2023年中考數學相似三角形必背知識點公式、定理、表

2023年中考數學相似三角形必背知識點（公式、定理、表

知識必備08相似三角形（公式、定理、結論圖表）

「知識梳理

考點一、比例線段

1.比曦i段的相關叔念

如果選用同一長度單位里得兩條線段a，b的長度分別為m，n，那么就說這兩條線段的比是

^=-，或寫成a：b=m：n.在兩條線段的比a：b中，a叫做比的前項，b叫做比的后項.

bn

在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱

比例線段.

著四條a，b>c>d滿足或a：b=c：d>那么a，b,c>d叫做組成比例的項,線段a,d叫做比例外項，

線段b,c叫做比例內項.

如果作為比例內項的是兩條相同的線段，即或a：b=b：c,那么線段b叫做線段a，c的比例中

項.

2、比例的性質

（1）基本性質：0a：b=c：dc=>ad=bc②a：b=b：cu>。-=ac.

（2）更比性質（交換比例的內項或外項）

/（交換內項）

cd

;=二=3g=￡（交換外項）

bdba

（同時交換內項和外項）

ca

（3）反比性質（交換比的前項、后項）：;=二=勺=色

aaac

<.>△山ME&aC々±0C±d

（4）合比性質:—=—

baba

r\?在acem」/八、_a+c+c+…+泄ci

f（5）等比性質?—=—=-=???=—（b+d+/+???+??-0）；—-------=—

bafnb+W+/+…+〃b

3、黃金分割

把線段AB分成兩條線段AC.BC（M>BC），并且使AC是AB和BC的比例中項，叫做把線段AB黃金分割，點

J5-1

C叫做線段AB的黃金分割點，其中AC=^—AB=0.618AB.

2

典例1:（2022?滇江）《九章尊術》中記載，戰國時期的銅衡桿，其形式既不同于天平衡桿，也異于稱桿.衡

桿正中有拱肩提紐和穿線孔，一面刻有貫通上、下的十等分線.用該衡桿稱物，可以把被稱物與祛碼放

在提紐兩邊不同位置的刻線上，這樣，用同一個祛碼就可以稱出大于它一倍或幾倍重里的物體.圖為洞

衡桿的使用示意圖，此時被稱物重里是祛碼重里的12倍.

楨稱物祛碼

【分析】根據比例的性質解決此題.

【解答】解：由題意得，5m=6ni.

mv=6：5=1.2.

故答案為：1.2.

【點評】本題主要考查比例，熟練室提比例的性質是解決本題的關鍵.

典例2：（2022?衡陽）在設計人體雕像時，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于

下部與全部的高度比，可以憎加視覺美感.如圖，按此比例設計一座高度為沙，的雷鏤雕像，那么該雕

像的下部設計高度約是（結果精確到0.01”，.參考數據：V2?1.414.愿=1.732,石=2236）（）

A

融

A.0.73加B.124wC.137mD.1.42w

【分析】設下部高為X”?，根據雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部

的高度比列方程可解得答案.

t解答】解：設下部的高度為,”，則上部高度是（2-X）m.

???雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，

.2~x_x

X2

解得L娓-1或X=~V5-1（舍去）＞

經檢蛉，x=V5-1是原方程的解，

=1=1.24，

故選：B.

【點評】本題考查黃金分割及分式方程的應用，解題的關鍵是讀懂題意，列出分式方程解決問題.

考點二、相似圖形

1.相似圖形：我們把形狀相同的圖形叫做相似圖形.

也就是說：兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到的.（全等是特殊的相似

圖形）.

2.相似多邊形：對應角相等，對應邊的比相等的兩個多邊形叫做相似多邊形.

3,相儂邊形的性質：

相似多邊形的對應角相等，對應邊成的比相等.

相似多邊形的周長的比等于相似比，相似多邊形的面租的比等于相似比的平方.

4.相似三角形的定義：形狀相同的三角形是相似三角形.

5,相似三角形的性質：

(1)相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等.

(2)相似三角形對應邊上的高的比相等，對應邊上的中線的比相等，對應角的角平分線的比相等，都等

于相似比.

(3)相似三角形的周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方.

【要點詮籌】

結合兩個圖形相似，得出時應角相等，對應邊的比相等，這樣可以由題中已知條件求得其它角的度額和線

段的長.對于復雜的圖形，采用將部分需要的圖形(或基本圖形)“抽”出來的辦法處理.

6.相似三角形的判定：

(1)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似；

(2)如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似；

(3)如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且相應的夾角相等，那么這兩個三角形相似；

(4)如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似.

(5)如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個三角形的斜邊和一條直角邊的比對應相等,

那么這兩個三角形相似.

典例3:(2022?囊陽)如圖，在△■L3C中，。是AC,的中點，AiBC,的角平分線1交3。于點尸，若3戶：

冗0=3：1，A3~BE=3M，貝心48。的周長為點.

【分析】如圖，過點尸作尸于點一”，氏VL4C于點”，過點。作交8C于點7.證明43

=3.4D>設WD=CZ)=a，證明ET=CT，設E7=CT=6,則3E=36,求出K匕，可得結論.

【解答】解：如圖，過點尸作于點A/.FNLAC于點.V，過點D作DT//AE交3C于點T.

【點評】本題主要考查相似三角形的性質，熟練莖振相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關

鍵.

典例5：（2022?荷澤）如圖，在RtA.45c?中，Z.-L3C=90°>￡是邊XC上一點，且m=8C，過點.d作班

的垂線，交3E的延長線于點。，求證：AIDES

【分析】根據等腰三角形的性質可得NC=NCE5=4?，由班可得ND=NZL3C=90°，即可

得△aD￡SZkA3C.

t解答】證明：???3E=8C，

:,ZC=ZC￡3>

,/ZC￡B=NAED，

?,■zc=4ED，

V.￡D±5￡,

AZZ）=Z.￡3C=90°，

AiDE^ZBC.

【點評】本題考查了相似三角形的判定，熟練堂握相似三角形的判定方法是解決問題的關鍵.

典例6:《2022?湘渣）如圖，在0。中，直徑A3與弦8相交于點E，連接HC、8Z）.

（1）求證：4AEB>XDEB；

（2）連接.ID，若WD=3，ZC=3O°，求0。的半徑.

【分析】（1）根據圓周角定理和相似三角形的判定可以證明結論成立；

（2）根據直角三角形的性質和四周角定理，可以得至U.45的長，從而可以得到。。的半徑.

【解答】（1）證明：???NC=N8,NAELNDEB，

???ADE3；

(2)解：???NC=N3，NC=30°，

?■■Z5=30°，

?13是GX?的直徑，￡0=3，

，NADB=90°，

???.45=6,

???。。的半徑為3.

t點評】本題考查相似三角形的判定、圖周角定理，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想

解答.

典例7:（2022?陜西）小明和小華利用陽光下的影子來則里一建筑物頂部放桿的高.如圖斯示，在某一時刻，

他們在陽光下，分別測得該建筑物。8的影長OC為16米，Q4的影長QD為20米，小明的影長尸G為

2.4米，其中。、C、D、尸、G五點在同一直線上，X、3、。三點在同一直線上，且HO-LQZ），￡尸1?尸G.已

知小明的身高E尸為L8米，求旗桿的高A3.

【分析】解法一：先證明△.48S2\E產G,列比例式可得H。的長，再證明△3OCSAH8,可得。8

的長，最后由線段的差可得結論.

解法二：過點C作CM1OD于C，證明AEG產sAJ0C可得結論.

t解答】解：解法一：?:ADIEG、

乙LD0=NEG產，

：4OD=N￡尸G=90°，

：40DsgFG，

.AO_0D=nAO_20

??1'''"-"9KJ-9

EFFG1.82.4

?；4。=15,

同理得△5CX?sAziOZ），

ABO=OCIgpB0=_16i

AOOD1520

二3。=12,

"3=M-3O=15T2=3（米”

解法二：如圖，過點C作CA/LJD于C，交AD于",

；A￡G~Z0C，

.EF_CIpn1.8.CH

FGDC2.420-16

?yi/=3.

即W3=CA，=3（米），

答：旗桿的高.13是3米.

t點評】本題考查相似三角形的判定與性質等知識，解題的關鍵莖握相似三角形的判定，屬于中考常考

題型.

典例8：（2022?濱陽）如圖，平行四邊形.婚8中，XE=5,5C=10>3C邊上的高」”=4,點E為3C?邊

上的動點（不與3、C重合，過點￡作直線￡3的垂線，垂足為尸，連接DE、D尸.

（1）求證：△.13-18△EBF；

（2）當點W為3c?的中點時，求DH的長；

（3）設3E=x，△/）昉的面積為了，求丁與x之間的函數關系式，并求當x為何值時，了有最大值，最

【分析】（1）利用兩個角對應相等的三角形全等即可證明山s。尸；

（2）過點￡作期”-10于點M可得四邊形區1因'為矩形，從而得到入2=.。/=4，-45'=2龍，再由勾

股定理求出3-1/=3,從而得到一UE=.LN=2,進而得到NN=8,再由勾股定理，即可求解；

（3）延長網交DC的延長線于點G.根據sin/B=41■塔，可得EF=1x，再證得△?fabs“CG，

可得GC=4（10-X），從而得到DG咯（10-x）+5,再根據三角形的面積公式，得到函數關系式，再根據

二次函數的性質，即可求解.

【解答】（1）證明：???皿.0.?/是BC邊上的高，

：.3fB=2EFB=90。，

又?.?N3=N3，

：4B\mWBF；

（2）解：過點E作EV_L.4Z>于點N，如圖：

BMEL

在平行四邊形一45CD中，ADHBC，

又/是8c邊上的高，

?,..■LV/1.4Z).

Z/LUE=ZJ￡￡V-NWVE=90°，

???四邊形.LHEV為矩形，

:.NE=AM=A，AN7IE，

在RtA.lS.U*?BI=VAB2-AM2=V52-42=3'

又YE為3c的中點，

?'?BE^yBC=5，

???lffi=￡V=2，

???ZXV=8?

在RtZkDAE中，DE=VDN2+NE2=V<2+82=475

（3）解：延長五E交。C的延長線于點G，如圖：

個圖形叫做位似圖形，這個點叫位似中心.

2.位似圖形的分類：

(1)外位似：位似中心在連接兩個對應點的線段之外.

(2)內位似：位似中心在連接兩個對應點的線段上.

3.位似圖形的性質

位似圖形的對應點和位似中心在同一條直線上；

位似圖形的對應點到位似中心的距離之比等于相似比；

位似圖形中不經過位似中心的對應線段平行.

1要點詮釋】

位似圖形是一種特殊的相似圖形，而相似圖形未必能構成位似圖形.