高考數學總復習《基本不等式》專項測試卷及答案

第第頁高考數學總復習《基本不等式》專項測試卷及答案學校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________題型01公式基礎【解題攻略】利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正”就是各項必須為正數；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，則必須把構成積的因式的和轉化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發生錯誤的地方.【典例1-1】（2020·廣東·普寧市第二中學高三階段練習）下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【典例1-2】（2021秋·山東日照·高三山東省日照實驗高級中學校考階段練習）對于任意a，b∈R，下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．2【變式1-1】（高三階段測試）下列說法不正確的是（

）A．x＋(x>0)的最小值是2 B．的最小值是2C．的最小值是 D．若x>0，則2－3x－的最大值是2－4【變式1-2】（全國·高三專題練習）下列不等式證明過程正確的是（

）A．若，則B．若x＞0，y＞0，則C．若x＜0，則D．若x＜0，則【變式1-3】（2022秋·廣東·高三深圳市寶安中學（集團）校考）在下列函數中，最小值是的是（

）A． B．C． D．題型02基礎模型：倒數型【解題攻略】倒數型：，或者容易出問題的地方，在于能否“取等”,如，【典例1-1】（浙江杭州·杭州高級中學校考模擬預測）已知且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2020下·浙江衢州·高三統考）已知的面積為，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式1-1】（2021上·全國·高三校聯考階段練習）已知，則的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【變式1-2】（2020上·河南·高三校聯考階段練習）函數的最小值為（

）A． B． C． D．【變式1-3】（上海徐匯·高三上海市第二中學校考階段練習）若(x,)最大值記為,則的最小值為A．0 B． C． D．題型03常數代換型【解題攻略】利用常數代換法，可以代通過“分子分母相約和相乘”，相約去或者構造出“倒數”關系。多稱之為“1”的代換條件和結論有“分子分母”特征；（2）可以乘積出現對構型，再用均值不等式。注意取等條件結構形式：（1）求（2）求【典例1-1】（江西·校聯考一模）已知，，是正實數，且，則最小值為.【典例1-2】（2019上·山東濰坊·壽光現代中學校考階段練習）已知正實數滿足，則的最小值為（

）A．10 B．11 C．13 D．21【變式1-1】（上海徐匯·高三上海市第二中學校考期中）已知，，，則的最小值為．【變式1-2】（湖南株洲·統考）設正實數滿足，則的最小值為.【變式1-3】（上海松江·高三校考）已知，，且，則取得最小值時的值是.題型04積與和型【解題攻略】積與和型，如果滿足有和有積無常數，則可以轉化為常數代換型。形如，可以通過同除ab，化為構造“1”的代換求解【典例1-1】（全國·高三測試）已知，，且，則當取得最小值時，（

）A．16 B．6 C．18 D．12【典例1-2】（湖南岳陽·高三聯考）已知，，且，則的最小值是（

）A． B． C． D．【變式1-1】(2020·重慶市暨華中學校高三階段）已知，且，則的最小值為（）A． B． C． D．【變式1-2】（山東威海·高三校考）若，且，則的最小值為（

）A．18 B．15 C．20 D．13【變式1-3】（全國·高三一專題練習）已知，，，則的最小值為（

）A．2 B．3 C． D．題型05積與和互化解不等式型【解題攻略】積與和型，如果滿足有和有積有常數，則可以轉化為解不等式型。形形如求型，可以對“積pxy”部分用均值，再解不等式，注意湊配對應的“和”的系數系數，如下：【典例1-1】（2022秋·云南·校聯考階段練習）已知正數、滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2023春·貴州·高三校聯考階段練習）已知，則的最大值為（

）A．1 B．2 C． D．4【變式1-1】（2022秋·廣東深圳·高三深圳外國語學校校考期末）已知曲線，則的最大值為（

）A． B． C． D．【變式1-2】（重慶市實驗中學高一階段練習）設，，，則ab的最小值是（

）A．4 B．9 C．16 D．25【變式1-3】（安徽·霍邱縣第一中學高一階段練習）若，且，則的取值范圍（

） B． C． D．題型06構造分母和定型【解題攻略】對于分數型求最值，如果復合a+b=t，求型，則可以湊配（a+m）+（b+n）=t+m+n，再利用“1”的代換來求解。【典例1-1】（福建福州·高三福建省福州第一中學校考）若三個正數滿足，則的最小值為.【典例1-2】（全國·高三專題練習）已知，，且，那么的最小值為（

）A． B．2 C． D．4【變式1-1】（2022秋·安徽蕪湖·高三校考階段練習）已知實數，且，則的最小值是（

）A．0 B．1 C．2 D．4【變式1-2】（浙江·統考模擬預測）已知正實數滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式1-3】（山東·高三利津縣高級中學校聯考階段練習）已知正實數，滿足，則的最小值為.題型07湊配系數構造分母和定型【解題攻略】對于分數型求最值，如果復合pa+qb=t，求型，則可以湊配（a+m）+（b+n）=h，再利用“1”的代換來求解。其中結合所給與所求a、b的系數，可以任意調換，來進行變換湊配。【典例1-1】（全國·高三題練習）已知，，且，則的最小值為.【典例1-2】（2023秋·全國·高三專題練習）已知且，若恒成立，則實數的范圍是．【變式1-1】（全國·高三專題練習）已知，且，若恒成立，則實數的范圍是．【變式1-2】（全國·高三專題練習）若三個正數滿足，則的最小值為.【變式1-3】（三課時練習）已知，則的最小值為.題型08換元構造分母和定型【解題攻略】換元型構造分母和定型：形如型，則可以通過換元分母，再利用“1”的代換來求解。【典例1-1】（吉林·長春十一高校聯考模擬預測）已知正實數x，y滿足，則的小值為．【典例1-2】（全國·高三專題練習）已知且，則的最小值為.【變式1-1】（全國·高三專題練習）已知，若，則的最小值是.【變式1-2】（全國·高三專題練習）已知正數滿足，則的最小值為.題型09分子與分母互消型【解題攻略】滿足一般情況下可以通過“萬能K法”轉化求解設K法的三個步驟：⑴、問誰設誰：求誰，誰就是K；⑵、代入整理：整理成某個變量的一元二次方程（或不等式）；⑶、確認最值：方程有解（或不等式用均值放縮），≥0確定最值【典例1-1】（2021秋·高三單元測試）已知正數，滿足，則的最小值是.【典例1-2】（全國·高三專題練習）已知正數，滿足，則的最大值是.【變式1-1】（全國·高三專題練習）已知為正數，且，則的最大值為．【變式1-2】（全國·高三專題練習）已知，若，則的最小值是（

）A．8 B．7 C．6 D．5【變式1-3】（全國·高三專題練習）已知正實數，滿足，則的最大值為（

）A． B．1 C．2 D．9題型10“1”代換綜合型【典例1-1】（遼寧大連·大連二十四中校考）已知且，則的最小值等于.【典例1-2】（2021上·重慶沙坪壩·高三重慶市第七中學校校考）若實數，滿足等式，，，且不等式恒成立，則實數的取值范圍為.【變式1-1】（2020上·上海徐匯·高三上海中學校考）已知實數滿足且，若，則的最小值是【變式1-2】（2020·江蘇蘇州·吳江盛澤中學模擬預測）已知，且，則的最小值為．題型11分子消去型【解題攻略】對于分式型不等式求最值，如果分子上有變量，可以通過常數代換或者分離常熟，消去分子上變量，轉化為分式型常數代換或者分式型分母和定來求解【典例1-1】（2020·江蘇省震澤中學高三階段練習）若，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2022秋·遼寧沈陽·高三校聯考階段練習）已知，，，則的最小值為（

）A．2 B．4 C． D．【變式1-1】（2022春·廣東韶關·高三校考階段練習）已知a，b為正實數，且，則的最小值為（

）A．1 B．6 C．7 D．【變式1-2】（2023春·重慶·高三校聯考期中）已知點在線段上（不含端點），是直線外一點，且，則的最小值是（

）A． B． C． D．【變式1-3】（2022春·湖北襄陽·高三襄陽五中校考期中）已知正實數滿足，則的最小值為（

）A．10 B．11 C．13 D．21題型12消元型【解題攻略】消元型：對于雙變量型不等式求最值，如果不符合常見的轉化方法，可以通過反解代入消元，轉化為單變量型不等式求最值。【典例1-1】（全國·高三專題練習）若正實數x，y滿足x＋2y＋xy＝7，則x＋y的最小值為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【典例1-2】（全國·高三專題練習）已知，則的最小值是（

）A．14 B． C．8 D．【變式1-1】（2023秋·海南海口·高三校考開學考試）已知正實數a，b滿足，則的最小值是（）A．2 B． C． D．6【變式1-2】（2023春·河北承德·高三河北省隆化存瑞中學校考階段練習）若，且，則的最小值為．【變式1-3】（全國·高三專題練習）已知正實數、滿足，則的最小值是.題型13齊次化構造型【解題攻略】齊次化構造型：一般情況下，分式分子分母含有等，滿足齊次型，則可以通過分子分母同除法，構造單變量型來轉化計算求解【典例1-1】（2023春·天津河西·高二統考期末）已知，則的最小值是（

）A． B．C． D．【典例1-2】（2022秋·湖北黃石·高一期中）已知x，y為正實數，則的最小值為（

）A．4 B．5 C．6 D．8【變式1-1】若a，b均為正實數，則的最大值為A． B． C． D．2【變式1-2】函數的最大值為（）A. B. C. D.【變式1-3】已知，，則的最大值是．【變式1-4】若實數滿足，且，則的最大值為____.題型14三角換元構造型【解題攻略】一般情況下，復合或者能轉化為型，則可以通過三角換元（圓的參數方程型）來轉化構造，轉化為三角函數輔助角為主的恒等變形來計算求解最值【典例1-1】（2023春·四川宜賓·高二校考階段練習）已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．【典例1-2】（全國·高三專題練習）已知，則的最大值是（

）A． B． C．0 D．【變式1-1】（全國·高三專題練習）已知正實數滿足，則的最小值為．【變式1-2】（全國·高三專題練習）已知，，則的最小值為.【變式1-3】（四川成都·成都七中校考模擬預測）已知實數a，b，c滿足a2＋b2＝c2，c≠0，則的取值范圍為．題型15因式分解雙換元型【解題攻略】如果條件（或者結論）可以因式分解，則可以通過對分解后因式雙換元來轉化求解1.特征：條件式子復雜，一般有一次和二次（因式分解展開就是一次和二次），可能就符合因式分解原理2.最常見的因式分解：a+b+ab+1=（a+1）（b+1）【典例1-1】（2022秋·浙江溫州·高三校考階段練習）已知，，且，則的最大值為（

）A．2 B． C． D．【典例1-2】（全國·高三專題練習）已知，且，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．【變式1-1】（2021江蘇高三月考）若a,b∈R，且a2+2ab?3【變式1-2】（2023春·四川宜賓·高二校考階段練習）已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式1-3】（全國·高三專題練習）已知且滿足，則的最小值是.題型16配方型【典例1-1】（全國·高三專題練習）已知a，，且，則的最大值為（

）A．2 B．3 C． D．【典例1-2】（全國·高三專題練習）已知正實數a，b滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．2【變式1-1】（全國·高一專題練習）已知實數x、y滿足，且不等式恒成立，則c的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式1-2】（全國·高三專題練習）已知a，b為非負數，且滿足，則的最大值為（

）A．40 B． C．42 D．【變式1-3】（2022秋·河北保定·高一校聯考階段練習）設，，若，則的最大值為．高考練場1.（2020秋·浙江紹興·高三校考階段練習）給出下面四個推導過程：①∵a，b為正實數，∴；②∵x，y為正實數，∴；③∵，，∴；④∵，，∴．其中正確的推導為（

）A．①② B．②③ C．③④ D．①④2.（2021上·湖北武漢·高三統考）函數在區間上（

）A．有最大值為，最小值為0 B．有最大值為，最小值為0C．有最大值為，無最小值 D．有最大值為，無最小值3.（新疆烏魯木齊·高三新疆實驗校考）設x，y均為正數，且，則的最小值為．4.（山東·薛城區教育局教學研究室）已知，且，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．6 D．95.（江西撫州·高三臨川一中校考階段練習）已知，，，則的最小值為.6.（湖北恩施·恩施市第一中學校考階段練習）已知，且，，則的最小值為.7.（全國·高三專題練習）若正實數，滿足，則的最小值是．8.（2020·全國·高三專題練習）已知正實數、滿足，，且，則的最小值為.9.（全國·高三專題練習）已知、，且，則的取值范圍是.10.（重慶·校聯考模擬預測）已知，且，則的最小值為.11.（2022秋·貴州畢節·高三統考）已知，，且，則的最小值為（

）A．4 B． C． D．512.（2023春·天津和平·高三統考）已知，則的最小值是．13.（高三單元測試）函數的最大值是（

）A．2 B． C． D．14.若對任意，恒成立，則實數的取值范圍是.15.（2023秋·全國·高三專題練習）若實數滿足，則的最大值為.

參考答案題型01公式基礎【解題攻略】利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正”就是各項必須為正數；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，則必須把構成積的因式的和轉化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發生錯誤的地方.【典例1-1】（2020·廣東·普寧市第二中學高三階段練習）下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】應用特殊值法，即可判斷A、B、D的正誤，作差法有，即可確定C的正誤.【詳解】A：當時，有，故不等式不一定成立，故A錯誤；B：當，即時，有，故不等式不一定成立，故B錯誤；C：恒成立，故C正確；D：當時，有，故不等式不一定成立，故D錯誤；故選：C【典例1-2】（2021秋·山東日照·高三山東省日照實驗高級中學校考階段練習）對于任意a，b∈R，下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】當時，可判斷A；當時，可判斷B；當時，可判斷C；利用均值不等式，可判斷D.【詳解】選項A：當時，，，不成立，故A錯誤；選項B：當時，，，不成立，故B錯誤；選項C：當時，，不成立，故C錯誤；選項D：由有意義，故，因此由均值不等式，，當且僅當，即時等號成立故D正確故選：D【變式1-1】（高三階段測試）下列說法不正確的是（

）A．x＋(x>0)的最小值是2 B．的最小值是2C．的最小值是 D．若x>0，則2－3x－的最大值是2－4【答案】B【解析】由二次根式的性質及基本不等式成立的條件逐項判斷即可得解.【詳解】對于A，當時，，當且僅當時，等號成立，故A正確；對于B，，但，所以等號不成立，所以，故B錯誤；對于C，，當時，等號成立，故C正確；對于D，，當且僅當時，等號成立，故D正確.故選：B.【變式1-2】（全國·高三專題練習）下列不等式證明過程正確的是（

）A．若，則B．若x＞0，y＞0，則C．若x＜0，則D．若x＜0，則【答案】D【分析】利用基本不等式成立的條件及特值法，逐一判斷即可．【詳解】∵可能為負數，如時，，∴A錯誤；∵可能為負數，如時，，∴B錯誤；∵，如時，，∴C錯誤；∵，，，∴，當且僅當，即等號成立，∴D正確．故選：D．【變式1-3】（2022秋·廣東·高三深圳市寶安中學（集團）校考）在下列函數中，最小值是的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據基本不等式，對選項中依次進行求解判斷，特別要注意基本不等式成立的條件“一正、二定、三相等”.【詳解】對于選項A，，當時，，即最小值不是，故選項A不符合題意；對于選項B，，當時，，當且僅當時取等號，即最小值是2，故選項B不符合題意；對于選項C，，令，則，在上單調遞增，當時，最小值為，故選項C不符合題意；對于選項D，，當且僅當時取等號，即最小值是，故選項D符合題意；故選：D..題型02基礎模型：倒數型【解題攻略】倒數型：，或者容易出問題的地方，在于能否“取等”,如，【典例1-1】（浙江杭州·杭州高級中學校考模擬預測）已知且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先求得及的取值范圍，再把轉化為關于的代數式，利用函數的單調性去求的取值范圍即可解決【詳解】由，可得，則，則，令，則，又在單調遞增，在單調遞減，，則，即故選：C【典例1-2】（2020下·浙江衢州·高三統考）已知的面積為，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將原式分離常數，然后利用正弦定理進行邊角互化，化簡為對勾函數，利用不等式求最值即可.【詳解】解：，又，==，當且僅當時，等號成立.故選：B.【變式1-1】（2021上·全國·高三校聯考階段練習）已知，則的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】由，根據基本不等式得，根據，，構造對勾函數，然后利用對勾函數的單調性判斷最值.【詳解】因為，當且僅當時取等號，因為，所以，，令，根據對勾函數的單調性可知，當時，函數取得最小值，當或時，函數取得最大值，故，所以，即，同理，所以，所以，所以.故選：C.【變式1-2】（2020上·河南·高三校聯考階段練習）函數的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】先化簡函數為，再進行換元，結合t的范圍，根據對勾函數的單調性求的最小值即得結果.【詳解】因為，定義域為.令，所以，，驗證可知利用基本不等式求最值時等號不成立.故根據對勾函數在上單調遞減，可知在上遞減，所以時，，此時，故函數的最小值為.故選：C.【變式1-3】（上海徐匯·高三上海市第二中學校考階段練習）若(x,)最大值記為,則的最小值為A．0 B． C． D．【答案】D【解析】設,設,,則,由對勾函數可得在上單調遞增,則,討論與的大小關系,進而求解即可【詳解】設,因為,所以,設,,由對勾函數的性質可知在上單調遞增,所以,即,因為(x,)最大值記為,所以當,即,；當,即,,所以的最小值為故選:D.題型03常數代換型【解題攻略】利用常數代換法，可以代通過“分子分母相約和相乘”，相約去或者構造出“倒數”關系。多稱之為“1”的代換條件和結論有“分子分母”特征；（2）可以乘積出現對構型，再用均值不等式。注意取等條件結構形式：（1）求（2）求【典例1-1】（江西·校聯考一模）已知，，是正實數，且，則最小值為.【答案】【分析】由于，，是正實數，且，所以先結合基本不等式“1”的代換求的最小值，得，則，再根據基本不等式湊項法求的最小值，即可求得的最小值.【詳解】解：，由于，，是正實數，且，所以，當且僅當，即，所以時等號成立，則的最小值為，所以，當且僅當，即時等號成立，則最小值為.故答案為：.【典例1-2】（2019上·山東濰坊·壽光現代中學校考階段練習）已知正實數滿足，則的最小值為（

）A．10 B．11 C．13 D．21【答案】B【分析】利用“乘1法”與基本不等式的性質即可得出．【詳解】解：正實數滿足，則，，即：，當且僅當且，即時取等號，所以的最小值為11.故選：B.【變式1-1】（上海徐匯·高三上海市第二中學校考期中）已知，，，則的最小值為．【答案】【分析】將化為后與相乘，化簡后再利用基本不等式求解.【詳解】由題意得：，，，所以得：，所以：當且僅當時，即時取等號.故最小值為：.故答案為：.【變式1-2】（湖南株洲·統考）設正實數滿足，則的最小值為.【答案】/【分析】由題知，再根據基本不等式“1”的用法求解即可.【詳解】因為正數滿足，所以，，所以，，當且僅當，即時等號成立，所以，的最小值為.故答案為：【變式1-3】（上海松江·高三校考）已知，，且，則取得最小值時的值是.【答案】/【分析】變換，展開利用均值不等式計算得到答案.【詳解】，當且僅當，即，時等號成立.故答案為：題型04積與和型【解題攻略】積與和型，如果滿足有和有積無常數，則可以轉化為常數代換型。形如，可以通過同除ab，化為構造“1”的代換求解【典例1-1】（全國·高三測試）已知，，且，則當取得最小值時，（

）A．16 B．6 C．18 D．12【答案】B【分析】根據已知條件可得，將展開利用基本不等式即可求解.【詳解】因為，，所以所以．當且僅當即時取等號，所以當取得最小值時，故選：B.【典例1-2】（湖南岳陽·高三聯考）已知，，且，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知條件變形可得，將代數式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】因為，，且，則，可得，所以，，當且僅當時，等號成立，故的最小值是.故選：C.【變式1-1】（2020·重慶市暨華中學校高三階段）已知，且，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】將已知等式變形為，將與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】因為，且，則，可得，所以，，當且僅當時，等號成立，因此，的最小值為.故選：C.【變式1-2】（山東威海·高三校考）若，且，則的最小值為（

）A．18 B．15 C．20 D．13【答案】A【分析】變形條件為，利用“1”的技巧變形待求式，運用均值不等式即可求解.【詳解】由題意可得，則，當且僅當，且，即，時，等號成立，所以的最小值為，故選：A【變式1-3】（全國·高三一專題練習）已知，，，則的最小值為（

）A．2 B．3 C． D．【答案】D【詳解】根據題意，，∴，當且僅當且時等號成立，∴的最小值為，故選：D．題型05積與和互化解不等式型【解題攻略】積與和型，如果滿足有和有積有常數，則可以轉化為解不等式型。形形如求型，可以對“積pxy”部分用均值，再解不等式，注意湊配對應的“和”的系數系數，如下：【典例1-1】（2022秋·云南·校聯考階段練習）已知正數、滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用基本不等式可得出關于的不等式，即可解得的最大值.【詳解】由題意得，得，即，當且僅當時，等號成立.因此，的最大值為為.故選：C.【典例1-2】（2023春·貴州·高三校聯考階段練習）已知，則的最大值為（

）A．1 B．2 C． D．4【答案】D【分析】先化簡把單獨放在一側,再應用重要不等式把未知數都轉化為,計算求解即可.【詳解】可變形為，因為，所以，解得，當且僅當時，取到最大值4.故選:D．【變式1-1】（2022秋·廣東深圳·高三深圳外國語學校校考期末）已知曲線，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用，可求的最大值．【詳解】曲線，，又，當且僅當時取等號，，，，，的最大值為．故選：．【變式1-2】（重慶市實驗中學高一階段練習）設，，，則ab的最小值是（

）A．4 B．9 C．16 D．25【答案】D【分析】利用均值不等式，把方程轉化為不等式，解之即可.【詳解】∵，，∴，令，則，即，解得，∴，當且僅當時，等號成立.故選：D【變式1-3】（安徽·霍邱縣第一中學高一階段練習）若，且，則的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】化簡整理式子可得，再利用基本不等式即可求解.【詳解】由，且，則，即，由基本不等式可得，當且僅當時，等號成立，整理得，即，因為，所以，所以，解得.故選：D題型06構造分母和定型【解題攻略】對于分數型求最值，如果復合a+b=t，求型，則可以湊配（a+m）+（b+n）=t+m+n，再利用“1”的代換來求解。【典例1-1】（福建福州·高三福建省福州第一中學校考）若三個正數滿足，則的最小值為.【答案】/【分析】利用基本不等式求得正確答案.【詳解】依題意為正數，，所以，當且僅當，，時等號成立.故答案為：【典例1-2】（全國·高三專題練習）已知，，且，那么的最小值為（

）A． B．2 C． D．4【答案】C【分析】由題意可得，再由基本不等式求解即可求出答案.【詳解】因為，，，則.當且僅當即時取等.故選：C.【變式1-1】（2022秋·安徽蕪湖·高三校考階段練習）已知實數，且，則的最小值是（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】根據題意，將所求式子進行整理變形，再利用基本不等式即可求解.【詳解】，等式恒成立，，由于，所以，，，當且僅當時，即時取等號.，，故的最小值為1.故選：.【變式1-2】（浙江·統考模擬預測）已知正實數滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解.【詳解】由題可得，，則，所以，當且僅當，即時，取得等號，故選:C.【變式1-3】（山東·高三利津縣高級中學校聯考階段練習）已知正實數，滿足，則的最小值為.【答案】【分析】由，結合基本不等式求解即可.【詳解】因為，所以，所以，因為為正實數，所以，所以，當且僅當時等號成立，即時等號成立，所以，當且僅當時等號成立，所以的最小值為，故答案為：.題型07湊配系數構造分母和定型【解題攻略】對于分數型求最值，如果復合pa+qb=t，求型，則可以湊配（a+m）+（b+n）=h，再利用“1”的代換來求解。其中結合所給與所求a、b的系數，可以任意調換，來進行變換湊配。【典例1-1】（全國·高三題練習）已知，，且，則的最小值為.【答案】12【分析】，展開后利用基本不等式可求．【詳解】∵，，且，∴，當且僅當，即，時取等號，故的最小值為12．故答案為：12．【典例1-2】（2023秋·全國·高三專題練習）已知且，若恒成立，則實數的范圍是．【答案】【分析】依題意得，利用基本不等式“1”的代換求出的最小值，即可得解.【詳解】因為且，若恒成立，則，又，當且僅當，即，時等號成立，所以，即實數的取值范圍是．故答案為：．【變式1-1】（全國·高三專題練習）已知，且，若恒成立，則實數的范圍是．【答案】【分析】依題意可得，利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得解.【詳解】因為，且，若恒成立，則，又，當且僅當，即，時，等號成立，，即實數的取值范圍是．故答案為：．【變式1-2】（全國·高三專題練習）若三個正數滿足，則的最小值為.【答案】/【分析】利用基本不等式求得正確答案.【詳解】依題意為正數，，所以，當且僅當，，時等號成立.故答案為：【變式1-3】（三課時練習）已知，則的最小值為.【答案】【分析】首先利用“1”的等價變形，，再利用基本不等式求最小值.【詳解】，，當且僅當，即，解得是等號成立，所以的最小值是題型08換元構造分母和定型【解題攻略】換元型構造分母和定型：形如型，則可以通過換元分母，再利用“1”的代換來求解。【典例1-1】（吉林·長春十一高校聯考模擬預測）已知正實數x，y滿足，則的小值為．【答案】【分析】利用待定系數法可得出，與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】設，可得，解得，所以，，當且僅當時，即等號成立，則的小值為.故答案為：9.【典例1-2】（全國·高三專題練習）已知且，則的最小值為.【答案】【分析】令，，將已知條件簡化為；將用表示，分離常數，再使用“乘1法”轉化后利用基本不等式即可求得最小值．【詳解】解：令，，因為，所以，則，，所以,所以，當且僅當，即，，即時取“”，所以的最小值為.故答案為：.【變式1-1】（全國·高三專題練習）已知，若，則的最小值是.【答案】【分析】將用與表示，湊配常數1，使用“1”的代換與基本不等式求解.【詳解】設，由對應系數相等得，得所以整理得即所以.經驗證當時，等號可取到.故答案為：【變式1-2】（全國·高三專題練習）已知正數滿足，則的最小值為.【答案】【分析】換元后可得，再由及“1”的技巧化簡，利用均值不等式求解.【詳解】令，則，即，，當且僅當，即時，解得時等號成立，故的最小值為.故答案為：題型09分子與分母互消型【解題攻略】滿足一般情況下可以通過“萬能K法”轉化求解設K法的三個步驟：⑴、問誰設誰：求誰，誰就是K；⑵、代入整理：整理成某個變量的一元二次方程（或不等式）；⑶、確認最值：方程有解（或不等式用均值放縮），≥0確定最值【典例1-1】（2021秋·高三單元測試）已知正數，滿足，則的最小值是.【答案】【分析】設，則，計算利用基本不等式可得最小值，即可得的最小值，解不等式可得的最小值，即的最小值.【詳解】因為，則，設，則，由，當且僅當即時等號成立，由即，解得：或（舍）所以，的最小值是，故答案為：.【典例1-2】（全國·高三專題練習）已知正數，滿足，則的最大值是.【答案】【分析】設，則，同時根據均為正數確定的取值范圍，利用基本不等式可求得，解不等式可求得結果.【詳解】設，則，均為正數，，解得：；則（當且僅當，即時取等號），又，當，時，取得最小值；，即，解得：，滿足，的最大值為.故答案為：9【變式1-1】（全國·高三專題練習）已知為正數，且，則的最大值為．【答案】【分析】等式化為，兩邊平方，令，由基本不等式可得，即可求出.【詳解】因為，所以，所以，即，令，則，而，當且僅當時，等號成立，所以，即，所以的最大值為8.故答案為：．【變式1-2】（全國·高三專題練習）已知，若，則的最小值是（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】A【分析】設，將變形整理，用含k的式子表示，這樣會出現互為倒數的形式，再利用基本不等式即可求解.【詳解】解：設，則，∴∴整理得：，由得，當且僅當時取“=”.∴，解得或（舍去）,即當時，取得最小值8，故選：A.【變式1-3】（全國·高三專題練習）已知正實數，滿足，則的最大值為（

）A． B．1 C．2 D．9【答案】D【分析】利用基本不等式以及一元二次不等式求解.【詳解】因為，所以,所以，即所以，解得，當且僅當，解得或時等號成立，所以當時有最大值為9.故選:D.題型10“1”代換綜合型【典例1-1】（遼寧大連·大連二十四中校考）已知且，則的最小值等于.【答案】/【分析】利用基本不等式中“1”的妙用即可求解.【詳解】因為且，所以，當且僅當且，即，等號成立，故的最小值等于.故答案為：.【典例1-2】（2021上·重慶沙坪壩·高三重慶市第七中學校校考）若實數，滿足等式，，，且不等式恒成立，則實數的取值范圍為.【答案】【分析】由題意可得：，由已知可得代入整理，再利用基本不等式求的最小值，再解不等式即可求解.【詳解】由題意可得：，因為，所以，即，當且僅當即時等號成立，，所以，即，所以，解得：，所以實數的取值范圍為：，故答案為：.【變式1-1】（2020上·上海徐匯·高三上海中學校考）已知實數滿足且，若，則的最小值是【答案】【解析】將變形為，再根據“”的妙用結合基本不等式求解出的最小值.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以，取等號時，即，所以的最小值為，故答案為：.【變式1-2】（2020·江蘇蘇州·吳江盛澤中學模擬預測）已知，且，則的最小值為．【答案】【詳解】由基本不等式可得：≤，即≤4，當且僅當時，取“”．又因為≥8.當且僅當時，取“”．所以≥≥.當且僅當時，取“”．所以的最小值為.題型11分子消去型【解題攻略】對于分式型不等式求最值，如果分子上有變量，可以通過常數代換或者分離常熟，消去分子上變量，轉化為分式型常數代換或者分式型分母和定來求解【典例1-1】（2020·江蘇省震澤中學高三階段練習）若，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】，結合基本不等式即可求出答案.【詳解】解：，因為，，所以，當且僅當，即，即或時，取等號，所以的最小值為.故選：A.【典例1-2】（2022秋·遼寧沈陽·高三校聯考階段練習）已知，，，則的最小值為（

）A．2 B．4 C． D．【答案】B【分析】對原式化簡，然后根據基本不等式求解.【詳解】因為，，．所以，當且僅當時，等號成立．故選：B.【變式1-1】（2022春·廣東韶關·高三校考階段練習）已知a，b為正實數，且，則的最小值為（

）A．1 B．6 C．7 D．【答案】B【分析】利用已知條件將原式化為可以使用基本不等式的形式即可.【詳解】由已知條件得，，當且僅當，即，時取等號，∴的最小值為6；故選：B.【變式1-2】（2023春·重慶·高三校聯考期中）已知點在線段上（不含端點），是直線外一點，且，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據向量共線定理推論得，再利用基本不等式求最值.【詳解】因為因為點在線段上（不含端點），所以當且僅當時取等號，故選：B【變式1-3】（2022春·湖北襄陽·高三襄陽五中校考期中）已知正實數滿足，則的最小值為（

）A．10 B．11 C．13 D．21【答案】B【分析】利用“乘1法”與基本不等式的性質即可得出．【詳解】解：正實數滿足，則，，即：，當且僅當且，即時取等號，所以的最小值為11.故選：B.題型12消元型【解題攻略】消元型：對于雙變量型不等式求最值，如果不符合常見的轉化方法，可以通過反解代入消元，轉化為單變量型不等式求最值。【典例1-1】（全國·高三專題練習）若正實數x，y滿足x＋2y＋xy＝7，則x＋y的最小值為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【分析】由，得，，利用基本不等式求解即可.【詳解】因為x＋2y＋xy＝7，所以，所以．因為，則所以，當且僅當，即x＝1，y＝2時，等號成立，所以x＋y的最小值為3．故選：D【典例1-2】（全國·高三專題練習）已知，則的最小值是（

）A．14 B． C．8 D．【答案】A【分析】根據給定條件，用含x的式子表示，再運用基本不等式求解作答.【詳解】因為，則，于是得，當且僅當，即時取“=”，所以當時，取最小值14.故選：A【變式1-1】（2023秋·海南海口·高三校考開學考試）已知正實數a，b滿足，則的最小值是（）A．2 B． C． D．6【答案】B【分析】根據變形得，進而轉化為，用湊配方式得出，再利用基本不等式即可求解.【詳解】由，得，所以，當且僅當，即取等號.故選：B.【變式1-2】（2023春·河北承德·高三河北省隆化存瑞中學校考階段練習）若，且，則的最小值為．【答案】3【分析】由已知得，代入，然后由基本不等式得最小值．【詳解】因為，所以，，當且僅當時，等號成立．故答案為：3．【變式1-3】（全國·高三專題練習）已知正實數、滿足，則的最小值是.【答案】/【分析】由已知可得出且，化簡代數式，利用基本不等式可求得結果.【詳解】因為正實數、滿足，則，由可得，所以，.當且僅當時，等號成立.因此，的最小值是.故答案為：.題型13齊次化構造型【解題攻略】齊次化構造型：一般情況下，分式分子分母含有等，滿足齊次型，則可以通過分子分母同除法，構造單變量型來轉化計算求解【典例1-1】（2023春·天津河西·高二統考期末）已知，則的最小值是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設，化二元變量問題為一元變量，結合基本不等式處理.【詳解】，設，則.于是，令，則，當，即，也即時，取到最小值.故選：C【典例1-2】（2022秋·湖北黃石·高一期中）已知x，y為正實數，則的最小值為（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【分析】將原式變形，換元設，然后利用基本不等式可求得結果.【詳解】由題得，設，則，當且僅當，即時取等號．所以的最小值為6．故選：C．【變式1-1】若a，b均為正實數，則的最大值為A． B． C． D．2【答案】B【詳解】因為a，b均為正實數，則，當且僅當，且a=1取等，即a=1,b=取等即則的最大值為，故選：B．【變式1-2】函數的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意得，當且僅當時，取最大值,故選B.【變式1-3】已知，，則的最大值是．【答案】詳解：由題得原式=，設，所以原式=，令所以原式=.(函數在上單調遞減).故答案為：.【變式1-4】若實數滿足，且，則的最大值為____【詳解】實數x、y滿足x＞y＞0，且log2x+log2y＝1，則xy＝2，則，當且僅當x﹣y，即x﹣y＝2時取等號故的最大值為，故答案為：．.題型14三角換元構造型【解題攻略】一般情況下，復合或者能轉化為型，則可以通過三角換元（圓的參數方程型）來轉化構造，轉化為三角函數輔助角為主的恒等變形來計算求解最值【典例1-1】（2023春·四川宜賓·高二校考階段練習）已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】法一：因式分解后根據式子特征，設，，從而表達出，結合基本不等式去除最小值；法二：采用三角換元，結合三角函數恒等變換，利用三角函數有界性求出最小值.【詳解】法一：∵，∴可設，，∴，代入所求式子得，，當且僅當，時等號成立.所以的最小值為.法二：設，，代入已知等式得，，∴，其中，.∴，所以的最小值為.故選：D【典例1-2】（全國·高三專題練習）已知，則的最大值是（

）A． B． C．0 D．【答案】A【解析】利用均值不等式及三角換元法，即可得到結果.【詳解】令，等號在時取到．故選：A【變式1-1】（全國·高三專題練習）已知正實數滿足，則的最小值為．【答案】【分析】設，結合三角函數定義表示，代入條件等式通過三角恒等變換和正弦函數性質可求的最小值.【詳解】設，則，則點在單位圓上，根據三角函數的定義，可設，，則，則由可得，則，因為由可得，所以，即，所以，由可得，所以當時，取得最小值，即的最小值為，故答案為：【變式1-2】（全國·高三專題練習）已知，，則的最小值為.【答案】【分析】把整理為完全平方式，利用三角換元法可求.【詳解】因為，所以令，解得，所以.因為，所以的最小值為.【變式1-3】（四川成都·成都七中校考模擬預測）已知實數a，b，c滿足a2＋b2＝c2，c≠0，則的取值范圍為．【答案】【詳解】由a2＋b2＝c2可設a＝csinx，b＝ccosx，＝＝，可以理解為點(2，0)與單位圓上的點連線的斜率的范圍，而兩條切線的斜率為±，則的取值范圍為.題型15因式分解雙換元型【解題攻略】如果條件（或者結論）可以因式分解，則可以通過對分解后因式雙換元來轉化求解1.特征：條件式子復雜，一般有一次和二次（因式分解展開就是一次和二次），可能就符合因式分解原理2.最常見的因式分解：a+b+ab+1=（a+1）（b+1）【典例1-1】（2022秋·浙江溫州·高三校考階段練習）已知，，且，則的最大值為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】由已知條件可得，令，，可得，，，進一步可得，最后利用基本不等式求出最大值即可.【詳解】，，配湊得：，兩邊同時除以4得：，即，令，，則，，，所以（當且僅當即時，等號成立）.故選：C.【典例1-2】（全國·高三專題練習）已知，且，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】利用換元法表示出代入所求式子，化簡利用均值不等式即可求得最小值.【詳解】因為，所以，令，則且，代入中得：當即時取“=”,所以最小值為1.故選：B【變式1-1】（2021江蘇高三月考）若a,b∈R，且a2+2ab?3【詳解】5+14由a2+2ab﹣3b2＝1得（a+3b）（a﹣b）＝1，令x＝a+3b，y＝a﹣b，則xy＝1且a=x所以a2+b2＝（x+3y4）2+（x?y4）2=x2+5【變式1-2】（2023春·四川宜賓·高二校考階段練習）已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】法一：因式分解后根據式子特征，設，，從而表達出，結合基本不等式去除最小值；【詳解】：∵，∴可設，，∴，代入所求式子得，，當且僅當，時等號成立.所以的最小值為.【變式1-3】（全國·高三專題練習）已知且滿足，則的最小值是.【答案】【分析】將因式分解，令，，即可求得，代入利用均值不等式即可求得最小值．【詳解】解：，令，，則，，且，所以當且僅當時取等號，此時的最小值故答案為：．題型16配方型【典例1-1】（全國·高三專題練習）已知a，，且，則的最大值為（

）A．2 B．3 C． D．【答案】C【分析】由題知，進而得，再結合已知得，即可得答案.【詳解】解：，則，當且僅當時，“=”成立，又a，，所以，當且僅當時，“=”成立，所以的最大值為.故選：C【典例1-2】（全國·高三專題練習）已知正實數a，b滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】將條件中的式子進行配方，利用基本不等式得到關于的不等式，解不等式即可求出結果.【詳解】因為，所以，當且僅當時等號成立，因為，所以，即，所以，即，因為為正實數，所以，因此，故的最大值為，此時，故選：B.【變式1-1】（全國·高一專題練習）已知實數x、y滿足，且不等式恒成立，則c的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，得出，進一步得到的最小值，再根據不等式恒成立，得出求出c的取值范圍．【詳解】解：，，當且僅當時“”成立，又不等式恒成立，，的取值范圍是．故選：B．【變式1-2】（全國·高三專題練習）已知a，b為非負數，且滿足，則的最大值為（

）A．40 B． C．42 D．【答案】D【分析】將表示成的函數，利用均值不等式求出的范圍即可求解作答.【詳解】，