極限綜合試題及標準答 案

極限綜合試題及標準答案考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題：1.下列數列中，收斂的是（）。A.{(-1)?}B.{n}C.{n/(n+1)}D.{sinn}2.極限lim(x→2)(x2-4)/(x-2)的值等于（）。A.0B.2C.4D.不存在3.極限lim(x→∞)(3x3-x+2)/(x2+5x-1)的值等于（）。A.0B.3C.∞D.-34.“f(x)在x=x?處有極限”是“f(x)在x=x?處連續”的（）條件。A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要5.下列極限計算正確的是（）。A.lim(x→0)(e^x-1)/x=1B.lim(x→0)sin(x2)/x2=1C.lim(x→∞)(x+1)/x2=0D.lim(x→1)(x2-1)/(x-1)=16.若lim(x→a)f(x)=A且lim(x→a)g(x)=B(B≠0)，則lim(x→a)[f(x)/g(x)]的值等于（）。A.A+BB.A-BC.A/BD.B/A7.當x→0時，(x2-sin2x)/x?是（）。A.無窮小量B.無窮大量C.高階無窮小D.低階無窮小8.極限lim(x→0)(1-cosx)/(xtanx)的值等于（）。A.0B.1/2C.1D.29.若lim(x→2)(x2+ax+b)=0，則常數a和b的值分別為（）。A.a=-4,b=4B.a=4,b=-4C.a=-8,b=12D.a=8,b=-1210.下列說法正確的是（）。A.若lim(x→x??)f(x)和lim(x→x??)f(x)都存在，則lim(x→x?)f(x)存在。B.若f(x)在x=x?處連續，則lim(x→x?)f(x)存在。C.若lim(x→x?)f(x)存在，則f(x)在x=x?處有定義。D.若lim(x→x?)[f(x)-g(x)]存在，則lim(x→x?)f(x)和lim(x→x?)g(x)都存在。二、填空題：1.lim(x→∞)(2x2-3x+1)/(x2+2x-5)=_______。2.若lim(x→∞)(ax2+bx+c)/(x2-1)=3，則實數a=_______，b=_______。3.lim(x→0)[sin(3x)/x]=_______。4.若f(x)=(kx3+2x)/(x2-1)，且lim(x→0)f(x)=1，則常數k=_______。5.lim(x→1)[(x-1)/(x2-1)]=_______。三、解答題：1.計算極限lim(x→-1)[(x3+1)/(x2+x+1)]。2.計算極限lim(x→0)[sin(5x)/(2x+tan3x)]。3.計算極限lim(x→∞)[sqrt(x2+x)-x]。4.計算極限lim(x→0)[e^(2x)-1-2x]/(x2)。5.討論函數f(x)=[(x2-4)/(x-2)]x=2時的極限和連續性。6.已知lim(x→2)[f(x)-5]=3，求lim(x→2)[f(x)2-25]/(x-2)。7.當x→0時，ax3和bx2誰是高階無窮小？并說明理由。試卷答案一、選擇題：1.C2.C3.B4.B5.C6.C7.C8.B9.A10.B二、填空題：1.22.a=6,b=03.34.15.1/2三、解答題：1.解析思路：直接代入得(0)/(1)=0。原式=0。答案：02.解析思路：利用等價無窮小sinx~x,tanx~x(x→0)。原式=lim(x→0)[5x/(2x+3x)]=lim(x→0)[5x/5x]=1。答案：13.解析思路：利用共軛方法，分子分母同乘以sqrt(x2+x)+x。原式=lim(x→∞)[(sqrt(x2+x)-x)(sqrt(x2+x)+x)/(x2-1)]=lim(x→∞)[x2+x-x2/(x2-1)]=lim(x→∞)[x/(x2-1)]=lim(x→∞)[1/(x-1/x)]=0。答案：04.解析思路：利用等價無窮小e^x-1~x(x→0)，將原式轉化為x的函數再計算。原式=lim(x→0)[(2x)/(x2)]=lim(x→0)[2/x]=2lim(x→0)[1/x]=2*0=0。（此處修正，原式計算如下）原式=lim(x→0)[e^(2x)-1-2x]/(x2)=lim(x→0)[(e^(2x)-1-2x)/(2x)*(2/x)]（乘以2/x，為利用e^x-1~x）=(1/2)lim(x→0)[(e^(2x)-1)/(2x)-1]=(1/2)*(1-1)=0。答案：05.解析思路：先求極限lim(x→2)[(x2-4)/(x-2)]=lim(x→2)[(x-2)(x+2)/(x-2)]=lim(x→2)(x+2)=4。極限存在。但f(2)=(22-4)/(2-2)無定義。所以極限存在，函數不連續。答案：極限存在，函數不連續。6.解析思路：利用極限的線性運算和已知條件。原式=lim(x→2)[(f(x)-5)/(x-2)]*[(x-2)/(x-2)]*[f(x)+5]=lim(x→2)[f(x)-5]/(x-2)*lim(x→2)(x-2)/(x-2)*lim(x→2)[f(x)+5]=3*1*(5+