2025人教B版高一（上）期末數學匯編：函數章節綜合

2025北京高一（上）期末數學匯編

函數章節綜合（人教B版）

一、單選題

1.（2025北京豐臺高一上期末）已知定義在R上的奇函數滿足"2-x）寸⑴，且在區間［0,1］上單調

遞減，則下列結論正確的是（）

A."2）=1

B.“X）是以2為周期的周期函數

C.在區間［10,11］上單調遞減

D.若關于x的方程〃力=加在區間［-8,-6］上有兩個實數根，分別記為不馬，則占+蒞=-14

2.（2025北京豐臺高一上期末）已知函數/（%）=（*-7）2,8（力=-尤+2,對VxeR,用/?（x）表示

/（x）,g（x）中的最大者,記為Mx）=max{〃x）,g（x）}.若人（無）22恒成立，則（）

A.f的最大值是一點B.f的最小值是一0

C.1的最大值是&D.f的最小值是垃

3.（2025北京密云高一上期末）如圖，（MB是邊長為2的正三角形，記Q鉆位于直線》=々＞。）左側

的圖形的面積為了⑺，則下列正確的命題是（）

B.函數/⑺是增函數

C.當r=l時，/⑺有最大值

D.函數/⑺的最大值是百

4.（2025北京海淀高一上期末）已知函數/。）=尤+9（無＞0）.若/（x）N4恒成立，貝匹的取值可以是

X

()

A.-1B.1

C.3D.5

5.（2025北京海淀高一上期末）設函數y=/（x）的定義域為。，開區間/口。，貝且

為＜%，都有/&）＜/（%）''是"=/（%）在/上是增函數''的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.(2025北京西城高一上期末)已知/⑺是定義域為R的奇函數，滿足/(2-尤)+/(力=0,且當

尤?0,1)時/(x)=f—3x.給出下列三個結論：

①〃0)=0;

②函數“X)在區間(-1,5)內有且僅有3個零點；

③不等式f(x)>0的解集為(2左-1,2左),keZ.

其中，正確結論的個數是()

A.0B.1C.2D.3

7.(2025北京東城高一上期末)將函數的圖象向右平移1個單位長度，所得圖象與函數g(x)=?的

圖象關于原點對稱，則/(-5)=()

A.-底B.-2C.2D.布

8.(2025北京朝陽高一上期末)設函數/(x)=f+(a—2)x+l(aeR),則“a=2”是“〃》)是偶函數”的

()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

9.(2025北京東城高一上期末)如圖，函數/(無)的圖象為折線段ABC,則不等式/(x)2(x-2)?的解集是

()

B.(-oo,0]u[3,+oo)

C.(0,3)D.[0,3]

10.(2025北京二中高一上期末)如果函數對任意的實數x,都有〃l+x)=/(_x),且當xzg時,

/(x)=log2(3x-l),那么函數在［-2,0］上的最大值與最小值之和為()

A.2B.3C.4D.-1

二、填空題

11.(2025北京豐臺高一上期末)設aeR,函數/(無)=給出下列四個結論:

lx+a,x<a.

①當。=0時，/(/(-1))=!；

②當a<0時，存在最小值;

③若“X)在區間(O,+8)上單調遞增，則。的取值范圍是(-8,0M2,+00).

④設”(占"(為》(占4a),N(X2，/仇))伍>a),記兩點之間的距離為d,則存在負數。，使得

其中所有正確結論的序號是.

12.(2025北京西城高一上期末)已知函數/(X)=6-L若/(r)一/。+1)<0,則實數t的取值范

x

圍_____.

13.(2025北京海淀高一上期末)已知/(x)=/_2辦+6的圖象經過點(2a,l),則6=；若方程

/。)=。有兩個不等實數根不馬，滿足西+々>玉々，則實數。的取值范圍為.

14.(2025北京海淀高一上期末)己知f(x)是定義在［-4,4］上的奇函數，當xe(0,4］時，/(x)的圖象如

圖所示，則不等式xf(x)40的解集為.

15.(2025北京石景山高一上期末)函數C(x)滿足/1(-x)+/(x)=2x2,/(l+x)-/(l-x)=8x,xeR,給出下列三

個結論：

①八2)=4；

②“3)+/⑴=18；

@/(x+2)+/(x)>0.

其中所有正確結論的序號是.

16.(2025北京石景山高一上期末)已知f(x)是定義在R上的奇函數，且當x<0時，/(x)=3%2-2%,則

當x>0時，/W=.

X〉0

17.(2025北京西城高一上期末)已知函數/(尤)='一八，則/⑴+/(-1)=____；/(x)的單調遞增

x-l,x<0

區間為.

18.(2025北京四中高一上期末)己知函數〃力={,、若圖像恒在x軸下方，則上的取

值范圍是；設“力的值域為A,若(O,2)aA,則上的取值范圍是.

19.(2025北京東城高一上期末)已知函數/(x)為R上的奇函數，且在。+8)上單調遞增，/(2)=1,若

-14/(3尤-1)40,則x的取值范圍是.

20.(2025北京東城高一上期末)函數/。)=［蕓的定義域為.

21.(2025北京八中高一上期末)若定義在R的奇函數/(x)在(Y?,0)單調遞減，且/(2)=0,則滿足

#(尤-1)20的x的取值范圍是.

三、解答題

22.(2025北京順義高一上期末)“函數0⑴的圖象關于點(〃?,")對稱”的充要條件是“對于函數無)定義

域內的任意x,都有9(彳)+9(2m-力=2"”.若函數〃力的圖象關于點(1,1)對稱，且當xe［0,l］時，

/(x)=x2-ax+a.

⑴求〃0)+〃2)的值；

⑵設函數g(尤)=產.

⑴證明函數g(x)的圖象關于點(2,-3)對稱；

(ii)若對任意入40,2］,總存在％e［-4,1］,使得〃%)=8優)成立，求實數。的取值范圍.

23.(2025北京清華附中高一上期末)已知二次函數/("=/-2〃a+1,其中〃“0.

⑴若的最小值為-1，求優的值；

⑵若有兩個不同的零點玉，馬，求證：3+%+6>4.

I^^2

24.(2025北京豐臺高一上期末)設函數/(%)=<2%2+(2<7-4卜-。+5,其中a>0.

⑴當a=1時，求在區間［0,3］上的最大值和最小值：

⑵若"X)在區間［1,4］上不單調，求。的取值范圍；

⑶若在區間(-1,2)內存在零點，求。的取值范圍.

25.(2025北京密云高一上期末)已知函數/(x)=2f一4X+3.

(1)解關于x的不等式：/(x)+2te-3>0;

⑵當尤時，/(x)>2x+2〃?+l恒成立，試確定實數機的取值范圍.

26.(2025北京西城高一上期末)兩地相距520km,貨車從A地勻速行駛到8地，全程限速

100km/h.已知貨車每小時的運輸成本(單位：元)由固定成本和可變成本組成：固定成本為400元，可

變成本與車速x的平方成正比，比例系數為左(后>0).

(1)把貨車的全程運輸成本，(單位：元)表示為車速尤(km/h)的函數；

(2)為使全程運輸成本最小，貨車應以多大速度行駛？

27.(2025北京清華附中高一上期末)2024年1月11日，我國太原衛星發射中心在山東海陽附近海域使

用引力一號遙一商業運載火箭，將搭載的云遙一號18-20星3顆衛星順利送入預定軌道，飛行試驗任務獲

得圓滿成功，引力一號運載火箭首飛即采用難度較高的海上發射，刷新了全球運力最大固體運載火箭、我

國運力最大民營商業運載火箭紀錄，進一步豐富了我國運載火箭型譜.1903年前蘇聯(俄羅斯)航天之父

齊奧爾科夫斯基推導出火箭的理想速度公式為：v=%ln%其中為火箭初始質量，為火箭燃燒完畢

熄火后剩余質量，才稱為火箭質量比，%為火箭發動機噴氣速度.至今多年來所有大小火箭都遵循齊奧爾

科夫斯基公式基本規律.現已知某型號火箭的發動機的噴氣速度為7900m/s.

（1）當該型號火箭的質量比為1。時，求該型號火箭的理想速度；

⑵經過改進后，該火箭發動機噴氣速度變為原來2倍，火箭質量比變為原來的若使火箭的理想速度增

加3950m/s,求該火箭在技術和材料改進前的質量比.（兩問結果均保留一位小數，參考數據：

InlO?2.30,e?2.718,-Ve?1.649）

28.（2025北京朝陽高一上期末）對于給定的正整數”（"22）,設集合＜左＜小，集合A,B

是”的非空子集且滿足AB=M,AB=0.若對于任意尤eA,在集合B中有唯一確定的數，，使得

為偶數，則記y=P（x）,并稱3為從集合A到集合8的“尸函數”.

（1）當”=3時，若集合A={-3,-Ll,3},寫出集合3,并判斷從集合A到集合B是否存在“尸函數”？說明理

由；

（2）若集合A至少包含一個奇數，且。:A-B為從集合A到集合B的“尸函數”，求證：存在尤eA,使得

/?（%）=-X;

⑶若8為從集合A到集合B的“尸函數”，且對于任意xeA,都有求滿足條件的集合A

的所有可能.

29.（2025北京二中高一上期末）對于定義域為。的函數y=f（x）,如果存在區間［九m同時滿足：①

/（X）在內是單調函數；②當定義域是由㈤時，/（X）的值域也是阿㈤，則稱阿㈤是該函數的“優美

區間

⑴求證：［0,2］是函數的一個“優美區間,,；

⑵函數g（無）=4+9是否存在“優美區間”？若存在，求出它的“優美區間”，若不存在，請說明理由.

X

（3）已知函數/i（x）=（aeR,aw0）有“優美區間”［〃］,n\,當a變化時，求出”一根的最大值.

ax

2"+1

30.（2025北京四中高一上期末）設函數=

（1）若/（。）=2,求實數。的值；

（2）判斷函數/（尤）的奇偶性，并證明你的結論；

（3）若/（"＜〃?對于恒成立，求實數機的最小值.

參考答案

1.D

【分析】對于選項A,定義在R上的奇函數/(x),則/(0)=。.令尤=。得出了(2)=。判定；對于選項B,

要通過已知條件推導出函數的周期；對于選項C,根據函數的周期性和已知區間的單調性來判斷指定區間

的單調性；對于選項D,利用函數的對稱性來確定方程兩根的和.

【詳解】對于A,由于函數是定義在R上的奇函數〃x),則/(0)=0.

由〃2T)=/(X),取尤=0可得〃2)=〃0)=0,故A錯誤；

對于B,因為/(x)是定義在R上的奇函數，則"T)=-f(x),

又因"2-x)=/(尤)，則/(2-的=一/(一尤).

用x替換t可得/(2+x)=-〃尤),故有〃4+X)T(2+X)"(X).

所以是以4為一個周期的周期函數，故B錯誤；

對于C,已知/(?在上單調遞減，因FQ)是奇函數，故f(x)在上也單調遞減，即“X)在［-1,1］

上單調遞減.

由于/(x)的周期是4,那么/(x)在口0,11］上的單調性與⑵3］上的單調性相同.

由/(2-x)=/(%)可知/(x)的圖象關于直線x=1對稱，

所以/(幻在口,3］上的單調性與［-1,1］上的單調性相反，即在［1,3］上單調遞增，所以f(x)在［10,11］上單

調遞增，故C錯誤；

對于D,因/(x)的圖象關于直線尤=1對稱，且周期可取為-8,故/(x)的圖象關于直線x=-7對稱.

若關于龍的方程/⑴=帆在區間［-8,-6］上有兩個實數根々，%,

根據函數圖象的對稱性可知安衛=-7,則可+迎=-14,故D正確.

故選：D.

2.A

【分析】根據題設可得尤>0時，(xT)222恒成立，故可求參數的取值范圍.

【詳解】因為時，g(x)>2,故需x>0時，(xT)2±2恒成立，

fr<0__

故/>2即/工一3,所以/的最大值是-3，

故選：A.

3.D

—z2,O<r<l

2

A/3-^（2-02,1</<2,

【分析】由題意，根據可得了⑺=作出圖形，結合圖形即可求解.

y/3,t>2

【詳解】當0<二<1時，/?)=￥/；

當l<fW2時，/?)=若一?(2一7)2；

當/>2時，/(?)=V3；

—t2,O<t<l

2

所以加）=，若T（2T）2,1<*2.

5/3,?>2

由圖可知，函數/⑺在(。,2］上單調遞增，

所以當f=2時/⑺取到最大值，為舊,故D正確.

故選：D

4.D

【分析】利用恒成立的不等式分離參數，借助二次函數求出最大值即可.

【詳解】當x>0時，不等式/(尤)、4o尤+@?40。\-尤2+4尤，

x

依題意，Vx>0,。2—x2+4xT旦成立,而當x>0時，—x~+4x=—(x—2)~+4V4,

當且僅x=2時取等號，因止匕。24,ABC不是，D是.

故選：D

5.B

【分析】利用充分條件、必要條件的定義，結合增函數的定義判斷得解.

【詳解】函數>=f(x)在/上是增函數，則V占且再<%,都有/&)</(%),必要性成立;

G(—1,0)5。/)

取函數/(%)=，區間1=(—1,1),

—1,x=0

顯然且占<%,都有/(再)</(%)，而函數/(x)在/上不單調，充分性不成立,

所以“V玉e/,我e/且占<%,都有/(占)</(/)”是“y=/(x)在I上是增函數”的必要不充分條件.

故選：B

6.C

【分析】由題意確定函數的周期，再結合當尤e(O,l)時逐個判斷即可;

【詳解】由題意〃x)=-〃-x),xeR,

所以〃0)=—〃0),所以/(0)=0,①正確;

再結合“2—x)+〃x)=0,可得:/(2-x)=f(-x),

所以的周期為2,

由xe(0,l)時，/(x)=x2-3x=x(x-3)<0,

結合奇函數性質可知：當x?T,0),/(x)>0

所以在一個周期(-M)內，/(尤)>。的解集為(TO),

在結合函數周期為2,可得：〃同>0的解集為：(2左-1,2左)，keZ；③正確；

通過/(2-x)+/(x)=0,令x=l,可得"1)=0,則/(—1)=0,

結合函數的周期為2,在(-1,5)內，結合函數值的正負情況有

/(0)=0,/(1)=0,/(2)=0,/(3)=0,/(4)=0,

所以函數“X)在區間(-1,5)內有且僅有5個零點；②錯誤；

故選：C

7.B

【分析】利用函數對稱與變換求出函數/(x)的解析式，代值計算可得出/(-5)的值.

【詳解】函數g(x)=&的圖象關于原點對稱的函數的解析式為y=-C,

將函數y=-Q的圖象向左平移1個單位長度，可得到函數〃x)=-J-(x+l),

故〃-5)=-2.

故選:B.

8.C

【分析】由充分條件、必要條件的概念結合偶函數的定義即可判斷；

【詳解】當〃=2時，f(x)=x2+l,f(-x)=x2+l=f(x),為偶函數，

當“X)是偶函數時，由/(X)=/(T),

即x"+(。-2)x+l=-(a—2)x+1恒成立，

可得：2（a-2）x=0恒成立，即a=2,

所以“a=2”是“/（x）是偶函數”的充要條件,

故選：C.

9.D

【分析】根據圖象求出函數/（x）的解析式，解不等式求結論.

【詳解】函數Ax）的圖象為折線段ABC,且A（—2,0）,B（0,4）,C（4,0）,

fcr+Z?,—2<x<0

故可設〃x）=

mx+H,0<x<4

且一2左+b=0,b=n=4,4m+n=0,

所以左=2,m=-l,

/、f2x+4,-2<x<0

所以/，

'7[-x+4,0<x<4

當一2?x<0時，不等式/(x)N(x—2)2可化為，2x+4>(x-2)2,

即爐―6%W0,故0?xV6(舍去)，

當0WxK4時，不等式/（%）之（%—2）2可化為，-x+4＞（x-2）2,

即爐—3x40,故04x（3.

所以不等式“X）4X-*的解集是［0,3］.

故選：D.

10.C

【解析】根據〃l+x）=/（T）,可知：/（X）關于A;對稱，根據對稱性，要求函數“X）在［-2,0］上的最

大值與最小值之和，即求函數/（X）在［1,3］上的最大值與最小值之和，代入即可得解.

【詳解】根據〃1+X）=/（T）,可知：/（X）關于X=g對稱，

那么要求函數f（X）在［-2,0］上的最大值與最小值之和，

即求函數/（X）在［1,3］上的最大值與最小值之和，

因為〃x）=log2（3xT遞增，所以最小值與最大值分別為：

/（1）=1,"3）=3,

f（l）+/（3）=4,

故答案為：C.

【點睛】本題考查了函數的對稱性，考查了轉化思想，計算量較小，思路要求較高，屬于中檔題.

11.①③④

【分析】①代入解析式求函數值即可；②根據/（元）單調性分析最小值即可；③分。＞0和aWO兩種情況討

論；④通過特殊值的思路判斷即可.

I光3龍〉0

【詳解】當a=0時，〃x)=；C，/(/(-1))=/(1)=1,故①正確;

\x,x<0

當a<0時，兀<々時，/（%）單調遞減，x>〃時，/（“單調遞增,

+々2—［3=〃2（2—〃）>0,則〃2+〃2>〃3,圖象如上所不，

所以當〃<0時，/（力不存在最小值，故②錯;

當〃〉0時，片4片+片），解得

當〃V0時，成立，

所以若/（元）在區間（0,+8）上單調遞增，則”的取值范圍為（3,0］口［2,田），故③正確;

當"一康時‘取為="'1

=Q+

4050

23

1221

d=+Cl+ClaH--------

40504050

因為Jl+4（」一

<2,所以

V（4050

所以存在負數。，使得康，故④正確.

故答案為：①③④.

12.<（<0^,0<t<^^

22

【分析】求出函數的單調區間及單調性，再利用單調性解不等式.

【詳解】函數/（x）=?-L的定義域為（0,+刈，函數y=4。=-工在（0,+8）上都遞增,

XX

因此函數，（尤）在（0,+℃）上單調遞增，由/'（產）一）（+1）<00/（產）<+1）,

貝+解得或

22

所以實數出取值范圍是上正</<0或0</<匕好.

22

匕正</<0或0<r〈匕必

故答案為:

22

13.1a>l

【分析】根據條件，代入即可求解6,再利用方程有解的條件及根與系數的關系，即可求解出實數。的取

值范圍.

【詳解】由題知/(2。)=(2a)2-2ax2a+6=l,得到6=1,

所以/(x)=x2-2ax+l,又方程/(%)=0有兩個不等實數根E，

A=4a2-4>0

則{占+凡=2a又無[+%>占々，得至得到

x{x2=1

由4/-4>0,得至|a>l或a<-l,所以a>l,

故答案為：1；a>l.

14.[-1,1]

【分析】根據給定的圖象，可得函數的單調性，再分段求解不等式.

【詳解】觀察圖象知，奇函數/(x)在(0,4]上單調遞增，則在[T,。)上單調遞增，且/'(-1)=-〃1)=0,

不等式x/(x)<0,當x=0時，不等式成立；

當x>0時，/(x)<0=f(l),解得0<出1；

當x<0時，/(x)>0=/(-l),解得—IVxvO,

所以不等式x/(x)<0的解集為[-1,1].

故答案為：[TH

15.②③

【分析】利用賦值法可判斷①②；根據已知條件得出了(尤+2)-/(r)=8x+8,再結合/(T)+/(X)=2X2以及等

式的可加性可判斷③.

【詳解】在等式/(-*)+/。)=2/中，令x=0,可得/(。)=。，

在等式/(1+尤)-f(l-x)=8x中，令x=l中，可得/⑵=f(0)+8=8,故①錯誤；

在等式AT)+/(x)=2/中，令彳=1,可得/⑴+―,

在等式fd+尤)一f(l—x)=8尤中，令尤=2中，可得/'(3)-1)=16,

所以/(3)+f(1)=18,故②正確；

因為/(1+*)_/(1_幻=8無，貝!]/(2+x)-/[l-U+l)]=8U+l),

所以了(2+x)-/(-X)=8x+8,又因為f(-x)+f(x)=2x2,

上述兩個等式相加可得/(2+x)+=2爐+8x+8=2(x+2產20,故③正確.

故答案為：②③.

16.—3x2—2x

【分析】根據奇函數的定義求解即可.

【詳解】令x>0,則-x<0,因為/(x)是定義在R上的奇函數，

所以/(x)=~f(-x)=—13(-尤)2-2(—x)]=-3尤2—lx.

故答案為：—3x2—2x.

17.-1(-00,+oo)

【分析】代入求出函數值；利用分段函數單調性求出遞增區間.

fy>Q

【詳解】函數/。)='，一C，則/⑴+/(-1)=12+(_1_1)=一1；

[x-l,x<0

函數y=x-1在(-*0)上單調遞增,y=/在[0,+8)上單調遞增，

而當尤<0時，/(%)<-1<0=/(0),

所以函數/(無)的單調遞增區是(-8,+8).

故答案為：-1;(-℃,+℃)

18.[2A/5,+CO)

【分析】先對函數在每一段上分別討論，最后再求交集即可；因為(0,2)=4,只需函數最大值大于等于2

即可，再由對左分情況討論即可.

【詳解】答題空1：若"》)圖像恒在x軸下方，則恒成立，

當x40時，只需％+1<0=左<一1,

當x>0時，/(x)=-x2+fcr=-^-|J+^,"0)=0,只需gwO,即ZWO；

綜上：人的取值范圍是

答題空2：當xVO時，f(x)^k,k+\\.

當x>0時，/(x)=-x2=+?

若耳4。即％<0時，y=—x(x—左)在(0,+(?)上單調遞減，ye(Yo,0),

此時A=(-co,0)。(左，左+1]；

若：>0即人>0時，y=f(x-左)在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，

故在x=q處取得最大值9,此時A=卜與J太上+1]；

(、[kMOk>Q「

要使(0,2)屋A,只需1+k>2,此時無解；或者/，解得k22血

1一—>2

14

故答案為：(-8,-1)；12亞,+00)

「11]

19.

33」

【分析】由題意可知函數/(%)為R上單調遞增，根據奇函數性質結合函數單調性運算求解即可.

【詳解】因為函數/(無)為R上的奇函數，且在[0,+8)上單調遞增，

則函數/(X)在(Y,0］上單調遞增，可知函數/(X)為R上單調遞增,

且/⑵=1,/(0)=0,則/(一2)=-1,

^-l</(3x-l)<0,BP/(-2)<f(3x-l)</(0),

可得—2V3x-lV0,解得

所以x的取值范圍是.

故答案為：-

20.(3,+co)

【分析】根據根式、分式的意義列式求解即可.

【詳解】令x-3>0,解得x>3,

所以函數/(x)=的定義域為(3,+8).

故答案為：(3,+8).

21.[-1,0]口[1,3]

【解析】先根據函數的奇偶性和單調性得到當xe(-8,-2)時，/(x)>0；當x=-2時，/(元)=0；當

xw(-2,0)時，/(%)<0；當x=0時，/(%)=0；當xe(0,2)時，/(%)>0；當x=2時，/(x)=0；當

xe(2,+s)時，/?<0；再根據函數圖象的平移得到當xe(-8,-1)時，/(%)>0;當x=—l時，

f(x)=0；當xe(-U)時，f(x)<0；當x=l時，f(x)=0；當xe(l,3)時,f(x)>0；當x=3時，

/W=0；當xe(3,+s)時，/(x)<0；最后求解不等式的范圍.

【詳解】解：因為函數/(x)是奇函數，且/(2)=0,

所以/(-2)=0,又因為奇函數f(x)在(-*0)單調遞減，

當xe(-oo,-2)時，/(%)>0；當x=—2時，f(x)=0；當尤w(-2,0)時，/(x)<0；當尤=0時，/(x)=0；

當—0,2)時，/(^)>0；當x=2時，/(%)=0；當xe(2,+co)時，/(%)<0；

函數/(x-1)的圖象是將函數f(x)的圖象向右平移1個單位得到，

所以當尤時，/(x)>0；當x=-L時，/(x)=0；當xe(-M)時,/?<0;當x=l時，

f(x)=0；當xw(l,3)時，/(%)>0；當x=3時，/(x)=0；當xe(3,+oo)時，/(x)<0；

因為滿足#(xT)20,所以x與/(尤-1)同號或為零，

所以當尤時，/(x)<0,符合題意；當xe[l,3]時，/(%)>0；

故答案為：[—1,0]31,3]

【點睛】本題考查了抽象函數解不等式問題，結合奇偶性和單調性分類得出不等式的解集，是中檔題.

22.(1)2

⑵(i)證明見解析；(ii)[-1,3]

【分析】(1)直接將x=0和尤=2代入f(x)的表達式求出/(0)與/(2),再求和.

(2)(i)要證明函數g(x)的圖象關于點(2,-3)對稱，需利用函數圖象關于點對稱的性質進行證明.(ii)先

求出g(x)在［-4,1］的值域，再根據條件得出f(x)在［0,2］的值域與g(x)在［-4,1］的值域的關系，進而求出a

的取值范圍.

【詳解】(1)解：因為函數/(尤)的圖象關于點(U)對稱，

所以/(x)+/(2xl—x)=2xl,所以/(O)+〃2)=2

3x

(2)⑴因為g(尤)=^—,xe(-oo,2)u(2,+(?),

2—九

所以g("x)=n匕⑹.

X—2

所以g(尤)+g(4—x)=占+3(4：；)=6(芍)=_6,

即對任意xelfoZuQy)，都有g(x)+g(4-x)=-6成立.

故g(x)的圖象關于點(2,-3)對稱；

Qv￡

(ii)因為g(x)=7—=——--3,所以g(x)在區間［＜1］上單調遞增,

所以g⑺在區間H，l］上的值域為［-2,3］.

記了⑺在［0,2］上的值域為集合氏/⑴在［0,1］上的值域為集合C.

由于對任意為e［0,2］,總存在%G［-4,1］,使得/a)=g(w)成立，

所以31［-2,3］.

由的對稱性可知，只需C=［-l,3］

①當晟40,即aVO時，函數“X)在［0』上單調送增，

因為Ca［T3］,〃l)=l,所以"0)=411

所以—lVaWO.

②當0＜彳＜1,即0＜”2時，〃x)在卜,凡上單調遂減，在R1］上單調遞增，

\"OHC心

因為=所以"曰"］，即］-4。

＜

解得I2正Wa32+2獷又因為。＜"2,

所以0＜〃＜2.

③當WnI,即“22時，函數“X)在［0,1］上單調遞減，

所以〃0)=。＜3,

結合。22,得2Va<3.

綜上，實數。的取值范圍為卜1,3］.

23.(1)6

⑵證明見解析.

【分析】(1)根據二次函數性質求解；

(2)利用韋達定理把不等式左邊表示為，〃的函數，再結合基本不等式可證.

【詳解】(1)/(x)=x2-2/wc+1=(x-m)2+1-m2,

所以“X)min=l-/=T，解得*夜(負值舍去)；

(2)由題意/(%)=%2一如+1=0的兩根為玉,工2且無1W%2，

所以因為根>0,故解得m>2,

再+%2=加,石馬=1，

Lc、rd+x：+6(x+x)2-2xx+6m2+44IW.

所以」——?——=」——9二----」9——=-----=m+—>2m?一=4,

m

玉+%2%m\m

4

當且僅當根=—,即機=2時等號成立.

m

24.⑴最小值為3,最大值為7.

【分析】(1)根據二次函數的性質得出最值；

(2)根據函數不單調列不等式計算求參；

(3)解法1：分A=。及△>()兩種情況分類討論求零點或結合零點存在定理計算范圍；解法2：先計算對

稱軸為x=t，再分〃-1)=0,/(2)=0及〃-1)〃2日0,結合零點存在定理計算求解.

【詳解】(1)當。=1時，/(X)=X2-2X+4,

所以/(%)的對稱軸為x=l,

所以/(x)在區間［0,3］上的最小值為了⑴=3,最大值為/⑶=7.

(2)由己知，得了(X)的對稱軸為x=

因為〃x)在區間［1,4］上不單調，

所以1<與<4.

a

2

由〃>0,解得

故0的取值范圍是(I，1：

(3)解法1：由已知，得△=(2a—4)2—4a(5—a)=4(2a—l)(a—4).

1)當△=()即。=J，或a=4時，

2

由得=-3x+g,此時/(x)的零點為3,不符合題意：

由a=4,^/(X)=4X2+4X+1,此時〃x)的零點為-g,符合題意.

2)當△>()即0<。<,，或a>4時，

2

①若“>4,止匕時/("的對稱軸x=T=

且/⑵=7。-3>0

所以“X)在區間(-1,2)內存在零點，符合題意

②若0<。<]，止匕時/(%)的對稱軸x=N=2-ie(3,+e),

2aa

所以“X)在區間(-1,2)內單調遞減.

又因為〃T)=9-2a>0,

所以/(x)在區間(-1,2)內存在零點只需滿足"2)=7a-3<0,

3

解得0<。<亍

綜上，”的取值范圍是/g]u[4,+x).

解法2：由已知，得/(-1)=9-2a,/⑵=7a-3J(力的對稱軸為戶個

A=(2a-4)2-4a(5-a)=4(2a-l)(a-4).

1)當/'(T)=C^Pa=g時，/(X)=|X2+5X+1,

此時在區間(-1,2)內有零點為-g,符合題意.

2)當〃2)=0即°=、時，以x)=￥-qx+專

此時〃x)在區間(-1,2)內無零點，不符合題意，

3)當⑵H0即且aw1時，

由4》)在區間(-1,2)內存在零點，則有以下兩種情況：

ag

①〃一1)/(2)<0,解得或

/(2)>0,

,2-ac解得44.<彳.

-1<------<2,2

a

A>0.

綜上，。的取值范圍是(0：［口［4,+8).

【點睛】關鍵點點睛：解題的關鍵點是應用零點存在定理列不等式關系計算求參.

25.(1)答案見解析

(2)

【分析】(1)由原不等式可得x(x+b-2)>0,對6分三種情況討論，分別利用二次不等式的解法即可

得解；

(2)/(x)>2x+2m+l恒成立等價于77Z<Y-3X+1在區間［-1,1］上恒成立，令g(x)=f—3x+l,結

合二次函數的性質即可求解.

【詳解】(1)f(x)+2bx-3>0,即為2/一4%+3+2笈-3>0,

艮fix?-2尤+6元>0可得了(彳+6—2)>。,

令x(x+b-2)=0可得x=0或x=2-〃,

當2-Z?vO,即b>2時，％>0或x<2—/?；

當2—b=0,即/?=2時，%W0；

當2—人>0,即b<2時，x>2-b^x<0,

綜上，當匕>2時，不等式的解集為｛x|x〉O或彳<2-耳；

當6=2時，不等式的解集為｛xlxwO｝；

當6<2時，不等式的解集為｛x|x〉2-6或無<0｝；

(2)因為當時，f(<x)>2x+2m+l恒成立,

即當時，2x2-4x+3>2x+2〃?+l恒成立，

即當時，機<爐—3x+l恒成立，

設函數g(^)=x2-3x+l,xe［-l,l］,

則g(x)在區間［T』上單調遞減，

所以g(無)在區間［T』上的最小值為g⑴=T，

所以m<-1,

故實數機的取值范圍為(一8,-1)

26.⑴y=520（爪+—）,0<x<100；

尤

（2）答案見解析.

【分析】（1）根據給定條件，求出貨車每小時的運輸成本及行駛時間即可得函數關系.

（2）借助對勾函數單調性探討最小值，即可得解.

520

【詳解】（1）依題意，貨車每小時的運輸成本的可變成本為日2,固定成本為400元，行駛時間一小

x

時，

所以>=型（近2+400）=520（立+螞，0<x<100.

XX

1222020

（2）由（1）知，_,k、在（°，下）上單調遞減，在（下，+8）上單調遞增,

x

20120

而0<xV100,貝。當天41。。，即左2不時，彳=五，y取得最小值；

201

當下>100,即0<左<一時，=ioo,y取得最小值，

?25%

120

所以當上2e時，貨車應以kkm/h的速度行駛，全程運輸成本最小；

25Jk

當0<左<!時，貨車應以1°。km/h的速度行駛，全程運輸成本最小.

27.（l）18170m/s；

（2）6.6

【分析】（1）將給定數據代入公式計算即得；

（2）利用給定信息列出不等式求解.

【詳解】（1）依題意，v=voln=7900In10?7900x2.30=18170m/s.

MM

⑵技術改進前的理想速度”=%ln才=79001n才,

M

技術改進后的理想速度%=2%ln/=2x7900In—

MJ

要使火箭的理想速率至少增加3950m/s，

MM即4喘-21臥,

則%-%=2x79001n一”一79001n—23950,n

1

722MkMk

4In—--41n2-21n--

MMk

M1+4M2

2ln4

所以才Ne=e2-e=4^^6.6,

所以該火箭在技術和材料改進前的質量比為6.6

28.（1）3={—2,0,2},不存在，理由見解析

（2）證明見解析

（3）答案見解析

【分析】（1）根據“尸函數”的定義寫出集合3并判斷即可；

（2）假設不存在無eA使得p（x）=f,即對于任意xeA都有p（尤）得出與假設矛盾即可；

（3）利用“P函數”的定義，結合已知條件“對于任意xeA,都有尤”，討論當〃為奇數時，集合A的

情形有①〃個奇數，0個偶數；②。個奇數，”-1個偶數；③，個奇數，"-1個偶數；當〃為偶數時，集合

A的情形有①”-1個奇數，。個偶數；②。個奇數，〃個偶數；③〃-1個奇數，〃個偶數即可.

【詳解】（1）8={-2,0,2}.

從集合A到集合8不存在“尸函數”，理由如下：

因為集合A中的元素均為奇數，集合B中的元素均為偶數，

任取xeA,y^B,則x+y為奇數，不合題意，

所以從集合A到集合B不存在“P函數”；

（2）假設不存在尤eA使得p（x）=-x,

即對于任意尤eA都有p（x）/-X.

因為。（無）是8中唯一確定的數，使得x+P（x）為偶數，所以-xeA.

設aeA為奇數，則-aeA,設O（a）eB是奇數.

若-p（a）wB,貝與a+[-p（。）]均為偶數，不合題意，所以-p（a）eA,

又因為-P（a）e4，所以0（a）=-[-p（4）]eA,與矛盾.

所以存在xeA使得p（尤）=-尤；

（3）當“為奇數時，集合M中共有”+1個奇數，〃個偶數，

因為對于任意尤eA,在集合B中有唯一確定的數九

使得為偶數，且都有p（x）Zx.

根據奇數與奇數的和為偶數，偶數與偶數的和為偶數，

集合A有以下三種不同的情形：

①”個奇數，。個偶數；

②。個奇數，1個偶數；

③〃個奇數，77-1個偶數；

因為對于任意xeA,都有p（x）Nx,集合A中元素必然選擇奇數或偶數中較小的元素，

即neBS.n-le：B.

所以有當4={—九,—〃+2,—〃+4,—2},

B={—71+1,—〃+3,—n+5,1,0,2,4,,n—1,〃}時,

對于任意xeA,在集合8中有唯一確定的數y=〃，使得x+y為偶數，

且滿足題意；

當A={—77+1,―九+3,—/??+5,■,0,2,■,n—3},

B={—n,—〃+2,—〃+4,■,—1,1,3,■■,??-2,〃—

對于任意xeA,在集合8中有唯一確定的數y=〃-l,使得x+y為偶數，

且滿足題意；

當A={—M,—〃+1,—〃+2,,,—1,0,1,,〃—4,〃—3,〃—2},

3={〃-1,〃}時，

對于任意奇數xeA,在集合3中有唯一確定的'=使得x+y為偶數，

Mp(x)>x,滿足題意;

對于任意偶數xeA,在集