2025年中考數學復習：圓-突破中考第1問

板塊十七圓突破中考第1問

專題突破1證切線

典例精講

類型一無公共點證半徑

[例1]（2024武漢中考）如圖,AABC為等腰三角形,0是底邊BC的中點，腰AC與半圓O相切于點D,底邊

BC與半圓O交于E,F兩點.求證:AB與半圓。相切.

類型二有公共點證垂直

[例2]（2024武漢三調）如圖,AB是半圓O的直徑,D是元中點，過點D作AC的垂線，垂足為E,交A

B的延長線于點F.求證：EF是半圓O的切線.

典題精練

1.如圖,。0是AABC的外接圓,AD是的直徑,F是AD延長線上一點，連接CD,CF,且NDCF=NCAD.求證:

CF是。O的切線.

2.（2019武漢元調）如圖，在四邊形ABCD中，48回BC,,。。分別與邊AB,AD相切，切點分別為E,G,其中

E為AB的中點.求證:BC與。。相切.

專題突破2證角度關系

典例精講

類型一角度倍分

【例1】（2023武漢中考）如圖QA,OB,OC都是。O的半徑，NACB=2/B4C.求證：zAOB=2zBOC.

[例2]（2024通遼）如圖，在SBC中.NACB=90。，，O為AC邊上一點，以點。為圓心，OC為半徑作。

。與AB相切于點D,連接CD.求證:NABC=2NACD.

D

典題精練

類型二角度相等

1.（2024臨夏州）如圖，直線I與。。相切于點D,AB為。O的直徑，過點A作.4E凱于點E,延長AB交直線

I于點C.求證:AD平分NCAE.

CDE

類型三角度和差

2.如圖,AB是。0的直徑,AC是弦,D是北上一點,P是AB延長線上一點，連接AD,DC,CP.求證：ZADC-

NBAC=90°.

專題突破3證線段關系

典例精講

類型一線段相等

[例1]（2023武漢四調）如圖,AB是半圓O的直徑,C是AB的中點，過點C作弦BD的垂線，垂足為E.

求證:CE=DE.

[例2]（2020武漢五調）如圖,OO過正方形ABCD的頂點A,D,且與BC相切于點M,連接MO并延長交A

D于點N.求證:AN=DN.

典題精練

類型二線段位置

1.（2024安徽）如圖,0。是SBC的外接圓,D是直徑AB上一點，4CD的平分線交AB于點E,交。O于另一

點F,FA=FE.求證:CD^AB.

2.（2024樂山）如圖,。0是AABC的外接圓,AB為直徑，過點C作。。的切線CD,交BA延長線于點D,E為（

朝上一點，且公=癰.求證:DCIIAE.

專題突破4求弧長或面積

典例精講

類型一求面積

[例1]（2024南通）如圖，在MBC中,AB=3,AC=4,BC=5,0A與BC相切于點D.求圖中陰影部分的面積.

【例2】（2023武漢二調）如圖,AB,CD是。O的兩條弦，zAOB+zCOD=180。,若NAOB=120°,CD=6,習求

圖中陰影部分的面積.

典題精練

類型二求弧長

1.如圖，在AABC中,AB=4以AB為直徑的。。與AC相交于點D,E為痂上一點，且ZADE=40。.求BE

的長.

2.（2024遼寧改）如圖,00是ATIBC的外接圓,AB是。O的直徑，點D在.元上，〃=皿，過點C作。O

的切線交BA的延長線于點E.若NCEA=2NDAB,OA=8,求皿的長.

板塊十七圓-----突破中考第1問

專題突破1證切線——2024武漢中考熱點

典例精講

類型一無公共點證半徑

【例1】（2024武漢中考）如圖，△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點，腰AC與半圓O相切于點D,

底邊BC與半圓。交于E,F兩點.求證：AB與半圓O相切.

證明:連接OD,OA,作OHLAB于點H.

AABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點，

.\AO±BC,AO平分NBAC,

VAC與。O相切于點D,；.OD_LAC,

VOH±AB,.\OH=OD,gpOH是。O的半徑,

AAB是。O的切線.

類型二有公共點證垂直

[例2](2024武漢三調)如圖,AB是半圓O的直徑,D是一BC中點，過點D作AC的垂線，垂足為E,交

AB的延長線于點F.求證：EF是半圓O的切線.

證明:連接OD,AD.

VDE±AC,.，.ZE=90°.

VD是BC中點,.?./CAD=/BAD,：OA=OD,

ZBAD=ZADO,.\ZCAD=ZADO,

OD〃AC,ZODF=ZE=90°,ODJ_EF,

VOD為。O的半徑,；.EF為半圓O的切線.

典題精練

1.如圖.0。是4ABC的外接圓,AD是0O的直徑,F是AD延長線上一點，連接CD,CF,且/DCF=NCAD.求證:

CF是。O的切線.

證明：連接OC.

VAD是＜30的直徑,.?./ACD=90o,；./ADC+NCAD=90。.

VOC=OD,ZADC=ZOCD.

ZDCF=ZCAD,.\ZDCF+ZOCD=90°,

.?.OC±FC,VOC是。O的半徑".CF是。O的切線.

2.如圖，在四邊形ABCD中,人口〃8(3人8,8(3,。0分別與邊人8人口相切，切點分別為E,G,其中E為AB的中點.

求證:BC與。O相切.

證明:連接OGQE,作OHLBC于點H,

：AB_LBC,AD〃BC,；.ZA=ZB=90°.

V?0分別與邊AB,AD相切,.?./OEA=NOGA=90。.

VOE=OG,.\四邊形OEAG是正方形,AE=OE.

VE是AB的中點,；.AE=EB,；.EB=OE.

ZB=ZOEB=ZOHB=90°,四邊形OEBH是正方形,

.\OH=OE,gpOH為。O的半徑,；.BC與。O相切.

專題突破2證角度關系

典例精講

類型一角度倍分

【例1】（2023武漢中考）如圖,OA,OB,OC都是。O的半徑，乙4cB=2NB4C.求證：ZAOB=2ZBOC.

證明：，^ACB=^AOB,ABAC="BOC/ACB=2^BAC

：.ZAOB=2ZBOC.

【例2】（2024通遼）如圖.在△ABC中./ACB=90。,。為AC邊上一點.以點O為圓心QC為半徑作。O與AB

相切于點D,連接CD.求證:/ABC=2NACD.

證明：連接OD.

VAB為。。的切線,.*.OD_LAB,；./ODB=90。,

ZACB=90°,.\ZABC+ZCOD=180°,

ZAOD+ZCOD=180°,.\ZABC=ZAOD,

ZAOD=2ZACD,.\ZABC=2ZACD.

典題精練

類型二角度相等

1.（2024臨夏州）如圖，直線1與0O相切于點D,AB為OO的直徑，過點A作AEL1于點E,延長AB交直線1

于點C.求證:AD平分NCAE.

證明：連接OD.

:直線1與。0相切于點D,

：AE_LCE,；.OD〃AE,；.ZODA=ZEAD.

,?OA=OD,，ZODA=ZOAD,

/.ZOAD=ZEAD,.\AD平分NCAE.

類型三角度和差

2.如圖,AB是。O的直徑,AC是弦,D是北上一點,P是AB延長線上一點，連接AD,DC,CP.求證:NADC-NB

AC=90°.

證明：連接BD.

VAB是。O的直徑.,.NADB=90。，

ZADC-ZBDC=ZADB,ZBDC=ZBAC,

ZADC-ZBAC=90°.

專題突破3證線段關系

典例精講

類型一線段相等

【例1】（2023武漢四調）如圖,AB是半圓O的直徑C是一4B的中點，過點C作弦BD的垂線，垂足為E.

求證:CE=DE.

證明:連接AC,BC.

VAB是。O的直徑,，ZACB=90°,VC是AB的中點，［AC=BC,AC=BC,

：.ZCAB=ZCBA=45°.'ZBC=BC,ZCDE=ZCAB=45°,

VCE±BD,.\ZCED=90°,.\ZDCE=ZCDE=45°,CE=DE.

【例2】（2020武漢五調）如圖,。O過正方形ABCD的頂點A,D,且與BC相切于點M,連接MO并延長交AD

于點N.求證:AN=DN.

證明：；OO與BC相切于點M,.\ZBMN=90°.

,/四邊形ABCD是正方形,AD//BC,

/ONA=NBMN=90。,由垂徑定理彳導AN=DN.

典題精練

類型二線段位置

1.（2024安徽）如圖,。。是△ABC的外接圓,D是直徑AB上一點,/ACD的平分線交AB于點E,交。O于另

一點F,FA=FE.求證:CD_LAB.

證明:；FA=FE,ZFAE=ZAEF,

ZFAE=ZBCE,ZAEF=ZCEB,.\ZCEB=ZBCE.

VCE平分NACD,，/ACE=/DCE.

VAB是直任.?./ACB=90。，

ZCEB+ZDCE=ZBCE+ZACE=90°,

.,.ZCDE=90o,.*.CD±AB.

2.（2024樂山）如圖,0O是△ABC的外接圓.AB為直徑，過點C作。O的切線CD,交BA延長線于點D,E為CB

上一點，且AC=注1.求證:DC〃AE.

證明：連接OC.

VCD為OO的切線,.?.NOCD=9(r,；./DCA+/OCA=90。.

AB為直徑，,ZACB=90°,.\ZB+ZOAC=90°.

,/OC=OA,ZOAC=ZOCA,/.ZB=ZDCA.

VAC=CE,/.ZB=ZCAE,.\ZCAE=ZDCA,CD//AE.

專題突破4求弧長或面積

典例精講

類型一求面積

[例1]（2024南通）如圖，在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,。A與BC相切于點D.求圖中陰影部分的面積.

解:：AB=3,AC=4,BC=5,AC2+AB2=BC2,LBAC=90°,

???OA與BC相切于點D,.-.AD=^=^=f,

DC55

90X7TX（^）2

,36

S=S&ABC-S-立/=-x3x4—=6-----71.

△ABC底形236025

【例2】（2023武漢二調）如圖,AB,CD是。O的兩條弦，乙AOB+乙COD=180。.若NAOB=12（T,CD=6,求圖中

陰影部分的面積.

解:過點O作OMLAB于點M.

???ZAOB+ZCOD=180o,ZAOB=120°,AZCOD=60°.VOC=OD,

JAOCD是等邊三角形,JOA=OC=CD=6.VOM±AB,AM=BM.

在RtAOAM中，NA=30°,.??OM=^0A=3,AM=?0M=