2026年《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課后習(xí)題附答案

2026年《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課后習(xí)題附答案1.某城市智能手表用戶睡眠質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)顯示，用戶夜間深度睡眠時(shí)長X（單位：小時(shí)）服從正態(tài)分布N(μ,σ2)。已知隨機(jī)抽取10名用戶的深度睡眠時(shí)長為：3.2,4.1,3.8,4.5,3.6,4.3,3.9,4.0,3.7,4.2。（1）計(jì)算樣本均值X?和樣本方差S2；（2）若σ2=0.25，求μ的95%置信區(qū)間；（3）若σ2未知，求μ的95%置信區(qū)間（t?.???(9)=2.262）。答案：（1）樣本均值X?=(3.2+4.1+3.8+4.5+3.6+4.3+3.9+4.0+3.7+4.2)/10=39.3/10=3.93；樣本方差S2=[(3.2-3.93)2+(4.1-3.93)2+…+(4.2-3.93)2]/(10-1)=[0.5329+0.0289+0.0289+0.3249+0.1089+0.1369+0.0064+0.0049+0.0529+0.0729]/9=(1.299)/9≈0.1443。（2）σ2=0.25，σ=0.5，置信水平95%，Z?.???=1.96，置信區(qū)間為X?±Z?.???(σ/√n)=3.93±1.96(0.5/√10)=3.93±0.309，即(3.621,4.239)。（2）σ2=0.25，σ=0.5，置信水平95%，Z?.???=1.96，置信區(qū)間為X?±Z?.???(σ/√n)=3.93±1.96(0.5/√10)=3.93±0.309，即(3.621,4.239)。（3）σ2未知，用t分布，t?.???(9)=2.262，置信區(qū)間為X?±t?.???(9)(S/√n)=3.93±2.262(√0.1443/√10)=3.93±2.262(0.38/3.162)≈3.93±0.270，即(3.660,4.200)。（3）σ2未知，用t分布，t?.???(9)=2.262，置信區(qū)間為X?±t?.???(9)(S/√n)=3.93±2.262(√0.1443/√10)=3.93±2.262(0.38/3.162)≈3.93±0.270，即(3.660,4.200)。2.某電商平臺(tái)用戶下單后，物流延遲的概率為0.15。若某天有500個(gè)獨(dú)立訂單，用中心極限定理近似計(jì)算物流延遲訂單數(shù)超過80的概率（Φ(1.645)=0.95，Φ(1.96)=0.975）。答案：設(shè)延遲訂單數(shù)為X，X~B(n=500,p=0.15)，則E(X)=np=75，Var(X)=np(1-p)=63.75，σ=√63.75≈7.984。由中心極限定理，X近似服從N(75,63.75)，標(biāo)準(zhǔn)化得Z=(X-75)/7.984。P(X>80)=P(Z>(80-75)/7.984)=P(Z>0.626)≈1-Φ(0.63)≈1-0.7357=0.2643。3.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)=k(1-x2)，-1≤x≤1，其他為0。（1）求常數(shù)k；（2）求X的分布函數(shù)F(x)；（3）計(jì)算P(|X|≤0.5)。答案：（1）由∫?∞^∞f(x)dx=1，得∫??1k(1-x2)dx=k[xx3/3]??1=k[(1-1/3)-(-1+1/3)]=k(4/3)=1，故k=3/4。（1）由∫?∞^∞f(x)dx=1，得∫??1k(1-x2)dx=k[xx3/3]??1=k[(1-1/3)-(-1+1/3)]=k(4/3)=1，故k=3/4。（2）當(dāng)x<-1時(shí)，F(xiàn)(x)=0；當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，F(xiàn)(x)=∫??^x(3/4)(1-t2)dt=(3/4)[tt3/3]??^x=(3/4)[xx3/3(-1+1/3)]=(3/4)(xx3/3+2/3)=(3x/4)(x3)/4+1/2；當(dāng)x>1時(shí)，F(xiàn)(x)=1。（3）P(|X|≤0.5)=F(0.5)-F(-0.5)=[(30.5/4)-(0.53)/4+1/2][(3(-0.5)/4)-((-0.5)3)/4+1/2]（3）P(|X|≤0.5)=F(0.5)-F(-0.5)=[(30.5/4)-(0.53)/4+1/2][(3(-0.5)/4)-((-0.5)3)/4+1/2]=[0.3750.03125+0.5][-0.375+0.03125+0.5]=0.843750.15625=0.6875。4.某新能源汽車電池續(xù)航里程Y（單位：公里）服從指數(shù)分布，已知其平均續(xù)航為400公里。（1）求Y的概率密度f(y)；（2）求電池續(xù)航超過500公里的概率；（3）若電池已使用400公里仍未衰減，求其續(xù)航超過800公里的概率。答案：（1）指數(shù)分布均值1/λ=400，故λ=1/400，f(y)=(1/400)e^(-y/400)，y>0。（2）P(Y>500)=∫???^∞(1/400)e^(-y/400)dy=e^(-500/400)=e^(-1.25)≈0.2865。（3）無記憶性，P(Y>800|Y>400)=P(Y>400)=e^(-400/400)=e^(-1)≈0.3679。5.設(shè)總體X的概率分布為P(X=1)=θ2，P(X=2)=2θ(1-θ)，P(X=3)=(1-θ)2，其中θ∈(0,1)未知?，F(xiàn)抽取容量為3的樣本，觀測(cè)值為(1,2,3)，求θ的極大似然估計(jì)值。答案：似然函數(shù)L(θ)=P(X=1)P(X=2)P(X=3)=θ22θ(1-θ)(1-θ)2=2θ3(1-θ)3。答案：似然函數(shù)L(θ)=P(X=1)P(X=2)P(X=3)=θ22θ(1-θ)(1-θ)2=2θ3(1-θ)3。取對(duì)數(shù)得lnL=ln2+3lnθ+3ln(1-θ)，求導(dǎo)得d(lnL)/dθ=3/θ3/(1-θ)=0，解得θ=1/2。故極大似然估計(jì)值為θ?=1/2。6.某醫(yī)院記錄了10名患者的康復(fù)時(shí)間（單位：天）：12,15,10,14,13,16,11,17,12,14。假設(shè)康復(fù)時(shí)間服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，檢驗(yàn)是否有理由認(rèn)為μ≠13（α=0.05，t?.???(9)=2.262）。答案：H?:μ=13，H?:μ≠13。樣本均值X?=(12+15+10+14+13+16+11+17+12+14)/10=134/10=13.4；樣本方差S2=[(12-13.4)2+…+(14-13.4)2]/9=(1.96+2.56+11.56+0.36+0.16+6.76+5.76+12.96+1.96+0.36)/9=44.4/9≈4.933，S≈2.221。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t=(X?-μ?)/(S/√n)=(13.4-13)/(2.221/√10)=0.4/(0.702)≈0.569。|t|=0.569<t?.???(9)=2.262，故不拒絕H?，無理由認(rèn)為μ≠13。7.袋中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，每次從中不放回取1球，直到取到白球?yàn)橹?。設(shè)取球次數(shù)為X，求X的分布律、期望和方差。答案：X可能取值1,2,3,4（最多取4次必取到白球）。P(X=1)=2/5；P(X=2)=(3/5)(2/4)=3/10；P(X=3)=(3/5)(2/4)(2/3)=1/5；P(X=4)=(3/5)(2/4)(1/3)(2/2)=1/10。期望E(X)=1(2/5)+2(3/10)+3(1/5)+4(1/10)=0.4+0.6+0.6+0.4=2；期望E(X)=1(2/5)+2(3/10)+3(1/5)+4(1/10)=0.4+0.6+0.6+0.4=2；E(X2)=12(2/5)+22(3/10)+32(1/5)+42(1/10)=0.4+1.2+1.8+1.6=5；E(X2)=12(2/5)+22(3/10)+32(1/5)+42(1/10)=0.4+1.2+1.8+1.6=5；方差Var(X)=E(X2)-[E(X)]2=5-4=1。8.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y)={e^(-x-y),x>0,y>0；0,其他}。（1）求X和Y的邊緣概率密度；（2）判斷X與Y是否獨(dú)立；（3）計(jì)算P(X+Y≤1)。答案：（1）f_X(x)=∫?∞^∞f(x,y)dy=∫?^∞e^(-x-y)dy=e^(-x)∫?^∞e^(-y)dy=e^(-x)（x>0），其他為0；同理f_Y(y)=e^(-y)（y>0），其他為0。（2）f(x,y)=e^(-x-y)=f_X(x)f_Y(y)，故X與Y獨(dú)立。（3）P(X+Y≤1)=∫?1∫?^(1-x)e^(-x-y)dydx=∫?1e^(-x)[∫?^(1-x)e^(-y)dy]dx=∫?1e^(-x)(1-e^(-(1-x)))dx=∫?1(e^(-x)-e^(-1))dx=[-e^(-x)-xe^(-1)]?1=(-e^(-1)-e^(-1))-(-1-0)=1-2e^(-1)≈1-0.7358=0.2642。9.某工廠生產(chǎn)的零件長度服從正態(tài)分布N(μ,0.04)，技術(shù)改進(jìn)后，抽取10個(gè)零件，長度（單位：mm）為：10.1,10.3,10.2,10.4,10.0,10.5,10.3,10.2,10.1,10.4。檢驗(yàn)改進(jìn)后均值是否顯著提高（α=0.05，Z?.??=1.645）。答案：H?:μ≤μ?=原均值（假設(shè)原均值為10.0），H?:μ>10.0；樣本均值X?=(10.1+10.3+…+10.4)/10=102.5/10=10.25；檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z=(X?-μ?)/(σ/√n)=(10.25-10.0)/(0.2/√10)=0.25/(0.0632)≈3.956；Z=3.956>Z?.??=1.645，拒絕H?，認(rèn)為改進(jìn)后均值顯著提高。10.設(shè)隨機(jī)變量X~N(2,4)，Y=3X-1，求：（1）Y的概率密度f_Y(y)；（2）P(Y>5)；（3）Cov(X,Y)。答案：（1）X~N(2,4)，則Y=3X-1~N(32-1,324)=N(5,36)，故f_Y(y)=(1/(6√2π))e^(-(y-5)2/(236))=(1/(6√2π))e^(-(y-5)2/72)。（1）X~N(2,