上海市附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下冊(cè)3月月考數(shù)學(xué)試卷附解析

/上海市附屬中學(xué)2024_2025學(xué)年高三下冊(cè)3月月考數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共12小題）1．已知集合，則.2．復(fù)數(shù)的虛部為.3．函數(shù)的定義域?yàn)椋?．過(guò)點(diǎn)，兩點(diǎn)的直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則的值為.5．已知扇形的半徑為，周長(zhǎng)為，則其面積為.6．已知某獨(dú)立性檢驗(yàn)中，由，計(jì)算出，若將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)分別變成，計(jì)算出的，則是的多少倍.7．無(wú)窮等比數(shù)列滿(mǎn)足：，，則的各項(xiàng)和為．8．已知均為常數(shù)，對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，則.9．設(shè)，若實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，且函數(shù)的圖像可以無(wú)限接近直線(xiàn)但又永遠(yuǎn)不相交，則不等式的解集為．10．已知，分別為雙曲線(xiàn)C：的左、右焦點(diǎn)，過(guò)作C的兩條漸近線(xiàn)的平行線(xiàn)，與漸近線(xiàn)交于兩點(diǎn).若，則C的離心率為.11．對(duì)于，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.12．已知平面向量滿(mǎn)足，若，且，則的最小值為.二、單選題（本大題共4小題）13．對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得以下散點(diǎn)圖，則其相關(guān)系數(shù)值最大的是（

）A．r1 B．r2 C．r3 D．r414．已知是兩個(gè)不共線(xiàn)的單位向量，向量（）．“，且”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件15．已知是直二面角，直線(xiàn)在平面上，直線(xiàn)在平面上.若、均與既不平行，也不垂直，則與的位置關(guān)系是（

）A．可能垂直，也可能平行 B．可能垂直，但不可能平行C．不可能垂直，但可能平行 D．既不可能垂直，也不可能平行16．設(shè)無(wú)窮正數(shù)數(shù)列，如果對(duì)任意的正整數(shù)，都存在唯一的正整數(shù)，使得，那么稱(chēng)為“內(nèi)和數(shù)列”，并令，稱(chēng)為的“伴隨數(shù)列”，下列四個(gè)命題：①若為等差數(shù)列，則為內(nèi)和數(shù)列②若為等比數(shù)列，則為內(nèi)和數(shù)列③若內(nèi)和數(shù)列為遞增數(shù)列，則其伴隨數(shù)列為遞增數(shù)列④若內(nèi)和數(shù)列的伴隨數(shù)列為遞增數(shù)列，則為遞增數(shù)列其中真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)三、解答題（本大題共5小題）17．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；(2)如果函數(shù)在上的零點(diǎn)從小到大排列后構(gòu)成數(shù)列，求的前12項(xiàng)和.18．如圖，空間幾何體由兩部分構(gòu)成，上部是一個(gè)底面半徑為1的圓錐，下部是一個(gè)底面半徑為1，高為2的圓柱，圓錐和圓柱的軸在同一直線(xiàn)上，圓錐的下底面與圓柱的上底面重合.設(shè)P是圓錐的頂點(diǎn)，AB是圓柱下底面的一條直徑，AA1、BB1是圓柱的兩條母線(xiàn)，C是圓弧AB的中點(diǎn).(1)若圓錐的側(cè)面積是圓柱的側(cè)面積，求該幾何體的體積；(2)若圓錐的高為1，求直線(xiàn)PB1與平面PAC所成角的大小.19．為了檢查一批零件的質(zhì)量是否合格，檢查員計(jì)劃從中依次隨機(jī)抽取零件檢查：第次檢查抽取號(hào)零件，測(cè)量其尺寸(單位：厘米).檢查員共進(jìn)行了100次檢查，整理并計(jì)算得到如下數(shù)據(jù)：，，.(1)這批零件共有1000個(gè).若在抽查過(guò)程中，質(zhì)量合格的零件共有60個(gè)，估計(jì)這批零件中質(zhì)量合格的零件數(shù)量；(2)若變量與存在線(xiàn)性關(guān)系，記，求回歸系數(shù)的值；(3)在抽出的100個(gè)零件中，檢查員計(jì)劃從中隨機(jī)抽出20個(gè)零件進(jìn)行進(jìn)一步檢查，記抽出的20個(gè)零件中有對(duì)相鄰序號(hào)的零件，求的數(shù)學(xué)期望.示例零件序號(hào)為“1、2、4、5”與“1、2、3、5”時(shí)均恰有2對(duì)相鄰序號(hào)的零件.參考公式：（1）線(xiàn)性回歸方程：，其中，.（2）期望的線(xiàn)性性質(zhì)：，其中是若干隨機(jī)變量.20．如圖，已知橢圓與橢圓有相同的離心率，點(diǎn)在橢圓上．過(guò)點(diǎn)的兩條不重合直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，與橢圓相交于和四點(diǎn)．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求證：；(3)若，設(shè)直線(xiàn)的傾斜角分別為，求證：為定值．21．已知，若對(duì)于給定的及平面上一點(diǎn)，函數(shù)的圖像上存在與不同的一點(diǎn)，使得直線(xiàn)為函數(shù)在點(diǎn)的切線(xiàn)，則稱(chēng)點(diǎn)具有“性質(zhì)”.(1)判斷點(diǎn)是否具有“性質(zhì)”，并說(shuō)明理由；(2)證明：“點(diǎn)具有‘性質(zhì)’”的充分必要條件是“”；(3)若對(duì)于任意的非零實(shí)數(shù)，直線(xiàn)上的所有點(diǎn)均具有“性質(zhì)”，求實(shí)數(shù)的值.

答案1．【正確答案】-1【詳解】由題意得，，解得或，當(dāng)時(shí)，集合為，不滿(mǎn)足集合中元素的互異性，舍去，當(dāng)時(shí)，集合為，滿(mǎn)足題意.2．【正確答案】/【詳解】依題意，，所以所求虛部為.3．【正確答案】【詳解】對(duì)于函數(shù)，有，解得.故函數(shù)的定義域?yàn)?4．【正確答案】2【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率為2，所以，所以.5．【正確答案】【詳解】因?yàn)樯刃蔚陌霃綖?，周長(zhǎng)為，所以扇形的弧長(zhǎng)所以扇形的圓心角等于，則扇形的圓心角的弧度數(shù)為．根據(jù)扇形面積公式.6．【正確答案】4【詳解】因?yàn)?，所?7．【正確答案】【詳解】設(shè)無(wú)窮等比數(shù)列的公比為，的前項(xiàng)和為，則，解得或，當(dāng)時(shí)，解得，所以，所以；當(dāng)時(shí)，解得，所以，所以；綜上可得的各項(xiàng)和為.8．【正確答案】20【詳解】即，所以.所以即為展開(kāi)式中的的系數(shù).所以.9．【正確答案】或【詳解】解：因?yàn)橼吔鼤r(shí)，趨近于0，所以趨近時(shí)，趨近于，所以，所以，所以，所以不等式可化為，又因?yàn)槭菧p函數(shù)，所以，解得或.10．【正確答案】/【詳解】根據(jù)雙曲線(xiàn)C：的對(duì)稱(chēng)性以及其兩條漸近線(xiàn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，不妨設(shè)M在第一象限，可知點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，則，設(shè)，則，即，則，由題意得直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，即得，故,則，所以C的離心率為.11．【正確答案】【詳解】依題意，任意的均使得有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，令0，得，記函數(shù)，即與直線(xiàn)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，若的值域不是，設(shè)的值域?yàn)椋瑒t，使得，矛盾，所以的值域?yàn)?，且為單調(diào)函數(shù)（否則與直線(xiàn)存在至少兩個(gè)交點(diǎn)），所以恒有或，易得，當(dāng)且時(shí)，有，所以恒有，得恒成立，記，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以的最大值為，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.12．【正確答案】【詳解】如下圖所示，設(shè)，，，，，，因?yàn)椋?，因此點(diǎn)在直線(xiàn)上，又由于，因此是的角平分線(xiàn)，因此點(diǎn)是直線(xiàn)與的角平分線(xiàn)的交點(diǎn).根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)可.過(guò)點(diǎn)作的平行線(xiàn)交于點(diǎn)，則.因此點(diǎn)在以為圓心，半徑為2的圓上運(yùn)動(dòng)由于，由此當(dāng)直線(xiàn)相切于時(shí)，有最大值，有最小值.設(shè)此時(shí)切點(diǎn)為，則，，故.綜合上述，的最小值為.13．【正確答案】A【詳解】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義知，越接近于1關(guān)聯(lián)性越強(qiáng)，結(jié)合圖象知，第一、三兩幅圖為正相關(guān)，且第一幅圖的相關(guān)性較強(qiáng)，所以，又因?yàn)榈诙?、四幅圖變量之間為負(fù)相關(guān)，且第二幅圖的相關(guān)性較強(qiáng)，所以，故選：A．14．【正確答案】A【詳解】當(dāng)，且時(shí)，，充分性滿(mǎn)足；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，是可以大于零的，即當(dāng)時(shí)，可能有，，必要性不滿(mǎn)足，故“，且”是“”的充分而不必要條件.故選A.15．【正確答案】D【詳解】①假設(shè)，因?yàn)榕c既不垂直，也不平行，所以，過(guò)在內(nèi)作直線(xiàn)，如圖所示：因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，，所以，，所以這與與既不垂直，也不平行矛盾，故假設(shè)不成立，所以與不垂直，同理與也不垂直；②假設(shè)，則，，，所以，這與和與既不垂直，也不平行矛盾，故假設(shè)不成立，所以與不平行．綜上所述，與的位置關(guān)系是既不可能垂直，也不可能平行．故選D．16．【正確答案】B【詳解】對(duì)于命題①、②：例題，可知即為等差數(shù)列也為等比數(shù)列，則，但不存在，使得，所以不為內(nèi)和數(shù)列，故①、②錯(cuò)誤；對(duì)于命題③：因?yàn)?，?duì)任意，，可知存在，使得，，則，即，且內(nèi)和數(shù)列為遞增數(shù)列，可知，所以其伴隨數(shù)列為遞增數(shù)列，故③正確；對(duì)于命題④：例如，顯然是所有正整數(shù)的排列，可知為內(nèi)和數(shù)列，且的伴隨數(shù)列為遞增數(shù)列，但不是遞增數(shù)列，故④錯(cuò)誤；故選B.17．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）.令得.因此，函數(shù)的減區(qū)間是.（2）函數(shù)的最小正周期為，當(dāng)時(shí)，，令，即，故或，解得或，所以函數(shù)在上的零點(diǎn)分別為，.所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，則所以的前12項(xiàng)和為.18．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為，圓錐的高為.已知圓錐底面半徑，圓柱底面半徑，圓柱高.圓錐側(cè)面積，圓柱側(cè)面積.因?yàn)閳A錐的側(cè)面積是圓柱的側(cè)面積，所以，解得.根據(jù)圓錐的母線(xiàn)，底面半徑，由勾股定理可得圓錐的高.圓錐體積.圓柱體積.該幾何體的體積.（2）因?yàn)閳A錐的高為，底面半徑為，所以圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng).以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，.，，.設(shè)平面的法向量.則，令，則，，所以.設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為.則.所以直線(xiàn)與平面所成角.19．【正確答案】(1)600個(gè)(2)(3)個(gè)【詳解】（1）因?yàn)樵谶@100個(gè)零件中，合格的零件為60個(gè)，故質(zhì)量合格的零件所占樣本比例為.而在這1000個(gè)零件中，質(zhì)量合格的零件數(shù)為：(個(gè)).（2）由可得，，又因?yàn)椋?，因此可?代入數(shù)據(jù)可得.（3）用表示抽查的結(jié)果，若第個(gè)零件與第個(gè)零件被選中，則記；若結(jié)果是其余情況，則記，.由線(xiàn)性期望的性質(zhì)可得：(個(gè)).20．【正確答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析；(3)，證明見(jiàn)解析.【分析】（1）由離心率和橢圓上的點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）要證，只需證，通過(guò)直線(xiàn)與橢圓聯(lián)立方程組，由韋達(dá)定理和兩點(diǎn)間距離公式證明；（3）由題意有，由韋達(dá)定理和距離公式化簡(jiǎn)得，由題意，所以，可得.【詳解】（1）由題意知，兩橢圓有相同的離心率，則有，，又點(diǎn)在橢圓上，有，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）要證，即證，設(shè)，當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，由橢圓對(duì)稱(chēng)性可知成立，當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，則方程為，由得，，由得，，得，所以，，，則有，所以與等底等高，有.（3）由（2）可知，同理有，由，可得，則有，設(shè)直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)方程為，設(shè)，由得，，，，所以，即，化簡(jiǎn)得，即，由題意，所以，所以.21．【正確答案】(1)具有，理由見(jiàn)詳解(2)證明見(jiàn)解析(3)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，故，于是過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)方程為：，把點(diǎn)坐標(biāo)代入上面切線(xiàn)方程，化簡(jiǎn)得：，因?yàn)楹愦笥?，故，所以存在點(diǎn)，故點(diǎn)具有“性質(zhì)”；（2）當(dāng)時(shí)，，故，必要性：，整理得：，故，整理得：，特別地，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重