2025年中考數學考點過關練：圖形的對稱、平移與旋轉

第24關圖形的對稱、平移與旋轉

基礎練

考點1圖形的對稱

1.[2024重慶B卷]下列標點；符號中，是軸對稱圖形的是（）

?I,?/??

ABCD

2.[2024湖南長沙]下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

?o?@

ABCD

3.[2024廣東廣州]下列圖案中，點O為正方形的中心，陰影部分的兩個三角形全等，則陰影部分的兩個三角

形關于點。對稱的是（）

4.[2024內蒙古通遼]剪紙是我國民間藝術之一，如圖放置的剪紙作品，它的對稱軸與平面直角坐標系的坐標軸

重合，則點A（-4,2）關于對稱軸對稱的點的坐標為（）

A.(-4,-2)B.(4,-2)

C.(4,2)D.(-2,-4)

5.[2024福建]小明用兩個全等的等腰三角形設計了一個“蝴蝶”的平面圖案，如圖.其中△OAB與4ODC都是等

腰三角形且它們關于直線1對稱，點E,F分別是底邊AB,CD的中點OELOF.下列推斷錯誤的是（）

A.OB±OD

B.ZBOC=ZAOB

C.OE=OF

D.ZBOC+ZAOD=180°

6J2024甘肅］圍棋起源于中國，古代稱為“弈”.如圖是兩位同學的部分對弈圖，輪到白方落子，觀察棋盤，白方

如果落子于點的位置，則所得的對弈圖是軸對稱圖形.(填寫A,B,C,D中的一處即可，A,B,C,D位

于棋盤的格點上)

7.［2024上海］在平行四邊形ABCD中,NABC是銳角，將CD沿直線1翻折至AB所在直線，對應點分別為C,

D',若AC':AB:BC=1:3:7,貝(IcosZABC=.

8.［2024河南］如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD的邊AB在x軸上，點A的坐標為(-2,0),點E在邊C

D上將△BCE沿BE折疊，點C落在點F處.若點F的坐標為(0,6),則點E的坐標為.

考點2圖形的平移

1

9.［2024山東威海］定義新運算：

①在平面直角坐標系中，la,b|表示動點從原點出發，沿著x軸正方向(aK))或負方向(a<

0)平移|a|個單位長度，再沿著y軸正方向(bN

。)或負方向(b<0)平移|b|個單位長度.例如，動點從原點出發，沿著x軸負方向平移2個單位長度，再沿著y軸正

方向平移1個單位長度，記作卜2,1}.

②加法運算法則：|a,b}+|c,d}=|a+c,b+d|其中a,b,c,d為實數.

若|3,5|+|m,n|=|-l,2},則下列結論正確的是()

A.m=2,n=7B.m=-4,n=-3

C.m=4,n=3D.m=-4,n=3

10J2024江西］在平面直角坐標系中，將點A(l,l)向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度得到點B,

則點B的坐標為.

”.［2024內蒙古興安盟］如圖，點A(0,-2),B(l,0),將線段AB平移得到線段DC,若/ABC=9(T,BC=2AB,則點D

的坐標是.

第II題圖第13題圖

考點3圖形的旋轉

12.［2024山東泰安］下面圖形中，中心對稱圖形的個數為()

A.lB.2C.3D.4

13.［2024湖北］如圖.點A的坐標是(-4,6),將線段OA繞點O順時針旋轉90。，點A的對應點的坐標是

()

A.(4,6)B.(6,4)

C.(-6,-4)D.(-4,-6)

14.［2024天津］如圖,△ABC中,/B=30。,將△ABC繞點C順時針旋轉60。得到△DEC點A,B的對應點分別為D,

E,延長BA交DE于點F,下列結論一定正確的是()

A.ZACB=ZACDB.AC〃DE

C.AB=EFD.BF±CE

15.［2024山東濱州］一副三角板如圖1擺放，把三角板AOB繞公共頂點O順時針旋轉至圖2,即AB〃OD時,

N1的大小為°.

圖1圖2

16.［2024四川瀘州］定義：在平面直角坐標系中，將一個圖形先向上平移a（a>0）個單位，再繞原點按逆時針方向

旋轉。角度，這樣的圖形運動叫做圖形的p（a,O）變換如:點A（2,0）按照p（1,90。）變換后得到點A的坐標為（-1,2）,則點B

（次,-1）按照p（2,105。）變換后得到點B的坐標為.

17.［2024江蘇鹽城］如圖，在△ABC中,NACB=9（r,AC=BC=2夜，點D是AC的中點，連接BCD繞

點B旋轉得到^BEF.連接CF,當CF〃AB時,CF=.

18.［2024黑龍江龍東地區］如圖，在RtAABC中，乙4cB=90°,tanz5XC=|,BC=2,AD=1線段AD繞點A

旋轉，點P為CD的中點，則BP的最大值是_______.

19.［2024江蘇鹽城］下列四幅圖片中的主體事物，在現實運動中屬于翻折的是（）

工作中的雨刮褓移動中的黑板

B

折疊中的紙片騎行中的自行車

CD

20J2024四川自貢］我國漢代數學家趙爽在他所著《勾股圓方圖注》中，運用弦圖（如圖所示）巧妙地證明了勾股

定理“趙爽弦圖”曾作為2002年第24屆國際數學家大會的會徽圖案.下列關于，趙爽弦圖”說法正確的是（）

A.是軸對稱圖形

B.是中心對稱圖形

C.既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形

D.既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形

21.[2024遼寧錦州校級模擬]下列圖形中可以由一個基礎圖形通過平移變換得到的是（）

ABCD

22.[2024四川眉山]如圖,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,點E在DC上把△ADE沿AE折疊，點D恰好落在BC

邊上的點F處,則cos/CEF的值為（）

A.17/4B.V73C.-D.-

44

23.[2024四川自貢]如圖,在矩形ABCD中,AF平分/BAC,將矩形沿直線EF折疊，使點A,B分別落在邊A

D,BC上的點A：B處,EF,AF分別交AC于點G,H.若GH=2,HC=8,則BF的長為（）

20V220V3r5V3

D.C.

9--------------9---------------------2

24.[2024山東濰坊二模]如圖，等邊△ABO的邊長為6,以O為坐標原點，AO所在的直線為x軸建立平面直角

坐標系，點B在第二象限，將4ABO沿x軸正方向平移得到△ABO,AE與BO交于點C,若AC=（4"，則B'

的坐標為.

25.[2024遼寧沈陽校級模擬]如圖，兩個直角三角尺ABC與CDE按如圖所示的方式擺放，其中NB=/D=30。,

ZACB=ZECD=90°,AC=CE=福，且A,C,D共線，將△DCE沿DC方向平移得到△DCE,若點E落在AB上,則平

移的距離為.

26.[2024山東濟寧二模]如圖,△ABC中,AB=AC,NA=40。,射線CP從CA的位置開始繞點C逆時針旋轉(?

(00<a<70。),，與AB相交于點口,將4ACD沿CP所在直線翻折至4A1CD處,CA，與AB相交于點E.若^A'DE

27.[2024江蘇連云港]如圖，將一張矩形紙片ABCD上下對折，使之完全重合，打開后，得到折痕EF,連接

BF.再將矩形紙片折疊，使點B落在BF上的點H處，折痕為AG.若點G恰好為線段BC最靠近點B的一個五

等分點，AB=4,則BC的長為.

28.[2024廣東深圳二模]在直角坐標系中，將4ABC進行平移變換，變換前后點的坐標的情況如表：

變換前△ABCA(l,l)B(4,l)C(4,5)

變換后△A'B'C,A'(6,3)B'(9,3)c，

(1)平移后點C的坐標是并在直角坐標系中畫出4A'B'C;

(2)若P(nl,n)是△ABC內一點,通過上述平移變換后，點P的對應點P1的坐標可表示為：

(3)連接BB；CC,則四邊形BB'C'C的形狀是_____________其面積為.

0

9

8

7

6

5

4

3

2

1

29.［2024四川南充］如圖,在矩形ABCD中,E為AD邊上一點NABE=30。,將△ABE沿BE折疊得AFBE,連接C

F,DF若CF平分/BCD,AB=2,則DF的長為.

第29題圖第30題圖

30.［2024四J11成都］如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知A(3,0),B(0,2),過點B作y軸的垂線1,P為直線1上一

動點，連接PO,PA,則PO+PA的最小值為.

31.［2024河南］如圖，在RtAABC中,/ACB=9(T,CA=CB=3線段CD繞點C在平面內旋轉，過點B作AD的

垂線,交射線AD于點E.若CD=1,則AE的最大值為最小值為

32.［2024山東臨沂二模］如圖，將邊長為1的等邊△OAB以B為圓心順時針旋轉120。,同時邊長都加1得到△

01AiB,此為第一次變換，再將△OiAiB以Ai為圓心順時針旋轉120。,同時邊長都加1得到△O2A】B］，此

為第二次變換，依次類推，按照這樣的變換方式進行下去，當進行到第6次變換后，O點的對應點的坐標為

33.［2024安徽］如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中建立平面直角坐標系xOy,格點(網格線

的交點)A、B、C、D的坐標分別為(7,8),(2,8),(10,4),(5,4).

⑴以點D為旋轉中心，將AABC旋轉180。得到△AiBig畫出△A、BtCx;

(2)直接寫出以B,Ci,B1，C為頂點的四邊形的面積；

(3)在所給的網格圖中確定一個格點E,使得射線AE平分NBAC,寫出點E的坐標.

34.[2024黑龍江龍東地區]如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長都是1個單位長度，在平面直角坐標

系中，△ABC的三個頂點坐標分別為A(-l,l),B(-2,3),C(-5,2).

⑴畫出△ABC關于y軸對稱的小AiBiJ,并寫出點Bx的坐標；

⑵畫出△ABC繞點A逆時針旋轉90。后得到的小AB2C2，并寫出點B2的坐標；

⑶在⑵的條件下，求點B旋轉到點B2的過程中所經過的路徑長(結果保留7T).

35.[2024山東泰安]如圖1,在等腰RtAABC中,NABC=9(T,AB=CB點D,E分別在AB,CB上,DB=EB,連接AE,

CD,取AE中點F,連接BF.

(1)求證:CD=2BF,CD±BF.

(2)WADBE繞點B順時針旋轉到圖2的位置.

①請直接寫出BF與CD的位置關系：;

②求證:CD=2BF.

第24關圖形的對稱、平移與旋轉

1.A2.B3.C

4.C

5.B解析:由題意知OA=OB,OC=OD/AOB=NCOD.

?.E,F分別是AB,CD的中點,

11

ZAOE=NEOB=*。B,NCOF=NFOD=：NCOD,

..NAOE=NEOB=NCOF=NFOD.

?.OE±OF,

.?.zEOB+zBOF=90°,

..NFOD+NBOF=90°,即OB^OD,故

A中推斷正確.

?.OB±OD,

NBOC+NCOD=NBOC+NAOB=90°,無法證明NBOC=NAOB,故B中推斷錯誤.

"OAB當ODC,點E,F分別是底邊AB,CD的中點

.■QE=OF,故C中推斷正確.

?.zBOC+zCOD=zBOC+zAOB=90°,

zBOC+zCOD+ZBOC+ZAOB=180。,即NBOC+NAOD=180。,故D中推斷正確.

6.A（或C）

72

解析根據AC':AB:BC=1:3:居不妨設AC=1,AB=3,BC=7,

當C在線段AB上時，如圖，設直線I與BC交于點F,

由翻折的性質知NFCD=NFCD,CF=C'F,

?.CD沿直線I翻折至AB所在直線，

NBC,F+NFC'D'=180°=NFCD+NFBA、

..NBC'F=NFBA,

CF=C/F=BF=-7

2f

過F作FE^AB于E,

1'

??.BE=-BC=1.

2

An「BE12

???COS^ABC=—=F=一■

BFi7

當C在BA的延長線上時，如圖，

同理可得CF=CF=BF=^f

過點F作AB的垂線，垂足為E,

11

??.BE=-BC=2

2f

4c「BE24

???cos^ABC=—=—=

BF(7

故答案為:或三

1(3,10)

解析：如圖所示，設CD與y軸相交于H點，設BC=x，由折疊可知BF=x，由正方形ABCD可知AB=x,二.OB

22222

=x-2,在Rt^BOF中，OF+OB=OF,BP6+(x-2)=/解得:x=10,..FH=4,OB=8,易證AFHE「ABOF,.??

界=M="EH=3,「.E(3,1O).

差點突破..

第一個突破是由正方形想到BC=AB，由折疊想到BC=BF,從而想到在直角三角形OBF中，由勾股定理求出

BC的長,第二個突破是由NEFB=90°想至SFHESABOE得至!J器=*=［求出EH的長.

OFOB2

9.B10.(3,4)

ll.(4,-4)

解析：過點D作DE±y軸于點E,如圖，

?.點A(0,-2),B(l,0),

.-.OA=2,OB=1.

?.線段AB平移得到線段DC,

.-.ABllCD,AB=CD,

，四邊形ABCD是平行四邊形，

.NABC=90°,

二四邊形ABCD是矩形，

..NBAD=90°,BC=AD,

?.BC=2AB,

.-.AD=2AB,

?.NBAO+NDAE=90°/BAO+NABO=90。，

NABO=NEAD.

?.zAOB=zAED=90°,

△ABO*"ADAE.

.OA_OB_AB_1

“DE—4E-4D―2’

，DE=2OA=4,AE=2OB=2,

.QE=OA+AE=4,

.■.D(4,-4).

12.C解析：左起第四個圖形不能找到一個點，使圖形繞這一點旋轉180度后和原圖形完全重合，所以不是

中心對稱圖形；

第一、第二和第三個圖形能找到一個點，使圖形繞這一點旋轉180度后和原圖形完全重合，所以是中心對稱圖

形.所以中心對稱圖形有3個.

13.B解析：設旋轉后點A的對應點為A1,過點A和點A，分別作x軸的垂線，垂足分別為B,C,

??點A的坐標為(-4,6),

...OB=4,AB=6.

由旋轉得OA=OA'/AOA，=90。，

..NAOB=90°-NA'OC=NOAC又NABO=NA'CO=90°,

.“AOB學OA'C,

.-，A'C=OB=4,OC=AB=6,

，點A，的坐標為(6,4).

14.D解析:設BF與CE的交點為H,,.將AABC繞點C順時針旋轉60°得至l^DEC,

.-.zBCE=zACD=60o,

?.NB=30。，

，在ABHC中,NBHC=180°-NBCE-NB=90°,

.,.BDCE,故D選項符合題意;設NACH=X°.

NACB=60°-x°,

?.NB=30。，

zEDC=zBAC=180°-30°-(60°-x°)=90°+x°,

???NEDC+ZACD=90°+x°+60°=150°+x°,

?.?X。不一定等于30°,

.'.zEDC+zACD不一定等于180°,

?.ACIIDE不一定成立，故B選項不符合題意；

?.zACB=60o-xo,zACD=60°,xo^—0°,

，NACB=NACD不一定成立，故A選項不符合題意；

?.將AABC繞點C順時針旋轉60。得到△DEC,

..AB=ED=EF+FD,

，AB>EF,故C選項不符合題意.

故選D.

15.75

16.(-V2-V2)

解析：將點，B(百,-1)向上平移2個單位，所得點M的坐標為(8,1)過點M作x軸的垂線，垂足為F,

則OF=V3,MF=1.

在RSMOF中，

tan/MOF=僚=冬0M=Jl2+(V3)2=2,

所以NMOF=30°.

由旋轉可知，

B'O=MO=2,ZMOB'=105°,

所以ZB'OF=135°.

過點B'作y軸的垂線，垂足為E,

貝(INB0E=135°-90°=45°,

所以AB'OE是等腰直角三角形.

又因為B'O=2,

所以.BE=OE=V2,

所以點B'的坐標為(-V2V2,).

17.2+V6

解析:?.?NACB=9(r,AC=BC=2V2

..NCAB=NCBA=45°,

?.點D是AC的中點，

AD=CD=-AC=V2,

2

22

J(V2)+(2A/2)=V10,

?.將△BCD繞點B旋轉得到ABEF,

???BF=BD=V10,

如圖，過點B作BG^CF于點G,

?/CFIIAB,.".zFCB=zCBA=45°,

."BCG是等腰直角三角形，

,-.CG=BG=2,

在RbBFG中，FG=<BF2-BG2=J(V10)2-22=V6,

.-.CF=CG+FG=2+V6

方法總結..

在幾何圖形中求線段的長，有時可以把問題抽象為解直角三角形的數學問題；因為三角形BCF不是直角三角

形，所以可通過添加輔助線BG構造直角三角形來解決.

18.2V2+|

解析:取AC的中點Q.連接PQ作以Q為圓心，PQ長為半徑的圓.

?.P是CD的中點,Q是AC的中點，

PQ是AACD的中位線，

???PQ=-AD=

<22

，線段AD繞點A旋轉時，點P在以Q為圓心，之為半徑的圓上運動,

，當BP經過點Q,且點P在AC下方時,BP的值最大.

BC=2,tanZBAC=

2

，AC=4,

.AQ=CQ=2.

BQ2=BC2+CQ2=8,

.-.BQ=2V2

BP的最大值為2V2+|.

19.C20.B21.B

22.A解析:?四邊形ABCD是矩形,

.■.AD=BC=8,zB=zC=zD=90°,

.-.zCEF+zEFC=90o,

?.把AADE沿AE折疊，點D恰好落在BC邊上的點F處，

.-，AF=AD=8,ZAFE=ZD=90°,

.".zAFB+zEFC=90°,

.-.zCEF=zAFB,

?.AB=6,

???BF=y/AF2-AB2=V82-62=2小,

L廠/71LnBF2V7V7

???CQSZCEF=cosZAFB=—=——

AF841

23.A解析:.,四邊形ABCD是矩形,

.-.ADllBC,

AAEGSACFG『AA'HSACFH,

.AE_AGAA_AH

"FC-GC'FC-HC'

由折疊的性質可知,AA'=2AE,

,AA'_2AE.2AG_AH

??FC-FCJ，GC-HCr

2AGAG+2.10

???——二----,???AG=——,

2+883

?.AF平分NBAC,..NBAF=NFAC,

?.EFllAB,.-.zBAF=zAFG,

.?.NGAF=NGFA,R.FG=AG=-

，3

CF=y/CG2-FG2=J102-(y)2=竽

?.EFllAB,

.-.BF:CF=AG:CG=1:3,

BF=-CF=-.

39

24.(1,3V3)

解析：分別過點C和點B，作x軸的垂線，垂足分別為M和N,由平移可知，AB=AB=6/B7VO=NBAO=

60。,又.NBOA=60。，

."A'OC是等邊三角形.

又；AC="B,

，A'C=CO=A'O=2.

,.,CM_LX軸，

.?.A'M=OM=1.

在RfA'CM中，

CM=V22-l2=V3.

???CMllB'N,

AA'CM-AA'B'N,

.CM_AM_AC_1

BNANAB'3’

.■,B'N=3CM=3V3,A'N=3A'M=3,

.-.ON=A'N-A'O=3-2=1,

.??點B'的坐標為(1,3V3).

25.V3-1

解析:??將-DCE沿DC方向平移得到AD'CE,

CE=CE=V3,

NB=ND=30°,zACB=zECD=zE'C'D'=90°,

.?.zE'C'A=90o,zA=60°,

..NAE'C'=30°,

設AC'=xJi^AE'=2x,

222

7AE'=AC+CE',

(2x)2=x2+(V3)2,

，x=L即AC'=L

，平移的距離CC'=4C一AC'=百一1.

26.15°或30°或60°

解析:?.AB=AC/A=40。，

..NACB=NABC=70。，

-.0°<a<70°,

.?射線CP在NACB內部.

當點A'在AB下方時，如圖，

由翻折可知，

NA'=NA=40°/A'CD=NACD=a,

NDEA'=NA+NACA'=40°+2C(,

NA'DE=180o-40°-(40°+2a)=100°-2a.

當A'D=A'E時/A'DE=NDEA',

.■.100°-2a=40°+2a,

解得a=15。.

當DA'=DE時/DA'E=NDEA',

.■.40°=40°+2a,

解得a=0°(舍去).

當ED=EA'時,NEA'D=NEDA',

.■.40°=100°-2a,

解得a=30°.

當點A，在AB上方時，如圖，

由旋轉可知，

NCA'D=NA=40°/A'CD=NACD=a,NADC=NA'DC=140°-a,

zDA'E=180o-40o=140o,zA'DE=180°-2(140o-a)=2a-100°,

zA,ED=180o-140°-(2a-100°)=140°-2a.

."DA'E=140°〃?.當AA'DE是等腰三角形時,只能是A'D=A'E.

當A'D=A'E時/A'DE=NA'ED,

?.?2a-100°=140°-2a,

解彳導a=60°.

綜上所述,a=15°或30。或60°.

27.2V10

解析：設AG與BF交于點M,由折疊的性質可得AG^BH,

..NAMB=90°,

???四邊形ABCD是矩形，目上下對折后得到折痕EF,AB=4,

..NABC=NBEF=9(r,AE=BE=|AB=2,EF=BC,

NAMB=NBEF=90°,

zBAM+zABF=zBFE+zABF=90°,

..NBAM=NBFE,

又一：NABG=NFEB=90。，

A

/.△ABG^FEBS

???ff=管設BG刊則由題意得BC=5a,.??；白

BEEF25a

解得a=IVT6（負值舍去），經檢驗，a=|m是原方程的解,且符合題意.

BC=5a=2V10.

8.⑴(9,7);作圖見解析

⑵(m+5,n+2)

(3)平行四邊形;20

解析：(1)根據平移性質得點C的坐標是(9,7),如圖,33。即為所求

⑵略.

⑶由平移可知四邊形BB'C'C是平行四邊形,

，四邊形BB'C'C的面積=4x5=20.

29.V2

解析:如圖，過F作FM±BC于點M,FNJ_CD于點N,

???四邊形ABCD是矩形，

..NDCM=NABC=90°,AB=CD=2,

?：CF平分NBCD,

.?.FM=FN/DCF=NBCF=45°,

.??四邊形CMFN是正方形，

,-.CN=FM=FN.

由折疊可知AB=BF=2/ABE=NFBE=30°/.NFBM=30。，

..DN=CD-CN=1.

在Rt^DNF中,由勾股定理得DF=y/NF2+DN2-Vl2+l2-V2.

30.5

解析：作點。關于直線I的對稱點0’軸,B(0,2),.Q(0,4),連接AO：AO與直線I的交點為點P,此時P

O+PA取最小值，最小值為AO的長，根據勾股定理可得20'=存不至=5.

31.2V2+1;2V2-1

解析：如圖所示，AD】，AD?與半徑為1的OC相切,DiR是切點，連接CDi,CDz.則點D在工時AE的值最

大，在D2時AE的值最小，設AD】與BC相交于F點,AD1與BE1交點為E^AD?與BE?交點為E2.

?.zACB=90°,CD1±AE1,

二易證AACDiCFDi,

.D1F_CD±_1

"CF-AC_3,

「BEJAE〉?易證ACDRABEIF,???誓=%=：,

DrCr3

D#+EJ=1(CF+BF)=^1BC=1.

222

又ADr=y]AC—CD1—V3—l=2V2,AEr-2V2+1,,即AE的最大值為2V2+1.

作CH^BEz于點H.

易證AACD2學BCH/.CH=CD