第7章 參數(shù)估計(jì)

參數(shù)估計(jì)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系07目錄/Contents7.17.27.37.47.5點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)的優(yōu)良性評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)置信區(qū)間單正態(tài)總體下未知參數(shù)的置信區(qū)間兩個(gè)正態(tài)總體下未知參數(shù)的置信區(qū)間目錄/Contents7.1點(diǎn)估計(jì)一、矩估計(jì)二、極大似然估計(jì)設(shè)總體為總體分布中的未知參數(shù),是取自總體的一個(gè)樣本,用樣本來(lái)構(gòu)造的估計(jì),稱為的一個(gè)點(diǎn)估計(jì),記作

兩個(gè)常用方法:矩估計(jì)法和極大似然估計(jì)法.所求出的估計(jì)量則分別稱為矩估計(jì)量和極大似然估計(jì)量.用樣本的階原點(diǎn)矩替代總體的階原點(diǎn)矩,這樣得到稱為的矩估計(jì)量.一、矩估計(jì)總體的階原點(diǎn)矩樣本的階原點(diǎn)矩AB的未知參數(shù)的估計(jì)量同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系一、矩估計(jì)例101OPTION02OPTION同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系一、矩估計(jì)解同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系為取自該總體的一個(gè)樣本.

的矩估計(jì)量;的矩估計(jì)量.解⑴因?yàn)?故的矩估計(jì)量可定義為例2設(shè)總體,其中未知,一、矩估計(jì)試求:12解⑵因所以:同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系（2）已知，未知，求的矩估計(jì)量；

一、矩估計(jì)（1）求的矩估計(jì)量；

（3）和都未知，求的矩估計(jì)量.例3同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系又因?yàn)橐阎?2)(3)因?yàn)槲粗室弧⒕毓烙?jì)解故同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系定理

設(shè)總體的均值,方差，為取自該總體的一個(gè)樣本,則是

的矩估計(jì)量,是的矩估計(jì)量,是的矩估計(jì)量.關(guān)于矩估計(jì)量有下列結(jié)論:一、矩估計(jì)同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系一、矩估計(jì)例4解同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系一、矩估計(jì)01OPTION02OPTION03OPTION同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系設(shè)為取自該總體的一個(gè)樣本，求的矩估計(jì)量.因,而所以可由此解出故的矩估計(jì)量為一、矩估計(jì)補(bǔ)例解同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系設(shè)總體

其中未知,求的矩估計(jì)量.

其余一、矩估計(jì)補(bǔ)例由已知條件可求得所以

故,解同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系例5

設(shè)一箱子中裝有黑和白兩種顏色的球，其中一種顏色的球有99個(gè)，另一種顏色的球只有1個(gè).但是不知道那個(gè)顏色的球是只有1個(gè).我們隨機(jī)地從這個(gè)箱子里有放回地取2個(gè)球，結(jié)果取得的都是白球，問(wèn)這個(gè)箱子中那個(gè)顏色的球只有1個(gè)？二、極大似然估計(jì)同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系二、極大似然估計(jì)同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系二、極大似然估計(jì)例6同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系分析：二、極大似然估計(jì)同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系極大似然估計(jì)的定義：二、極大似然估計(jì)同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系為可微函數(shù)時(shí),則將似然函數(shù)取對(duì)數(shù)：

當(dāng)?shù)乃迫缓瘮?shù)二、極大似然估計(jì)同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系建立并求解似然方程組:一般說(shuō)來(lái),極大似然估計(jì)值可由解對(duì)數(shù)似然方程得到.當(dāng)似然函數(shù)不可微時(shí),也可直接尋求使得似然函數(shù)達(dá)到最大的解來(lái)得到極大似然估計(jì)值和估計(jì)量.二、極大似然估計(jì)同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系二、極大似然估計(jì)例7同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系二、極大似然估計(jì)同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系設(shè)總體

,是取自該總體的一個(gè)樣本,參數(shù)未知（2）的極大似然估計(jì)量.解（1）

①寫出似然函數(shù)試求（1）的極大似然估計(jì)量；二、極大似然估計(jì)例8②對(duì)似然函數(shù)取對(duì)數(shù):同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系二、極大似然估計(jì)解方程組得③建立似然方程組:同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系④由此即得未知參數(shù)的極大似然估計(jì)量為二、極大似然估計(jì)同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系以替代即得的極大似然估計(jì)量為（2）

已經(jīng)求得又二、極大似然估計(jì)同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系二、極大似然估計(jì)同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系例9

設(shè)總體是來(lái)自該總體的樣本,其中未知.求的極大似然估計(jì)量.解樣本的似然函數(shù)為其余二、極大似然估計(jì)同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系顯然無(wú)法求解出參數(shù).于是從原始定義出發(fā)討論,發(fā)現(xiàn)

,對(duì)數(shù)似然方程二、極大似然估計(jì)當(dāng)時(shí),對(duì)數(shù)似然函數(shù)為同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系二、極大似然估計(jì)同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系④寫出未知參數(shù)的極大似然估計(jì)量:二、極大似然估計(jì)設(shè)是未知參數(shù)的極大似然估計(jì)量,則的定義為（也是替代的思想）.極大似然估計(jì)量性質(zhì)同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系已知總體的概率函數(shù)為其中未知,設(shè)是取自總體的樣本,其觀測(cè)值

極大似然估計(jì)值.,求參數(shù)

的二、極大似然估計(jì)同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系解樣本觀測(cè)值的似然函數(shù)為得,由此即解得取對(duì)數(shù)得,求導(dǎo)并建立似然方程,二、極大似然估計(jì)同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系

設(shè)總體的分布為

,其中為未知參數(shù),為樣本觀測(cè)值,則求

的極大似然估計(jì)值的過(guò)程如下:（1）寫出似然函數(shù)（2）稱滿足關(guān)系式二、極大似然估計(jì)的解

為的極大似然估計(jì)值,而為的極大似然估計(jì)量.如果是的可微函數(shù),則將似然函數(shù)取對(duì)數(shù):二、極大似然估計(jì)建立并求解似然方程組:一般說(shuō)來(lái),極大似然估計(jì)值可由解對(duì)數(shù)似然方程得到.似然函數(shù)不可微時(shí),也可直接尋求使得似然函數(shù)達(dá)到最大的解來(lái)得到極大似然估計(jì)值和估計(jì)量.二、極大似然估計(jì)極大似然估計(jì)求解對(duì)數(shù)似然求導(dǎo)法直接法似然函數(shù)二、極大似然估計(jì)目錄/Contents7.17.27.37.47.5點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)的優(yōu)良性評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)置信區(qū)間單正態(tài)總體下未知參數(shù)的置信區(qū)間兩個(gè)正態(tài)總體下未知參數(shù)的置信區(qū)間目錄/Contents7.2點(diǎn)估計(jì)的優(yōu)良性評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)一、無(wú)偏性二、有效性三、相合性如果未知參數(shù)的估計(jì)量

滿足

如果則稱為的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)量.則稱為的漸近無(wú)偏估計(jì)量.一、無(wú)偏性定義1同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系的極大似然估計(jì)量;的矩估計(jì)量;解

(1)由矩估計(jì)定義可知

(2)又由上一節(jié)例9得.一、無(wú)偏性設(shè)是來(lái)自總體的一個(gè)樣本,總體

其中未知,試求1無(wú)偏估計(jì)?若不是,將其修正為無(wú)偏估計(jì).問(wèn)是不是未知參數(shù)的

23例1同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系⑶

;由次序統(tǒng)計(jì)量的分布知當(dāng)時(shí),的概率密度函數(shù)為故

一、無(wú)偏性同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系定義,

因此,矩估計(jì)是無(wú)偏估計(jì)而極大似然估計(jì)不是無(wú)偏估計(jì).一、無(wú)偏性同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系例2分別討論是的無(wú)偏性.

設(shè)總體為來(lái)自該總體的一個(gè)樣本,

一、無(wú)偏性同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系故是的無(wú)偏估計(jì).

一、無(wú)偏性故不是的無(wú)偏估計(jì).

解同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系則有若總體的均值,方差,樣本為,⑴⑵因此,樣本均值是總體均值的無(wú)偏估計(jì),樣本方差是總體方差的無(wú)偏估計(jì),而樣本的二階中心矩是總體方差的漸近無(wú)偏估計(jì)。一、無(wú)偏性定理1同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系補(bǔ)例設(shè)總體為從該總體中取出的簡(jiǎn)單樣本,記分別為樣本均值和樣本方差,若由統(tǒng)計(jì)量性質(zhì)知由題意,即為的無(wú)偏估計(jì),試計(jì)算的值.由此解得.一、無(wú)偏性解同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系二、有效性意的，都有,設(shè)是未知參數(shù)的兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)，若對(duì)任

使得上述不等式嚴(yán)格成立，

則稱比有效.

且至少有一個(gè)

定義2設(shè)是來(lái)自總體的一個(gè)樣本,總

體,其中未知,由前面的討論已經(jīng)知道的矩估計(jì)量是無(wú)偏估計(jì);修正后的的極大似然估計(jì)量是無(wú)偏估計(jì).(2)(1)例1續(xù)同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系又

二、有效性進(jìn)一步可得同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系設(shè)總體為來(lái)自該總體的一個(gè)樣本,其中是未知參數(shù),試求解下列問(wèn)題:試比較這兩個(gè)估計(jì)的有效性.試證的極大似然估計(jì)和樣本方差都是的無(wú)偏估計(jì);補(bǔ)例二、有效性01OPTION02OPTION同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系解⑴由題設(shè)知故因此二、有效性可見(jiàn)這兩個(gè)估計(jì)都是無(wú)偏的;同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系解⑵又因?yàn)槎⒂行燥@然比有效.

因此同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系的一個(gè)估計(jì)量.設(shè)是如果對(duì),有三、相合性定義3同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系定理2三、相合性如果是的一個(gè)無(wú)偏估計(jì),且,那么是的相合估計(jì)量.同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系例3三、相合性證明同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系補(bǔ)例由,且,知是未知參數(shù)

的相合估計(jì).設(shè)總體,其中

未知,的矩估計(jì)量,試證明是一個(gè)相合估計(jì).三、相合性證明同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系目錄/Contents7.17.27.37.47.5點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)的優(yōu)良性評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)置信區(qū)間單正態(tài)總體下未知參數(shù)的置信區(qū)間兩個(gè)正態(tài)總體下未知參數(shù)的置信區(qū)間

設(shè)

是來(lái)自總體

的樣本,其中參數(shù)

未知,對(duì)給定的

,若存在統(tǒng)計(jì)量

使得那么稱隨機(jī)區(qū)間

為的雙側(cè)置信區(qū)間;稱

為置信水平;

置信區(qū)間抽樣以后就得到置信區(qū)間的觀測(cè)值:

簡(jiǎn)稱雙側(cè)置信下限或者上限.

稱為的雙側(cè)置信區(qū)間的上限,

稱為的雙側(cè)置信區(qū)間的下限;

置信區(qū)間6置信水平

的幾何解釋

置信區(qū)間6置信水平

的幾何解釋

置信區(qū)間6置信水平95%的幾何解釋

置信區(qū)間6置信水平50%的幾何解釋

置信區(qū)間置信區(qū)間定義2定義3同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系

求參數(shù)置信區(qū)間的一般步驟:構(gòu)造一個(gè)包含

和的隨機(jī)變量

要求先求出未知參數(shù)的一個(gè)點(diǎn)估計(jì)

,建議

使用極大似然估計(jì)或無(wú)偏估計(jì);置信區(qū)間

除了未知參數(shù)以外,不再含有任何未知的信息,且

的分布已知或者分位數(shù)可以通過(guò)查表或者計(jì)算得到;12同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系選取常數(shù),使得將不等式等價(jià)變形為,則，

就是未知參數(shù)

的雙側(cè)

其中,都是統(tǒng)計(jì)量.

置信區(qū)間

置信區(qū)間.34同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系置信區(qū)間同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系設(shè)

是取自正態(tài)總體的一個(gè)樣

雙側(cè)置信區(qū)間:

本,給定置信水平為

,置信區(qū)間已知方差

，求期望的同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系則滿足取

,

,

置信區(qū)間同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系目錄/Contents7.17.27.37.47.5點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)的優(yōu)良性評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)置信區(qū)間單正態(tài)總體下未知參數(shù)的置信區(qū)間兩個(gè)正態(tài)總體下未知參數(shù)的置信區(qū)間目錄/Contents7.4單正態(tài)總體下未知參數(shù)的置信區(qū)間一、均值的置信區(qū)間二、方差的置信區(qū)間設(shè)

是取自正態(tài)總體的一個(gè)樣

本,給定置信水平為

,

且樣本均值為,

樣本方差一、均值的置信區(qū)間12已知方差,期望的雙側(cè)置信區(qū)間；

方差未知,期望的雙側(cè)置信區(qū)間.

同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系⑴已知方差,期望的雙側(cè)置信區(qū)間則需要滿足取

其次，構(gòu)造隨機(jī)變量一、均值的置信區(qū)間首先，的無(wú)偏估計(jì)，同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系相應(yīng)的置信區(qū)間觀測(cè)值為:不等式等價(jià)變形后即得的雙側(cè)置信區(qū)間:一、均值的置信區(qū)間同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系一、均值的置信區(qū)間同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系例1某商店每天每百元投資的利潤(rùn)率服從正態(tài)分布，均值為未知，方差長(zhǎng)期以來(lái)穩(wěn)定在0.4.現(xiàn)隨機(jī)抽取五天的利潤(rùn)率得到數(shù)據(jù)為：-0.2,0.1,0.8,-0.6,0.9,求的雙側(cè)置信水平為0.95的雙側(cè)置信區(qū)間.解由題意知

,計(jì)算并查表得故期望的雙側(cè)0.95置信區(qū)間為

一、均值的置信區(qū)間同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系則滿足取

,

,

⑵方差未知,期望的雙側(cè)置信區(qū)間構(gòu)造隨機(jī)變量,則符合選取的要求;一、均值的置信區(qū)間同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系相應(yīng)的置信區(qū)間觀測(cè)值為不等式等價(jià)變形后即得的雙側(cè)置信區(qū)間:一、均值的置信區(qū)間同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系一、均值的置信區(qū)間同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系二、方差的置信區(qū)間12期望已知,方差的雙側(cè)置信區(qū)間；

期望

未知,方差的雙側(cè)置信區(qū)間.

同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系(1)期望已知,方差的雙側(cè)置信區(qū)間二、方差的置信區(qū)間同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系二、方差的置信區(qū)間同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系取

,

,

二、方差的置信區(qū)間(2)期望未知,方差的雙側(cè)置信區(qū)間同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系不等式等價(jià)變形后即得的雙側(cè)置信區(qū)間:二、方差的置信區(qū)間而標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間為同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系例2續(xù)測(cè)量10個(gè)燈泡,得為了解燈泡使用時(shí)數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差

小時(shí),如果燈泡的使用時(shí)數(shù)服從正態(tài)分布,求

的置信水平的雙側(cè)置信區(qū)間.二、方差的置信區(qū)間

小時(shí),

查表得故方差的0.95雙側(cè)置信區(qū)間為解由題設(shè)條件知

同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系位:厘米,并由此算得從一批螺釘中隨機(jī)取9枚,測(cè)得其長(zhǎng)度,單

,

,設(shè)釘子長(zhǎng)度

,其中參數(shù)未知,二、方差的置信區(qū)間補(bǔ)例試分別求的置信水平的雙側(cè)置信區(qū)間.同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系查表得,故期望的雙側(cè)0.9置信區(qū)間為

二、方差的置信區(qū)間解由題設(shè)條件計(jì)算可得

,

同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系查表得,故方差的雙側(cè)0.9

置信區(qū)間為二、方差的置信區(qū)間同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系雙側(cè)置信水平的置信區(qū)間已知

二、方差的置信區(qū)間

未知

同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系雙側(cè)置信水平的置信區(qū)間已知

二、方差的置信區(qū)間未知

同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系單側(cè)下限單側(cè)上限單側(cè)置信水平的置信區(qū)間二、方差的置信區(qū)間已知

已知

同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系目錄/Contents7.17.27.37.47.5點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)的優(yōu)良性評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)置信區(qū)間單正態(tài)總體下未知參數(shù)的置信區(qū)間兩個(gè)正態(tài)總體下未知參數(shù)的置信區(qū)間目錄/Contents7.5兩個(gè)正態(tài)總體下未知參數(shù)的置信區(qū)間一、均值差的置信區(qū)間二、方差比的置信區(qū)間設(shè)是取自總體的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,是取自總體的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,兩個(gè)總體相互獨(dú)立。定義：已知方差,均值差的雙側(cè)置信區(qū)間，

未知方差,均值差的雙側(cè)置信區(qū)間.一、均值差的置信區(qū)間12同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系的無(wú)偏估計(jì)為一、均值差的置信區(qū)間則滿足取

,