2025年中考數學專項訓練：一元一次方程的應用（含解析）

2025年中考數學專題訓練:兀,次方程的應用

一、單選題

1.某市按以下規定收取每月的燃氣費，用燃氣不超過30立方米，按每立方米1.2元收費；如果超

過30立方米，超過部分按每立方米2元收費.已知3月份張老師家的燃氣費平均每立方米1.50元，

那么3月份張老師家應繳燃氣費（）

A.48元B.60元C.72元D.90元

2.嘉嘉設計了一個“幻方”游戲，現在將1、-2、3、Y、5、-6、7、-8分別填入圖中的圓圈內，使

橫、豎以及內外兩個正方形頂點上的4個數字之和都相等，則。+匕的值為（）

A.-7或4B.-8或1C.一1或-4D.1或-1

3.《四元玉鑒》中提出了下列問題：今有布帛二色，共織三丈六尺，已知白布每尺價八文，彩布每

尺價十文，若白布減五尺，彩布增三尺，二者總價相等，問白布、彩布各幾何尺？這段話的意思是:

現在有白色和彩色兩種布帛，總共織了三丈六尺（一丈等于十尺，三丈六尺就是36尺）.已知白色

布每尺價格是8文錢，彩色布每尺價格是10文錢，如果白色布的長度減少5尺，彩色布的長度增加

3尺，那么白色布和彩色布的價錢就相等.問白色布和彩色布各有多少尺？設白色布有x尺，可列方

程為（）

A.10（%-5）=8（36-x+3）B.8（x-5）=10（36-x+3）

C.10（x-5）=8（x+3）D.8（x+5）=10（x-3）

4.為弘揚中華優秀傳統文化，某校組織了傳統文化知識競賽，共設20道選擇題，各題分值相同，每

題均為必答題.下表統計了3名參賽學生甲，乙，丙的得分情況，則另一名參賽學生丁的得分可能是

()

參賽學生答對題數答錯題數得分/分

甲200100

乙18288

丙101040

A.54分B.64分C.78分D.93分

5.小明一家人去電影院看電影《哪吒（2）》,路上預計用時25分鐘，但由于堵車，結果實際車速

比預計的每小時慢10千米,且路上多用了5分鐘.設預計車速為x千米/時，根據題意可列方程為（）

2525+59525+5

A.——x=(x+10)B.—(x+10)=-------x

606060v)60

c2525+5

C.25x=30x-10D.—x=-------(x-10)

6060

6.《孫子算經》中有一道題，原文是：今有三人共車，二車空；二人公車，九人步.問人與車各幾

何？譯文為：今有若干人乘車，每3人共乘一車，最終剩余2輛車；若每2人共乘一車，最終剩余9

個人無車可乘.問共有多少人？多少輛車？設共有1人，可列方程為（）

x+2x-9

A.--------9B.1+2=

322

x-9x-2x

C1-2=D.

232

7.《九章算術》中記載，浮箭漏出現于漢武帝時期.如圖，它由供水壺和箭壺組成，箭壺內裝有箭

尺，水勻速地從供水壺流到箭壺，箭壺中的水位逐漸上升，箭尺勻速上浮，可通過讀取箭尺刻度計算

時間.已知在箭尺有一定讀數的情況下，供水2小時，箭尺讀數為18cm；供水6小時，箭尺讀數為

42cm.設開始高度為無cm,根據題意可列方程為（）

浮箭漏示意圖

A.2（18-x）=6（42-%）B.2（18+x）=6（42+x）

-18-x42-x—18+x42+%

C.-------=--------D.-------=--------

2626

8.如圖.在四邊形ABCD中，AD//BC,1B90?,AB=8cm,AD=10cm.5C=12cm.點尸從

點A出發，以lcm/s的速度向點。運動，點。從點。同時出發，以4cm/s的速度在線段5C上來回

運動，當點尸當到達點。時，P、。兩點停止運動.在此運動過程中，出現尸。〃8和=的

次數分別是（）

二、填空題

9.下表是友誼商場某品牌電腦的記賬單，其中進價一欄被墨跡污染，則該品牌電腦的進價是元.

進價（商品的進貨價格）■

標價（商品的預售價格）6800元

折扣8折

利潤（實際銷售后的利潤）440元

10.按下面的程序計算，若開始輸入的值X為正數，最后輸出的結果為26,請寫出符合條件的所有X

的值

是

->x3—>+2>20

杏

11.“洛書”是中國重要的文化遺產，可轉為如圖1的三階幻方，每行、每列、每條對角線上的三個數

之和相等.圖2是一個不完整的三階幻方，結合圖中信息可得x+y=

492X-16

3577y

816

12.如圖，已知正方形ABCD的邊長為4,甲、乙兩動點分別從正方形A3C￡＞的頂點A,C同時沿正

方形的邊開始移動，甲點按順時針方向環行，乙點按逆時針方向環行.若乙的速度是甲的速度的3倍，

則它們第2025次相遇在_________邊上.

13.在一次勞動課上，有30名同學在甲處勞動，有12名同學在乙處勞動，現在另調25人也去這兩

處勞動，使得在甲處勞動的人數是在乙處勞動的人數的2倍，如果設調往甲處x人，那么依題意可列

方程為.

14.如圖，43〃8,￡,歹分別為直線4民。￡＞上兩點，且/班F=90。射線￡8繞點E以3度/秒的速

度順時針旋轉至防停止，射線ED繞點廠以12度/秒的速度逆時針旋轉至射線所后立即以8度/秒的

速度順時針返回.當座與所重合時，兩條射線都停止運動，設旋轉時間為f（秒），當EB〃ED時,

f的值為秒.

CFD

三、解答題

15.我國古代文房四寶（筆、墨、紙、硯）是文人墨客必備的文具.某文房閣直接從作坊購進毛筆、

硯臺兩款文具進行銷售，進貨價和銷售價如下表：

毛筆硯臺

40

進貨價/（元/件）30

銷售價/（元/件）4560

（1）該文房閣第一次用1300元購進毛筆、硯臺兩款文具共40件，求兩款文具分別購進的件數；

（2）第一次購進的兩款文具售完后，該文房閣計劃最多用5600元再次購進毛筆、硯臺兩款文具共150

件，該文房閣應如何設計進貨方案，才能使第二次所購毛筆、硯臺全部銷售完后能獲得最大銷售利潤？

最大銷售利潤是多少元？

16.魯班鎖是我國古代傳統建筑物的固定結合器，也是一種廣泛流傳的益智玩具，如圖1.其中六根

魯班鎖中一個構件的一個面的尺寸如圖2所示.已知a/=3:4,b:c=4:l,求這個面的面積.

圖1圖2

17.某中學組織部分學生赴博物館參加研學活動，委托甲、乙兩家旅行社承擔此次活動的出行事宜.由

于接待能力有限，甲旅行社一次最多只能接待機人(即額定數量)，超過額定數量的人，再由乙旅行

社接待.甲旅行社收費標準：團隊固定費300元，再額外收取每人150元；乙旅行社收費標準；每人

收取180元.該中學第一批組織了35名學生參加，總費用為5700元.

⑴求甲旅行社一次最多能接待的人數；

(2)為節約開支，要控制人均費用不超過165元，試求每批組織人數x的合理范圍.

18.【建立概念】對于兩個不相等的有理數。，b,我們規定符號max{。/}表示。，b,中的較大值,

如max{2,-3}=2,max{-1,0)=0.

【概念理解】請解答下列問題：

(1)max{3,-5}=；

(2)如果max{x,2-x}=2-x,求x的取值范圍;

【拓展應用】

(3)如果max{x,2-x}=2|x-l|-5,求x的值.

19.甲乙兩名同事計劃周末登“虞山”，兩人從山下同一地點出發，相約11:00之前到達山頂某景區，

甲先出發，中途在休息一段時間后保持原速繼續登山；乙晚出發40分鐘，比甲早到達山頂.從8:30開

始計時，時長記為t分鐘，甲、乙兩人登山的路程記為海、%.甲、乙兩人登山的路程昨、y乙與時

長/之間的函數關系如圖所示.

杈(米)

(1)乙到達山頂的時間為;

(2)記甲的速度為匕，乙的速度為匕.

①甲、乙兩人的速度之比五的值為

②已知甲的速度匕=80米/分鐘，在乙登山的過程中，若|舜-九|=2000,求t的值.

20.【背景知識】數軸是初中數學的一個重要工具，利用數軸可以將數與形進行完美地結合.研究數

軸我們發現了很多重要的規律.如數軸上點A、8在數軸上分別表示有理數。、b,則A、B兩點之

間的距離表示為鈣=|。-班

【綜合運用】已知點A、B、C為數軸上三個點，表示的數分別是b,c,滿足(c-7『+|6-13|=(),

且。為二的倒數.

12

(1)?=,b=,c=；

(2)若動點P從點A出發沿數軸正方向運動，動點。同時從點B出發也沿數軸正方向運動，點P的速度

是每秒3個單位長度，點。的速度是每秒2個單位長度.設運動的時間為I秒(/＞。).

①用含f的式子表示：，秒后，點尸表示的數為;

②當PO=6時，求f的值.

⑶在(2)的條件下，尸、。出發的同時，動點M從點C出發沿數軸正方向運動，速度為每秒5個單

位長度，點M追上點。后立即返回沿數軸負方向運動.求點M追上點。后再經過幾秒，MQ=2MP?

《2025年中考數學專題訓練：一元一次方程的應用》參考答案

題號12345678

答案CABBDBCA

1.C

【分析】本題考查一元一次方程的應用，理解收費規定建立方程是解題的關鍵.根據3月份張老師

家的燃氣費平均每立方米L5O元，可知用戶用量超過30立方米，設3月份燃氣用量為無，則根據平均

每立方米1.50元，可得出方程，解出x后，即可得出答案.

【詳解】解：..P月份張老師家的燃氣費平均每立方米1.50元，

用戶燃氣用量超過30立方米,

設3月份燃氣用量為無，

由題意得，30xl.2+(x-30)x2=1.5x,

解得：x=48,

則3月份張老師家應交燃氣費為：48x1.5=72(元)

答：3月份張老師家應交燃氣費72元.

故選：C

2.A

【分析】本題考查了一元一次方程.由于八個數的和是T,所以需滿足內外兩個正方形頂點上的4

個數字之和都是-2,橫、豎的和也是-2.列方程可得結論.

【詳解】解：設小正方形頂點上的數為無，大正方形頂點上的數為》

1—2+3—4+5—6+7-8=4

:橫、豎以及內外兩圈上的4個數字之和都相等，

內外兩個正方形頂點上的4個數字之和都是-2,橫、豎的和也是-2,

則T—6+6+7=—2,得6=1,

-6—2+/?+x=—2,x=5,

a+x—2+y=—2,。+y=-5,

:當a=3時，＞=-8,則°+人=3+1=4,

當口=-8時，y=3,貝!Ja+6=-8+l=-7,

故選：A.

3.B

【分析】本題考查了一元一次方程的應用，讀懂題意，找出等量關系是解題的關鍵.由題意可知，現

在有白色和彩色兩種布帛共有36尺，設白色布有x尺，那么彩色布帛有（36-x）尺，如果白色布的長

度減少5尺，彩色布的長度增加3尺，那么白色布有（x-5）尺，彩色布有（36-尤+3）尺，然后根據白

色布每尺價格乘以白色布數量等于彩色布每尺價格乘以彩色布數量列出方程即可.

【詳解】解：設白色布有無尺，那么彩色布帛有（36-x）尺，由題意可知，

8（x-5）=10（36-x+3）

故選：B.

4.B

【分析】本題考查了一元一次方程的應用，由記錄表格可知，答對一道題得5分，答錯一道題扣1分，

設答對x道題，則得分（6x-20）分，逐一對選項求解，根據x為正整數，即可得到答案.

【詳解】解：由甲同學得分情況可知，答對一道題得10）+20=5分，

由乙同學得分情況可知，答錯一道題扣（18x5-88）+2=1分，

丙同學得分也符合；

設學生丁答對x道題，則答錯（20-k道題，

得分=5x-（20-x）=6x-20,且x為正整數，

,37

A、6%-20=54,解得：x=—,不符合題意；

B、6x-20=64,解得：x=14,符合題意；

49

C、6x-20=78,解得：x=y,不合題意；

113

D、6x-20=62,解得：%=—,不符合題意；

6

故選：B.

5.D

【分析】本題主要考查了由實際問題列一元一次方程，找準等量關系、正確列出一元一次方程是解題

的關鍵.

設預計車速為X千米/時，由實際車速比預計的每小時慢了10千米可得出實際車速為（X-10）千米/時,

利用路程=速度X時間，結合路程不變，即可得出關于x的一元一次方程即可解答.

【詳解】解：設預計車速為X千米/時，則實際車速為（X-10）千米/時，

依題意得：|jx=§^（xT。），

o（Jo（J

故選：D.

6.B

【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題

的關鍵.根據車的輛數不變，即可列出方程求解.

【詳解】解：由“每3人共乘一車，最終剩余2輛車”可知車輛有21兩，由“每2人共乘一車，

X—9

最終剩余9個人無車可乘”可知車輛有亍輛，

所以可列方程3+2=

32

故選：B.

7.C

1R—x42—x

【分析】本題主要考查了一元一次方程的應用，設開始高度為xcm,根據題意列出方程=—E

26

即可，讀懂題意，找出等量關系，列出方程是解題的關鍵.

【詳解】解：設開始高度為xcm,

根據題意得，?1R—x42—x

26

故選：C.

8.A

【分析】本題考查了平行四邊形的性質，矩形的性質，勾股定理，根據題意分別求得尸。〃。和

PQ=a＞的情形，分類討論，即可求解.

【詳解】解：設點P的運動時間為f,

：AD=10cm,點尸從點A出發，以lcm/s的速度向點￡（運動，當點尸當到達點D時，P、Q兩點停

止運動.

；"=￥=10秒，AP^t,則PD=10T,

?.,3C=12cm,點。從點C同時出發，以4cm/s的速度在線段BC上來回運動，

：.—=3,

4

當時，則四邊形POC。是平行四邊形，

：.PD=CQ,

當04r<3時，點。從C到2運動，02=4/,

10—=4^,解得：t=2,

當3WZV6時，點。從3到C運動，CQ=2xl2-4t,

???10-=2x12—4，，

解得,：”拳14

當64，<9時，點。從。到5運動，CQ=4t-2xl2,

,，34

「?10—?=4，一2x12,解得：t-,

當9W/W10,點。從5到C運動，CQ=3xl2-4%,

26

10—f=3x12—4z,解得：f=?-<9（舍去）,

/.尸。〃。能出現三次，

如圖所示，過點尸，。分別作BC的垂線，垂足分別為F,E,

,/AD//BC,?B90?,

四邊形是矩形，

BE=AD=10,CE=BC—BE=12—10=2,DE=AB=8,

：,RtCDE中，DC=dDE?+EC。=荷+2。=2厲，

當PQ=CD時，

在M尸尸。中，PQ=Jpp2+歹02=舊+FQ2=2后，

：.FQ=2,

當04，＜3時，點。從C到B運動，FQ=\BQ-BF\=\BQ-AP\=\k2-4t-t\=\n-5t\,

|12-5r|=2,解得：r=2或"1，

當33＜6時，點。從8至IJC運動，FQ=\BQ-BF\=\BQ-AP\=\4t-12-t\=]n-3t\,

A|12-3/|=2,解得：公號或

當6?。?時，點。從C至IJB運動，FQ=\BQ-BF\=\BQ-AP\=\[2x3-4t-t\=\36-5t\,

|36-5r|=2,解得:"，或

當9WY10,點。從2到C運動，FQ=\BQ-BF\=\BQ-AP\=\4t-36-t\^3t-3^,

OO34

；.[36-3*2,解得：f=y>10（舍去）或r=q>10（舍去），

.?.PQ=CD能出現6次，

故選：A.

9.5000

【分析】本題考查了一元一次方程的應用，設該品牌電腦的進價是x元，利用利潤=標價x折扣率-進

價，可列出關于X的一元一次方程，解之即可得出結論.

【詳解】解：設該品牌電腦的進價是X元，

根據題意得：6800x0.8-%=440,

解得：x=5000,

該品牌電腦的進價是5000元.

故答案為：5000.

10.2或8/8或2

【分析】本題考查了程序流程圖與有理數計算，一元一次方程的應用，根據輸出結果，由運算程序求

出所有x的值即可，熟練掌握運算法則是解題的關鍵.

【詳解】解：若第一次輸入龍，輸出結果為26時，則3x+2=26,解得:x=8；

若第二次輸出結果為26時，則3x+2=8,解得：x=2；

若第三次輸出結果為26時，則3x+2=2,解得：尤=0（不符合題意）；

所有正數x的值為2或8,

故答案為：2或8.

11.-2

【分析】本題考查了一元一次方程的應用，根據題意列出方程，求解即可.

【詳解】解:如圖:

由圖可知：x+(-l)+6=7+a+y=x+a+6=6+y+b,

a=2fb=3,

如圖:R□

□EH□□

由圖可矢口：x+7+c=—l+2+d=6+y+3=c+d+3=c+2+6,

c=—2,

:.和為6,

如圖:

□□RR□

x+y=1+(—3)=—2,

故答案為：-2.

12.AD/DA

【分析】本題考查了運動中的規律、一元一次方程的實際應用等知識點，發現相遇點所在的邊循環出

現成為解題的關鍵.

設甲的速度是1,則乙的速度為3,根據題意，4x(l+3)=4+4,解得％=2,“=2,第一次相遇點

片在的中點上；第二次相遇時，滿足小。+3)=4*4,解得”4,S甲2=4,第二次相遇點工在

C。的中點上；第三次相遇時，滿足/3X(1+3)=4X4,解得與=4,V=4,第二次相遇點工在BC的

中點上；第四次相遇時，滿足乙*。+3)=4*4,解得「4,S甲4=4,第二次相遇點工在的中點

上；依次循環，根據2025+4=506一1與月相同，據此即可解答.

【詳解】解：設甲的速度是1,則乙的速度為3,

根據題意：

4義(1+3)=4+4,解得乙=2,S和=2,第一次相遇點原在加的中點上；

第二次相遇時，滿足/爐(1+3)=4*4,解得芍=4,ST2=4,第二次相遇點F?在CO的中點上；

第三次相遇時，滿足。3*(1+3)=4><4,解得與=4,SV3=4,第二次相遇點匕在BC的中點上；

第四次相遇時，滿足/4><(1+3)=4X4,解得。=4,S甲L4,第二次相遇點總在的中點上;

依次循環，根據2025+4=5061與原相同，即它們第2025次相遇在邊上.

故答案為：DA.

13.30+x=2[12+(25-切

【分析】本題考查根據實際問題列方程，根據在甲處勞動的人數是在乙處勞動的人數的2倍，列出方

程即可.

【詳解】解：設調往甲處x人，則調往乙處(25-x)人，由題意，得：

30+x=2[12+（25-切;

故答案為：30+x=2[12+（25-x）]

14.12或24

【分析】本題考查平行線的性質，分0UV15和15<"30兩種情況，根據平行線的性質，列出方程

進行求解即可.正確的畫圖，利用分類討論的思想進行求解，是解題的關鍵.

【詳解】解：由題意，得：班與E尸重合所需時間為90+3=30s,ED旋轉至射線FC所需時間為：

180+12=15s；ZBEB'=3t0,

:AB//CD,ZBEF=90°,

：.ZEFC=ZDFE=90°,

當0<r<15時，如圖，

?/EB'//Fiy,

：.NFEB'=AEFJJ,即：90—3/=12r—90,

解得：/'=12；

當15<f430時，如圖：

cFD

同理：NFEB1=NEFD,即：90—3f=90—8”一15),

解得：/=24；

綜上：f=12或24；

故答案為：12或24.

15.(1)購進毛筆30件，購進硯臺10件

(2)應該購進毛筆40件，購進硯臺110件，才能獲得最大利潤，最大利潤為2800元

【分析】本題考查了一元一次方程，不等式的應用，一次函數的應用，熟練利用題意得到不等關系或

等量關系是解題的關鍵.

(1)設購進毛筆x件，則購進硯臺(40-力件，根據進貨價為1300元列方程即可解答；

(2)設第二次購進毛筆機件，則購進硯臺(150-m)件，獲得的利潤為w元，表示出第二次所購毛筆、

硯臺全部銷售完后能獲得銷售利潤，再利用最多用5600元再次購進毛筆、硯臺列不等式求得自變量

的取值范圍，即可解答.

【詳解】(1)解：設購進毛筆x件，則購進硯臺(40-力件，

根據題意可得30^+40(40一x)=1300,

解得尤=30,

40-x=40-30=10件，

答：購進毛筆30件，購進硯臺10件；

(2)解：設第二次購進毛筆加件，則購進硯臺(150-機)件，獲得的利潤為卬元，

根據題意可得w=(45-30)m+(60-40)(150-rn)=-5m+3000,

最多用5600元再次購進毛筆、硯臺兩款文具共150件，

30m+40(150-m)<5600,

解得m>40,

m的最小值為40,

;—5<0,

二校隨加的增大而減小，

則加取最小值40時，最大利潤為—5x40+3000=2800元，

150—40=110件，

答：應該購進毛筆40件，購進硯臺110件，才能獲得最大利潤，最大利潤為2800元.

16.16

【分析】本題考查了一元一次方程的應用，整式混合運算的實際應用，由已知可設a=3x,b=4x,

c=x,進而根據24+6=10得2x3x+4x=10,即得x=l,即可得“=3,6=4,c—\,再根據圖形列

式計算即可求解，正確識圖是解題的關鍵.

【詳解】解："：》=3:4,6:c=4:l,

可設。=3x,b=4x,c=x,

由圖可得，2a+b=10,

2x3x+4x=10,

解得x=l,

a=3,b=4,c=l,

這個面的面積=10x2c-bc=10x2xl—4x1=16.

17.(1)甲旅行社一次最多能接納的人數為30人；

⑵每批組織人數x的合理范圍為204x440.

【分析】本題考查了一元一次方程和一元一次不等式的應用，根據題意，掌握列出一元一次方程和一

元一次不等式是解題的關鍵.

(1)當"亞35時，35名學生的總費用為35x150+300=5550/5700,得加<35,依題意可得方程

300+15O/n+18O(35-m)=5700,解方程即可求解；

(2)分兩種情況：0<x430和x>30,列出不等式解答即可求解；

【詳解】(1)解：若加235,則35名學生的總費用為35x150+300=5550元，

5550^5700,

m<35,

依題意得，300+150?7+180(35-m)=5700,

解得wi=30,

答：甲旅行社一次最多能接納的人數為30人；

(2)解：當0<x430時，150x+3004165x；

解得20W30；

當x>30時，300+150x30+180(^-30)<165%,

解得30〈尤440；

每批組織人數x的合理范圍為20<x<40.

18.(1)3；(2)x<l；(3)X的值為7或—5.

【分析】本題考查了一元一次不等式的應用、一元一次方程的應用，理解符號max{a,耳的定義是解

題的關鍵.

(1)根據規定符號max{〃,。}表示。，b,中的較大值即可求解；

(2)根據規定符號max{al}可得％<2-%,然后解不等式即可得；

(3)根據題意分①%>2-1；②了<2-兄兩種情況結合絕對值的意義進行分析解答即可.

【詳解】解：(1)V3>-5,

max{3,-5}=3,

故答案為：3；

(2)Vmax{x,2-x}=2-x,

x<2-x,

(3)①元>2—無時，即犬>1,

■:max{x,2-x}=2|x-l|-5,

x=2|x—1|—5,

.**x—2(%-1)-5,

解得：x=7；

②x<2-x時，即不<1,

max{x,2-%}=21x-11一5,

2-x—2|x-1|-5,

**?2-x--2(x-1)-5,

解得：X=-5；

綜上可知：%的值為7或-5.

19.(1)10:30

21Q0

(2)①];②，=不-或110

【分析】本題考查函數的圖象的應用，一元一次方程的應用，掌握速度、時間和路程之間的關系是解

題的關鍵.

(1)根據乙出發的時刻和到達景區所用的時間計算即可；

(2)①根據速度=路程+時間分別用含b的代數式將甲、乙的速度表示出來并求出二者的比值即可;

②根據甲的速度和甲、乙的速度比值求出乙的速度，由路程=速度x時間分別求出昨、y乙的關于/的

函數關系式并代入|y甲-五|=2000,得到關于/的方程并求解即可.

【詳解】（1）解：:120分鐘=2小時,

乙到達山頂的時間為10:30.

故答案為：10:30.

bb

（2）解：①＞一］50_（90—60廠詢（米/分鐘）

bb

%==￡-(米/分鐘),

2120-40oU

b

?vi_120_