人教版九年級數學上冊 實際問題與一元二次方程（第3課時 單循環賽問題）教學設計

25.3實際問題與一元二次方程

(第3課時單循環賽問題)(教學設計)

^^教學分析

教學內容與解析

1.教學內容

本節課時是人教版2024版九年級上冊第二十五章《一元二次方程》第三節《實際問題與一元二次方程》第3

課時單循環比賽問題.本節課承接前兩課時數字面積、病毒傳播與變化率模型，聚焦兩兩組合元重復的計數

類實際問題.核心內容包括：理解單循環賽制的比賽規則、推導單循環比賽總場數通用公式、利用一元二次

方程解決球賽、握手、互贈卡片等同模型實際問題。課堂持續落實“審、設、歹。、解、驗、答''六步解題規范,

重點結合隊伍人數、比賽場數為正整數的實際意義取舍方程根，完善一元二次方程組合計數類建模體系.

2.內容解析

本節課是一元二次方程實際應用的收官基礎課時，是中考應用題經典必考題型.前兩課時分別覆蓋靜態等量

關系、動態變化關系，本節課聚焦組合計數關系，填補了方程建模中“兩兩組合計數”的知識空白，形成完整

的一元二次方程應用模型體系.同時，本節課的組合公式推導思維，為高中排列組合知識做好鋪墊，兼具承

上啟下的重要作用.本節課題型模型唯一、規律極強，核心邏輯為任意兩個對象只發生一次組合、無重復、

無遺漏.區別于傳播問題的裂變增長、變化率的比例增減，單循環問題本質是組合計數問題，數量關系固定,

可實現公式化建模，題型變式統一(球賽、握手、互通電話)，易于學生歸納掌握、舉一反三.通過體育賽

事、社交互動等生活化情境建模，培養學生數學建模、邏輯推理、數據分析核心素養；在公式自主推導、

變式辨析中，培養學生歸納總結、嚴謹求實的學習品質，體會數學模型在生活計數問題中的普適性.

基于以上分析，本節課的教學重點為：理解單循環賽制規則，推導并掌握單循環比賽總場數公式;x(x-l);

利用單循環通用模型建立一元二次方程，解決球賽、握手等同類實際問題.

教學目標與解析

1.教學目標

(1)理解單循環賽制的比賽規則，自主推導并掌握單循環總場數公式；能識別球賽、握手、互通電話等同

模型問題，熟練建立一元二次方程求解；能根據實際意義檢驗根的合理性，舍去非正整數、不合理的根，

規范解題步驟.

(2)經歷“情境感知T手動枚舉一規律推導一模型歸納一變式應用”的探究過程，掌握組合計數類問題的建

模方法，提升從生活情境中提煉數學規律、抽象數量模型的能力.

（3）感受數學與體育、生活的緊密聯系，體會數學的工具性價值；在自主探究與合作交流中，增強探究意

識與學習自信心，養成嚴謹規范的解題習慣.

2.目標解析

目標1精準落實教材單循環核心模型，區分單循環與雙循環問題差異，掌握組合計數類一元二次方程應用的

專屬等量關系，完善前三課時所有方程應用模型體系，夯實中考基礎考點.

目標2突破學生“死記公式、不懂原理、混淆循環類型”的短板，實現從機械套用到理解推導、靈活變式的能

力提升，熟練掌握計數類應用題的驗根技巧與解題規范.

目標3滲透模型思想、歸納推理思想、數形結合思想，通過枚舉特例推導通用規律，培養學牛.從特殊到一般

的數學思維，契合新課標核心素養培養要求.

學情分析

學生已熟練掌握一兀二次方程解法，經歷前兩課時建模訓練，熟練掌握應用題六步解題法，具備?定的數

學建模和規律探究能力，對生活化應用題接受度較高.學生容易憑直覺計數，無法理解單循環公式的推導原

理，多依賴死記硬背；極易混淆單循環（不重夏）與雙循環（直兔）模型，是本節課最大易錯點；同時習

慣性忽略計數類問題“結果必須為正整數”的驗根要求.球賽、握手情境貼近學生生活，趣味性強，學生探究

積極性高；從具體枚舉到抽象公式的梯度學習，符合九年級學生由具象到抽象的認知規律，易于突破難點.

基于以上分析，本節課的教學難點確定為：理解單循環公式的推導邏輯，明白公式中“x-1”和的實際意

2

義；區分單循環與雙循環問題，規避兩類模型公式混用錯誤；結合隊伍數、人數為正整數的條件，精準取

舍方程的實數根.

^^教學過程設計

新課導入

創設情景，引入新課

情境：學校組織班級足球聯賽，采用單循環賽制（每兩個班級之間只比賽一場），已知聯賽總場次為21場,

求一共有多少個班級參賽？

師生活動：

1.教師通俗解讀單循環規則：任意兩隊只賽一場，不重復、不主客場雙賽；

2.拋出疑問：若有3支隊伍、4支隊伍，分別需要比賽多少場？引導學生手動枚舉計數；

3.學生枚舉：3隊比賽3場，4隊比賽6場，發現無法逐一枚舉多隊伍場次，引出公式推導的必要性。

（設計意圖：以學生熟悉的校園球賽情境導入，直觀解讀單循環核心規則，通過少量隊伍枚舉，讓學生初步

感知數量規律，制造多隊伍計數的認知沖突，激發探究欲望，為公式推導鋪墊具象基礎.）

新知探究

探究點1自主探究，探究模型

活動1:參加比賽有幾支隊伍？

設有X支隊伍參賽，遵循單循環賽制.

追問1.每一支隊伍需要和除自身外的多少支隊伍比賽？（X-1支）

追問2.所有隊伍累計的總比賽次數（含重復）是多少？（x（x-l）場）

追問3.單循環每兩隊只賽一場，存在重復計數，需要如何修正？（除以2去重）

師生歸納總結：

總場數=總配對次數：2,得出單循環通用公式：總場數='x（x-l）

2

規范解題：結合導入情境列方程

解：設共有x個班級參賽，根據題意得：

lx（x-1）=21

2

整理得:x2-x-42=0

解得：X]=7,x2=—6

根據班級數量為正整數，舍去x=-6

答：一共有7個班級參賽.

（設計意圖：分層設問引導學生自主拆解公式構成讓學生理解，*1是每隊對手數、除以2是去除重復場次''

的核心原理，從根源理解公式、杜絕死記硬背，突破本節課教學難點，落實核心重點.）

探究點2模型歸類，同類遷移

活動2：歸納同模型題型

學生交流討論：所有兩兩發生一次互動、無重復的問題均適用單循環公式，如：

1.體育單循環球賽、棋類比賽；

2.多人兩兩握手、兩兩擁抱；

3.多人之間互通一次電話：等等.

教師提醒：題目出現“只一次、兩兩一場、不重復''為單循環：“主客場、互贈、雙向互動''為雙循環.

及時鞏固：某次座談會結束后，在場所有人兩兩握手一次，統計總握手次數為45次，求參會總人數？

學生獨立識別單循環模型，套用公式列方程求解，規范驗根作答，教師巡視糾錯.

（設計意圖：完成單一題型到通用模型的遷移，幫助學生建立題型識別思維，實現舉一反三，為后續拓展

變式訓練奠定基礎.）

典型例題

例1?九年級江門市新會區會城創新初級中學校考期中）參加一次聚會的每兩人都握了一次手，所有人共握手

15次，有多少人參加聚會？

【分析】本題考查了一元二次方程的應用；設有4人參加聚會，每個人都與另外的人握手一次，則每個人握

手（”一1）次，且其中任何兩人的握手只有一次，因而共有5Mx-1）次，設出未知數列方程解答即可.

x（x-l）

」——^=15

【詳解】解：設有工人參加聚會，根據題意列方程得，2,

解得玉=6,X2=-5（不合題意，舍去）；

答：有6人參加聚會.

例2.某排球俱樂部計劃組織一次女子排球邀請賽，采用單循環賽制（參賽的每兩個隊之間都要比賽一場），

根據場地和時間等條件，賽程計?劃7天完成，每天安排4場比賽.

（1）比賽組織者應計劃邀請多少個隊參賽？

（2）如果比計劃多邀請2個隊參賽，每天安排5場比賽，那么至少需要多少天完成比賽？

【分析】此題主要考查了一元二次方程的應用，一元一次不等式的應用，

（1）設比賽組織者應計劃邀請x個隊參賽，則每個隊伍比賽（"-1）場，根據題意列出方程，即可解答；

（2）設至少需要"天完成比賽，根據（1）中解題思路，列不等關系即可解答；

解決本題的關鍵是得到比賽總場數的等量關系，注意2隊之間的比賽只有1場，最后的總場數應除以2.

【詳解】（1）解：設比賽組織者應計劃邀請x個隊參賽，則每個隊伍比賽（工一1）場，

根據題意可得2,

解得內=&*2=-7（舍去），

故比賽組織者應計劃邀請8個隊參賽；

（2）解：根據題意可得邀請1。個隊伍參賽，則每個隊伍比賽9場,

設至少需要"天完成比賽,

10x9

可得丁<5a

解得。之9,

故至少需要9天完成比賽.

（設計意困：落實本節課重點知識，規范解題書寫過程，提升學生分析問題、解決問題能力.）

鞏固練習

課本課堂練習P23.

（設計意圖：學完新知識后及時進行課堂鞏固練習，不僅可以強化學生對新知的記憶，加深學生對新知的

理解，還可以及時反饋學習情況，幫助學生查漏補缺，幫助教師及時調整教學策略）

拓展提升

1.如圖，在6'8的網格紙中，每個小正方形的邊長都為1,動點P,Q分別從點F,A出發向右移動，點P的

運動速度為每秒2個單位，點Q的運動速度為每秒1個單位，當點P運動到點E時，兩個點都停止運動.

（1）請你在圖1中,畫出2秒時的線段P。：

⑵在動點p,Q運動的過程中，△「QB能否成為等腰三角形？若能，請求出相應的時間I；若天能，請說明

理由.

【詳解】（1）解：???點P的運動速度為每秒2個單位，點Q的運動速度為每秒1個單位，

點P運動的路程為，2x2=4（2個單位），點Q運動的路程為，2x1=2（個單位），

???68的網格紙中，每個小正方形的邊長都為|,

??.2杪時線段尸。如圖1所示:

F-APE

「io/丁丁丁丁7i

A-AB

圖1

（2）解：在動點P,Q運動的過程中，△PQ?能成為等腰三角形.

t秒時，點P運動的路程為：t個單位，點Q運動的路程為力個單位,

如圖2所示：過點Q作。",石產于H,

則。=2/個單位，AQ=/個單位，PE=（8_〃）個單位，伙2=[8一）個單位,

依題意得：四邊形/^所為矩形，

Z.F=ZA=Z.E=90°,A產=8E=6個單位，FE=A8=8個單位，

又..OH工EF,

.??匹邊形A"7。為矩形，

"。=尸"=/個單位，。〃=人”=6個單位，

...HP=FP-FH=t個單位，

在RtAP。”中，由勾股定理得；PQ2="尸+。"2=r+36,

在RtZXAPE中，由勾股定理得：?2=PE2+BE2=（8~2r）~+36,

又由廝=（8—）[

分三種情況討論如下：

，2.8

①當*時，/+36=（8-2/）+36,整理得：3/=8,解得：~3,

②當PQ=BQ時，/,+36=(87)：,整理得：]6，=28,解得：t「=一-二

③當=時,(8-2療+36=(8-療，整理得：3/-⑹+36=0,

△=（一16）"+4x3x36=—176<0

???判別式

...方程3/一⑹+36=0沒有實數根,

...不存在“

87

綜上所述：當一3秒或4秒時，APQB是等腰三角形.

(設計意圖:強化本節課核心知識的拓展.)

真題感知

1.(2025.青島校考)某文具店銷售一種文具盒，每個成本價為15元，經市場調研發現：售價為22元時，

可銷售40個，售價每上漲1元，銷量將減少3個.如果這種文具盒全部銷售完，那么該文具店可獲利156元,

設這種文具盒的售價上漲工元，根據題意可列方程為()

A.(22+x-15)(40-3x)=156B(x-15)[40-3(x-22)]=156

C.(22+x)(40-3x)=156D(22+x)(40-3x)-15x40=156

【詳解】根據題意知，每件商品的利潤為(2275+外元，銷售量為(包一?”件，

則可列方程為(22+*-5)(40-3x)=156,

故選：A.

2.(2025?荊州統考)要組織一次排球邀請賽，參賽的每兩個各隊之間都要比賽一場，根據場地和時間等條

件，賽程計劃安排共計28場比賽，比賽組織者應邀請多少個隊參賽？若設應邀請x個隊參賽，可列出的方程

為()

Ax(x+1)=28Bx(x-1)=28

gx(x+l)=28-^x(x-l)=28

【詳解】每支球隊都需要與其他球隊賽(x-D場，但兩個隊之間只有1場比賽，

-x(x-1)=28

?.?可列方程：2,

故選：D

3.我市為了增強學生的體質，組織了一次排球聯賽，賽制為單循環形式（每兩隊之間都賽一場），共進行

了28場比賽，則參加比賽的球隊共有（）

A.4個B.6個C.8個D.10個

【詳解】解：設參加比賽的球隊共有x個，

解得：內=8,勺=一7（舍去），

二參加比賽的球隊共有8個，

故選:C.

4.（2025?深圳統考）2023年杭州亞運會吉祥物一經開售，就深受大家的喜愛，某商店以每件45元的價格購

進某款亞運會吉祥物，以每件68元的價格出售，經統計，2023年5月份的銷售量為256件，2023年7月份的銷

售量為400件.

⑴求該款吉祥物2023年5月份到7月份銷售量的月平均增長率.

（2）從7月份起，商場決定采用降價促銷的方式回饋顧客，經試驗，發現該款吉祥物每降價1元，月銷伐量就

會增加20件，當該款吉祥物降價多少元時，月銷售利潤達8400元？

【詳解】（1）解：設該款吉祥物2023年5月份到7月份銷售量的月平均增長率為x,

根據題意得：256（1+X『=400,

解得：內=0.25=25%,=-2,251不符合題意，舍去），

答：該款吉祥物2023年5月份到7月份銷售量的月平均增長率為25%；

⑵解：設該款吉祥物降價m元，則每件的利潤為（68-45-〃?）元，月銷售量為（數十2。㈤件，

根據題意得：修-45T〃）（4（X）+20,〃）=84（?

整理得：“一-4。=。，

解得：g=8,?=-5（不符合題意，舍去），

答：當該款吉祥物降價8元時，月銷售利潤達8400元.

（設計意圖：在學習完知識后加入中考等真題練習，不僅可以考助學生明確考試方向，熟悉考試題型，檢

險學習成果，提升應考能力，還可以提升學生的學習興趣和動力）

課堂小結

1.知識技能：（I）核心模型：掌握單循環賽制規則，熟記單循環通用計數公式5MxT）；（2）模型遷移:

能快速識別球賽、握手、互通電話等所有兩兩單次互動的同類問題，精準建交一元二次方程；（3）解題規

范：熟練運用六步解題法，明確計數類問題解必須為正整數，能準確舍去負數、小數等不合理根.

2.思想方法：（1）特殊到一般的歸納思想：通過少量隊伍枚舉特例，推導得出通用計數公式，實現從具象

計算到抽象建模的升級；（2）數學建模思想：將體育賽事、生.活社交的計數問題，抽象為固定的一元二次

方程模型，用代數方法解決生活問題；（3）對比辨析思想：通過單、雙循環模型對比，精準區分同類變式

題型，提升審題辨析能力；（4）浬謹驗證思想：結合實際場景的取值限制篩選方程有效解，培養嚴謹的數

學思維.

3.易錯提醒：（I）公式誤用：單循環忘記除以2,或與雙循環公式混用，是本節課最高頻錯誤；（2）原理

模糊：不理解公式推導邏輯，遇變式題型無法靈活調整，只會機械套公式；（3）驗根遺漏：忽略隊伍數、

人數必須是正整數，保留負數、小數等不符合實際的根；（4）審題失誤：未看清“單循環、雙循環、兩兩

一次、雙向互動''等關鍵題干條件，建模錯誤；（5）步驟殘缺：解題格式不規范，缺少檢驗、作答、單位

等必要步驟.

（設計意圖：對本課的知識進行總結，有利于學生對增強學習的主動性與連貫性.）

作業布置

必做題：課本習題25.3第3、9題.

探究性作業：近年來，電商直播苗貨成了一個火熱的職業.某電商在抖音平臺上對一款成本為60元/件的服

裝進行直播銷售，如果按每件100元銷售，那么每天可售出20件.經