

2.設。為常數，X為隨機變量，則E（CX）=CE（X）.

3.設x,y為任意兩個隨機變量，則E（X+y）=E（x）+E（y）.

l

4.E（X]+X、+...+Xn）=E（XJ+￡（X））+...+E（X〃）.

5.設x,y為相互獨立的隨機變量，則E（xy）=E（x）E（y）.

6.若X1,X2,…，x〃為相互獨立的隨機變量，則有E（Xd2…X〃）=E（XJE（X2）...E（X“）.

四.例題講解

例1.求下列離散型隨機變量的數學期望：（1）（0-1）分布；（2）泊松分布.

例2.求下列連續型隨機變量的數學期望：（1）指數分布；（2）正態分布.

例3.某保險公司規定，如果投保人在一年內發生所投保的事件，保險公司會賠償投保人〃元.若投保人

在一年內發生所投保的事件的概率為P，為使保險公司的平均收益達到。的10%,問該公司應該要求投保人繳

多少保險費？

洌4.一家數碼商店以每臺500元的價格購買了三臺相同型號的手寫板，準備以每臺1000元的價格出售。

對于指定期限內仍未售出的手寫板，制造商已同意可以每臺200元的價格回購。設X表示售出的手寫板數量，

其分布律為

X0123

P0.10.20.30.4

求商店的平均利潤.

例5.設某供應公司在一周內出售的特殊材料數量為連續型隨機變量X（噸），其概率密度為

|(l-x2),

0<x<l

fM=

0,其它

而銷售價格y是x的函數：y=5ox2（萬元/噸），求丫的數學期望.

例6.設二維隨機變量（x,y）的分布律為

12

10.250.32

20.080.35

求”X?+y）

例7.設二維隨機變量（x,y）的密度函數為

、（x+yy0<x<l,0<y<l

小0,其它

求￡［x）,E（y）,E（xy）.

例8.某工廠每天從電力公司得到的電能￥（單位：千瓦）服從［10,30］上的均勻分布，該工廠每天對電

能的需要量y（單位：千瓦）服從［10,20］上的均勻分布，其中/與y相互獨立.設工廠從電力公司得到的每

T瓦電能可取得300元利潤，如工廠用電量超過電力公司所提供的數量，就耍使用自備發電機提供的附加電能

來補充，使用附加電能時每千瓦只能取得10（）元利潤.問一天中該工廠獲得利潤的數學期望是多少？

例9.已知隨機變量X-N（5/（）2）,求y=3X+5的數學期望鳳丫）.

授課序號02

教學基本指標

教學課題第4章第2節方差課的類型新知識課

教學方法講授、課堂提問、討論、啟發、自學教學手段黑板多媒體結合

教學重點方差及其性質教學難點運用數字特征的基本性質計算

具體分布的數字特征.

參考教材《經濟數學一概率論與數理統計(慕課版)》作業布置課后習題

大綱要求1.理解隨機變量數字特征(數學期望、方差、標準差、協方差、相關系數)的概念，并會運用

數字特征的基本性質計算具體分布的數字特征，掌握常用分布的數字特征。

2.會根據隨機變量的概率分布求其函數的數學期望；會根據二維隨機變量的聯合概率分布求其

函數的數學期望。

教學基本內容

隨機變量的方差

1.方差：設才為隨機變量，若E｛[X—E(X)/｝存在，則稱之為才的方差，記為。(X)或(7；,即

D(X)=E｛[X-E(X)f).

稱JD(X)為4的標準差或均方差,記為。

2.若才為離散型隨機變量，其分布律為。｛乂=々｝=匕，左=1,2「一，則

1

D(X)=Y[xk-E(X)]pk.

hl

3.若1為連續型隨機變量，其概率密度為/(x),則

D(X)=￡jx-E(X)]2/U)^.

4.方差的計算公式:D(X)=E(X2)-[E(X)]2.

二.方差的性質

1.設。為常數，則〃(C)=9.

2.設才為隨機變量，。為常數，則有。(CX)=C2O(X).

3.設隨機變量X與Y相互獨立，則有〃(￥/)=〃(X)+〃(K).

?1.若天，乂2,…,X”相互獨立，則有。(X1+X2+…+XJ=D(XJ+D(X2)+…+D(XJ

5.一些重要分布的期望與方差

分布分布律或概率密度數學期望方差

P{X=l}=p,P{X=O}=q

0-1分布Ppq

0</?<1,/?+</=1

P{X=%}=C：p%i/=0,l,2,??，〃

二項分布O<p<\,p+c/=]npnpq

P〈X=k}=p*,k=1,2,、q

幾何分布7

〃+夕=1P

P[X=k]=—e-\k=0A,Z-^>0

泊松分布k\2A

1,

-----,a<x<ba+b（-一a）2

均勻分布fix）=Vb-a

212

0,其它

i/x1

2

正態分布小）=京…sa

1

指數分布/（x）=<2>0

、0,x<0f7下

例4.12求下列離散型隨機變量的方差：（1）（0-1）分布；（2）泊松分布.

例4.13求下列連續型隨機變量的方差：（1）均勻分布；（2）指數分布.

例4.14甲、乙兩臺機床同時加工某種零件，它們每生產100。件產品所出現的次品數分別月X-X2表示，

其分布律如下，問哪一臺機床加工質量較好？

0123

P（XJ0.70.20.060.04

P（x2）0.80.060.040.1

例4.15設隨機變量X和V相互獨立，且X服從參數為上的指數分布，丫服從參數為9的泊松分布，求

2

D（X-2r+l）.

授課序號03

教學基本指標

教學課題第3章第3節協方差與相關系數課的類型復習、新知識課

教學方法講授、課堂提問、討論、啟發、自學教學手段黑板多媒體結合

教學重點協方差與相關系數教學難點協方差與相關系數

參考教材《經濟數學一概率論與數理統計(慕課版)》作業布置課后習題

大綱要求理解協方差、相關系數的概念

教學基本內容

一.協方差與相關系數的概念

1.協方差：設二維隨機變量(x,y),若E{[x—E(x)"y—E(y)]}存在，則稱它為隨機變量￥與f的協

方差，記為cov(X,y),或即cov(X,y)=E{[X-E(Xi][y-E(r)])

2.相關系數：當O(X)>0,。(丫)>0時?，稱。xy=/C°vf為隨機變量X與丫的相關系數。

1D(X)yjD(Y)

3.不相關：當夕XY=O時，稱隨機變量x與y不相關或線性無關。

4.協方差的計算公式：cov(X,y)=E(XY)-E(X)E(Y).

二.協方差與相關系數的性質

1.cov(X,Y)=cov(y,X).

2.cov(aX,〃y)=4〃cov(X,y),其中凡。為常數.

3.cov(X+K,Z)=cov(X,Z)+cov(y,Z).

4.D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2cov(X,Y)

5.1PXY1—1?

6.1夕xy1=1的充分必要條件是X與y以概率1具有確定的線性關系，即P{y=aX+/?=l,其中

0,4力為常數.

幾點說明：(1)|pxj越大，這時y與x的線性關系就越密切，當|p*y卜1時，y與x就有確定的線性關

系；反之，|pxy|越小，說明y與X的線性關系就越弱，若|".卜0,則表明y與X之間無線性關系，故稱X

與y是不相關的.可見，|PX3的大小確實是x與丫間線性關系強弱的一種度量.

（2）若x與y相互獨立，則x與y不相關.反之，若x與r不相關，則x與y卻不一定是相互獨立的.

（3）設（x,y）服從二維正態分布，即（x,y）?％（必,〃2。；，6，。），可以證明：

E（X）=〃|,O（X）=cr：,E（y）=〃2,O（y）=b；，cov（X,Y）=pXY=p.

（4）對二維正態隨機變量（MD來說，X與y相互獨立的充要條件為2=0,現在又知夕燈二夕，故

對二維正態隨機變量（XD來說，x與y不相關等價于x與y相互獨立.

三.矩

1.設才和V是隨機變量，若E（X。，k=l,2,?存在，則稱它為乃的々階原點矩.

2.若曰[X-E（X）『｝,2=1,2,?存在，則稱它為X的女階中心矩.

3.若夙X3）,Z,/=l,2,…存在，則稱它為1和y的介，階混合矩.

4.若E｛[X—E（X）riy—E（Y）]/｝,=??存在，則稱它為才和V的介/階混合中心矩.

四.例題講解

例1.設保險公司對投保人的汽車保險和財產保險分別設定了免賠額（單位：元），現任選一位同時投保汽

車保險和財產保險的客戶，X表示其汽車保單的免賠額，V表示其財產保單的免賠額，隨機變量（X,y）的聯合

分布律為

0100200

1000.20.10.2

2500.050.150.3

求CCV（I,Y）,pXY.

列2.設隨機變量（X,y）在。=｛（x,），）|xN0,y>0,x+y<[｝上服從均勻分布.求cov（X,Y）,pXY.

例3.若X~N（OJ）,且y=x?,問x與y是否不相關？是否相互獨立？

洌4.己知Z）（X）=4,O（y）=l,Pxy=05求O（3X-2Y）.

洌5.設隨機變量X和y相互獨立且都服從正態分布,V（0,b2）,已知U=aX+bY,

V=aX-bY,其中a,〃為常數，求。和『的相關系數4y.

授課序號04

教學基本指標

教學課題第4章第4節切比雪夫不等式大數定律與中心極限定理課的類型新知識課

教學方法講授、課堂提問、討論、啟發、自學教學手段黑板多媒體結合

教學重點切比雪夫不等式、切土雪夫大數定律、伯努力大教學難點切比雪夫大數定律、伯努力大數

數定律和辛欽大數定津、列維―林德伯格定理和定律和辛欽大數定律

狄莫弗一拉普拉斯定理

參考教材《經濟數學一概率論F數理統計（慕課版）》作業布置課后習題

大綱要求1.了解切比雪夫不等式。

2.了解切比雪夫大數定律、伯努力大數定律和辛欽大數定律（獨立同分布隨機變量的大數定律）。

3.了解列維―林德伯格定理（獨立同分布的中心極限定理）和狄莫弗-拉普拉斯定理（二項分布

以正態分布為極限分布）。

教學基本內容

一.切比雪夫不等式

1.定理：（切比雪夫不等式）設隨機變量X的數學期望E（X）和方差D（X）都存在，則對于任意￡>o,

有刊X-E（X）|之?〈誓^或P{|X-E（X）|<￡}Nl-g9

￡￡

二.大數定律

1.定理：（伯努利大數定律）設是〃次獨立重復試驗中事件AHI現的次數，而p是事件A在每次試驗

中發生的概率，則必當九一8時依概率收斂于即對任意￡>0,都有

n

n->oo〃

或limP{|幺一〃|N0=O.

8幾

2.號理：（辛欽大數定律）設隨機變量X”X2,…,X“，…獨立同分布，并且有數學期望七（XJ=〃，則

區“二，之X,在〃.8時依概率收斂于〃，即對￡>0,都有

〃/-I