《信號與系統》課程講義3-1,2,3

第三章傅立葉變換主要內容：周期信號的傅立葉級數非周期信號的傅立葉變換傅立葉變換的基本性質卷積定理和相關定理周期信號和抽樣信號的傅立葉變換

§3.2周期信號的傅立葉級數分析

f(t)一、三角形式的傅立葉級數任意信號的三角形式傅立葉級數展開是區間上的一個完備正交函數集，周期②滿足一定條件的任一函數在區間描述為：①都可以§3.2周期信號的傅立葉級數分析

其中：ii)iii)

i)§3.2周期信號的傅立葉級數分析

2．對于周期函數，由于只要積分區間大小為T1），故在,3．存在的充分非必要條件：狄利克雷條件②一周期內③絕對可積，即積分值與積分區間無關（均可以展成傅立葉級數。①一周期內間斷點有限個；極值有限個；§3.2周期信號的傅立葉級數分析

4．其它三角形式ii),iii),iv),，i)§3.2周期信號的傅立葉級數分析

v)基波分量：與對應的vi)奇次諧波分量：對應的vii)偶次諧波分量：對應的viii)直流分量：a0§3.2周期信號的傅立葉級數分析

5．周期信號的離散譜i)幅度譜~ii)相位譜~§3.2周期信號的傅立葉級數分析

二、指數形式的傅立葉級數1．任意信號的指數傅立葉級數展開，區間為上的完備正交函數集，周期

①為§3.2周期信號的傅立葉級數分析

②任意其中，

§3.2周期信號的傅立葉級數分析

2．與①=的關系②=i)==，=令=和,則時

=ii)，iii),,§3.2周期信號的傅立葉級數分析

3．幅度譜~和相位譜~實傅立葉級數的特點ii)

奇函數為偶函數i)4．負頻率出現無物理意義，只是數學運算結果。§3.2周期信號的傅立葉級數分析

Ef(t)t三、函數對稱性與傅立葉系數關系①②③1．偶函數§3.2周期信號的傅立葉級數分析

[例1]：周期矩形脈沖：只含直流項與余弦項指數形式：即：§3.2周期信號的傅立葉級數分析

2．奇函數

①②③§3.2周期信號的傅立葉級數分析

[例2]：周期鋸齒波只含正弦項f(t)E/2-E/2t§3.2周期信號的傅立葉級數分析3．奇諧函數：①②§3.2周期信號的傅立葉級數分析

i)當時ii)當時③同理ii)當時時i)當4．去直流后為奇函數

為奇函數：只含正弦項，則只含直流和正弦項。§3.2周期信號的傅立葉級數分析

[例3]：含直流的周期鋸齒波：，tt§3.2周期信號的傅立葉級數分析

5．去直流后為奇諧函數為奇諧函數：含直流、基波和奇次諧波。

§3.2周期信號的傅立葉級數分析

[例4]：周期三角波含直流、基波和奇次諧波余弦分量。§3.2周期信號的傅立葉級數分析

f(t)6．偶函數&奇諧函數只含基波和奇次諧波的余弦分量§3.2周期信號的傅立葉級數分析

[例5]：對稱方波只含基波和奇次諧波的余弦分量。§3.2周期信號的傅立葉級數分析

-11tf(t)7．奇函數&奇諧函數只含基波、奇次諧波的正弦分量§3.2周期信號的傅立葉級數分析

8．偶諧函數：只含直流和偶次諧波②①不一定為0§3.2周期信號的傅立葉級數分析

i)當時ii)當時③同理ii)當時時i)當§3.2周期信號的傅立葉級數分析

9．偶函數&偶諧函數只含直流和偶次諧波的余弦分量f(t)§3.2周期信號的傅立葉級數分析

10．奇函數&偶諧函數只含偶次諧波的正弦項§3.2周期信號的傅立葉級數分析

四、功率特性，有限級數，最小方均誤差功率特性①§3.2周期信號的傅立葉級數分析

②：直流功率④稱之為帕塞瓦爾方程：交流功率，其中的交流功率為，有效值③§3.2周期信號的傅立葉級數分析

2.有限級數及最小方均誤差→②最小方均誤差ii)①有限級數的由來：i)§3.2周期信號的傅立葉級數分析

[例6]：對稱方波②,③,ii)變化越劇烈，高頻分量越多解：①i)項數越多，誤差越小，，—>④§3.2周期信號的傅立葉級數分析

3.吉布斯現象峰起愈靠近的不連續點。①項數越多，中出現的很大時，該峰起值趨于一個常數，它約等于總跳變值的9%，并從不連續點開始以起伏震蕩的形式逐漸衰減下去②≈9%f(t)t§3.3典型周期信號的傅立葉級數

半波余弦、半波正弦類①全波整流：只含直流、余弦分量的情況§