江西省南昌市2025-2026學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷(含答案)

江西省南昌市2025-2026學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期第一次質(zhì)量監(jiān)測(cè)（10月月考）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．下列圖形中，是中心對(duì)稱圖形的是（

）．A． B． C． D．2．若函數(shù)是二次函數(shù)，則m的值為（）A．0或 B．0或1 C． D．13．如圖，△ABC中，∠C=70°，∠B=30°，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到△AB′C′，且C′在邊BC上，則∠B′C′B的度數(shù)為（

）A．30° B．40° C．46° D．60°4．將二次函數(shù)化為的形式，下列結(jié)果正確的是（

）．A． B．C． D．5．已知拋物線，當(dāng)時(shí)，的值隨值的增大而增大，則此拋物線的頂點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，圖象過點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，下列結(jié)論：（1）；（2）；（3）；（4）若點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)在該函數(shù)圖象上，則；（5）若方程的兩根為和，且，則．其中正確的結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題7．將二次函數(shù)的圖象向右平移1個(gè)單位，再向下平移一個(gè)單位，得到對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象的解析式為__________．8．如圖，拋物線與直線交于兩點(diǎn)，則關(guān)于的不等式的解集為__________．

9．如圖，在中，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在線段上，連接BE．下列結(jié)論：①平分；②；③；④．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．10．已知拋物線的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2，則的值是________．11．如圖，將矩形繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至矩形位置，此時(shí)的中點(diǎn)恰好與D點(diǎn)重合，交于點(diǎn)若，則的面積為______．12．二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，若圖象上的點(diǎn)到x軸距離的最大值為4，則m的值為______．三、解答題13．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．

(1)請(qǐng)?jiān)趫D中作出與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖形；(2)點(diǎn)的坐標(biāo)是________；點(diǎn)的坐標(biāo)是________．14．已知拋物線過點(diǎn)和，．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)求拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)．15．如圖，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)A、B都在格點(diǎn)上．線段繞著某一定點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度后，得到線段（點(diǎn)、分別是A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，也都在格點(diǎn)上），在圖中作出旋轉(zhuǎn)中心．16．如圖，一塊矩形區(qū)域由籬笆圍著，并且由一條與邊平行的籬笆分開．已知籬笆的總長(zhǎng)為18米（籬笆的厚度忽略不計(jì)），求當(dāng)矩形的面積最大時(shí)的長(zhǎng)．

17．如圖，在△ABC中，∠CAB=70°，在同一平面內(nèi)，將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB,求∠BAB′的度數(shù)．18．如圖，是一個(gè)拋物線形拱橋的截面圖，在正常水位時(shí)，水位線與拱橋最高點(diǎn)的距離為，水面寬．(1)請(qǐng)你建立合適的平面直角坐標(biāo)系，并根據(jù)建立的平面直角坐標(biāo)系求出該拋物線的解析式．(2)已知一艘船（可近似看成長(zhǎng)方體）在此航行時(shí)露出水面的高度為，若這艘船的寬度為，當(dāng)水位線比正常水位線高出時(shí)，這艘船能否從該拋物線形拱橋下方順利通過，請(qǐng)說明理由．19．如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有，，．(1)畫出向右平移三個(gè)單位的，并寫出的坐標(biāo)：______；(2)將繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，并寫出坐標(biāo)：______；(3)求（1）中所掃過的面積．20．如圖，拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)．(1)求此拋物線的解析式；(2)在拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)P，使得值最小，求最小值以及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；21．如圖，在一次足球比賽中，守門員在地面處將球踢出，一運(yùn)動(dòng)員在離守門員8米的處發(fā)現(xiàn)球在自己頭上的正上方4米處達(dá)到最高點(diǎn)，球落地后又一次彈起．據(jù)實(shí)驗(yàn)測(cè)算，足球在空中運(yùn)行的路線是一條拋物線，在草坪上彈起后的拋物線與原來的拋物線形狀相同，最大高度減少到原來最大高度的一半．

（1）求足球第一次落地之前的運(yùn)動(dòng)路線的函數(shù)表達(dá)式及第一次落地點(diǎn)和守門員（點(diǎn)）的距離；（2）運(yùn)動(dòng)員（點(diǎn)）要搶到第二個(gè)落點(diǎn)，他應(yīng)再向前跑多少米？（假設(shè)點(diǎn)、、、在同一條直線上，結(jié)果保留根號(hào)）22．問題情境：在學(xué)習(xí)《圖形的平移和旋轉(zhuǎn)》時(shí)，數(shù)學(xué)興趣小組遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，點(diǎn)D為等邊的邊上一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．

(1)【猜想證明】試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；(2)【探究應(yīng)用】如圖2，點(diǎn)D為等邊內(nèi)一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，若B、D、E三點(diǎn)共線，求證：平分；(3)【拓展提升】如圖3，若是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)D是線段上的動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過程中，的周長(zhǎng)最小值=__________（直接寫答案）23．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中拋物線y=ax2+bx+2（a≠0）與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），且A點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），直線BC的解析式為．（1）求拋物線的解析式；（2）過點(diǎn)A作AD//BC，交拋物線于點(diǎn)D，點(diǎn)E為直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接CE，EB，BD，DC．求四邊形BECD面積的最大值及相應(yīng)點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）將拋物線y=ax2+bx+2（a≠0）向左平移個(gè)單位，已知點(diǎn)M為拋物線y=ax2+bx+2（a≠0）的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為平移后的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．在（2）中，當(dāng)四邊形BECD的面積最大時(shí)，是否存在以A，E，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，若存在，直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

參考答案1．D【詳解】A．不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；B．不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；C．不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；D．是中心對(duì)稱圖形，符合題意；故選：D．2．C解：由題意得：，且，解得：或且，故，故選：C．3．B【詳解】：∵將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到△AB′C′，∴AC′=AC，∴∠C=∠AC′C=70°，∴∠AC′B=180°﹣70°=110°，∵∠C=∠AC′B′=70°，∴∠B′C′B=∠AC′B﹣∠AC′B′=110°﹣70°=40°．故選B．4．D【詳解】，故選：D．5．C解：拋物線的對(duì)稱軸為，∵拋物線開口向上，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，∵當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，∴，即；∵拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∵，而，當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)最大值為：，∴此時(shí)∴拋物線的頂點(diǎn)在第三象限，故選：C．6．C解：∵，∴，故①正確；由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，，即：，∴，故②正確；∵圖象過點(diǎn)，∴又∵∴，∴，即：∴∵拋物線開口向下，∴，∴，故③錯(cuò)誤，∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴在圖象上的對(duì)稱軸點(diǎn)坐標(biāo)為：∵∴而在對(duì)稱軸的左側(cè)，∴隨的增大而增大，∴，故④錯(cuò)誤，則：方程的兩根為或，交拋物線與的兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，過作軸的平行線，直線與拋物線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為方程的兩根，依據(jù)函數(shù)圖象可知：，故⑤正確．故選：C．7．解：將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式為：，將二次函數(shù)的圖象向右平移1個(gè)單位，再向下平移一個(gè)單位，得到的新圖象函數(shù)的表達(dá)式為，故答案為：．8．或解：根據(jù)題意得出：當(dāng)時(shí)，則，由圖象可得：關(guān)于的不等式的解集為：或，故答案為：或．9．①②③解：∵是由旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴，∴，∴平分；故①正確，如圖，設(shè)交于點(diǎn)，∴∵旋轉(zhuǎn)，∴，∴，故②正確；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，，而，∴，故答案為：①②③．10．解：拋物線的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2，對(duì)稱軸，，故答案為：．11．解：如圖，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，為的中點(diǎn)，，是矩形，，，，，，，，，，，，故答案為12．或3/3或解：∵，∴拋物線開口向上，對(duì)稱軸為直線．頂點(diǎn)記作點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，；記作點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，記作點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，圖象上的點(diǎn)到x軸距離的最大值為4，Ⅰ．若圖象位于拋物線對(duì)稱軸右側(cè)，即對(duì)稱軸，如圖1：則點(diǎn)P為滿足圖象上的點(diǎn)到x軸距離的最大值為4的點(diǎn)，此時(shí)有，解得：，Ⅱ．若對(duì)稱軸在P、Q兩點(diǎn)之間（包含P、Q兩點(diǎn)）時(shí)，即：對(duì)稱軸滿足，如圖2，①若P為滿足圖象上的點(diǎn)到x軸距離的最大值為4的點(diǎn)，則，此時(shí)無解，②若M為滿足圖象上的點(diǎn)到x軸距離的最大值為4的點(diǎn)，則，，解得：，Ⅲ．若圖象位于拋物線對(duì)稱軸左側(cè)，即對(duì)稱軸，如圖3：此時(shí)P為滿足圖象上的點(diǎn)到x軸距離的最大值為4的點(diǎn)，則，，此時(shí)沒有符合的解，綜上，或3，故答案為或3．13．(1)如圖所示：即為所求；(2)，【詳解】（1）略（2）解：∵，，∴，，故答案為：，．14．(1)(2)（1）解：拋物線過點(diǎn)和，對(duì)稱軸是直線，即，解得：，，拋物線過點(diǎn)，，解得：，拋物線的解析式為：；（2）解：，頂點(diǎn)坐標(biāo)．15．見解析解：如圖，連接,在網(wǎng)格中作的垂直平分線，交于點(diǎn)O，點(diǎn)O即為旋轉(zhuǎn)中心.16．當(dāng)米，矩形的面積最大．解：設(shè)米，矩形的面積設(shè)為y（平方米），則，∴．∴．由于二次項(xiàng)系數(shù)小于0，所以y有最大值，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)y取得最大值．∴當(dāng)米，矩形的面積最大．17．40°.【詳解】∵CC′∥AB，∴∠ACC′=∠CAB=70°，∵△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△AB′C′的位置，∴AC=AC′，∠BAB′=∠CAC′，在△ACC′中，∵AC=AC′∴∠ACC′=∠AC′C=70°，∴∠CAC′=180°-70°-70°=40°，∴∠BAB′=40°．18．(1)拋物線的解析式為（答案不唯一，建立的平面直角坐標(biāo)系不同則答案不同）(2)這艘船能從該拋物線形拱橋下方順利通過，理由如下：當(dāng)水位線比正常水位線高出時(shí)，此時(shí)船的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．將代入中，解得，∴此時(shí)與這艘船最高點(diǎn)在同一水平面的拱橋的寬度為（）．∵，∴這艘船能從該拋物線形拱橋下方順利通過．（1）解：建立的平面直角坐標(biāo)系如解圖所示．觀察圖象，可知該拋物線的頂點(diǎn)為，點(diǎn)．∴可設(shè)該拋物線的解析式為．將點(diǎn)代入中，得，解得．∴該拋物線的解析式為；（答案不唯一，建立的平面直角坐標(biāo)系不同則答案不同）；（2）略19．(1)圖見解析，(2)圖見解析，(3)12.5【詳解】（1）即為向右平移三個(gè)單位所得，如圖故答案為：．（2）即為繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所得，如圖故答案為：（3）由題意可得掃過的面積可表示為平行四邊形的面積加三角形本身的面積，而三角形面積可用包圍住本身的一個(gè)正方形減去三個(gè)小三角形的面積，則面積為：∴掃過的面積：12.5．20．(1)(2)，（1）解：拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，，解得：，，此拋物線的解析式為；（2）解：如圖，連接，交對(duì)稱軸于點(diǎn)，則，此時(shí)最小，，

拋物線的解析式為，其對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，，，又，設(shè)的解析式為，，解得：，的解析式為，當(dāng)時(shí)，，，.21．（1），16米；（2）米【詳解】解：（1）設(shè)足球第一次落地之前的運(yùn)動(dòng)路線的函數(shù)表達(dá)式為，根據(jù)其頂點(diǎn)為，過點(diǎn)得，解得：，．當(dāng)時(shí)，，解得：（舍去）或，答：足球第一次落地之前的運(yùn)動(dòng)路線的函數(shù)表達(dá)式為，第一次落地點(diǎn)和守門員（點(diǎn)的距離為16米；（2）設(shè)第一次落地之后的運(yùn)動(dòng)路線的函數(shù)表達(dá)式為，由題意，得，解得或（舍去），．當(dāng)時(shí)，．解得：或．他應(yīng)從第一次落地點(diǎn)再向前跑的距離為：米．答：他應(yīng)再向前跑米．22．(1)，證明：∵將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∵是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴；(2)證明：∵將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴，∴，∵是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴平分．(3)【詳解】（1）略（2）略（3）連接，如圖，

由旋轉(zhuǎn)可得，，∴是等邊三角形，∴由（1）知∴的周長(zhǎng)，∴當(dāng)最小時(shí)，的周長(zhǎng)最小，最小值，∴當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)的周長(zhǎng)最小，∵，等邊，∴，由勾股定理，得∴的周長(zhǎng)最小值．23．（1）；（2）四邊形BECD面積的最大值為，E（，）；（3）存在．N的坐標(biāo)為（，）或（，）或（，）．【詳解】（1），當(dāng)x=0時(shí)，y=2，當(dāng)y=0時(shí)，，解得：x=，所以B（，0），C（0，2），將A（，0），B（，0）代入y=ax2+bx+2，得，解得：，所以拋物線的解析式為；（2）∵AD//BC，∴設(shè)直線AD解析式為：．將A（，0）代入得：，解得：m=-，所以AD的解析式為，聯(lián)立，解得：，，∵A（，0），∴D（，）．設(shè)CD解析式為y=kx+2，將點(diǎn)D坐標(biāo)代入得：，解得：k=，所以CD的解析式為：，當(dāng)y=0時(shí)，即，解得：x=，則CD與x軸的交點(diǎn)為（，0）．所以S△BCD==，設(shè)E（x，），則SBECD==，當(dāng)x=時(shí)，四邊形BECD面積最大，其最大值為，此時(shí)E（，）．（3）