等差數列前項和的性質

關于等差數列前項和的性質等差數列的前n項和公式:形式1:形式2:復習回顧第2頁,共23頁，2024年2月25日，星期天1.將等差數列前n項和公式

看作是一個關于n的函數，這個函數有什么特點？當d≠0時,Sn是常數項為零的二次函數則Sn=An2+Bn令第3頁,共23頁，2024年2月25日，星期天等差數列的前n項的最值問題例1.已知等差數列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值時,Sn取最大值.解法1由S3=S11得∴d=－2∴當n=7時,Sn取最大值49.第4頁,共23頁，2024年2月25日，星期天等差數列的前n項的最值問題例1.已知等差數列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值時,Sn取最大值.解法2由S3=S11得d=－2<0∴當n=7時,Sn取最大值49.則Sn的圖象如圖所示又S3=S11所以圖象的對稱軸為7n113Sn第5頁,共23頁，2024年2月25日，星期天等差數列的前n項的最值問題例1.已知等差數列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值時,Sn取最大值.解法3由S3=S11得d=－2∴當n=7時,Sn取最大值49.∴an=13+(n-1)×(-2)=－2n+15由得第6頁,共23頁，2024年2月25日，星期天∴a7+a8=0等差數列的前n項的最值問題例1.已知等差數列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值時,Sn取最大值.解法4由S3=S11得∴當n=7時,Sn取最大值49.a4+a5+a6+……+a11=0而a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8又d=－2<0,a1=13>0∴a7>0,a8<0第7頁,共23頁，2024年2月25日，星期天求等差數列前n項的最大(小)的方法方法1:由利用二次函數的對稱軸求得最值及取得最值時的n的值.方法2:利用an的符號判定①當a1>0,d<0時,此時Sn有最大值,其n的值由an≥0且an+1≤0求得.②當a1<0,d>0時,此時Sn的最小值,其n的值由an≤0且an+1≥

0求得.第8頁,共23頁，2024年2月25日，星期天練習:已知數列{an}的通項為an=26-2n,要使此數列的前n項和最大,則n的值為()A.12B.13C.12或13D.14C第9頁,共23頁，2024年2月25日，星期天2.等差數列{an}前n項和的性質性質2:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…也是等差數列,公差為在等差數列{an}中,其前n項的和為Sn,則有n2d性質1:為等差數列.

性質3:若數列{an}與{bn}都是等差數列,且前n項的和分別為Sn和Tn,則第10頁,共23頁，2024年2月25日，星期天（2)若項數為奇數2n－1,則

S2n-1=(2n－1)an(an為中間項),

此時有:S奇－S偶=

,an性質5:若Sm=p,Sp=m(m≠p),則Sm+p=－(m+p)性質6:若Sm=Sp(m≠p),則Sp+m=0性質4:(1)若項數為偶數2n,則

S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an,an+1為中間項),此時有:S偶－S奇=,nd第11頁,共23頁，2024年2月25日，星期天例1.設等差數列{an}的前n項和為Sn,若S3=9,S6=36,則a7+a8+a9=()A.63B.45C.36D.27例2.在等差數列{an}中,已知公差d=1/2,且a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=()A.85B.145C.110D.90BA3.等差數列{an}前n項和的性質的應用第12頁,共23頁，2024年2月25日，星期天例3.一個等差數列的前10項的和為100,前100項的和為10,則它的前110項的和為

.－110例4.兩等差數列{an}、{bn}的前n項和分別是Sn和Tn,且求和.等差數列{an}前n項和的性質的應用第13頁,共23頁，2024年2月25日，星期天例5.一個等差數列的前12項的和為354,其中項數為偶數項的和與項數為奇數項的和之比為32:27,則公差為

.例6.(09寧夏)等差數列{an}的前n項的和為Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,則m=.例7.設數列{an}的通項公式為an=2n-7,則|a1|+|a2|+|a3|+……+|a15|=

.510153等差數列{an}前n項和的性質的應用第14頁,共23頁，2024年2月25日，星期天例8.設等差數列的前n項和為Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.(1)求公差d的取值范圍;(2)指出數列{Sn}中數值最大的項,并說明理由.解:(1)由已知得a1+2d=1212a1+6×11d>013a1+13×6d<0等差數列{an}前n項和的性質第15頁,共23頁，2024年2月25日，星期天(2)∵∴Sn圖象的對稱軸為由(1)知由上得即由于n為正整數,所以當n=6時Sn有最大值.∴Sn有最大值.第16頁,共23頁，2024年2月25日，星期天練習1已知等差數列25,21,19,…的前n項和為Sn,求使得Sn最大的序號n的值.第17頁,共23頁，2024年2月25日，星期天練習2:求集合的元素個數，并求這些元素的和.第18頁,共23頁，2024年2月25日，星期天練習3：已知在等差數列{an}中,a10=23,a25=-22,Sn為其前n項和.（1）問該數列從第幾項開始為負？（2）求S10（3）求使Sn<0的最小的正整數n.(4)求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|的值第19頁,共23頁，2024年2月25日，星期天課堂小結1.根據數列前n項和，求通項公式.2、結合二次函數圖象和性質求=An2+Bn的最值.第20頁,共23頁，2024年2月25日，星期天2.等差數列{an}前n項和的性質性質2:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…也是等差數列,公差為在等差數列{an}中,其前n項的和為Sn,則有n2d性質1:為等差數列.

性質3:若數列{an}與{bn}都是等差數列,且前n項的和分別為Sn和Tn,則第21頁,共23頁，2024年2月25日，星期天（2)若項數為奇數2n－1,則

S2n-1=(2n－1)an(an為中間項),

此時有:S奇－S偶=

,an性質5:若Sm=p,Sp=m(m≠p),則Sm+p=－(m+p)性質6:若Sm=