2025中考數學一輪復習：圖形的相似（含解析+考點卡片）

2025年中考數學一輪復習

第25講圖形的相似

一.選擇題（共10小題）

1.如圖，△/2C與△。即是位似圖形，BC,跖都與x軸平行，點/,。與位似中心點P都在x軸上,

點C,￡在y軸上.若點3的坐標是（2,3）,點尸的橫坐標為-1,則點尸的坐標為（)

-2)C.(-1.5,0)D.(0,-1.5)

2.把一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長的比值等于較小部分與較大的比值，則這個比值為黃金

V5-1

分割，比值為,它被公認為是最能引起美感的比例，如圖1為世界名畫蒙娜麗莎.如圖2,點E

是正方形/BCD的48邊上的黃金分割點，且以NE為邊作正方形NEAF,延長E7Z交CD于

點/,連結29交￡/于點G,連結2/,則&BC7：S&FGH為（）

述+1

2

3.如圖，在5X5網格圖中，每個小正方形的邊長均為1,三角形①、②均為格點三角形，則下列關于

三角形①、②的說法正確的是（）

A.一定不相似，周長比為1：：2

B.一定位似，位似比為1：2

C.一定相似，面積比為1：4

D.一定相似，相似比為1：4

4.如圖，在△N2C中，點。、E、廠分別在43、AC,3c邊上，DE//BC,EF//AB,則下列比例式中錯

誤的是（）

AEBFADABEFDECEEA

A.—=—B.—=BCD，CF-BF

ECFCBF°AB-BC

5.如圖，在平行四邊形/BCD中,￡是45延長線上一點，連接。石，交4C于點G,交于點尸，那么

圖中相似三角形（不含全等三名，形）共有（）

A.6對B.5對C.4對D.3對

4G

6.如圖，平行四邊形中，E,尸分別為的中點,AF與DE相交于點G,則二的值是（）

FG

AD

BFC

2333

A?餐B.JC.-D-E

7.如圖，矩形紙片/BCD,AB^15cm,BC=20cm,先沿對角線/。將矩形紙片/BCD剪開，再將三角形

紙片N3C沿著對角線/C向下適當平移，得到三角形紙片48。，然后剪出如圖所示的最大圓形紙片,

則此時圓形紙片的半徑為()

601203672

A.—cmB.cmC.—cmD.—cm

7755

8.如圖，在正方形網格圖中，以。為位似中心，作線段48的位似圖形，若點。是點3的對應點，則點

9.如圖，點/(0,3),B(1,0),將線段平移得到線段。C.若//8C=90°,BC=2AB,則點C

的坐標為()

OBx

A.(7,2)B.(7,5)C.(5,6)D.(6,5)

10.生活中到處可見黃金分割的美，如圖，在設計人體雕像時，使雕像的腰部以下。與全身6的高度比值

接近0.618,可以增加視覺美感，若圖中6=3根，貝la約為()

A.1.236mB.1.416mC.1.584mD.1.854m

二.填空題（共5小題）

11.對許多畫家、藝術家來說“黃金分割”是他們在現實的創作中必須深入領會的一種指導方針，攝影師

也不例外.攝影中有一種拍攝手法叫黃金分割構圖法，其原理是：如圖，將正方形/BCD的邊3c取中

點O,以。為圓心，線段。D為半徑作圓，其與邊的延長線交于點￡,這樣就把正方形延伸

為黃金矩形48即，若CE=4,則/2=.

EF3

12.如圖，已知直線如果一=/,AB=3,則8C=

DF5

13.如圖，正方形/BCD的邊長為3,點￡為/。邊的中點，連接3D、CE,8。與CE相交于點尸，則￡（尸

的長為.

14.如圖，△4BC與△￡>￡尸是位似圖形，位似中心為。，OA-.40=3：4,S“BC=9,則△。即的面積

為

D

15.如圖，在矩形48CD中，AB=3,3c=10,點E在邊2C上，DF±AE,垂足為F若DF=6,則線

段防的長為.

16.如圖，在平面直角坐標系中，△N3C的頂點/,B,C的坐標分別是（-3,4）、（-4,1）、（-2,2）,

結合平面直角坐標系解答下列問題.

（I）畫出△NBC繞點。順時針旋轉90°得到的△N0。，并寫出點方的坐標；

1

（2）以點。為位似中心，畫出一個三角形，使它與△/8C的相似比為了且不在同一象限.

17.如圖，某位同學通過調整自己的位置測量樹高/￡設法使三角板的斜邊。尸保持水平，并且邊。￡與

點8在同一直線上.已知兩條邊DE=0.4加，EF=02m,測得邊離地面距離ZC=1.5加，人與樹的

距離CO=8%,求樹高N5的值.

18.如圖，在△/8C中，點。、￡分別在邊/C上，DE//BC,若AD=2,BD=5,則=的值

BC

為.

A

19.如圖48為。。的直徑，C為圓上的一點，。為劣弧的中點，過點。作。。的切線與/C的延長線

交于點尸，與48的延長線交于點尸，與BC交于點E.(1)求證：①/DCB=NCAD：②。。2=

DE-AD：

20.小明和小亮同學想利用數學知識測量矗立在廣場邊上的旗桿的高度.如圖，他們在廣場上的。處

放置了一根垂直于地面的標桿CD,然后小明筆直地站在尸處，小亮在尸和。之間找到一個合適的位置

P,并在尸點處放置了一面小鏡子，此時小明恰好看到在鏡子里點/和點。重合.已知，點尸、P、D、

8在同一條直線上，通過測量,3。=8.8%,網＞=2.2"2,。=1.8加，小明的眼睛離地面的高度跖=1.5根.求

旗桿N3的高度.

2025年中考數學一輪復習

第25講圖形的相似

一.選擇題（共10小題）

1.如圖，△/2C與△。即是位似圖形，BC,跖都與x軸平行，點/,。與位似中心點P都在x軸上,

點C,E在歹軸上.若點5的坐標是（2,3）,點尸的橫坐標為-1,則點P的坐標為（）

(0,-2)C.(-1.5,0)D.(0,-1.5)

【考點】位似變換；坐標與圖形性質.

【專題】圖形的相似；推理能力.

【答案】A

PQPE

【分析】過點2作跳Lx軸于點氏根據△尸即s/v^c,得到77；=二，根據題意求出。尸，得到答案.

PHCD

【解答】解：如圖，過點2作軸于點

則OE//BH,

△PEFs/\PBC,

POPE

PH~PB'

點B的坐標是(2,3),點方的橫坐標為-1,

CB=2,EF=3

BC,環都與x軸平行，

BC//EF,

PEEF1

PB~BC~2

PO1

PH一2’

OP=2,

點P的坐標為（-2,0）,

故選：A.

【點評】本題考查的是位似變換，根據題意求出相似比是解題的關鍵.

2.把一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長的比值等于較小部分與較大的比值，則這個比值為黃金

V5-1

分割，比值為它被公認為是最能引起美感的比例，如圖1為世界名畫蒙娜麗莎.如圖2,點E是正

方形488的A8邊上的黃金分割點，且4E>EB,以/E為邊作正方形/￡7小，延長E"交CD于點/,連

結3斤交E/于點G,連結2/,則&BC/：SAFGH為（）

圖1

V5+1

【考點】黃金分割；整式的混合運算.

【專題】圖形的相似；推理能力.

【答案】D

【分析】根據正方形的性質得出8C=C〃=D4=NB,EH=HF=FA=AE,FH//AE.根據黃金分割的意義

AEBEV5-1GHFH,GHAEV5-1

得出弁=77=~~?由AFHGS^BEG,得出二=/，根據合比性質得出土：===--—，那么

i\.D4,￡，GEBEriCtJC\.D，

G〃=與匕/￡=與土4￡,根據矩形的性質與判定得出/C=BE,最后根據三角形的面積求出&BC7：S&

/5+1

FGH=

【解答】解：???四邊形Z5CQ是正方形,

BC=CD=DA=AB.

???點E是正方形45CQ的45邊上的黃金分割點，且AE>EB,

AEBE岳一\

AB~AE~2

四邊形是正方形,

：.EH=HF=FA=AE,FH//AE,

：.△FHGs4BEG,

GHFH

GE~BE'

GHFHAEAE遍T

HE-FH+BE~AE+BE~AB~2

^^HE=^^AE,

???GH=

?：/C=/CBE=/BEI=90°,

???四邊形5C/E是矩形,

：.IC=BE,

,「^^BC-ICAB-BEBEABV5-1AB后_]]___________2__V5+1

,?S*SyG片河病=而砧=荏?麗=丁?軍/-==

I,V5-1XV5-1vn

故選：D.

【點評】本題考查了正方形的性質，相似三角形、矩形的性質與判定，黃金分割的意義，比例的性質，三

角形的面積，掌握黃金分割的意義是解題的關鍵.

3.如圖，在5X5網格圖中，每個小正方形的邊長均為1,三角形①、②均為格點三角形，則下列關于

三角形①、②的說法正確的是（）

A.一定不相似，周長比為1：2

B.一定位似，位似比為1：2

C.一定相似，面積比為1：4

D.一定相似，相似比為1：4

【考點】位似變換.

【專題】圖形的相似；推理能力.

【答案】c

【分析】根據勾股定理求出兩個三角形的各邊長，根據相似三角形的判定定理、性質定理以及位似圖形的

概念判斷即可.

【解答】解：由勾股定理得：三角形①的三邊長分別為魚、瓜V5,

三角形②的三邊長分別為2VL2瓜2通，

，三角形①與三角形②相似，且相似比為1：2,

三角形①與三角形②的面積比為1：4,

???三角形①與三角形②的對應邊不平行也不在同一條直線上，

三角形①與三角形②不位似，

故選：C.

【點評】本題考查的是位似變換，掌握位似圖形的概念、相似三角形的判定和性質是解題的關鍵.

4.如圖，在△/BC中，點。、E、廠分別在48、AC,2C邊上，DE//BC,EF//AB,則下列比例式中錯

誤的是（）

AEBFADAB1DECEEA

A.—=—B.—=—C._\B~BCD,CF-BF

ECFCBFBC/

【考點】平行線分線段成比例.

【答案】C

【分析】根據平行線分線段成比例定理列出比例式，再分別對每一項進行判斷即可.

AEBF

【解答】4?O7”/—=77，故本選項正確

ECFC

B.9：DE//BC,

*_A_D____D_E

??—,

ABBC

■:EF〃AB,

:?DE=BF,

?_A_D_____B_F

??—，

ABBC

ADAB

,,BF-BC"

故本選項正確，

C.?：EF〃AB,

EFCF

?*?___—___，

ABBC

CFWDE,

EFDE

—W—，

ABBC

故本選項錯誤,

D.?：EF〃AB,

*_C_E_C_F

??—,

EABF

CEEA

"CF~BF'

故本選項正確，

故選：C.

【點評】此題主要考查平行線分線段成比例定理，關鍵是根據平行線分線段成比例定理列出比例式并能進

行靈活變形.

5.如圖，在平行四邊形/BCD中，￡是48延長線上一點，連接交/C于點G,交3C于點凡那么

圖中相似三角形（不含全等三角形）共有（）

A.6對B.5對C.4對D.3對

【考點】相似三角形的判定.

【答案】B

【分析】根據相似三角形的判定定理進行解答即可.

【解答】解：???四邊形是平行四邊形，

NEBF=ZEAD,ZEFB=ZEDA,

：.AEFRsAEAD；

同理可得，AFGCSADGA,△EBFSWCF,LGAEsAGCD,AADEsACDF.

故選：B.

【點評】本題主要考查了相似三角形的判定，平行四邊形的性質等知識點，能運用相似三角形的判定定理

進行證明是解此題的關鍵.

6.如圖，平行四邊形/BCD中，E,9分別為/瓦5c的中點，N尸與相交于點G,則大的值是（）

【考點】相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；平行四邊形的性質.

【專題】多邊形與平行四邊形；圖形的相似；推理能力.

【答案】A

【分析】根據平行四邊形的性質，點E是中點，可證N4DE出ABHE,可得可求出F/7與/D

的關系，再證△/OGs△萬HG,根據相似三角形的性質即可求解.

【解答】解：如圖所示，延長。￡,CB交于點”，

：.AD//BC,AD=BC,

；.N4DE=NH,且/NAED=/BEH,

:.4ADEqABHE(AAS),

：.BH=AD,

:尸是8C中點，

1

：.BF=^BC,

：.HF=BH+BF=^BC=|71D,

'：AD//HF,

：.AADGsAFHG,

.AGADAD2

FG~HF~IAD~3'

故選：A.

【點評】本題考查了平行四邊形的性質，相似三角形的判定和性質，掌握相似三角形的判定和性質是解題

的關鍵.

7.如圖，矩形紙片/BCD,AB=15cm,BC=20cm,先沿對角線NC將矩形紙片/BCD剪開，再將三角形

紙片/2C沿著對角線/C向下適當平移，得到三角形紙片然后剪出如圖所示的最大圓形紙片，則

此時圓形紙片的半徑為（）

【考點】相似三角形的判定與性質；矩形的性質；三角形的內切圓與內心；剪紙問題；平移的性質.

【專題】圖形的相似；推理能力.

【答案】A

【分析】過點4作4P_L4D于點尸，T^AP^Xcm,A'P^ycm,圓的直徑為利用對邊之間的關系可

得x與歹的關系，再利用/字型相似也可求出尤與y的關系，進而可求出x,d,從而得出結論.

【解答】解：過點/作4尸，4D于點尸，設/尸=xcm,A'P^ycm,圓的直徑為dea,

由題意可得：d+x=20,d-y=15,

.'.20-x—\5+y,即x+y=5,

ZAPA'=ZADC,

：.△,"△ADC,

APA'Pxy

—=---,即—=—,

ADCD2015

B

.20,120

..x=d=

，半徑為：一cm.

7

故選：A.

【點評】本題考查相似三角形的性質與判定，解題關鍵是構造合適的輔助線.

8.如圖，在正方形網格圖中，以。為位似中心，作線段Z8的位似圖形，若點。是點3的對應點，則點

【考點】位似變換.

【專題】圖形的相似；推理能力.

【答案】D

【分析】根據OD、08的長度求出相似比，根據位似變換的性質解答即可.

【解答】解：OB=2,

...線段與其位似的圖形的相似比為1：2,

由圖可知：點/的對應點是點G,

【點評】本題考查的是位似圖形，根據題意求出相似比是解題的關鍵.

9.如圖，點/(0,3),B(1,0),將線段平移得到線段DC.若//8C=90°,BC=2AB,則點C

的坐標為()

OBX

A.(7,2)B.(7,5)C.(5,6)D.(6,5)

【考點】相似三角形的判定與性質；坐標與圖形變化-平移.

【專題】平移、旋轉與對稱；圖形的相似；推理能力.

【答案】A

【分析】過點C作軸于點先證明△N02SA8HC,根據相似三角形的性質可得整CHBC

OB~AB"

求出點C的坐標，再根據平移的性質可得點D坐標.

【解答】解：過點。作軸于點”，如圖所示：

則N5HC=90°,

???點/(0,3)、B(1,0),

：.OA=3fBO=1,

VZAOB=90°,ZABC=90°,

：.ZOAB+ZOBA=90°,ZOBA+ZHBC=90°,

：.ZOAB=ZHBCf

,/NAOB=NBHC,

：.△AOBs^BHC,

.BHCHBC

??布~~OB~~ABf

?：BC=2AB,

:?BH=2OA=6,CH=2,OB—2,

???點。坐標為(7,2),

故選：A.

0BHx

【點評】本題考查了坐標與圖形的變換一平移，相似三角形的判定和性質，構造相似三角形是解題的關鍵.

10.生活中到處可見黃金分割的美，如圖，在設計人體雕像時，使雕像的腰部以下。與全身6的高度比值

接近0.618,可以增加視覺美感，若圖中6=3根，貝ija約為（）

：-

,,111

A.1.236mB.1.416mC.1.584mD.1.854m

【考點】黃金分割.

【專題】計算題；運算能力.

【答案】D

【分析】根據雕像的腰部以下。與全身b的高度比值接近0.618,因為圖中6為2米，即可求出。的值.

【解答】解：???雕像的腰部以下。與全身6的高度比值接近0.618,

a

=0.618,

0

?“為3米，

；.a約為1.854米.

故選：D.

【點評】本題考查了黃金分割，解決本題的關鍵是掌握黃金分割定義.

二.填空題（共5小題）

11.對許多畫家、藝術家來說“黃金分割”是他們在現實的創作中必須深入領會的一種指導方針，攝影師

也不例外.攝影中有一種拍攝手法叫黃金分割構圖法，其原理是：如圖，將正方形/8C0的邊8C取中點

O,以。為圓心，線段。D為半徑作圓，其與邊的延長線交于點E,這樣就把正方形N3CD延伸為黃

金矩形NBER若C￡=4,則AB=2甚+2.

【考點】黃金分割；矩形的性質；正方形的性質.

【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力.

【答案】2V5+2.

【分析】設根據正方形的性質可得/B=3C=x,則8￡=x+4,然后根據黃金矩形的定義可得空=

BE

與^從而可得」7=些三，最后進行計算即可解答.

2%+42

【解答】解：設48=x,

:四邊形是正方形，

:.AB=BC=x,

,.?CE=4,

BE=BC+CE=x+4,

:四邊形斯是黃金矩形，

.ABV5-1

??—，

BE2

*xV5-1

??—，

%+42

解得：x=2V5+2,

經檢驗：x=2有+2是原方程的根，

:.AB=2岳+2,

故答案為：2有+2.

【點評】本題考查了黃金分割，矩形的性質，正方形的性質，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關鍵.

EF39

12.如圖，己知直線4D〃3E〃CF,如果7；=/,4B=3,則BC=1.

7DTF52

【考點】平行線分線段成比例.

【專題】圖形的相似；推理能力.

9

【答案】--

【分析】根據平行線分線段成比例定理列出比例式，把已知數據代入計算得到答案.

EF3

【解答】解：=￡，

DF5

.DE2

??—―,

EF3

'：AD//BE//CF,

ABDE32

—=--,即—=一,

BCEFBC3

q

解得：BC=I，

_9

故答案為：

【點評】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準對應關系是解題的關鍵.

13.如圖，正方形45CQ的邊長為3,點E為/。邊的中點，連接AD、CE,與CE相交于點R貝！J。尸

的長為—工.

【考點】相似三角形的判定與性質；正方形的性質.

【專題】圖形的相似；推理能力.

【答案】V2.

3

FE[)F_

【分析】由題意可求8。=三芻*=3夜，證明則荔二即后g計算求解

cos-BFBC373—DF3n"

即可.

【解答】解：：正方形/BCD,

:.AD=BC=3,AD//BC,ZCBD=45°,/BCD=90°,

?\BD=I=3"

AD//BC,

：.ZEDF=ZCBF,/DEF=/BCF,

：.ADEFS/^BCF,

3

DFDEDF2

‘而二獲’即訴訴=三

解得，Z)F=V2,

故答案為：V2.

【點評】本題考查了正方形的性質，余弦，相似三角形的判定與性質.熟練掌握正方形的性質，余弦，相

似三角形的判定與性質是解題的關鍵.

14.如圖，△/8C與△￡>￡尸是位似圖形，位似中心為。，ON：4D=3：4,S“BC=9,則△DM的面積為

49.

【考點】位似變換.

【專題】圖形的相似；推理能力.

【答案】49.

AD

【分析】根據位似圖形的概念得到得到求出;根據相似三角形的性質計算

DE

即可.

【解答】解：?.?。/：/。=3：4,

：.OA：OD=3：7,

??,LABC與叢DEF是位似圖形，

J.AB//DE,

:.△OABs^ODE,

tABOA3

?'DE~OD~79

?S"BC_32=2

S^DEF749'

'：S&ABC=9,

.?.△D斯的面積為49,

故答案為：49.

【點評】本題考查的是位似變換的概念、相似三角形的性質，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方

是解題的關鍵.

15.如圖，在矩形NBC/）中，48=3,8C=10,點￡在邊8c上，DFLAE,垂足為凡若DF=6,則線

段EF的長為3.

AD

F

【考點】相似三角形的判定與性質；矩形的性質.

【專題】矩形菱形正方形；圖形的相似；推理能力.

【答案】3.

AFADDF

【分析】證明得到［7二二=―,求出4F,即可求出/￡,從而可得石尸.

BEAEAB

【解答】解：???四邊形45C。為矩形，

：.AB=CD=3,BC=AD=1O,AD//BC,

：.NAEB=ZDAF,

：.AAFD^AEBA,

.AFADDF

??靛~~AE~AB"

?；DF=6,

：.AF=7AD2-OF2=V100-36=8,

e8106

?'BE~AE~

：.AE=5,

：.EF=AF-AE=S-5=3,

故答案為：3.

【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質，矩形的性質，勾股定理，解題的關鍵是掌握相似三角形的

判定方法.

三.解答題（共5小題）

16.如圖，在平面直角坐標系中，△45。的頂點4,B,C的坐標分別是（-3,4）、（-4,1）、（-2,2）,

結合平面直角坐標系解答下列問題.

（1）畫出△45C繞點。順時針旋轉90°得到的△，彥C,并寫出點片的坐標；

（2）以點。為位似中心，畫出一個三角形，使它與△45C的相似比為最且不在同一象限.

yk

【考點】作圖-位似變換；作圖-旋轉變換.

【專題】作圖題；平移、旋轉與對稱；幾何直觀.

【答案】（1）圖見解析，點中的坐標為（1,4）；

（2）圖見解析.

【分析】（1）用旋轉的性質，分別作出對應點4、B\C,依次連接即可得到和點9的坐標;

（2）利用位似變換的性質分別作出對應點，依次連接即可得到答案.

【解答】解：（1）△/'B'C如下圖，點夕的坐標為（1,4）；

（2）位似三角形如圖所示.

【點評】本題考查了作圖一旋轉變換、位似變換，掌握旋轉變換和位似變換的性質是解題關鍵.

17.如圖，某位同學通過調整自己的位置測量樹高設法使三角板的斜邊。尸保持水平，并且邊與

點3在同一直線上.已知兩條邊￡>￡=0.4m，EF=0.2m,測得邊離地面距離/C=1.5加，人與樹的距離

CD—8m,求樹高43的值.

【考點】相似三角形的應用.

【專題】圖形的相似；推理能力.

【答案】樹高N5的值為5.5米.

【分析】利用Rt△。所和相似求得3C的長后加上小明同學的身高即可求得樹高

【解答】解：,:NDEF=/DCB=90°,ZD=ZD,

:.叢DEFs^DCB

.DEEF

?.—，

DCCB

,**DE=0.4TTI9EF=0.2m,CD'=8m,

*_0_.4_0_.2

??—,

8BC

ACS=4(m),

：.AB=AC+BC=l.5+4=5.5(米).

答樹高48的值為5.5米.

【點評】本題考查了相似三角形的應用，解題的關鍵是從實際問題中整理出相似三角形的模型.

_DE

18.如圖，在△48C中，點。、￡分別在邊N8、AC±,DE//BC,若AD=2,BD=5,則少的值為

BC

2

7一.

A

【考點】相似三角形的判定與性質.

【專題】圖形的相似；運算能力.

【答案】

【分析】由4D，3。的長，可求出48的長，由DE〃3C,可得出利用相似三角形的性

DE

質，即可求出力的值.

DC

【解答】解：?.7。=2,BD=5,

：.AB=AD+BD=2+5=7.

,:DE〃BC,

：.^ADE^^ABC,

.DEAD2

"BC~'AB~7'

，心入，2

故答案為：

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質，牢記“相似三角形的對應邊成比例”是解題的關鍵.

19.如圖A8為。。的直徑，。為圓上的一點，。為劣弧的中點，過點D作OO的切線與NC的延長線

交于點尸，與48的延長線交于點尸，40與3c交于點￡.(1)求證：①/DCB=/CAD：②CD?=DE，

AD：

切線的性質.

【專題】圓的有關概念及性質；圖形的相似；運算能力；推理能力.

【答案】(1)①見解答；

②見解答；

(2)—.

3

【分析】(1)①由圓周角定理即可得證；

②證明S即可得證；

△C￡D^JDC4

(2)連接。。，DB,OD交BC于點G,由②得出CD=2次，然后得出OD//4P,進而得出/尸=90°,

△PCDSADB,利用對應邊成比例即可解答.

【解答】(1)證明：①..?。為劣弧8C的中點，

：.DB=CD,

：.ZDCB=ZCAD；

②：NDCB=NCAD,

ZCDE=ZCDA,

’.△CEDsS,

.DECD

'CD-AD'

\CD2=DE-AD；

(2)解：如圖，連接O。，DB,OD交BC于點、G,

,:DE=2,AE=4,

：.AD=DE+AE=6,

'：CD2=DE，AD=2X2V3,

：.CD=2?

?：DB=CD,

：.OD±CB,CD=DB=2?

；./OGC=90°,

；AB為。。的直徑，

；.N4CB=N4DB=90°,

OD//AP,

：.ZP=90°,

:四邊形/CD5是。。內接四邊形，

NPCD=NABD,

:.△PCDSADB,

,PCDB2V3_V3

PD~AD~63'

【點評】本題考查與圓有關的性質和概念，相似三角形的判定和性質，正確作出輔助線是解題關鍵.

20.小明和小亮同學想利用數學知識測量矗立在廣場邊上的旗桿的高度.如圖，他們在廣場上的。處

放置了一根垂直于地面的標桿8,然后小明筆直地站在廠處，小亮在尸和。之間找到一個合適的位置P,

并在尸點處放置了一面小鏡子，此時小明恰好看到在鏡子里點/和點C重合.已知，點/、P,。、8在

同一條直線上，通過測量，BD—S.Sm,FD—2.2m,CD=1.8?z,小明的眼睛離地面的高度斯=1.5m.求

旗桿AB的高度.

A

【考點】相似三角形的應用.

【專題】圖形的相似；應用意識.

【答案】旗桿的高度為15米.

【分析】根據相似三角形的判定和性質定理即可得到結論.

【解答】解：；/EFP=/CDP=9Q°,/EPF=CPD,

：.APEFSAPCD,

.EFPF

"CD~PD'

.1.52.2-PD

"1.8-PD'

：.PD=1.2,

：.PB=10m,

?；CDLPB,ABLPB,

:ACDPsAABP,

.CDPD

AB-PB'

.1.81.2

AB~10'

；?4B=15,

答：旗桿的高度為15米.

【點評】本題考查了相似三角形的應用，熟練掌握相似三角形的判定和性質定理是解題的關鍵.

考點卡片

1.整式的混合運算

(1)有乘方、乘除的混合運算中，要按照先乘方后乘除的順序運算，其運算順序和有理數的混合運算順

序相似.

(2)“整體”思想在整式運算中較為常見，適時采用整體思想可使問題簡單化，并且迅速地解決相關問題,

此時應注意被看做整體的代數式通常要用括號括起來.

2.坐標與圖形性質

1、點到坐標軸的距離與這個點的坐標是有區別的，表現在兩個方面：①到x軸的距離與縱坐標有關，到

V軸的距離與橫坐標有關；②距離都是非負數，而坐標可以是負數，在由距離求坐標時，需要加上恰當的

符號.

2、有圖形中一些點的坐標求面積時，過已知點向坐標軸作垂線，然后求出相關的線段長，是解決這類問

題的基本方法和規律.

3、若坐標系內的四邊形是非規則四邊形，通常用平行于坐標軸的輔助線用“割、補”法去解決問題.

3.全等三角形的判定與性質

(1)全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時，

關鍵是選擇恰當的判定條件.

(2)在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角

形.

4.平行四邊形的性質

(1)平行四邊形的概念：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.

(2)平行四邊形的性質：

①邊：平行四邊形的對邊相等.

②角：平行四邊形的對角相等.

③對角線：平行四邊形的對角線互相平分.

(3)平行線間的距離處處相等.

(4)平行四邊形的面積：

①平行四邊形的面積等于它的底和這個底上的高的積.

②同底(等底)同高(等高)的平行四邊形面積相等.

5.矩形的性質

(1)矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形.

(2)矩形的性質

①平行四邊形的性質矩形都具有；

②角：矩形的四個角都是直角；

③邊：鄰邊垂直；

④對角線：矩形的對角線相等；

⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點連線所在的直線；對稱

中心是兩條對角線的交點.

(3)由矩形的性質，可以得到直角三角形的一個重要性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

6.正方形的性質

(1)正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.

(2)正方形的性質

①正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；

②正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；

③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質.

④兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形，同時，正方形又是軸對稱圖形，有四條對稱軸.

7.圓周角定理

(1)圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.

注意：圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上.②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可.

(2)圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半.

推論：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.

(3)在解圓的有關問題時，常常需要添加輔助線，構成直徑所對的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌

握.

(4)注意：①圓周角和圓心角的轉化可通過作圓的半徑構造等腰三角形.利用等腰三角形的頂點和底角

的關系進行轉化.②圓周角和圓周角的轉化可利用其“橋梁”——圓心角轉化.③定理成立的條件是

“同一條弧所對的”兩種角，在運用定理時不要忽略了這個條件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯當成

同一條弧所對的圓周角和圓心角.

8.切線的性質

(1)切線的性質

①圓的切線垂直于經過切點的半徑.

②經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點.

③經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心.

(2)切線的性質可總結如下：

如果一條直線符合下列三個條件中的任意兩個，那么它一定滿足第三個條件，這三個條件是：①直線過圓

心；②直線過切點；③直線與圓的切線垂直.

(3)切線性質的運用

運用切線的性質進行計算或證明時，常常作的輔助線是連接圓心和切點，通過構造直角三角形或相似三角

形解決問題.

9.三角形的內切圓與內心

(1)內切圓的有關概念：

與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內切圓，三角形的內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做

圓的外切三角形.三角形的內心就是三角形三個內角角平分線的交點.

(2)任何一個三角形有且僅有一個內切圓，而任一個圓都有無數個外切三角形.

(3)三角形內心的性質：

三角形的內心到三角形三邊的距離相等；三角形的內心與三角形頂點的連線平分這個內角.

10.剪紙問題

一張紙經過折和剪的過程，會形成一個軸對稱圖案.解決這類問題要熟知軸對稱圖形的特點，關鍵是準確

的找到對稱軸.一般方法是動手操作，拿張紙按照題目的要求剪出圖案，展開即可得到正確的圖案.

11.平移的性質

(1)平移的條件

平移的方向、平移的距離

(2)平移的性質

①把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相

同.—②新圖形中的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應點.連接各組對

應點的線段平行且相等.

12.坐標與圖形變化-平移

(1)平移變換與坐標變化

①向右平移。個單位，坐標P(x,y)=＞尸(x+a,y)

①向左平移a個單位，坐標P(x,y)nP(x-a,y)

①向上平移b個單位，坐標P(x,y)今尸(