2026年四川省樂山市中考數學真題及答案解析

第1頁（共1頁）2026年四川省樂山市中考數學試卷一、選擇題：本大題共10個小題，每小題3分，共30分。1．（3分）下面幾何體中，是球體的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列各數是不等式x﹣1＞0的解的是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣13．（3分）2025年，我國人工智能核心產業規模突破1.2萬億元．數據1200000000000用科學記數法表示為（）A．1.2×109 B．1.2×1010 C．1.2×1011 D．1.2×10124．（3分）如圖，兩條平行線a、b被第三條直線c所截．若∠1＝40°，則∠2＝（）A．20° B．40° C．50° D．140°5．（3分）一個布袋里放著3個紅球和2個白球，這兩種球除了顏色以外沒有任何其他區別．從布袋中任取1個球，取出紅球的概率是（）A． B． C． D．6．（3分）若實數a、b滿足，則ab的值是（）A．1 B．﹣1 C．6 D．﹣67．（3分）如圖，在△ABC中，點D、E、F分別是AB、BC、AC的中點，連結DE、EF、DF．若S△DEF＝1，則S△ABC＝（）A．2 B．4 C．6 D．88．（3分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AC與BD相交于點O，添加一個條件后，不能確定四邊形ABCD是菱形的是（）A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠BAC＝∠DAC9．（3分）若a、b均不為0，將下列分式中的a和b都變為原來的2倍，分式值保持不變的是（）A． B． C． D．10．（3分）已知二次函數y＝x2+bx+c，有下列結論：①二次函數圖象與y軸的交點坐標是（0，c）；②二次函數的頂點坐標是；③若二次函數圖象經過A（﹣1，y1），B（3，y2）兩點，且y1＞y2，則b＞﹣2；④當1≤x≤2時，二次函數的最大值為m，最小值為n，則m﹣n的值與c無關．其中，正確的結論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題：本大題共6個小題，每小題3分，共18分。11．（3分）﹣3的相反數是．12．（3分）sin30°＝．13．（3分）一組數據3，7，9，12，15的中位數是．14．（3分）已知方程x2﹣4x+3＝0的兩個根是x1和x2，則x1x2＝．15．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝6，AB＝8，點D為斜邊AC的中點，則BD＝．16．（3分）傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數學家用沙粒和小石子來研究數．他們根據沙粒或小石子所排列的形狀把數分成許多類，如圖，第一行的1，3，6，10稱為三角形數，第二行的1，4，9，16稱為四邊形數，第三行的1，5，12，22稱為五邊形數．（1）下列三個數中，既是三角形數又是四邊形數的有（填序號）；①1；②25；③36．（2）我們將k邊形數中第n個數記為N（n，k）（k≥3）．已知，N（n，4）＝n2，則N（n，5）＝．（用含有n的代數式表示）三、解答題：本大題共10個小題，共102分。17．（9分）計算：．18．（9分）解方程組：．19．（9分）化簡：（x+3）（x﹣3）﹣x2．20．（10分）如圖，已知AC＝AD，∠CAB＝∠DAB．求證：BC＝BD．21．（10分）某校開展“典籍里的中國”選修課，擬開設四門課程供學生選擇：A．《論語》，B．《史記》，C．《天工開物》，D．《九章算術》．劉老師隨機調查了部分學生對四門課程的喜好情況（每人限選一種），并將調查結果繪制成統計圖表，如圖所示．課程內容人數A《論語》21B《史記》9C《天工開物》12D《九章算術》m根據以上信息，解答下列問題：（1）本次調查的學生共有人，表中m的值為；（2）現準備從四門課程中隨機選擇兩門在全校作匯報展示，請利用畫樹狀圖或列表的方法，求恰好選到課程A和課程B的概率．22．（10分）如圖，一次函數y＝﹣x+1的圖象與反比例函數的圖象交于P（﹣1，a）、Q（b，﹣1）兩點，連結OP、OQ．（1）求a、b的值和反比例函數的表達式；（2）求△POQ的面積．23．（10分）如圖，AB為⊙O的直徑，點C為圓上一點，點D在BA延長線上，連結CD，且∠ACD＝∠B．（1）求證：CD為⊙O的切線；（2）若tanD，⊙O的半徑為3，求AD的長．24．（10分）在一堂平面密鋪探究課上，張老師引導學生探索多邊形鋪滿地面的條件和方法．【感知密鋪】同學們通過觀察發現：使用給定的某種正多邊形，當圍繞一點拼在一起的幾個內角加在一起恰好組成一個周角時，就可以鋪滿地面．正多邊形的邊數3456…正多邊形的內角和180°360°540°720°…正多邊形每個內角的大小60°90°108°a…表中a＝，正六邊形（填“能”或“不能”）鋪滿地面．【探導密鋪】同學們通過動手操作，探導到了實現密鋪的路徑．圖中，②號三角形可看成①號三角形通過（填“平移”或“旋轉”）得到；③號三角形可看成①號三角形通過（填“平移”或“旋轉”）得到．【創作密鋪】最后，張老師給同學們布置了一項任務：用與四邊形ABCD形狀大小相同的四邊形實現平面密鋪，并在下面方格紙中畫出點A位置的密鋪設計圖．25．（12分）如圖，在矩形ABCD中，，AD＝1，點P在線段CD上（點P不與點D重合）．連結AP，將△ADP沿AP翻折得到△AD′P，點D的對應點為D′．（1）求AD'的長度；（2）求證：當DP＝1時，四邊形AD′PD為正方形；（3）若點Q在線段AB上，且，連結CQ，將△BCQ沿CQ翻折得到△B'CQ，點B的對應點為B'．設點B'與點D'之間的距離為d，求d的取值范圍．26．（13分）已知拋物線C：y＝x2﹣2x﹣3交x軸于A、B兩點（點A在點B的左側），頂點為點P．（1）求A、B兩點的坐標；（2）直線l：y＝kx+b（k≠0）與拋物線C交于D，E兩點．①若A、B兩點到直線l距離相等，則直線l過定點，請求出這個定點，并說明理由；②若∠DPE＝90°，試問直線l是否過定點？若過定點，請求出定點坐標；若不過定點，請說明理由．

2026年四川省樂山市中考數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10個小題，每小題3分，共30分。1．（3分）下面幾何體中，是球體的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．原圖是圓柱，故本選項不符合題意；B．原圖是圓錐，故本選項不符合題意；C．原圖是球，故本選項符合題意；D．原圖是三棱錐，故本選項不符合題意．故選：C．2．（3分）下列各數是不等式x﹣1＞0的解的是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1【解答】解：由x﹣1＞0得，x＞1，顯然只有A選項符合題意．故選：A．3．（3分）2025年，我國人工智能核心產業規模突破1.2萬億元．數據1200000000000用科學記數法表示為（）A．1.2×109 B．1.2×1010 C．1.2×1011 D．1.2×1012【解答】解：1200000000000＝1.2×1012．故選：D．4．（3分）如圖，兩條平行線a、b被第三條直線c所截．若∠1＝40°，則∠2＝（）A．20° B．40° C．50° D．140°【解答】解：由題知，∵a∥b，∠1＝40°，∴∠2＝∠1＝40°．故選：B．5．（3分）一個布袋里放著3個紅球和2個白球，這兩種球除了顏色以外沒有任何其他區別．從布袋中任取1個球，取出紅球的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：布袋中球的總數為：3+2＝5（個），因此從布袋中任取1個球，取出紅球的概率是．故選：A．6．（3分）若實數a、b滿足，則ab的值是（）A．1 B．﹣1 C．6 D．﹣6【解答】解：∵（b+3）2＝0，0，（b+3）2≥0，∴a﹣2＝0，b+3＝0，解得：a＝2，b＝﹣3，則ab＝2×（﹣3）＝﹣6，故選：D．7．（3分）如圖，在△ABC中，點D、E、F分別是AB、BC、AC的中點，連結DE、EF、DF．若S△DEF＝1，則S△ABC＝（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：∵點D、E、F分別是AB、BC、AC的中點，∴DE、EF、DF是△ABC的中位線，∴DEAC，EFAB，DFBC，∴，∴△DEF∽△CAB，∴，∵S△DEF＝1，∴S△ABC＝4．故選：B．8．（3分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AC與BD相交于點O，添加一個條件后，不能確定四邊形ABCD是菱形的是（）A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠BAC＝∠DAC【解答】A項，增加條件AB＝AD，因為四邊形ABCD是平行四邊形，根據“在一個平面內，有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”可得四邊形ABCD是菱形．故A項表述正確．B項，增加條件AC⊥BD，根據“對角線相互垂直的平行四邊形是菱形”可得四邊形ABCD是菱形．故B項表述正確．C項，增加條件AC＝BD，由“對角線相等的平行四邊形是矩形”可得四邊形ABCD是矩形，當矩形ABCD不是正方形時，矩形ABCD就不是菱形．故C項表述錯誤．D項，增加條件∠BAC＝∠DAC，因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AB∥CD，所以∠ACB＝∠DAC，所以∠ACB＝∠BAC，所以AB＝BC．根據“在一個平面內，有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”可得四邊形ABCD是菱形．故D項表述正確．故選：C．9．（3分）若a、b均不為0，將下列分式中的a和b都變為原來的2倍，分式值保持不變的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．原分式中的a和b都變為原來的2倍的分式為，故本選項符合題意；B．原分式中的a和b都變為原來的2倍的分式為，故本選項不符合題意；C．原分式中的a和b都變為原來的2倍的分式為，故本選項不符合題意；D．原分式中的a和b都變為原來的2倍的分式為，故本選項不符合題意．故選：A．10．（3分）已知二次函數y＝x2+bx+c，有下列結論：①二次函數圖象與y軸的交點坐標是（0，c）；②二次函數的頂點坐標是；③若二次函數圖象經過A（﹣1，y1），B（3，y2）兩點，且y1＞y2，則b＞﹣2；④當1≤x≤2時，二次函數的最大值為m，最小值為n，則m﹣n的值與c無關．其中，正確的結論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解答】解：①由題意，∵二次函數為y＝x2+bx+c，∴當x＝0時，y＝c，則二次函數圖象與y軸的交點坐標是（0，c），故①正確；②由題意得，二次函數y＝x2+bx+c的對稱軸是直線x，∴頂點坐標為（，c），故②錯誤；③∵二次函數為y＝x2+bx+c，∴拋物線開口向上，∴拋物線上的點離對稱軸越近函數值越小．又∵二次函數圖象經過A（﹣1，y1），B（3，y2）兩點，且y1＞y2，對稱軸是直線x，∴|﹣1|＞|3|．∴當3時，即b＜﹣6，則13，符合題意；當﹣31時，即﹣6≤b≤2，則13，可得b＜﹣2，故﹣6≤b＜﹣2；當1時，即b＞2，則1＞3，無解，∴b＜﹣2，故③錯誤；④由題意，當1≤x≤2時，二次函數的最大值為m，最小值為n，不妨設當x＝x1時，取最大值m；當x＝x2時，取最小值為n，∴mbx1+c，nbx2+c，∴m﹣n＝（bx1+c）﹣（bx2+c）bx1bx2．∴m﹣n的值與c無關，故④正確．故選：B．二、填空題：本大題共6個小題，每小題3分，共18分。11．（3分）﹣3的相反數是3．【解答】解：﹣3的相反數是3．故答案為：3．12．（3分）sin30°＝．【解答】解：sin30°．故答案為：．13．（3分）一組數據3，7，9，12，15的中位數是9．【解答】解：把這組數據從小到大排序為3，7，9，12，15，共5個數據，第三個數據為中位數，∴這組數據的中位數為9，故答案為：9．14．（3分）已知方程x2﹣4x+3＝0的兩個根是x1和x2，則x1x2＝3．【解答】解：由題知，因為方程x2﹣4x+3＝0的兩個根是x1和x2，所以x1x2．故答案為：3．15．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝6，AB＝8，點D為斜邊AC的中點，則BD＝5．【解答】解：由勾股定理得，，∵∠ABC＝90°，D是AC的中點，∴．16．（3分）傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數學家用沙粒和小石子來研究數．他們根據沙粒或小石子所排列的形狀把數分成許多類，如圖，第一行的1，3，6，10稱為三角形數，第二行的1，4，9，16稱為四邊形數，第三行的1，5，12，22稱為五邊形數．（1）下列三個數中，既是三角形數又是四邊形數的有①③（填序號）；①1；②25；③36．（2）我們將k邊形數中第n個數記為N（n，k）（k≥3）．已知，N（n，4）＝n2，則N（n，5）＝n2．（用含有n的代數式表示）【解答】解：（1）第一行的三角形數分別為1，3，6，10，15，21，28，36，??第二行的四邊形數分別為1，4，9，16，25，36，49，??第三行的五邊形數分別為1，5，12，22，35，51，??故1和36既是三角形又是四邊形數．故答案為：①③．（2）設N（n，3）n2n，N（n，4）＝n2都是n的二次函數，∴N（n，5）也是n的二次函數，則設N（n，5）＝an2+bn+c，則，解得：，∴N（n，5）n2．故答案為：n2．三、解答題：本大題共10個小題，共102分。17．（9分）計算：．【解答】解：＝2+2＝4．18．（9分）解方程組：．【解答】解：，①﹣②得：x＝4，把x＝4代入②得：4+y＝1，解得：y＝﹣3，故原方程組的解為．19．（9分）化簡：（x+3）（x﹣3）﹣x2．【解答】解：（x+3）（x﹣3）﹣x2＝x2﹣9﹣x2，＝﹣9．20．（10分）如圖，已知AC＝AD，∠CAB＝∠DAB．求證：BC＝BD．【解答】證明：在△ABC和△ABD中，，∴△ABC≌△ABD（SAS），∴BC＝BD．21．（10分）某校開展“典籍里的中國”選修課，擬開設四門課程供學生選擇：A．《論語》，B．《史記》，C．《天工開物》，D．《九章算術》．劉老師隨機調查了部分學生對四門課程的喜好情況（每人限選一種），并將調查結果繪制成統計圖表，如圖所示．課程內容人數A《論語》21B《史記》9C《天工開物》12D《九章算術》m根據以上信息，解答下列問題：（1）本次調查的學生共有60人，表中m的值為18；（2）現準備從四門課程中隨機選擇兩門在全校作匯報展示，請利用畫樹狀圖或列表的方法，求恰好選到課程A和課程B的概率．【解答】解：（1）根據題意，得學生一共有12÷20%＝60（人），故表中m的值為60﹣21﹣9﹣12＝18，故答案為：60，18；（2）由題可列表：第一次第二次ABCDA（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）∴P（恰好選到課程A和課程．22．（10分）如圖，一次函數y＝﹣x+1的圖象與反比例函數的圖象交于P（﹣1，a）、Q（b，﹣1）兩點，連結OP、OQ．（1）求a、b的值和反比例函數的表達式；（2）求△POQ的面積．【解答】解：（1）∵一次函數y＝﹣x+1的圖象經過點P（﹣1，a）、Q（b，﹣1），∴﹣（﹣1）+1＝a，﹣b+1＝﹣1，解得a＝2，b＝2，∴P（﹣1，2）、Q（2，﹣1），∵反比例函數的圖象經過點P（﹣1，2），∴k＝﹣2，∵反比例函數的表達式為；（2）如圖，設一次函數y＝﹣x+1與x軸相交于點A，與y軸交于點B，令y＝0，則x＝1，∴A（1，0），∴OA＝1，又∵P（﹣1，2），Q（2，﹣1），∴．23．（10分）如圖，AB為⊙O的直徑，點C為圓上一點，點D在BA延長線上，連結CD，且∠ACD＝∠B．（1）求證：CD為⊙O的切線；（2）若tanD，⊙O的半徑為3，求AD的長．【解答】（1）證明：如圖所示，連接OC，∵OB＝OC，∴∠B＝∠BCO，∵∠ACD＝∠B，∴∠ACD＝∠BCO，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠BCO＝90°，∴∠ACD+∠ACO＝90°，即∠OCD＝90°，又∵OC是⊙O的半徑，∴CD為⊙O的切線；（2）解：由（1）得∠OCD＝90°，∵，⊙O的半徑為3，∴，即，∴CD＝4，∴，∴AD＝OD﹣OA＝5﹣3＝2．24．（10分）在一堂平面密鋪探究課上，張老師引導學生探索多邊形鋪滿地面的條件和方法．【感知密鋪】同學們通過觀察發現：使用給定的某種正多邊形，當圍繞一點拼在一起的幾個內角加在一起恰好組成一個周角時，就可以鋪滿地面．正多邊形的邊數3456…正多邊形的內角和180°360°540°720°…正多邊形每個內角的大小60°90°108°a…表中a＝120°，正六邊形能（填“能”或“不能”）鋪滿地面．【探導密鋪】同學們通過動手操作，探導到了實現密鋪的路徑．圖中，②號三角形可看成①號三角形通過平移（填“平移”或“旋轉”）得到；③號三角形可看成①號三角形通過旋轉（填“平移”或“旋轉”）得到．【創作密鋪】最后，張老師給同學們布置了一項任務：用與四邊形ABCD形狀大小相同的四邊形實現平面密鋪，并在下面方格紙中畫出點A位置的密鋪設計圖．【解答】解：【感知密鋪】正六邊形的內角和720°，則正六邊形每個內角的大小，∵3×120°＝360°，即三個正六邊形內角恰好組成一個周角，∴正六邊形能鋪滿地面，故答案為：120°；能；【探導密鋪】②號三角形與①號三角形比較發現：大小不變，位置移動，對應點組成的直線平行，則②號三角形可看成①號三角形通過平移得到；③號三角形與①號三角形比較發現：大小不變，位置移動，對應點組成的直線不平行，則③號三角形可看成①號三角形通過旋轉得到，故答案為：平移，旋轉；【創作密鋪】點A位置的密鋪設計圖如圖：25．（12分）如圖，在矩形ABCD中，，AD＝1，點P在線段CD上（點P不與點D重合）．連結AP，將△ADP沿AP翻折得到△AD′P，點D的對應點為D′．（1）求AD'的長度；（2）求證：當DP＝1時，四邊形AD′PD為正方形；（3）若點Q在線段AB上，且，連結CQ，將△BCQ沿CQ翻折得到△B'CQ，點B的對應點為B'．設點B'與點D'之間的距離為d，求d的取值范圍．【解答】（1）解：∵△ADP沿AP翻折得到ΔAD′P，∴AD'＝AD，又∵AD＝1，∴AD'＝1；（2）證明：法一：∵△ADP沿AP翻折得到△AD'P，∴AD'＝AD＝1，D'P＝DP＝1∴AD'＝AD＝D'P＝DP，∴四邊形AD′PD是菱形，又∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D＝90°∴四邊形AD′PD是正方形；法二：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，又∵△ADP沿AP翻折得到ΔAD′P，∴∠AD'P＝∠D＝90°，∠DAP＝∠D'AP，∵DP＝AD＝1，∴∠DAP＝45°，∴∠DAP＝∠D'AP＝45°，∴∠DAD'＝2∠DAP＝90°，∴四邊形AD′PD是矩形，又∵DP＝AD，∴四邊形AD′PD是正方形；（3）解：①當B′與D'重合時，此時d＝0．②當點P與點C