2025年中考數學總復習《幾何探究題》專項檢測卷及答案

2025年中考數學總復習《幾何探究題》專項檢測卷及答案

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1.完成下面推理過程.

已知：AB//CD,跖分別交加、CD于E、F,EG平濟ZBEF,FH平分NEFC.

探究：EG與F”是否平行.

/.ZBEF=ZEFC()

丁EG平分ZBEF,FH平分ZEFC()

/.Z=-ZBEF,Z=-ZEFC()

22----------------------------------------

.../--------=/---------,

：.EG//FH().

已知直線”6,點A是。上的動點，點5在。上(點4不與點5重合)，點。、D在b

上，且點。在點。左側，加。的平分線相交于點E.

(1)如圖1所示，若點A在點5的左側，ZABC=80°,ZADC^60°,過點E作跖〃a,求NBED

的度數；

(2)如圖2所示，若點A在點5的左側，4BC=a,ZADC=0,則=(用含。、

夕的式子表示)；

(3)如圖3所示，若點A在點5的右側，4BC=a,ZADC=B,求N&ED的度數(用含外方的式

子表示).

3.【實踐活動】如圖1,將一副三角板的直角頂點重合擺放.

圖1圖2

(1)NACE與ZBCD的大小關系是：/ACE/BCD；(填“或“=”)

(2)①若ZDCE=30。，求-4CB的度數；

②若EC是ZACD的平分線，求/ACB的度數；

【拓展探究】

(3)如圖2,若ZACD>NBCE,且ZACD+4CE=180。，若ZDCE=25。，求，ACB的度數.

4.綜合與實踐

【探究發現】

(1)小明家有一款可折疊的護眼臺燈如圖1，A5是燈頭，BE,OE是支架，。是底座，

連接部分可分別繞連接點'E,D旋轉,當旋轉至AB//CD時，圖2是其平面示意圖，

小明發現NBED=ZABE+NCDE,請證明小明的發現.

【拓展延伸】

(2)保持AB〃CD,當旋轉到如圖3所示位置時，判斷一ABE,ZCDE,N3ED之間的數量

關系，并證明.

【學以致用】

(3)如圖4,AB//CD,BE±DE,/ME和/FOE的平分線相交于點尸，求一尸的度數.

5.在數學實踐活動中，某數學興趣小組的同學共同探究平行線的作用.

⑴如圖1,直線E為AB,CO之間一點，連接BE,DE,判斷NBED與4,的

數量關系，并說明理由.

(2)如圖2,在的內部有一點C,連接DC,BC,求證：ZDCB=ZA+ZB+ZADC.

(3)如圖3,AE是⑦的平分線，防是NC9的平分線，AE與箱交于點G,若43=118。,

ZAGB=80。，直接寫出NC的大小.

6.如圖，將兩個直角三角板的頂點疊放在一起進行探究.

(1)如圖①，將一副直角三角板的直角頂點C疊放在一起，若CE恰好平分/4CB,請你猜

想此時CB是否平分,ECD,并簡述理由；

(2)如圖②，將一副直角三角板的直角頂點C疊放在一起，若CB始終在/DCE的內部，請

猜想/ACE與ZDC3是否相等，并簡述理由；

(3)如圖②，將一副直角三角板的直角頂點C疊放在一起，若CB始終在NDCE的內部，設

4CE=",試用含”的式子表示ZACD的度數，并說明當空的值逐漸增大時，ZA8的

度數會發生怎樣的變化；

(4)如圖③，將兩個同樣的含30。角的直角三角板中60。銳角的頂點A疊放在一起，請你猜

想與-C4E有何關系，并說明理由.

7.綜合與探究

問題情境：將一副直角三角板03C和MON按如圖1擺放在直線AD上，直角邊08和均

在直線AD上，且兩個直角三角板位于直線AD的同側.已知/O8C=/MON=90。，ZBOC=30°,

ZMNO=45°.

解決問題：(1)圖1中，ZCON=

(2)如圖2,若平分NBOC,求“ON的度數.

實踐探究：(3)若直角三角板MON以每秒8。的速度旋轉，當ON旋轉至射線8上時，停

止運動.設旋轉時間為/S,在旋轉的過程中，當Z2VOD=4NCOM時，求才的值.

8.【探究】將兩個三角板的兩個直角頂點O重合在一起，放置成如圖1所示的位置，

請回答下面的問題.

(1)如果重疊在一起4OC=30。則ZA8=.

(2)若將NCO。繞點O旋轉，使重疊在一起的4OC=50。，ZAOD=

(3)圖1中ZAOC與/BOD滿足的數量關系是_______,根據是________.

【拓展】在圖1所示的位置上，繼續將/COD繞點O旋轉，得到如圖2所示的位置，請

回答下面的問題.

(4)如果ZBOC=x。，則ZAOD=.(用含％的式子表示)

(5)此時圖2中ZAOC與40。始終滿足的數量關系是.

(6)【結論】由上述的探究過程可知，三角板COD繞重合點。旋轉.不論旋轉到任何

位置時，與40C始終滿足的數量關系是.

9.【問題背景】

C4EC

圖2圖3

(1)如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，可得結論：ZA+ZB=ZC+ZD；請說明理由.

【簡單應用】

(2)閱讀下面的內容，并解決后面的問題：如圖2,AP、CP分別平分ZBCD,若

ZABC=36°,ZADC=16°,求二尸的度數；

【問題探究】

(3)如圖3,直線AP平分入MD的外角44。，CP平分ZBCD的外角4CE,若NABC=36。，

ZADC=16°,猜想，P的度數為：;

【拓展延伸】

(4)在圖4中，若設NC=a,NB=/3,ZCAP=^ZCAB,NCDP=；NCDB,直接寫出/P與NC,

-8之間的數量關系為：(用*f表示NP).

10.【問題情境】在綜合與實踐課上，老師想讓同學們探究與角度有關的數學問題，進

行了以下數學活動：

已知403=120。，OC是一條射線，射線OEOE分別是-4OC和/COB的平分線.

【初步感知】（1）如圖1,若射線OC在ZAO3的內部，且ZAOC=40。，則=

【探究發現】（2）如圖2,當射線OC在的內部繞點。旋轉至任一位置，則/成方的

度數是否發生變化.請說明理由.

【拓展延伸】（3）若射線”從3出發，繞著點。按順時針方向旋轉，旋轉的角度不超

過180。，其余條件不變，設ZAOC=o,當/COF=g/BOE時，請借助備用圖探究ZA5的大

小，并直接寫出ZA8的度數.（不寫探究過程）

11.如圖1,在四邊形ABCD中，AB^AD,ZBAD=120°,ZB=ZADC=90°,E、尸分別是3C、CD上

的點，且m'=60。，試探究圖中線段班、ER即之間的數量關系.

⑴小亮同學認為：如圖1,延長陽到點G,使DG=3E,連接AG,先證明△ABEgAWG,

再證明AA￡F%AGF,可得出結論是什么？并給出理由.

（2）如圖2,在四邊形A2CD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E,歹分別是8C、8上的點，ZEAF^^ZBAD,

上述結論是否仍然成立？說明理由.

（3）如圖3,在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（。處）北偏西30。的A處，艦艇乙在

指揮中心南偏東70。的3處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦

艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東50。的方向以80海里/小時

的速度前進L5小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達處，且兩艦艇之間

的夾角（NMON）為70。，試求此時兩艦艇之間的距離.

（4）如圖4,已知在四邊形北8中，ZABC+ZADC=1SO°,AB^AD,若點E在CB的延長線上，

點歹在。的延長線上，仍然滿足1中的結論，請直接寫出一叩'與一。"的數量關系并

加以說明.

12.【問題情境】

小明所在的綜合實踐小組準備制作一些無蓋紙盒收納班級講臺上的粉筆.

/71

圖1圖2

【操作探究】

（1）圖1中的第個圖形經過折疊不能圍成無蓋正方體紙盒（填序號）.

（2）小圣所在的綜合實踐小組把折疊成9個棱長都為2dm的無蓋正方體紙盒擺成如圖2

所示的幾何體.

①請計算出這個幾何體的表面積和體積；

②要保持從上面看到的平面圖形不變，最多可以拿走小正方體的個數是.

13.【分析探究】（1）已知：如圖1,AE\\CD,求證：ZA+ZC=ZB.

（2）如圖2,AE//CD,A/平分—a4E,CP平分NBCD.若NA3C=100。，求4WC的度數.

（3）如圖3,AE||CD，A4平分平分/2?），48平分/胡片，€^平分/。（^，4月平分

平分〃華…若ZABC=x。，則/工度數為（用含工的代數式表示）.

14.【問題背景】

如圖，已知點。為線段的中點,點C在線段48上(不與點A、B重合).

ADCBADCEB

圖1圖2

【初步探究】

(1)如圖1,若AC=8,BC=6,則線段。的長為;

(2)如圖1,若AB=18,BC=2CD,求8C的長；

【拓展提升】

(3)如圖2,若8C=2CD、點E為由)的中點，CE=2,求線段AB的長.

15.綜合與探究

問題情境

已知長方形紙片四。，點E在邊AB上，點N在邊A￡＞上，將/MLE沿EN翻折到4WE,射

線南與。交于點尸.點“在邊BC上，將沿翻折到ZMBE,射線期與。交于

點G.

初步探究

(1)現將長方形紙片按照圖1所示的方式折疊，此時點尸與點G重合，直接寫出以E

為頂點的兩對相等的角，并求/“硒的度數；

深入探究

(2)若將長方形紙片按照圖2所示的方式折疊，此時點尸在點G的左側，且

ZAEN=ZFEG+15°,ZBEM=ZFEG+200,請你分別求出NFEG與/MEV的度數.

類比拓展

（3）若將長方形紙片按照圖3所示的方式折疊，此時點尸在點G的右側，且ZFEG=a,

請你直接寫出/MW的度數（用含a的代數式表示）.

參考答案

1.兩直線平行，內錯角相等；已知；GEF-HFE-角平分線的定義；GEF；HFE；內錯

角相等，兩直線平行.

【分析】本題考查了平行線的判定與性質、角平分線的定義，由平行線的性質可得

NBEF=NEFC,結合角平分線的定義得出NGEF=NHFE，即可得解.

【詳解】解：AB//CD（已知）

:,NBEF=NEFC（兩直線平行，內錯角相等）

■:EG平分ZBEF,FH平分NEFC（已知）

:,NGEF=：NBEF，ZHFE=^-ZEFC（角平分線的定義）

/.NGEF=NHFE,

：.EG//FH（內錯角相等，兩直線平行）.

2.（1）70°

⑵權

⑶=180。一ga+

【分析】本題主要考查平行線的性質，角平分線.

（1）根據破、祝分別是/4SC,4DC的平分線，得出ZABE=gzABC,ZCDE=^ZADC,

再由平行線的性質得出々跖=/腔，同理可得出4＞跖=/。。石，再由ZB￡D=ZBE尸+ZD防即

可得出結論；

(2)過點石作所〃。，同(1)的證明過程完全相同；

(3)過點E向右作跖〃°,根據班、院分別是/ABC,NADC的平分線可知

ZABE=-ZABC=-a,ZCDE=-ZADC=-,再由砂〃。可知ZBE尸=180。一，a,根據a〃b可知

EF//b,故NDEF=NCDE=；0,再由々即=/3跖+/。跖可得結論.

【詳解】(1)解：上、上分別是/ABC,-4DC的平分線，

:.ZABE=-ZABC=-x80°=40°,ZCDE=-ZADC=-x60°=30°,

22'22'

EF//a,

:.ZBEF=ZABE=40°,

'：a//b,

EF//b,

.-.ZDEF=ZCDE=30°,

ABED=ZBEF+NDEF=70°；

(2)解：過點石作跖〃a,

/汨分別是-MC,/WC的平分線,

ZCDE=|zADC=,

/.ZBEF=ZABE=-a,

2

,?a//b,

EF//b,

NDEF=ZCDE=-/3,

ABED=ZBEF+NDEF=-a+-B,

22

故答案為：/+"；

（3）解：過點E向右作所〃明

DE分別是-ABC、-ADC的平分線,

NCDE=；NADC=；0,

EF//a,

ZBEF=180°--a.

2

又a//b,

：.EF//b,

NDEF=NCDE=L。,

2

ABED=ZBEF+NDEF=180。一；a+；〃.

3.（1）=;（2）①ZACB=150。；②ZACB=135°；（3）155°.

【分析】本題考查了同角的余角相等，角平分線定義，角度和差，掌握知識點的應用

是解題的關鍵.

（1）根據同角的余角相等即可求解；

（2）①由角度和差即可求解；

②由角平分線定義得/ACE=：x9（r=45。，再通過角度和差即可求解；

（3）①由角度和差即可求解.

【詳解】解：（1）因為ZACD=N3CE=90。，

所以ZACE+ZECD=ZBCD+ZECD=90°,

所以ZACE=ZBC￡）,

故答案為：=；

(2)①因為NDCE=30。,

所以4<2￡=90。一30。=60。,

所以ZACS=ZACE+NECB=600+90。=150。；

②因為EC是ZACD的平分線，/48=90。，

所以ZACE=；x90。=45°,

所以ZACB=ZACE+NECB=45°+90°=135°；

(3)因為ZACD=ZACE+NDCE,ZBCE=ZDCE+ZBCD,ZACD+ZBCE=1^,0°,

所以ZACE+ZDCE+Z.DCE+Z.BCD=180°,

因為ZDCE=25。,

所以ZACE+250+25°+NBCD=180°,

所以ZACE+ZBCD=130°,

所以ZACB=ZACE+ZBCD+ZDCE=130。+25。=155。.

4.(1)見解析；(2)ZBED+ZABE+ZCDE=360°,見解析；(3)135。

【分析】本題考查平行線的性質及角平分線性質的應用，解題關鍵是通過作輔助線構

造平行線，利用平行線性質找出角之間的關系，結合已知條件進行推導求解.

(1)過點E作EM//AB,利用平行線性質先得到ZABE=ZBEM，再由AB〃CD,推出EM〃CD,

進而得到=最后通過等量代換證明結論.

(2)作硒〃依據AB〃CD得出AS〃m〃CD,利用平行線性質得到ZA3E=ZBSV,

ZCDE=ZDEN,再結合周角為360。，gpZBED+ZBEN+ZDEN=360°,從而證明

ABED+ZABE+ZCDE=360°.

(3)先由助工小得/E=90。，根據角平分線性質得到=ZPDE=^ZEDF,

利用(1)論建立/尸與一人龍的關系，再將NP用4/狙和表示并化簡，進而求出

/尸的度數.

【詳解】解：（1）證明：如圖1,過點E作加〃

/.ZABE=ZBEM,

*/AB//CD,

：.EM//CD,

ZCDE=ZDEM,

/.ZBED=ZBEM+ZDEM=ZABE+ZCDE.

(2)ZBED+ZABE^-ZCDE=360°

證明：作硒〃AB.

圖2

AB//CD,

：.AB\\EF\\CD,

ZABE=4BEN,ZCDE=ADEN,

ZBED+ZBEN+ZDEN=360°,

ZBED+ZABE^-ZCDE=360°；

(3),:BE_LDE,

：.NE=90。，

丁二ME和/的的平分線相交于點P,

ZABP=-ZABE,ZPDE=-ZEDF,

22

由(1)可知，NE=NCDE+ZABE,ZP=ZABP+ZPDC,

90°=180°-ZEDF+ZABE,gpZEDF-ZABE=90°,

ZP=-ZABE+180°-ZPDF,

2

--ZABE+180°--ZEDF

22

=180°-1(ZEDF-ZABE)

=180°-45°

=135。.

5.(1)/BED=NB+ND,理由見解析

(2)見解析

(3)42°

【分析】本題考查的是平行線的性質，平行公理的應用，角平分線的含義；

(1)如圖，過點E作防〃相，可得AB//CD〃EF,再結合平行線的性質進一步解答即可;

(2)如圖，過點C作CE〃Afi,過點。作則CE〃枕〃神，再結合平行線的性質

進一步解答即可；

(3)由(2)的結論可得：ZADB^ZC+ZCAD+ZCBD,ZAGB=ZC+ZCAG+ZCBG,再結合角

平分線的定義進一步解答即可；

【詳解】(1)解：NBED=NB+ND

理由：如圖，過點E作印//AB.

AB

E<^-----F

CD

'：AB//CD,

:.AB//CD//EF,

:.ZB=ZBEF,ZD=NDEF.

\ZBED=ZBEF+ZDEF,

:.ZBED=ZB+ZD；

（2）證明：如圖，過點C作CE〃AB,過點。作分〃M，則CE〃。產

:.ZB=ZECB,ZA+ZAT>F=180°,NFDC+NDC￡=180。.

???ZADF=ZADC+NFDC,

.?.ZA+ZADC=180°-NFDC,

:.ZA+ZADC=ADCE.

???ZDCB=/DCE+/ECB,

/.ZDCB=ZA+AB+AADC.

(3)角軍：由(2)可得ZAD5=NC+NG4D+NCBO,ZAGB=ZC^-ZCAG-^ZCBG.

???AE是NCAD的平分線，即是NC5D的平分線，

/.ZCAD=2ZCAG,ZCBD=2/CBG,

ZADB-ZAGB=ZCAG+ZCBG=118°-80°=38°,

.?.ZC=ZAGB-(ZG4G+ZCBG)=80°-38o=42°.

6.(l)C5平分NECO,見解析

Q)ZACE=/DCB,見解析

⑶ZA8=180。-4，當"的值逐漸增大時，ZAC。的度數逐漸減小

(4)ZDAB=120°-ZCAEZDAB=120°+ZC4E,見解析

【分析】本題考查了三角板中的角度計算，角平分線的定義，等角的余角相等，熟練

掌握圖形中角的運算是解題的關鍵.

(1)^ZACB=ZDCE=90°,CE平分/ACB得ZACE=NECB=45。,進而得N0CB=45。，據此可

得出結論；

(2)由ZACB=NDCE=90。得ZACE+ZBCE=90。，NDCB+NBCE=90°,然后根據同角的余角相

等可得出結論；

(3)由據此可得/ACD=180。-//7,進而可得當"的值

逐漸增大時，4co的度數的變化情況；

(4)①當AC在NA4E的內部時，ADAC=ZBAE=60°ZDAE=60°-ZCAE,據此可得

與一G4E的關系；

②當AC在NBAE的外部時，由NDAB=ZDAC+ZCAE+ZBAE可得出/DAB與/CAE的關系.

【詳解】(1)解：CB平分NECD,理由如下：

依題意得：ZACB=ZDCE=90°,

CE平分NACB,

/.ZACE=ZECB=45°,

ZDCB=ZDCE-NECB=90°-45°=45°,

ZDCB=Z.ECB=45°,

CB平分/ECD.

(2)解：ZACE=ZDCB,理由如下：

依題意得：ZACB=ZDCE=900,

：.ZACE+NBCE=90°,ZDCB+/BCE=90°,

ZACE=ADCB.

(3)解：依題意得：ZACB=ZDCE=90°,

,/4BCE=",

：.ZACE=ZACB-NBCE=9O°-Z/7,

ZACD=AACE+ZDCE=90。一+90。=180。一N分，

IP：ZAC￡>=180°-Z^,

???當”的值逐漸增大時，4CD的度數逐漸減小.

(4)解：ZDAB=120°-Z.CAEZDAB=120°+Z,CAE,理由如下:

依題意得：ZDAC=ZBAE=60°,

①當AC在/ME的內部時，如圖:

ZDAE^ZDAC-ZCAE^6O°-ZCAE,

..ZDAB=ZDAE+ZBAE=60°-ZCAE+60°=120°-ZCAE；

②當AC在一友店的外部時，如圖:

ZDAB=ADAC+ZCAE+ZBAE=120°+ZCAE.

7.(1)60。；(2)75。；(3)f或"2

【分析】本題主要考查套三角板中角度的計算.熟練掌握三角板的角的特征，角平分

線定義，角的和差倍分關系，是解題的關鍵.

(1)根據/CON=AMON-NBOC即得;

(2)由角平分線定義求出/COM,根據NCON=ZMON-NBOC即得;

(3)分在N8OC內外兩種情況，寫出每種情況的/DON,NCOM的表達式，根據

ZNOD=4ZCOM列方程解答.

【詳解】解：(I)VZMON=90°,ZBOC=3CP,

..ZCON=ZMON-ZBOC=60°：

故答案為：60；

(2)To拉平分13OC,

ZCOM=-ZBOC=15°,

2

ZCON=ZMON-Z.COM=75°,

(3)*.*ZDON=90°-8t°,ZBOM=8r°,

當OVfV，，Z.COM=Z.BOC-Z.BOM=30°-8r°,

,/ZNOD=4ZCOM,

：.90-8f=4(30-8f),

解得，仁;；

當與時，"次=90。一8尸，ZCOM=ZBOM-Z.BOC=8r°-30°,

90-8r=4(8r-30),

解得，=2.

故仁濁己

一

ABODABOD

8.(1)150°；(2)130°；(3)ZAOC=ZBOD,同角的余角相等;(4)180°-%°；(5)ZAOC=ZBOD；

(6)ZAOD+ZBOC=180°

【分析】本題主要考查角的計算、用代數式表示角的度數，此題以旋轉變換為方法，

注重角的計算及其規律的探究，抓住旋轉過程中始終不變的角是解題的關鍵.

(1)利用/4。。=/4。3+/。。。-/3。。得至1]ZAOD的度數；

(2)根據余角的定義求出ZAOC的度數，由ZAOD=ZAOC+NCW得到ZA8的度數；

(3)根據同角的余角相等可得ZAOC與N30D；

(4)首先表示出4。，然后求出ZA8,即可得到答案；

(5)根據等式的性質可得ZAOC與40。；

(6)運用周角=360。，求出ZAOD+/30c的度數，即可解決問題.

【詳解】解：(1)*/=90°,ZCOD=90°,ZBOC=30°,

/.ZAOD=ZAOB+ZCOD-ZBOC

=90。+90。—30。

=150。；

(2)NAOB=90°,ZBOC=50°,

ZAOC=40°,

*/ZCOD=90°,

/.ZAOD=ZAOC-^-ZCOD=130°；

(3)?/ZAOC+ZBOC=90°,/BOD+ZBOC=90°,

ZAOC^ZBOD(同角的余角相等)；

(4)ZAO5=90°,ZCOD=90°,ZBOC=x0,

/.ZAOD=ZAOB-^-ZCOD-ZBOC

=90°+90°-x°

=180。—1。；

(5)VZAOB=ZCOD=90°,

：.ZAOB+/BOC=/COD+/BOC,即ZAOC=ZBOD；

(6)VZAOB=ZCOD=9Q0,

：.ZAOB+ZCOD=180°,

/.ZAOD+ABOC=360°-180°=180°,

由上述的探究過程可知，三角板COD繞重合點O旋轉.不論旋轉到任何位置時，ZAOD

與NBOC始終滿足的數量關系是：ZAOD+ZBOC=180°.

9.【問題背景】(1)理由見解析；

【簡單應用】（2）4=26。；

【問題探究】（3）26。；

【拓展延伸】（4）ZP=|?+!/?.

【分析】【問題背景】（1）根據三角形內角和定理即可證明；

【簡單應用】（2）由AP、CP分別平分N54D,NBCD,則4=N2,N3=N4,由（1）得：

ZP+Z3=Z1+ZABC,ZP+N2=N4+ZADC求出2NP=ZABC+ZADC即可求解；

【問題探究】（3）”平分NR4Z）的外角/皿），CP平分ZBCO的外角ZBCE,得N1=N2,/3=/4,

貝!j/PAD=180。-/2,/PCD=180。一N3,ZP+（180°-Zl）=ZADC+（180°-Z3）,ZP+Z1=ZABC+Z4,推

^2ZP=ZABC+ZADC,即可解決問題；

【拓展延伸】（4）由（1）可知:ZC+ZCAB=ZB+ZCDB,AC+ZCAP=ZP+ZPDC,ZB+ZBDP=ZP+ZPAB,

貝"2ZP=NC+NCAP+ZB+ZBDP—ZPDC—ZPAB,然后代入求值即可;

本題考查了三角形內角和，三角形的內、外角的定義，解題的關鍵是熟練掌握知識點

的應用.

【問題背景】（1）證明：在VA03中，ZA+ZB+ZAOB=180°,

在△COD中，ZC+ZD+ZCOD=180°,

,：ZAOB=ZCOD,

/.ZA+N3=NC+ZD；

丁AP、CP分別平分Z&4D,NBCD,

/.Z1=Z2,N3=N4,

由(1)得：ZP+Z3=Z1+ZABC?,NP+N2=N4+ZADC②

①+②得2ZP+N3+N2=/I+/4+ZABC+ZADC,

2ZP=ZABC+ZADC,

ZABC=36°,ZADC=16°,

/.ZP=1(ZB+ZD)=1x(36°+16°)=26°；

【問題探究】(3)理由：如圖3,

;直線釬平分NBAD的外角ZFAD,CP平分NBCD的外角ZBCE,

Z1=Z2,/3=/4,

ZPAD=180°-Z2,ZPCD=180°-Z3,

Z1=ZPAB,

.,.由(1)得：ZP+(18O°-Z1)=ZADC+(18O°-Z3),ZP+Z1=ZABC+Z4,

2ZP=ZABC+ZADC,

,/ZABC=36°,ZADC=16°,

/.ZP=1(ZB+ND)=；*(36°+16°)=26°,

故答案為：26。；

［拓展延伸］(4)由(1)可知：NC+NCAB=ZB+NCDB,ZC+ZCAP=ZP+ZPDC,ZB+ZBDP=ZP+ZPAB,

：.ZC+ZCAP+ZB+NBDP=2ZP+NPDC+NPAB,NCDB-NCAB=NC-ZB,

2ZP=Z.C+Z.CAP+ZB+ZBDP-ZPDC-ZPAB,

VAC=a,/B=0,ZCAP=-ZCAB,ZCDP=-ZCDB,

33

.22

??NBDP=—NCDB,ZPAB=-ZCAB,

33

1212

/.2ZP=a+/3+-ZCAB+-ZCDB--ZCDB--ZCAB

=a+jB+^ZCDB-^ZCAB

=a+y0+1(ZCZ)B-ZG4JB)=dz+?0+1(ZC-ZB)

21

AP=-a+-13,

故答案為:々=|a+卜.

10.(1)60;(2)/瓦加的度數不會發生變化，始終為60。，理由見解析；(3)90。或135。.

【分析】本題考查了角平分線的定義，幾何圖形中的角度計算，一元一次方程的應用，

利用分類討論和數形結合的思想解決問題是關鍵.

(1)根據角平分線的定義求解即可；

(2)根據角平分線的定義求解即可；

(3)分兩種情況討論：①當OC在NAO3的內部；②當OC在ZAO3的外部，根據角平分

線的定義表示出NBOE,再根據ZCOF=|ZBOE列方程分別求解即可.

【詳解】解：(1)因為ZAC?=120。，ZAOC=40°,

所以Z.BOC=ZAOB-ZAOC=120°-40°=80°,

因為射線OE，OF分別是-4OC和/COB的平分線，

所以ZCOE=|zAOC=1x40°=20°,ZCOF=|ZCOB=1x80°=40°,

所以ZEOF=Z.COE+Z.COF=20°+40°=60°,

故答案為：60.

(2)NEO尸的度數不發生變化，理由如下:

因為射線OE,OF分別是/AOC和ZCOB的平分線，

所以ZCOE=|ZAOC,ZCOF=|ZCOB,

所以ZEOF=ZCOE+ZCOF=|(ZAOC+ZCOB)=|ZAOB=60°,

所以NEO尸的度數不會發生變化，始終為60。.

(3)ZAO尸為90。或135。,分析如下：

射線”繞點。按順時針方向旋轉，分兩種情況：

①如圖析1，當OC在-408的內部，

圖析1

因為ZAOC=tz,所以N3OC=12()o-a,

因為射線OEQF分另是ZAOC和ZCOB的平分線，

所以NCOE=gZAOC=；a,NC5=gNCO2=：(120。-a),

NBOE=ZCOE+NBOC=120°--a,

2

因為/COF=；/BOE,所以區120。_0臼120。-)，

解得，々=60。；

所以ZAOF=ZAOC+ZCOF=90°；

②如圖析2,當OC在-403的外部，

因為ZAOC=tz,所以4OC=(z-120°,

因為射線OEQF分別是4OC和ZCOB的平分線,

所以ZAOE=|ZAOC=1a,ZCOF=；ZCOB=：(a-120。)，

ZBOE=ZAOB-NAOE=120」a,

2

因為/COF=；4OE,所以:("120。)=：［120。-1/,

.J乙3、乙)

解得a=150。，

所以ZAOF=ZAOC-ZCOF=150°-15°=135°,

綜上所述，所以ZAOb為90。或135。.

11.(1)EF=BE+FD,理由見解析

(2)仍成立，理由見解析

(3)210海里

(4)/￡4/=18。。-；/m8,理由見解析

【分析】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性

質的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造全等三角形，根據全等三角形的對應

角相等進行推導變形.解題時注意：同角的補角相等.

(1)延長尸。到G,使OG=3E,連接AG,先證明△除9A4DG,再證明《但好則可

得到結論；

(2)延長即到G,使0G=班，連接AG,證明△ABEgAWG,再證明《但好3GF,則結論

可求；

(3)連接E/，延長AE、融交于點C,利用已知條件得到：四邊形0ABe中：OA=OB,

ZOAC+ZOBC=1SO°^ZEOF=^ZAOB,符合(2)具備的條件，則跖=AE+M.

(4)在DC延長線上取一點G,使得ZXJ=3E,連接AG,先判定再判定

*EF9次GF,得出最后1艮據^?4￡+/以6+/04￡=360。，推導得至lj2NE4E+Zn4B=360。，

即可得出結論.

【詳解】（1）解：如圖1,延長尸。到點G,使7X7=3石，連接AG,

G

/\D

隹

BEC

圖1

在石和AWG中，

AB=AD

<NB=ZADG=90°,

BE=DG

...△ABE四△ADG(SAS),

:.ZBAE=ZDAG,AE=AG,

*.*ZBAE+ZEAF+ZFAD=ABAD=120°,

/.ZDAG+ZEAF+ZFAD=12^P,艮|]ZE4F+ZMG=120°,

*.*ZE4F=60°,

/.ZFAG=ZEAF=6O°,

在尸和AAG廠中，

AE=AG

<ZEAF=/FAG,

AF=AF

/.△AEF^AAGF(SAS),

,\EF=FG,

\GF=GD+DF=DF+BE,

:.EF=BE+DF?

(2)解：仍成立，理由如下：

如圖2,延長陽到點G,使ZX;=3E,連接AG,

G

4J\D

?.?ZB+Z/WC=180°,AADC+AADG=180°,

BEC

圖2

:.ZB=ZADG,

在石和AWG中，

AB=AD

<NB=ZADG=90°,

BE=DG

「.△AB石四△ADG(SAS),

:.AE=AG,/BAE=/DAG,

ZBAD=ZBAE+ZEAD,NE4G=ZEAD+ZDAG,

:"BAD=/EAG.

???ZEAF=-ZBAD,

2

/.ZEAF=-ZEAG,

2，

:.ZEAF=ZGAF.

在AAE尸和AAG廠中，

AE=AG

<ZEAF=ZGAF,

AF=AF

/.△AEF^AAGF(SAS),

:.EF=FG,

:GF=GD+DF=DF+BE,

:.EF=BE+DF；

(3)解：連接腦V,延長AM、3N交于點C,如圖3,

?.?ZAOB=30°+90°+（90°-70°）=140°,AMON=70°,

ZMON=-ZAOB,

2

OA=OB,ZOAC+ZOBC=（90°-30°）+（70°+50°）=180°,

在四邊形35c中：OA=OB,ZOAC+ZOBC=180°AMON=|ZAOB,

二四邊形。ABC符合（2）中的條件,

二結論跖V=AM+3N成立,

BPMV=AM+5W=1.5x60+1.5x80=210（海里）,

答：此時兩艦艇之間的距離是210海里.

（4）解：結論：NEAF=18。°一JZDAB.

理由：如圖4,在DC延長線上取一點G,使得DG=3E,連接AG,

vZABC+ZA￡>C=180°,ZABC+ZABE=180°,

:.ZADC=ZABE,§PZABE=ZADG

在aAB石和AWG中,

AB=AD

<ZABE=ZADG,

BE=DG

「.△AB摩△ADG（SAS）,

.\AG=AE9NDAG=NBAE,

?.?點E在CB的延長線上，點廠在8的延長線上，仍然滿足（1）中的結論,

即EF=BE+DF,

EF=DG+DF=GF

在△AEF和AAGF中，

AE=AG

<AF=AF,

EF=GF

.-.AAEF^AAGF(SSS),

:.ZFAE=ZFAG,

■.■ZFAE+ZFAG+ZGAE=360°,

2ZFAE+(ZG4B+ZS4E)=360°,

2ZFAE+(ZGAB+〃AG)=360°,

即2ZFAE+ZDAB=360°,

ZEAF=1800--ZDAB

2'

12.(1)②；(2)①這個幾何體的表面積為108dm,體積為72dm3；②4.

【分析】本題考查簡單組合體，正方體的表面展開圖，解題的關鍵是理解題意，靈活

運用所學知識解決問題.

(1)根據要求動手操作可得結論；

(2)①幾何體有9個小正方體組成，由此可得結論；②根據要求作出判斷即可.

【詳解】(1)解：通過動手操作可知第①③④圖形經過折疊能圍成無蓋正方體紙盒，

第②個圖形經過折疊不能圍成無蓋正方體紙盒；

(2)①???正方體紙盒的棱長為2dm,

,正方體紙盒的單面面積為4dm,

這個幾何體露出的面數為6+6+5+5+5=27,

，這個幾何體的表面積為27x4=108dm"

這個幾何體的體積為9x2x2x2=72dm3；

②要保持從上面看到的平面圖形不變，最多可以拿走小正方體的個數是4,

故答案為：4.

13.（1）見解析；（2）130°；（3）。360。-巧.

【分析】本題主要考查了平行線的性質、四邊形內角和定理及角平分線的性質等知識

點，

（1）過點5作則他〃曲/〃CD,根據平行線的性質得==據

此結合圖形可得出結論；

（2）根據角平分線的定義得/==再由（1）的結論得

ZAFC=ZEAF+ZDCF,然后根據四邊形的內角和等于360。得/A3C+2NAFC=360。，進而即可

得解；

（3）根據（1）的結論可知/G=/EA片+/OCG，/月=/胡月+/DCg,據止匕可得再

由（2）可知4=；（360。-/ABC）,據此得4=1（360。-X。），，以此類推可得出//的度

數；

熟練掌握平行線的性質和角平分線的性質是解決此題的關鍵.

【詳解】（1）證明：如圖，過點5作3//AE,

AE

M----yB

,/AE//CD,

/.AE//BM//CD,

/.ZABM=ZA,ZCBM=ZC,

/.ZA-^ZC=ZABM-vZCBM,即NA+NC=NABC；

（2）解：????平分/胡凡。方平分48,

/.ZEAF=ZBAF,ZDCF=ZBCF,

由(1)可矢口，ZAFC=ZEAF+ZDCF,

/.ZBAF+ZBCF=ZEAF+ZDCF=ZAFC,

二?四邊形的內角和等于360。，

/.ZABC+ZBAF+NBCF+ZAFC=360°,即ZABC+2ZAFC=360°,

ZAFC=1(360°-ZABC)

,/ZABC=100°,

：.ZAFC=130°；

(3)；AK平分"的，華平分NDCK,

：.NEAF?=|NEAK,NDCF?=-ZDCF,,

/.ZEAF2+ZDCF2=g(NEAX+NDC&),

由(1)可矢口，=^EAF,+ADCF?AF2=ZEAF2+ZDCF2,

由(2)可知，4=g(360°-/ABC),

又：ZABC=x°,

：.Z^=1(360°-xo),

4=；4=)(360。r。),

同理隹=:隹=白360。-x。)，

……，以此類推，

"=。360。-廿)