高中數(shù)學(xué) 第3章 三角恒等變形 2 2.3 兩角和與差的正切函數(shù)（教師用書）教學(xué)設(shè)計 北師大版必修4

PAGE1PAGE2高中數(shù)學(xué)第3章三角恒等變形22.3兩角和與差的正切函數(shù)（教師用書）教學(xué)設(shè)計北師大版必修4課題高中數(shù)學(xué)第3章三角恒等變形22.3兩角和與差的正切函數(shù)（教師用書）教學(xué)設(shè)計北師大版必修4課程基本信息1.課程名稱：高中數(shù)學(xué)第3章三角恒等變形22.3兩角和與差的正切函數(shù)（教師用書）

2.教學(xué)年級和班級：高一年級（1）班

3.授課時間：2022年9月15日星期四上午第二節(jié)課

4.教學(xué)時數(shù)：1課時核心素養(yǎng)目標(biāo)1.發(fā)展數(shù)學(xué)抽象能力：通過研究兩角和與差的正切函數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生從具體問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，形成抽象思維。

2.培養(yǎng)邏輯推理能力：通過探究正切函數(shù)的周期性、奇偶性等性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用邏輯推理方法，形成嚴(yán)密的數(shù)學(xué)論證。

3.提升數(shù)學(xué)建模能力：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為正切函數(shù)模型，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語言描述現(xiàn)實(shí)世界，解決實(shí)際問題的能力。

4.強(qiáng)化運(yùn)算求解能力：通過練習(xí)兩角和與差的正切函數(shù)的計算，提高學(xué)生運(yùn)算的準(zhǔn)確性和速度，增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。重點(diǎn)難點(diǎn)及解決辦法重點(diǎn)：

1.兩角和與差的正切函數(shù)公式的推導(dǎo)與應(yīng)用。

2.正切函數(shù)周期性、奇偶性等性質(zhì)的理解和應(yīng)用。

難點(diǎn)：

1.理解兩角和與差的正切函數(shù)公式推導(dǎo)過程中的邏輯關(guān)系。

2.正確運(yùn)用正切函數(shù)性質(zhì)解決實(shí)際問題。

解決辦法：

1.通過小組合作，引導(dǎo)學(xué)生逐步推導(dǎo)公式，強(qiáng)化邏輯推理過程。

2.通過實(shí)例分析，幫助學(xué)生理解周期性、奇偶性等性質(zhì)，并練習(xí)應(yīng)用。

3.設(shè)計變式練習(xí)，提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，突破計算和應(yīng)用難點(diǎn)。教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：確保每位學(xué)生都有北師大版必修4教材。

2.輔助材料：準(zhǔn)備與兩角和與差的正切函數(shù)相關(guān)的圖表、動畫演示等多媒體資源。

3.教學(xué)工具：準(zhǔn)備直尺、三角板等繪圖工具，用于輔助學(xué)生理解和繪制正切函數(shù)圖像。

4.教室布置：設(shè)置分組討論區(qū)，提供足夠的黑板或白板用于展示推導(dǎo)過程和圖形。教學(xué)流程一、導(dǎo)入新課（5分鐘）

詳細(xì)內(nèi)容：

1.回顧上一節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容，提問學(xué)生正弦、余弦、正切函數(shù)的基本性質(zhì)。

2.展示生活中的實(shí)例，如建筑設(shè)計中的角度計算，引導(dǎo)學(xué)生思考如何用數(shù)學(xué)方法解決這類問題。

3.提出本節(jié)課的研究主題：兩角和與差的正切函數(shù)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

二、新課講授（15分鐘）

1.推導(dǎo)兩角和與差的正切函數(shù)公式

-利用正弦、余弦的和差公式，引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)兩角和與差的正切函數(shù)公式。

-通過小組討論，讓學(xué)生展示推導(dǎo)過程，教師點(diǎn)評并總結(jié)。

-舉例說明公式的應(yīng)用，如計算特定角度的正切值。

2.理解正切函數(shù)的周期性、奇偶性等性質(zhì)

-結(jié)合圖形，展示正切函數(shù)的周期性、奇偶性等性質(zhì)。

-通過實(shí)例分析，讓學(xué)生理解這些性質(zhì)在實(shí)際問題中的應(yīng)用。

3.應(yīng)用兩角和與差的正切函數(shù)解決實(shí)際問題

-提供實(shí)際問題，如計算建筑物頂部角度，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識解決問題。

-學(xué)生獨(dú)立完成練習(xí)，教師巡視指導(dǎo)。

三、實(shí)踐活動（15分鐘）

1.繪制正切函數(shù)圖像

-學(xué)生利用直尺、三角板等工具，繪制兩角和與差的正切函數(shù)圖像。

-教師巡回指導(dǎo)，糾正錯誤，講解繪圖技巧。

2.分析正切函數(shù)圖像

-學(xué)生觀察圖像，分析函數(shù)的周期性、奇偶性等性質(zhì)。

-教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)規(guī)律，形成知識體系。

3.比較不同角度的正切函數(shù)

-學(xué)生比較不同角度的正切函數(shù)圖像，分析其異同。

-教師點(diǎn)評學(xué)生的分析，強(qiáng)調(diào)重點(diǎn)難點(diǎn)。

四、學(xué)生小組討論（10分鐘）

1.討論兩角和與差的正切函數(shù)公式推導(dǎo)過程中的邏輯關(guān)系

-學(xué)生分組討論，總結(jié)推導(dǎo)過程中的關(guān)鍵步驟。

-教師隨機(jī)抽取小組分享，點(diǎn)評并總結(jié)。

2.討論正切函數(shù)性質(zhì)在實(shí)際問題中的應(yīng)用

-學(xué)生分組討論，列舉實(shí)際生活中的例子，說明正切函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。

-教師點(diǎn)評學(xué)生的例子，強(qiáng)調(diào)性質(zhì)的重要性。

3.討論如何運(yùn)用正切函數(shù)解決實(shí)際問題

-學(xué)生分組討論，提出解決實(shí)際問題的方法。

-教師點(diǎn)評學(xué)生的方法，總結(jié)解題技巧。

五、總結(jié)回顧（5分鐘）

內(nèi)容：

1.回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)兩角和與差的正切函數(shù)公式、性質(zhì)及應(yīng)用。

2.針對本節(jié)課的重點(diǎn)難點(diǎn)，舉例說明如何解決實(shí)際問題。

3.布置課后作業(yè)，鞏固所學(xué)知識。

教學(xué)流程用時：45分鐘學(xué)生學(xué)習(xí)效果學(xué)生學(xué)習(xí)效果主要體現(xiàn)在以下幾個方面：

1.理解并掌握兩角和與差的正切函數(shù)公式

-學(xué)生能夠獨(dú)立推導(dǎo)出兩角和與差的正切函數(shù)公式，并理解其推導(dǎo)過程中的邏輯關(guān)系。

-學(xué)生能夠運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的計算，解決實(shí)際問題。

2.理解正切函數(shù)的周期性、奇偶性等性質(zhì)

-學(xué)生能夠識別正切函數(shù)圖像的特征，如周期性、奇偶性等。

-學(xué)生能夠運(yùn)用這些性質(zhì)分析函數(shù)圖像，預(yù)測函數(shù)值的變化。

3.提高數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理能力

-通過學(xué)習(xí)兩角和與差的正切函數(shù)，學(xué)生能夠從具體問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，提高數(shù)學(xué)抽象能力。

-學(xué)生在推導(dǎo)公式和解決實(shí)際問題的過程中，邏輯推理能力得到鍛煉。

4.增強(qiáng)數(shù)學(xué)建模和運(yùn)算求解能力

-學(xué)生能夠?qū)?shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用所學(xué)知識進(jìn)行建模。

-學(xué)生在計算正切函數(shù)值的過程中，運(yùn)算求解能力得到提升。

5.提高團(tuán)隊合作和交流能力

-在小組討論和實(shí)踐活動環(huán)節(jié)，學(xué)生需要與同伴合作，共同解決問題。

-學(xué)生通過交流分享，提高了團(tuán)隊協(xié)作和溝通能力。

6.培養(yǎng)解決實(shí)際問題的能力

-學(xué)生能夠運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題，如計算建筑物頂部角度、分析工程問題等。

-學(xué)生在實(shí)際操作中，學(xué)會了如何將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活。

7.增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和自信心

-通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生對三角函數(shù)有了更深入的理解，增強(qiáng)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

-學(xué)生在解決實(shí)際問題的過程中，獲得了成就感，增強(qiáng)了自信心。

8.培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維和創(chuàng)新意識

-學(xué)生在分析正切函數(shù)性質(zhì)和應(yīng)用時，需要提出自己的觀點(diǎn)和解決方案。

-學(xué)生在討論和實(shí)踐中，培養(yǎng)了批判性思維和創(chuàng)新意識。教學(xué)反思與總結(jié)今天這節(jié)課，我主要帶領(lǐng)同學(xué)們學(xué)習(xí)了兩角和與差的正切函數(shù)。整體來看，我覺得這節(jié)課還是挺成功的，但也存在一些需要改進(jìn)的地方。

首先，我覺得在導(dǎo)入新課的時候，我通過生活中的實(shí)例引入，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。但是，我發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生對于這些實(shí)例的理解還不夠深入，可能在接下來的學(xué)習(xí)中，我會嘗試用更加貼近學(xué)生生活經(jīng)驗的例子來導(dǎo)入，幫助他們更好地理解抽象的數(shù)學(xué)概念。

在講授新課的過程中，我注重了學(xué)生的參與度，通過小組合作和討論，學(xué)生們能夠更加積極地參與到課堂中來。我發(fā)現(xiàn)，當(dāng)學(xué)生們在小組中互相討論、共同解決問題時，他們的學(xué)習(xí)效果明顯比個人學(xué)習(xí)要好。不過，我也注意到，有些學(xué)生在討論時比較被動，不太愿意發(fā)表自己的看法。因此，我會在今后的教學(xué)中，更加注重培養(yǎng)學(xué)生的表達(dá)能力和團(tuán)隊合作精神。

實(shí)踐活動環(huán)節(jié)，我安排了繪制正切函數(shù)圖像、分析圖像性質(zhì)以及比較不同角度的正切函數(shù)等任務(wù)。這些活動不僅讓學(xué)生們鞏固了所學(xué)知識，還提高了他們的動手操作能力。不過，我也發(fā)現(xiàn)，有些學(xué)生在操作過程中遇到困難時，缺乏獨(dú)立思考的能力，容易依賴同伴。在接下來的教學(xué)中，我會鼓勵學(xué)生們多思考、多嘗試，培養(yǎng)他們的獨(dú)立解決問題的能力。

當(dāng)然，這節(jié)課也存在一些不足。比如，在講解正切函數(shù)的性質(zhì)時，我發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生還是不太理解，可能在講解過程中，我需要更加細(xì)致地講解，并結(jié)合實(shí)例進(jìn)行分析。另外，課堂管理方面，我還需要更加注意，確保每位學(xué)生都能參與到課堂活動中來。教學(xué)評價與反饋1.課堂表現(xiàn)：同學(xué)們在課堂上表現(xiàn)積極，對于兩角和與差的正切函數(shù)的學(xué)習(xí)熱情較高。大部分學(xué)生能夠跟隨老師的節(jié)奏，認(rèn)真聽講，并在課堂上積極回答問題。但是，也有少數(shù)學(xué)生在課堂上顯得有些拘謹(jǐn)，不太敢主動發(fā)言。

2.小組討論成果展示：在小組討論環(huán)節(jié)，學(xué)生們能夠較好地合作，共同完成討論任務(wù)。他們的討論成果展示顯示出對兩角和與差的正切函數(shù)的理解和應(yīng)用能力有所提高。不過，部分小組在討論過程中對問題的深入挖掘和拓展不夠，需要進(jìn)一步加強(qiáng)。

3.隨堂測試：通過隨堂測試，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生對兩角和與差的正切函數(shù)的基本概念和公式掌握得較好，但在應(yīng)用這些知識解決實(shí)際問題時，部分學(xué)生存在困難。這表明在今后的教學(xué)中，需要加強(qiáng)對學(xué)生應(yīng)用能力的培養(yǎng)。

4.學(xué)生自評與互評：在課程結(jié)束后，我讓學(xué)生們進(jìn)行自評和互評，大多數(shù)學(xué)生能夠客觀地評價自己在課堂上的表現(xiàn)，并提出改進(jìn)意見。互評環(huán)節(jié)中，學(xué)生們能夠提出建設(shè)性的反饋，有助于彼此提高。

5.教師評價與反饋：針對學(xué)生在課堂上的表現(xiàn)，我將給予以下評價與反饋：

-對積極參與課堂討論、勇于表達(dá)自己的學(xué)生給予肯定和表揚(yáng)。

-對在隨堂測試中表現(xiàn)出色的學(xué)生給予鼓勵，并指出他們的優(yōu)點(diǎn)。

-對在應(yīng)用知識解決問題時遇到困難的學(xué)生，提供個別輔導(dǎo)，幫助他們克服困難。

-對課堂表現(xiàn)不夠積極的學(xué)生，進(jìn)行個別談話，了解原因，并給予適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)。

-針對小組討論成果展示中存在的問題，提出改進(jìn)建議，如加強(qiáng)問題分析和拓展能力的培養(yǎng)。板書設(shè)計①兩角和與差的正切函數(shù)公式

-公式：tan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1?tanαtanβ)

-條件：tanα≠0，tanβ≠0

②正切函數(shù)的性質(zhì)

-周期性：正切函數(shù)的周期為π

-奇偶性：正切函數(shù)是奇函數(shù)

-有界性：正切函數(shù)在(-π/2,π/2)內(nèi)無界

③應(yīng)用舉例

-計算特定角度的正切值

-解決實(shí)際問題，如建筑物頂部角度的計算

-分析正切函數(shù)圖像的特征課后作業(yè):1.作業(yè)內(nèi)容：利用兩角和與差的正切函數(shù)公式，計算tan(30°-45°)的值。

答案：tan(30°-45°)=(tan30°-tan45°)/(1+tan30°tan45°)=(√3/3-1)/(1+√3/3*1)=(√3-3)/(3+√3)=(√3-3)/(√3+3)

2.作業(yè)內(nèi)容：已知tanα=2，tanβ=3，求tan(α+β)的值。

答案：tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)=(2+3)/(1-2*3)=5/(-5)=-1

3.作業(yè)內(nèi)容：已知tan(α-β)=1/2，tanα=1，求tanβ的值。

答案：tanβ=(tanα-tan(α-β))/(1+tanαtan(α-β))=(1-1/2)/(1+1*1/2)=1/2/(3/2)=1/3

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