《時間序列分析-基于Python》 課件 ch7 多元時間序列分析

多元時間序列分析07本章內容偽回歸0102協整模型干預模型Granger因果檢驗0403多元時序回歸分析計量經濟學家很早就開始構建多元時序的回歸模型20世紀60-70年代，Granger等統計學家，對多元時序回歸模型提出了偽回歸的概念。他們提醒計量經濟學家，在使用時間序列進行線性回歸分析時，回歸模型很容易通過方程顯著性檢驗。很多時候不是因為這些序列之間真的具有因果關系，而是時間的相關性，造成非平穩序列之間的“偽”回歸。

偽回歸定義對回歸模型進行方程顯著性檢驗假設條件檢驗統計量偽回歸：真實拒絕原假設的概率大于理論上的拒真概率偽回歸隨機模擬試驗1974年，Granger和Newbold進行了非平穩序列偽回歸的隨機模擬試驗。檢驗結果說明在非平穩的場合，參數顯著性檢驗犯第一類錯誤的概率遠遠大于顯著性水平，偽回歸顯著成立。這導致多元非平穩序列的分析埋有隱患。試驗設計思想：分別擬合兩個隨機游走序列：其中：

構建回歸模型：，并進行參數顯著性檢驗。試驗結果由于這是兩個獨立的隨機游走模型，所以理論上它們應該沒有任何相關性，即模型檢驗應該顯著支持的假設。如果模擬結果顯示拒絕原假設的概率遠遠大于拒真概率，即認為偽回歸顯著成立。大量隨機擬合的結果顯示，每100次回歸擬合中，平均有75次拒絕的假設，拒真概率高達75%。這說明在非平穩的場合，參數顯著性檢驗犯拒真錯誤的概率遠遠大于，偽回歸顯著成立。偽回歸產生原因產生偽回歸的原因是在非平穩場合，參數的檢驗統計量不再服從正態分布（綠色）。統計量真實的抽樣分布（紅色）尾部肥，方差大，比正態分布要扁平很多。如果繼續使用正態分布的臨界值做方程顯著性判斷，則會導致很大的犯第一類錯誤的概率。本章內容偽回歸0102協整模型干預模型Granger因果檢驗0403單整單整的概念如果序列平穩，說明序列不存在單位根，這時稱序列為零階單整序列，簡記為假如原序列一階差分后平穩，說明序列存在一個單位根，這時稱序列為一階單整序列，簡記為假如原序列至少需要進行d階差分才能實現平穩，說明原序列存在d個單位根，這時稱原序列為d階單整序列，簡記為單整的性質若，對任意非零實數a，b，有若，對任意非零實數a，b，有若，對任意非零實數a，b，有若，對任意非零實數a，b，有協整的概念假定自變量序列為，響應變量序列為，構造回歸模型假如回歸殘差序列平穩，我們稱響應序列與自變量序列之間具有協整關系（Cointegration）。變量之間如果具有協整關系，意味著它們具有長期穩定的均衡變化關系。協整檢驗假設條件原假設：多元非平穩序列之間不存在協整關系備擇假設：多元非平穩序列之間存在協整關系檢驗方法（EG兩步法）第一步：建立響應序列與輸入序列之間的回歸模型第二步：對回歸殘差序列進行平穩性檢驗ARIMAX模型進一步提取協整模型殘差序列

中蘊含的相關信息，構建ARMA模型最終得到的模型稱為帶輸入變量的ARIMA模型，簡寫為ARIMAX模型例7-2生物學家進行生態動力學研究，每隔12小時觀察一次草履蟲（paramecium，捕食者）和櫛毛蟲（didinium，被捕食者）的數量變化。根據這批實驗數據情分析：（1）實驗室環境下，捕食者與被捕食者之間具有協整關系嗎？（2）草履蟲的數量可以基于哪個模型進行擬合（3）假如人為控制櫛毛蟲的數量，預測草履蟲的數量會發生怎樣的變化？例7-2繪制多元時序圖時序圖顯示出捕食者與被捕食者之間存在顯著的食物增加-捕食者增加-食物減少-捕食者減少的生態循環。捕食者與被捕食者之間存在長期均衡關系，但存在滯后期。下面基于互相和系數估計滯后期數。互相關系數延遲k階互相關系數（Cross-correlationcoefficient）計算的是響應序列滯后于輸入序列k期的相關系數，即

與

之間的相關系數。根據Bartlett定量，互相關系數近似服從零均值正態分布互相關系數最大的那一期通常就是輸入變量和響應變量之間反應的滯后期。如果多階互相關系數都顯著非零（大于2倍標準差），就意味著輸入序列對響應序列的影響是長期的。例7-2互相關系數圖捕食者與被捕食者序列的互相關系數在延遲2階后達到最大。這意味被捕食者數量的變化對2期后的捕食者數量的影響最大，而且它們之間周而復始的種群變化規律大概10期為一個周期。例7-2協整檢驗協整檢驗結果協整檢驗結論捕食者與延遲2階的被捕食者之間存在顯著的協整關系最大延遲階數協整統計量P值5%臨界值2-6.461.54e-07-3.42例7-2擬合協整模型擬合協整模型協整模型口徑協整模型解釋草履蟲種群的數量大概等于兩期之前櫛毛蟲種群數量的30%（0.2972）例7-2協整模型殘差檢驗殘差序列為非白噪聲序列擬合ARIMA((1,3),0,1)例7-2擬合ARIMAX模型擬合ARIMAX模型ARIMAX模型信息提取充分例7-2序列預測情景預測1（Low）：假設櫛毛蟲種群的數量比上一個周期普遍減少50情景預測2（High）：假設櫛毛蟲種群的數量比上一個周期普遍增加50誤差修正模型誤差修正模型（ErrorCorrectionModel）簡稱為ECM，最初由Hendry和Anderson于1977年提出，它常常作為協整回歸模型的補充模型出現。協整模型度量序列之間的長期均衡關系，而ECM模型則解釋序列的短期波動關系。誤差修正模型構造思想：對協整模型進行等價差分運算，就得到短期波動關系代表的是上一期的誤差，特別記作，則上式可以表達為短期影響因素分析響應序列的當期波動主要會受到三方面短期波動的影響輸入序列的當期波動上一期的誤差純隨機波動為了定量地測定這三方面影響的大小，尤其是上期誤差對當期波動的影響，可以構建ECM模型，模型結構如下：誤差修正模型的負反饋機制模型結構負反饋機制以例7-3的應用背景對誤差修正模型的負反饋機制進行直觀解釋當時，即上期真實支出比估計支出大，這種誤差反饋回來，會導致下期支出適當壓縮當時，即上期真實支出比估計支出小，這種誤差反饋回來，會導致下期支出適當增加例7-2續

誤差修正模型根據草履蟲和櫛毛蟲的差分序列與協整誤差序列，得到誤差修正模型為對誤差修正模型的解讀：系數0.2074意味著如果櫛毛蟲的數量短期增加或減少1個單位，會導致草履蟲數量相應地增加或減少0.2個單位如果因為各種隨機因素的作用，使得某個時刻草履蟲的真實數量比協整均值多或少1個單位，那么下一期草履蟲的數量會平均減少或增加0.5個單位，這意味著這個生態系統糾錯的回彈速度超過了1/2（0.5205）。這是很大的修正彈性。所以捕食者（草履蟲）與被捕食者（櫛毛蟲）形成的生態平衡是比較穩定的。本章內容偽回歸0102協整模型干預模型Granger因果檢驗0403干預分析干預分析的定義時間序列常常受到某些外部事件的影響，諸如：假期，罷工，促銷，或者政策的改變等。我們稱這些外部事件為“干預”。評估外部事件對序列產生的影響的分析，稱為干預分析（interventionanalysis）。干預分析的產生背景最早的干預分析是1975年Box和刁錦寰（Tiao）對加州63號法令是否有效抑制了加州空氣污染問題的研究。他們首次將干預事件以虛擬變量的方式進行標注，然后把虛擬變量作為輸入變量引入序列分析，構建ARIMAX模型。干預分析的實質所謂干預模型實際上是帶虛擬變量回歸的ARIMAX模型，所以干預模型實質上就是ARIMAX模型的一種特例。例7-3二戰之后加利福尼亞州經濟高速發展，蓬勃發展的經濟也帶來了嚴重的空氣污染。由于工廠排放的廢氣、汽車排放的尾氣、家庭使用的燃氣排放物中都含有大量的氮氧化物和活性碳氫化物。廢氣在陽光的作用下產生化學反應，這些化學反應物形成了嚴重的霧霾，造成大量人群流眼淚，咳嗽、肺部受損等身體傷害。經測量光化學污染程度的標志是臭氧的含量。為了解決污染問題，加州政府在1959年頒布了63號法令。該法令要求從1960年1月起，在當地銷售的汽油中減少碳氫化物的容許比。Box和Tiao在1975年，根據他們收集的1955年1月—1972年12月的月度臭氧濃度序列，分析63號法令的頒布執行，對控制加州的光學污染有沒有起到作用？如果起了作用，起了多大的作用。步驟一：繪制時序圖考察序列的時序圖，研究干預變量對序列的干預機制。臭氧序列時序圖步驟二：干預變量和干預機制設定在這個研究中，干預變量是63號法令的頒布和執行。這是一個定性變量，它沒有數值，只有兩個屬性：（1）1960年之前沒有執行，（2）1960年之后執行了。基于這種情況，Box和Tiao把干預變量以虛擬變量的方式進行處理在研究中，Box和Tiao發現，除了政策法規這個干預變量之外，影響臭氧濃度的還有一個定性變量，那就是季節。因為冬季有供暖需求，廢氣排放比夏天多。其次冬季的溫度低，污染物的擴散慢，所以冬季和夏季對臭氧濃度可能有不同的干預力度。所以他們又構造了兩個虛擬變量，用以描述季節對臭氧序列的影響（這兩個變量選其一即可）干預機制時序圖顯示，序列有明顯的季節效應。６３號法令執行之后（參照線前后），序列的周期波動特征沒有明顯改變，但是序列的波動水平比以前明顯降低。所以季節效應和63號法令作為兩個干預變量引入臭氧序列擬合。步驟三

干預模型殘差白噪聲檢驗步驟四

殘差序列定階考察殘差序列的自相關圖和偏自相關圖，為殘差序列指定模型結構為步驟五：擬合帶干預變量的ARIMAX模型模型擬合結果模型口徑干預模型顯著性檢驗步驟六：干預效果分析干預效果解讀根據β1=一1.4215,且該系數z檢驗顯著非零的特征,可以認為63號法令的頒布和實施降低了加州臭氧濃度。這說明63號法令的頒布和實施對治理加州的空氣污染是顯著有效的。又因為在1960年之前,加州臭氧序列的平均濃度等于4.177，因為63號法令的執行,臭氧濃度平均降低了1.4215，所以63號法令的執行使得加州臭氧濃度比法令執行之前下降了34%左右。由于β2=1.3689,且該系數z檢驗顯著非零的特征，說明盡管夏季和冬季各有不利的條件，都有可能引起臭氧濃度升高，但夏季強烈的光照比冬季更容易產生臭氧光污染。干預機制的選擇干預模型是進行政策效果評估或分析特殊事件影響的有用模型。而干預模型的關鍵是將干預事件以虛擬變量的形式引入響應序列分析。干預事件根據作用機制可以分為三種類型：階梯干預脈沖干預其他干預用階梯干預和脈沖干預的轉換函數或組合來生成本章內容偽回歸0102協整模型干預模型Granger因果檢驗0403因果關系的識別對于多元時間序列而言，如果能找到對響應變量有顯著影響的輸入序列，并且能驗證它們之間具有協整關系，這對準確預測響應變量的波動，或者通過控制輸入序列的取值，間接控制響應變量的發展都是非常有用的。但前提是輸入序列和響應序列之間具有真正的因果關系，而且一定是輸入序列為因，響應序列為果。這種因果關系的認定，在某些情況下是清晰明確的。比如例7-３，對于中國農村家庭而言，一定是量入為出，收入的多少影響了支出的多少，所以一定是收入為因，支出為果。這個例子中輸入變量和因變量很好識別。但是在有些領域，變量之間的關系可能比較復雜，因果關系的識別并不是一目了然的。尤其是在經濟、金融領域，多個變量都來自相同領域，甚至是同一個系統，彼此之間多半有相關關系，但彼此之間的因果關系卻并不明確。我們在建立協整模型時，需要先確定變量之間的因果關系。例7-41983年D.A.Ｎicols想研究對白領階層薪水調整有決定性影響的宏觀經濟因素。他收集了四個相關變量：（１）白領階層的平均年薪Ｗ；（２）當年的通貨膨脹率ＣＰＩ；（３）當年的失業率Ｕ；（４）當年的最低工資標準ＭＷ。他想研究的響應變量是白領階層的平均年薪Ｗ，那么剩下的三個變量是不是導致年薪變化的因變量呢？如果單純從邏輯上分析，上述四個變量之間的因果關系，我們很難直接識別。序列因果關系的定義因果關系，一定是原因導致了結果。所以從時間上說，應該是原因發生在前，結果產生在后。就影響效果而言，Ｘ事件發生在前，而且對Ｙ事件的發展結果有影響，Ｘ事件才能稱為Ｙ事件的因。基于對這種因果關系的理解，1969年Granger給出了序列間因果關系的定義，我們稱之為Granger因果關系定義。Granger因果關系定義：假設X和Y是寬平穩序列，記Granger因果定義則序列ｘ是序列ｙ的Granger原因，當且僅當ｙ的最優線性預測函數使得下式成立：兩變量之間的4種因果關系根據Granger因果關系定義，在兩個序列之間存在４種不同的因果關系(不考慮兩變量之間當期影響)Granger因果檢驗假設條件Granger因果檢驗認為絕大多數時間序列的生成過程是相互獨立的，所以原假設是序列ｘ不是序列ｙ的Granger原因，備擇假設是序列ｘ是序列ｙ的Granger原因。

此時，Granger因果檢驗的假設條件可以等價表達為Granger因果檢驗檢驗統計量：有多種方法構建Granger因果檢驗的統計量，在此介紹Ｆ檢驗統計量的構造原理。在該檢驗方法下，需要擬合兩個回歸模型在原假設成立的情況下，擬合序列ｙ的有約束預測模型在備擇假設成立的情況下，擬合序列ｙ的無約束預測模型檢驗統計量例7-4對1962-1979年美國白領階層平均年薪和可能對它有顯著影響的宏觀經濟因素進行Granger因果檢驗。例7-4Granger因果檢驗