余弦定理課件

正弦定理在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即正弦定理可以解什么類型的三角形問題？

(1)已知兩角和任意一邊，可以求出其他兩邊和一角；(2)已知兩邊和其中一邊的對角，可以求出三角形的其他的一邊和另外兩角。復習:(SAS問題)在三角形ABC中,已知邊a,b,角C,求邊cABCDabc法一：作高法(bcosC,bsinC)(a,0)CxayO法二:坐標法bc?AB解:以C為原點,BC為x軸建立直角坐標系ABCabc法三:向量法余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其它兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。即：a2=b2+c2－2bccosAb2=a2+c2－2accosBc2=a2+b2－2abcosC注意：1、熟悉定理的形式結構特點，注意“平方”“夾角”“余弦”等

2、每個等式中包含四個量，它們分別是三角形的三條邊和其中一角，知三求一.3、當∠C＝90時，則cosC＝0，∴c2＝a2＋b2，即余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例例1、在△ABC中，已知a=,b=2,c=,解三角形。解：由余弦定理得例題講解鞏固新知練習1.△ABC的三邊長分別為AB=7，BC=5，AC=6，則BA·BC的值為（）（A）19（B）14（C）-18（D）-19【解析】選A.∴BA·BC=|BA|·|BC|cosB=7×5×=19.B[例4]在△ABC中，a·cosA＝b·cosB，試確定此三角形的形狀．當a＝b時，△ABC為等腰三角形；當c2＝a2＋b2時，△ABC為直角三角形．∴△ABC為等腰三角形或直角三角形．解法2：由a·cosA＝b·cosB以及正弦定理得2R·sinA·cosA＝2R·sinB·cosB，即sin2A＝sin2B.又∵A、B∈(0，π)，∴2A、2B∈(0,2π)，故有2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝.∴△ABC為等腰三角形或直角三角形．[變式訓練2]如圖，已知AD為△ABC的內角∠BAC的平分線，AB＝3，AC＝5，∠BAC＝120°，求AD的長．分析：由余弦定理可解三角形ABC，求出BC長度；由三角形內角平分線定理可求出BD長，再解△ABD即可求出AD長．解析：在△ABC中，由余弦定理：BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝32＋52－2×3×5·cos120°＝49，∴BC＝7，設BD＝x，則DC＝7－x，由內角平分線定理：在△ABD中，設AD＝y，由余弦定理：BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD.(滿分12分)(2010·遼寧高考)在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大?。?2)若sinB＋sinC＝1，試判斷△ABC的形狀．【思路點撥】

利用正余弦定理，將條件統一為角的關系，然后求角，進而判定△ABC的形狀．例2、已知△ABC的三邊為、2、1，求它的最大內角。解：設三角形的三邊分別為a=,b=2,c=1則最大內角為∠A由余弦定理得練習1：在△ABC中，已知a=12,b=8,c=6,判斷△ABC的形狀。cosA<0，A為鈍角，△A