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第四章格林函數法主要內容第一邊值問題(狄利克雷（Dirichlet）問題）第二邊值問題(牛曼（Neumann）問題）格林第一（二）公式調和函數的基本性質*格林函數的定義

及特殊區域上格林函數的求法§1拉普拉斯方程邊值問題的提法靜態薄膜的橫向位移----二維拉普拉斯方程（也稱調和方程）第二邊值問題(牛曼（Neumann）問題）（2）第二邊值問題(牛曼（Neumann）問題）事實上如果不加以限制，外問題的解不一定是唯一的。上述問題可以表示為

都是解。可以證明二維情形要求在無窮遠處的極限有界，即§2調和函數

2．1格林公式格林第一公式：則有格林第一公式：（2.2）-(2.2’)可得格林第二公式：2.2拉普拉斯方程的對稱解首先介紹拉普拉斯方程的球對稱解，前面我們知道滿足拉普拉斯方程。做變換（2.4）稱作球坐標下的拉普拉斯方程。2.3調和函數的基本性質證明：利用公式

即

性質2.2meumann問題有解的必要條件

證明令有

代入格林公式：性質2.3（平均值公式）證明由表明調和函數在區域內任意一點的函數值等于它在球面上各點的平均值。結論解的唯一性定理狄利克雷內問題的解是唯一的；牛曼內問題的解除了相差一個常數外也是唯一的。滿足狄利克雷內問題（牛曼內問題)：

對于牛曼內問題對于狄氏內問題§3格林函數

2．1格林函數的定義以狄利克雷內問題為例。這時狄利克雷內問題的解為同樣對二維情形，可以得到3.2格林函數的性質和物理意義例4.1圓域上的格林

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