2026年江西省中考數(shù)學(xué)真題及答案解析

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2026年江西省中考數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是最符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填涂在答題卡相應(yīng)位置。錯(cuò)選、多選或未選均不得分。1．（3分）下列圖書(shū)館標(biāo)志不是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）2025年是“十四五”規(guī)劃收官之年，是中國(guó)式現(xiàn)代化進(jìn)程中具有重要意義的一年．我國(guó)經(jīng)濟(jì)頂壓前行、向新向優(yōu)發(fā)展，民生保障更加有力，社會(huì)大局保持穩(wěn)定，第二個(gè)百年奮斗目標(biāo)新征程實(shí)現(xiàn)良好開(kāi)局．經(jīng)初步核算，2025年國(guó)民總收入為1393700億元．1393700億用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．0.13937×1015 B．1.3937×106 C．1.3937×1014 D．1.3937×10163．（3分）如圖，已知a∥b，∠1＝40°，則∠2的度數(shù)為（）A．40° B．100° C．120° D．140°4．（3分）下列運(yùn)算正確的是（）A．m+2m＝3m B．3m2﹣m2＝3 C．m3?m2＝m6 D．m2÷m2＝m5．（3分）如圖是2020﹣2024年全國(guó)城市聲環(huán)境功能區(qū)晝間、夜間達(dá)標(biāo)率統(tǒng)計(jì)圖，則下列說(shuō)法正確的是（）A．2024年夜間達(dá)標(biāo)率較2020年提高了1.2% B．夜間達(dá)標(biāo)率逐年上升 C．2022年晝間達(dá)標(biāo)率最高 D．晝間達(dá)標(biāo)率逐年上升6．（3分）如圖，觀察函數(shù)y＝x2+3x﹣3的圖象，可以發(fā)現(xiàn)方程x2+3x﹣3＝0在0，1之間有根．取0，1的平均數(shù)0.5，當(dāng)x＝0.5時(shí)，y＜0，進(jìn)一步可知這個(gè)根在0.5和1之間，則與方程x2+3x﹣3＝0另一根更接近的是（）A．﹣4.5 B．﹣4 C．﹣3.5 D．﹣3二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）7．（3分）有理數(shù)的倒數(shù)為．8．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)（2，1）向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為．9．（3分）我國(guó)智能制造蓬勃發(fā)展，某工廠引進(jìn)A，B兩種型號(hào)智能機(jī)器來(lái)加工某種零件．已知A每小時(shí)比B多加工50個(gè)零件，A加工1640個(gè)零件所用時(shí)間與B加工1230個(gè)零件所用時(shí)間相等，求A，B每小時(shí)各加工多少個(gè)零件．設(shè)B每小時(shí)加工x個(gè)零件，可列分式方程為．10．（3分）生活中的剪刀蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識(shí)．如圖1是某剪刀，其結(jié)構(gòu)主要包括剪刃、剪柄和指圈．當(dāng)剪刀張角最大時(shí)，其理想化模型如圖2，剪刃所在直線與指圈所在半圓相切．已知AC與BD相交于點(diǎn)O，CE為半圓的直徑，OC＝9，CE＝6，則此時(shí)張角∠AOB的大小為°．11．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E是邊AD上的動(dòng)點(diǎn)，連接BE，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BE于點(diǎn)F．當(dāng)△BFC面積最大時(shí)，DE的長(zhǎng)為．12．（3分）如圖，點(diǎn)P在直線y＝﹣x+b（b＞0）上，過(guò)P作x軸、y軸的垂線，垂足分別為A，B，矩形OAPB的面積為1（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．若滿足條件的點(diǎn)P有且僅有三個(gè)，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為．三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）13．（6分）（1）計(jì)算：2﹣1+（﹣1）2﹣||；（2）解不等式：x．14．（6分）如圖，D，E分別在△ABC的邊BA，CA的延長(zhǎng)線上，DE∥BC，AD＝3，AB＝5，DE＝5，求BC的長(zhǎng)．15．（6分）先化簡(jiǎn)：，再?gòu)?，1，2中選擇一個(gè)合適的數(shù)作為x代入求值．16．（6分）如圖，在8×4的正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)B，C均在格點(diǎn)上，∠A＝90°，∠C＝30°，MN為△ABC的中位線．（1）請(qǐng)僅用無(wú)刻度直尺作∠ABC的平分線，交MN于點(diǎn)P；（保留作圖痕跡）（2）若網(wǎng)格中小正方形的邊長(zhǎng)為1，則（1）中BP的長(zhǎng)為．17．（6分）如圖，AD為⊙O的直徑，AD＝4，B，C是⊙O上的點(diǎn)，四邊形OABC為菱形．（1）求的長(zhǎng)；（2）延長(zhǎng)AD到點(diǎn)P，使得DP＝2，求證：PC是⊙O的切線．四、解答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）18．（8分）如圖，我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述事物的變化規(guī)律，共包括“乾、坤、震、巽（xùn）、坎、離、艮（gèn）、兌”八個(gè)卦象．每個(gè)卦象由三個(gè)爻（yáo）組成，其中“”表示陽(yáng)爻，“”表示陰爻．（1）若從八個(gè)卦象中隨機(jī)抽取一個(gè)卦象，則抽到的卦象只有兩個(gè)陽(yáng)爻的概率是；（2）現(xiàn)從“乾、坤、震、巽”中隨機(jī)抽取兩個(gè)卦象，請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖法或列表法，求抽到的卦象中每個(gè)卦象至少有一個(gè)陽(yáng)爻的概率．19．（8分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，A（﹣2，m），B（2，0），C（0，﹣1），點(diǎn)D在x軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）P為邊BC上的一點(diǎn)，直線AP交雙曲線另一支于點(diǎn)Q，當(dāng)△ABP的面積等于?ABCD的面積的時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．20．（8分）“以球之名，為城而戰(zhàn)”，2025年江西省城市足球超級(jí)聯(lián)賽于7月12日在南昌八一體育場(chǎng)拉開(kāi)帷幕．賽事的成功舉辦極大激發(fā)了參賽球員和群眾的城市歸屬感，推動(dòng)了文旅等相關(guān)產(chǎn)業(yè)的發(fā)展．在常規(guī)賽階段，分南北兩個(gè)賽區(qū)，采取賽區(qū)內(nèi)主客場(chǎng)雙循環(huán)積分制（每?jī)申?duì)之間進(jìn)行兩場(chǎng)比賽），北區(qū)共20場(chǎng)比賽，南區(qū)共30場(chǎng)比賽．賽制規(guī)定：每隊(duì)勝一場(chǎng)得x分，平一場(chǎng)得y分，負(fù)一場(chǎng)得0分．以下是常規(guī)賽結(jié)束時(shí)積分及進(jìn)/失球個(gè)數(shù)部分?jǐn)?shù)據(jù)．積分表北區(qū)勝/平/負(fù)積分南區(qū)勝/平/負(fù)積分九江隊(duì)4/3/115宜春隊(duì)*/*/**上饒隊(duì)*/*/**贛州隊(duì)6/2/220南昌隊(duì)3/*/2m撫州隊(duì)*/*/**景德鎮(zhèn)隊(duì)*/*/**新余隊(duì)*/*/**鷹潭隊(duì)*/*/**萍鄉(xiāng)隊(duì)*/*/**///吉安隊(duì)*/*/**根據(jù)以上信息解答下列問(wèn)題：（1）x＝，y＝，m＝；（2）分別求兩個(gè)賽區(qū)平均每場(chǎng)比賽進(jìn)球個(gè)數(shù)；（3）現(xiàn)收集了7名球員每個(gè)人的進(jìn)球個(gè)數(shù)（最多的進(jìn)7個(gè)球），甲乙兩位同學(xué)對(duì)這組數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到如下結(jié)果：甲：平均數(shù)為3，極差為4；乙：眾數(shù)為2，平均數(shù)為4．試分別判斷甲乙兩人的分析是否有一定的可信度，并說(shuō)明理由．五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）21．（9分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，點(diǎn)P在BC的延長(zhǎng)線上，將AP繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30°得到AQ，連接CQ，PQ．（1）求證：BP＝CQ；（2）若∠CAP＝15°，PQ＝2，求BP的長(zhǎng)．22．（9分）為了測(cè)量一個(gè)圓柱型土坑的深度，某數(shù)學(xué)興趣小組想利用已學(xué)習(xí)的鏡面反射法進(jìn)行測(cè)量，具體研究方法與過(guò)程如表：具體問(wèn)題利用鏡面反射法測(cè)量圓柱型土坑的深度主要工具無(wú)人機(jī)、反射鏡、測(cè)傾器、激光筆、皮尺截面示意圖操作步驟1．在水平地面上選定一個(gè)激光發(fā)射點(diǎn)A，使A位于土坑上底面直徑DE所在的直線上；2．操控?cái)y帶反射鏡的無(wú)人機(jī)，使其懸停于土坑的上方；3．調(diào)整反射鏡與水平線的夾角θ，使得從A處發(fā)出的激光經(jīng)反射鏡C處反射后恰好到達(dá)坑底最右端F處；4．在線段AD上確定一點(diǎn)B，使得從B處發(fā)出的激光經(jīng)反射鏡C處反射后恰好到達(dá)坑底最左端G處．（以上各點(diǎn)均位于與水平地面垂直的同一平面內(nèi)）測(cè)量數(shù)據(jù)AB＝18m，DE＝12m，∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，θ＝22.5°．參考數(shù)據(jù)sin75°≈0.966，cos75°≈0.259，tan75°≈3.732，1.732．根據(jù)以上信息，完成下列任務(wù)．（結(jié)果精確到0.01m）任務(wù)一：計(jì)算點(diǎn)C離水平地面的高度；任務(wù)二：計(jì)算∠GCF＝°，∠BCG＝°；任務(wù)三：計(jì)算土坑的深度．六、解答題（本大題共12分）23．（12分）如果兩條不共頂點(diǎn)的拋物線，都經(jīng)過(guò)對(duì)方的頂點(diǎn)，那么稱這兩條拋物線互為“伴隨對(duì)稱拋物線”．（1）試判斷y＝x2﹣4x+4與y＝﹣x2+2x是否互為“伴隨對(duì)稱拋物線”，并說(shuō)明理由；（2）如圖1，若C1：y＝a1（x﹣h1）2+k1與C2：y＝a2（x﹣h2）2+k2互為“伴隨對(duì)稱拋物線”，頂點(diǎn)分別為A1，A2，記C1，C2組成的圖形為C．①試猜想a1與a2的數(shù)量關(guān)系，并證明；②進(jìn)一步探究可知C為中心對(duì)稱圖形，請(qǐng)確定C的對(duì)稱中心的位置；（直接寫(xiě)出結(jié)果）③如圖2，若C1：y＝x2，h2＞0，B1，B2分別為C1，C2上的點(diǎn)，且四邊形A1B1A2B2為正方形，求（h2﹣2）（h2﹣1）（h2+1）的值．

2026年江西省中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單項(xiàng)選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是最符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填涂在答題卡相應(yīng)位置。錯(cuò)選、多選或未選均不得分。1．（3分）下列圖書(shū)館標(biāo)志不是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A，C，D是軸對(duì)稱圖形，B不是軸對(duì)稱圖形，故選：B．2．（3分）2025年是“十四五”規(guī)劃收官之年，是中國(guó)式現(xiàn)代化進(jìn)程中具有重要意義的一年．我國(guó)經(jīng)濟(jì)頂壓前行、向新向優(yōu)發(fā)展，民生保障更加有力，社會(huì)大局保持穩(wěn)定，第二個(gè)百年奮斗目標(biāo)新征程實(shí)現(xiàn)良好開(kāi)局．經(jīng)初步核算，2025年國(guó)民總收入為1393700億元．1393700億用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．0.13937×1015 B．1.3937×106 C．1.3937×1014 D．1.3937×1016【解答】解：1393700億＝139370000000000＝1.3937×1014．故選：C．3．（3分）如圖，已知a∥b，∠1＝40°，則∠2的度數(shù)為（）A．40° B．100° C．120° D．140°【解答】解：如圖所示，∵a∥b，∴∠1+∠3＝180°．∵∠1＝40°，∴∠3＝140°，∴∠2＝∠3＝140°．故選：D．4．（3分）下列運(yùn)算正確的是（）A．m+2m＝3m B．3m2﹣m2＝3 C．m3?m2＝m6 D．m2÷m2＝m【解答】解：m+2m＝3m，則A符合題意，3m2﹣m2＝2m2，則B不符合題意，m3?m2＝m5，則C不符合題意，m2÷m2＝1，則D不符合題意，故選：A．5．（3分）如圖是2020﹣2024年全國(guó)城市聲環(huán)境功能區(qū)晝間、夜間達(dá)標(biāo)率統(tǒng)計(jì)圖，則下列說(shuō)法正確的是（）A．2024年夜間達(dá)標(biāo)率較2020年提高了1.2% B．夜間達(dá)標(biāo)率逐年上升 C．2022年晝間達(dá)標(biāo)率最高 D．晝間達(dá)標(biāo)率逐年上升【解答】解：A，2024年夜間達(dá)標(biāo)率較2020年提高了88.2%﹣80.1%＝8.1%，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B，夜間達(dá)標(biāo)率逐年上升，故B正確，符合題意；C，由圖可知，2023年晝間達(dá)標(biāo)率最高，故C錯(cuò)誤，不符合題意；D，2020﹣2023晝間達(dá)標(biāo)率逐年上升，2024年下降，故D錯(cuò)誤，不符合題意；故選：B．6．（3分）如圖，觀察函數(shù)y＝x2+3x﹣3的圖象，可以發(fā)現(xiàn)方程x2+3x﹣3＝0在0，1之間有根．取0，1的平均數(shù)0.5，當(dāng)x＝0.5時(shí)，y＜0，進(jìn)一步可知這個(gè)根在0.5和1之間，則與方程x2+3x﹣3＝0另一根更接近的是（）A．﹣4.5 B．﹣4 C．﹣3.5 D．﹣3【解答】解：∵拋物線y＝x2+3x﹣3的對(duì)稱軸為x1.5，已知根0.75＜x1＜1，由對(duì)稱性得另一根﹣1.5×2﹣1＜x2＜﹣1.5×2﹣0.75，即﹣4＜x2＜﹣3.75，∴另一根更接近的是﹣4．故選：B．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）7．（3分）有理數(shù)的倒數(shù)為﹣2．【解答】解：的倒數(shù)是﹣2．故答案為：﹣2．8．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)（2，1）向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，1）．【解答】解：由題知，將點(diǎn)（2，1）向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，1）．故答案為：（﹣1，1）．9．（3分）我國(guó)智能制造蓬勃發(fā)展，某工廠引進(jìn)A，B兩種型號(hào)智能機(jī)器來(lái)加工某種零件．已知A每小時(shí)比B多加工50個(gè)零件，A加工1640個(gè)零件所用時(shí)間與B加工1230個(gè)零件所用時(shí)間相等，求A，B每小時(shí)各加工多少個(gè)零件．設(shè)B每小時(shí)加工x個(gè)零件，可列分式方程為．【解答】解：∵A每小時(shí)比B多加工50個(gè)零件，且設(shè)B每小時(shí)加工x個(gè)零件，∴A每小時(shí)加工（x+50）個(gè)零件．根據(jù)題意得：．故答案為：．10．（3分）生活中的剪刀蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識(shí)．如圖1是某剪刀，其結(jié)構(gòu)主要包括剪刃、剪柄和指圈．當(dāng)剪刀張角最大時(shí)，其理想化模型如圖2，剪刃所在直線與指圈所在半圓相切．已知AC與BD相交于點(diǎn)O，CE為半圓的直徑，OC＝9，CE＝6，則此時(shí)張角∠AOB的大小為150°．【解答】解：如圖，設(shè)右半圓的圓心為M，BD與⊙M相切于點(diǎn)N，連接MN，∴∠MNO＝90°，∵OC＝9，CE＝6，∴，OM＝OC﹣MC＝9﹣3＝6，∴，∴∠MON＝30°，∵∠AOB＝180°﹣∠MON＝180°﹣30°＝150°，故答案為：150．11．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E是邊AD上的動(dòng)點(diǎn)，連接BE，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BE于點(diǎn)F．當(dāng)△BFC面積最大時(shí)，DE的長(zhǎng)為1．【解答】解：如圖，設(shè)BC的中點(diǎn)為O，∵CF⊥BE，∴∠BFC＝90°，∴點(diǎn)F在以BC為直徑的⊙O上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)OF⊥BC時(shí)，點(diǎn)F到BC的距離最大，此時(shí)△BFC面積最大，∴BF＝FC，∴∠FBC＝45°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝90°，AD＝BC＝4，∴∠ABE＝90°﹣∠FBC＝90°﹣45°＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE＝AB＝3，∴DE＝AD﹣AE＝4﹣3＝1．故答案為：1．12．（3分）如圖，點(diǎn)P在直線y＝﹣x+b（b＞0）上，過(guò)P作x軸、y軸的垂線，垂足分別為A，B，矩形OAPB的面積為1（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．若滿足條件的點(diǎn)P有且僅有三個(gè)，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1或1或1．【解答】解：設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為﹣m+b，根據(jù)題意得：|m|?|﹣m+b|＝1，即m2﹣bm﹣1＝0或m2﹣bm+1＝0，∵滿足條件的點(diǎn)P有且僅有三個(gè)，∴Δ＝（﹣b）2﹣4×1×1＝0，∴b＝2．將b＝2代入m2﹣bm﹣1＝0得：m2﹣2m﹣1＝0，解得：m11，m21；將b＝2代入m2﹣bm+1＝0得：m2﹣2m+1＝0，解得：m3＝m4＝1．綜上所述，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1或1或1．故答案為：1或1或1．三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）13．（6分）（1）計(jì)算：2﹣1+（﹣1）2﹣||；（2）解不等式：x．【解答】解：（1）原式＝1．（2），3x﹣1＜2x，3x﹣2x＜1，x＜1．14．（6分）如圖，D，E分別在△ABC的邊BA，CA的延長(zhǎng)線上，DE∥BC，AD＝3，AB＝5，DE＝5，求BC的長(zhǎng)．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠B＝∠D，∠C＝∠E，∴△ABC∽△ADE，∴．根據(jù)題意AD＝3，AB＝5，DE＝5，代入得，∴．15．（6分）先化簡(jiǎn)：，再?gòu)?，1，2中選擇一個(gè)合適的數(shù)作為x代入求值．【解答】解：＝x+1；∵x≠0且x≠±1，∴將x＝2代入上式得原式＝2+1＝3．16．（6分）如圖，在8×4的正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)B，C均在格點(diǎn)上，∠A＝90°，∠C＝30°，MN為△ABC的中位線．（1）請(qǐng)僅用無(wú)刻度直尺作∠ABC的平分線，交MN于點(diǎn)P；（保留作圖痕跡）（2）若網(wǎng)格中小正方形的邊長(zhǎng)為1，則（1）中BP的長(zhǎng)為2．【解答】解：（1）圖形如圖所示：（2）過(guò)點(diǎn)M作MH⊥PB于點(diǎn)H．在Rt△ABC中，BC＝8，∠C＝30°，∴ABBC＝4，∠ABC＝60°，∵M(jìn)N是△ABC的中位線，∴BM＝AMAB＝2，MN∥BC，∴∠MPB＝∠PBC∠ABC＝30°，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，∴∠MBP＝∠MPB，∴BM＝PM，∵M(jìn)H⊥BP，∴BH＝PH＝BM?cos30°，∴PB＝2BH＝2．故答案為：．17．（6分）如圖，AD為⊙O的直徑，AD＝4，B，C是⊙O上的點(diǎn)，四邊形OABC為菱形．（1）求的長(zhǎng)；（2）延長(zhǎng)AD到點(diǎn)P，使得DP＝2，求證：PC是⊙O的切線．【解答】（1）解：連接OB，∵四邊形OABC為菱形，∴OA＝AB，AB∥OC，∵OA＝OB，∴△AOB是等邊三角形，∴∠A＝60°，∵AB∥OC，∴∠A+∠ACO＝180°，∴∠AOC＝120°，∵OAAD4＝2，∴的長(zhǎng)．（2）證明：連接CD，∵AB∥OC，∴∠COD＝∠A＝60°，∵OC＝OD，∴△COD是等邊三角形，∴CD＝OD＝2，∠OCD＝∠ODC＝60°，∵DP＝2，∴DP＝CD，∴∠DCP＝∠P，∵∠DCP+∠P＝∠ODC＝60°，∴∠DCP∠ODC＝30°，∴∠OCP＝∠OCD+∠DCP＝90°，∴半徑OC⊥CP，∴PC是⊙O的切線．四、解答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）18．（8分）如圖，我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述事物的變化規(guī)律，共包括“乾、坤、震、巽（xùn）、坎、離、艮（gèn）、兌”八個(gè)卦象．每個(gè)卦象由三個(gè)爻（yáo）組成，其中“”表示陽(yáng)爻，“”表示陰爻．（1）若從八個(gè)卦象中隨機(jī)抽取一個(gè)卦象，則抽到的卦象只有兩個(gè)陽(yáng)爻的概率是；（2）現(xiàn)從“乾、坤、震、巽”中隨機(jī)抽取兩個(gè)卦象，請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖法或列表法，求抽到的卦象中每個(gè)卦象至少有一個(gè)陽(yáng)爻的概率．【解答】解：（1）共有八個(gè)卦象，只有兩個(gè)陽(yáng)爻的是離、兌、巽，共三個(gè)，∴從中隨機(jī)抽取一個(gè)卦象，則抽到的卦象只有兩個(gè)陽(yáng)爻的概率是：，故答案為：；（2）記“乾、坤、震、巽”分別為a，b，c，d．列表法：第二卦象\第一卦象abcda—（b，a）（c，a）（d，a）b（a，b）—（c，b）（d，b）c（a，c）（b，c）—（d，c）d（a，d）（b，d）（c，d）—第一卦象：abcd，第二卦象：b，c，da，c，da，b，da，b，c，由表或樹(shù)狀圖可得，總共有12種可能的結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，其中滿足條件的結(jié)果有：（a，c），（a，d），（c，a），（c，d），（d，a），（d，c）共6種，所以所求概率為．19．（8分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，A（﹣2，m），B（2，0），C（0，﹣1），點(diǎn)D在x軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）P為邊BC上的一點(diǎn)，直線AP交雙曲線另一支于點(diǎn)Q，當(dāng)△ABP的面積等于?ABCD的面積的時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵C（0，﹣1），∴OC＝1，如圖1，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M，∴∠AMD＝∠COB＝90°，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADM＝∠CBO，∴△ADM≌△CBO（AAS），∴AM＝CO＝1，∴A（﹣2，1），∴k＝（﹣2）×1＝﹣2，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為；（2）如圖2，連接AC，∵AC為平行四邊形ABCD的對(duì)角線，∴S△ABCS?ABCD，∵△ABP的面積等于?ABCD的面積的，∴S△ABPS△ABC，∴P為BC的中點(diǎn)，∵B（2，0），C（0，﹣1），∴P的坐標(biāo)為．設(shè)直線AP的表達(dá)式為y＝ax+b，則，解得，，∴直線AP的表達(dá)式為，即直線AP經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，∵點(diǎn)A（﹣2，1），Q是過(guò)原點(diǎn)的直線與雙曲線的交點(diǎn)，∴點(diǎn)A，Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴Q（2，﹣1）．20．（8分）“以球之名，為城而戰(zhàn)”，2025年江西省城市足球超級(jí)聯(lián)賽于7月12日在南昌八一體育場(chǎng)拉開(kāi)帷幕．賽事的成功舉辦極大激發(fā)了參賽球員和群眾的城市歸屬感，推動(dòng)了文旅等相關(guān)產(chǎn)業(yè)的發(fā)展．在常規(guī)賽階段，分南北兩個(gè)賽區(qū)，采取賽區(qū)內(nèi)主客場(chǎng)雙循環(huán)積分制（每?jī)申?duì)之間進(jìn)行兩場(chǎng)比賽），北區(qū)共20場(chǎng)比賽，南區(qū)共30場(chǎng)比賽．賽制規(guī)定：每隊(duì)勝一場(chǎng)得x分，平一場(chǎng)得y分，負(fù)一場(chǎng)得0分．以下是常規(guī)賽結(jié)束時(shí)積分及進(jìn)/失球個(gè)數(shù)部分?jǐn)?shù)據(jù)．積分表北區(qū)勝/平/負(fù)積分南區(qū)勝/平/負(fù)積分九江隊(duì)4/3/115宜春隊(duì)*/*/**上饒隊(duì)*/*/**贛州隊(duì)6/2/220南昌隊(duì)3/*/2m撫州隊(duì)*/*/**景德鎮(zhèn)隊(duì)*/*/**新余隊(duì)*/*/**鷹潭隊(duì)*/*/**萍鄉(xiāng)隊(duì)*/*/**///吉安隊(duì)*/*/**根據(jù)以上信息解答下列問(wèn)題：（1）x＝3，y＝1，m＝12；（2）分別求兩個(gè)賽區(qū)平均每場(chǎng)比賽進(jìn)球個(gè)數(shù)；（3）現(xiàn)收集了7名球員每個(gè)人的進(jìn)球個(gè)數(shù)（最多的進(jìn)7個(gè)球），甲乙兩位同學(xué)對(duì)這組數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到如下結(jié)果：甲：平均數(shù)為3，極差為4；乙：眾數(shù)為2，平均數(shù)為4．試分別判斷甲乙兩人的分析是否有一定的可信度，并說(shuō)明理由．【解答】解：（1）由題意得解得：∵常規(guī)賽中，北區(qū)每隊(duì)比賽的場(chǎng)次為8場(chǎng)，∴南昌隊(duì)3勝3平2負(fù)，∴m＝3×3+3×1+2×0＝12．故x＝3，y＝1，m＝12，故答案為：3，1，12；（2）∵各賽區(qū)總進(jìn)球數(shù)與失球數(shù)相等，∴北區(qū)總進(jìn)球數(shù)為7+4+7+10+15＝43，∴北區(qū)平均每場(chǎng)比賽進(jìn)球個(gè)數(shù)為．∵南區(qū)總進(jìn)球數(shù)為16+17+8+8+15+11＝75，∴南區(qū)平均每場(chǎng)比賽進(jìn)球個(gè)數(shù)為．（3）甲的數(shù)據(jù)分析不可信，理由如下：∵至少有1個(gè)7，極差為4，∴最小數(shù)為3，則平均數(shù)大于3，與平均數(shù)為3相矛盾．乙的數(shù)據(jù)分析有一定的可信度，如①2，2，2，3，5，7，7；②2，2，2，3，6，6，7；③2，2，2，4，5，6，7；④2，2，2，2，6，7，7；⑤2，2，2，4，4，7，7．（只要列舉其中一組數(shù)據(jù)說(shuō)明即可）五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）21．（9分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，點(diǎn)P在BC的延長(zhǎng)線上，將AP繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30°得到AQ，連接CQ，PQ．（1）求證：BP＝CQ；（2）若∠CAP＝15°，PQ＝2，求BP的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵AP繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30°得到AQ，∴∠PAQ＝30°，AP＝AQ，∵∠BAC＝30°，∴∠BAC+∠CAP＝∠CAP+∠PAQ，即∠BAP＝∠CAQ，在△ABP和△ACQ中，，∴△ABP≌△ACQ（SAS），∴BP＝CQ；（2）解：過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥BC于H點(diǎn)，如圖，∵AB＝AC，AP＝AQ，∠BAC＝∠PAQ＝30°，∴∠B＝∠ACB＝75°，∠APQ＝∠AQP＝75°，∵△ABP≌△ACQ，∴∠ACQ＝∠B＝75°，∴∠QCH＝180°﹣∠ACB﹣∠ACQ＝30°，∵∠ACB＝∠CAP+∠APB，∴∠APB＝75°﹣15°＝60°，∵∠QPH＝180°﹣∠APB﹣∠APQ＝180°﹣60°﹣75°＝45°．∴PH＝QHPQ22，在Rt△CQH中，∵∠QCH＝30°，∴CQ＝2QH＝4，∴BP＝CQ＝4．22．（9分）為了測(cè)量一個(gè)圓柱型土坑的深度，某數(shù)學(xué)興趣小組想利用已學(xué)習(xí)的鏡面反射法進(jìn)行測(cè)量，具體研究方法與過(guò)程如表：具體問(wèn)題利用鏡面反射法測(cè)量圓柱型土坑的深度主要工具無(wú)人機(jī)、反射鏡、測(cè)傾器、激光筆、皮尺截面示意圖操作步驟1．在水平地面上選定一個(gè)激光發(fā)射點(diǎn)A，使A位于土坑上底面直徑DE所在的直線上；2．操控?cái)y帶反射鏡的無(wú)人機(jī)，使其懸停于土坑的上方；3．調(diào)整反射鏡與水平線的夾角θ，使得從A處發(fā)出的激光經(jīng)反射鏡C處反射后恰好到達(dá)坑底最右端F處；4．在線段AD上確定一點(diǎn)B，使得從B處發(fā)出的激光經(jīng)反射鏡C處反射后恰好到達(dá)坑底最左端G處．（以上各點(diǎn)均位于與水平地面垂直的同一平面內(nèi)）測(cè)量數(shù)據(jù)AB＝18m，DE＝12m，∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，θ＝22.5°．參考數(shù)據(jù)sin75°≈0.966，cos75°≈0.259，tan75°≈3.732，1.732．根據(jù)以上信息，完成下列任務(wù)．（結(jié)果精確到0.01m）任務(wù)一：計(jì)算點(diǎn)C離水平地面的高度；任務(wù)二：計(jì)算∠GCF＝30°，∠BCG＝15°；任務(wù)三：計(jì)算土坑的深度．【解答】解：任務(wù)一：如圖，連接DE，過(guò)點(diǎn)C作CK⊥GF交GF于K，交DE于H，則CH⊥DE．∵∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，∴∠ACB＝30°，∴BC＝AB＝18m．在Rt△CBH中，，即點(diǎn)C離水平地面的高度約為15.59m；任務(wù)二：如圖，∵AB∥PC，∠CAB＝30°，∴∠PCA＝∠CAB＝30°，又∵θ＝22.5°，∴∠NCF＝∠MCA＝∠MCP+∠PCA＝θ+30°＝22.5°+30°＝52.5°，∴∠ACF＝180°﹣2（θ+30°）＝120°﹣2θ＝120﹣2×22.5°＝75°，同理可得