現代信號處理教程（第三版）課件 第11章 正交與雙正交小波構造、正交小波包

11.1正交小波概述11.2由遞推求解的方法。11.3消失矩、規則性及支撐范圍11.4Daubechies正交小波構造11.5接近于對稱的正交小波及Coiflet小波11.6雙正交濾波器組11.7雙正交小波11.8雙正交小波的構造11.9雙正交樣條小波11.10正交小波包第11章正交、雙正交小波構造及正交小波包11.1正交小波概述

1.Haar小波Haar小波在時域的正交性是明顯的正交、雙正交；時域有限支撐，頻域無限擴展2.Shannon小波Shannon小波的尺度函數，

中的正交基。如何求出Shannon小波？Shannon小波Haar和Shannon小波是正交小波中兩個極端的例子。

Shannon小波及其尺度函數的頻譜如圖所示，顯然，它們在頻域有著明顯的正交性。?3.Daubechies小波設計出更通用、時域和頻域都具有緊支撐的正交小波設計思路：對要設計的小波提出要求；將這些要求轉化為對濾波器的要求；設計出對應該小波的共軛濾波器組；由濾波器得到尺度函數和小波函數。關鍵是找到小波和濾波器之間的關系小波和濾波器之間的關系：二尺度差分方程時域關系CQMFB先討論如何由濾波器遞推求出尺度函數和小波函數；再討論如何對小波提出各種要求。二尺度差分方程頻域關系如何實現?目的:

11.2由遞推求解的方法近似因為未知，所以該式無法利用考慮頻率關系每兩點插入一個零每兩點插入個零依次類推點序列點序列點序列卷積的結果，序列的長度急劇增加。最后要壓縮到一個有限長的區間中。令

例當趨近于無窮時，逼近，

“逼近”連續函數

這時需要將連成一個階梯形的曲線，然后壓縮成一條連續曲線。壓縮辦法，見“wavefun.m”在中，由于不知道，所以無法遞推，因而采用的上述的遞推方法。假定取某一簡單的形式，可用另外的方法遞推出所需要的。令

的起始值由遞推求解的又一方法：假定的長度為為Haar函數，則：現研究一下支撐范圍:即的支撐范圍是0～N，也是緊支撐的。繼續遞推，有現舉例說明上述遞推過程。例令

其他求遞推過程：令

例令

例

但是，并不是上述的遞推都可以收斂到一個尺度函數，例如：為什么？11.3消失矩、規則性及支撐范圍

定義：1．消失矩(Vanishingmoments)

的階矩如果在處有階重零點，即由傅里葉變換的性質，有？則：顯然即是容許條件且則說該小波函數具有階消失矩。上述說法具有階消失矩。關于消失矩的解釋：令并假定小波變換恒為零

由有若可展成一高階的多項式(如用臺勞級數)，如 階，。那么其中階次小于的多項式部分(對應低頻)在小波變換中的貢獻恒為零，反映在小波變換中,有的只是階次大于

的多項式部分，它們對應高頻端，這就有利于突出信號中的高頻成分及信號中的突變點。從這個角度講，我們希望能具有盡量高的消失矩。消失矩越高，在處越平滑地為零，越具有好的帶通性質。構造小波要考慮的因數之一若的值大部分為零,有利數據壓縮；去除噪聲；突出信號中的奇異點。取決于信號自身的特點；小波是否緊支撐；小波是否具有高的消失矩。因為有關于例

以上關系為我們設計具有高階消失矩的小波提供了一個切實可行的方法。下面的定理進一步明確了有關消失矩的幾個相關概念。

令保證了在處有

階重零點。所以，又保證了在處應有

階重零點。都具有階消失矩因此因為定理11.1(1)小波有階消失矩如果在處階連續可微，則下面三個說法是等效的：(2)和它的前階導數在處等于0(3)和它的前階導數在處等于0證明：兩邊微分，即有（3）和（2）等效所以（1）和（2）等效所以，如果在處有階重零點，則上述結論也適用于離散信號：

具有階消失矩

數學上用于描述函數局部特征；在信號處理中用于描述信號在某點，或某個區域內的平滑性和奇異性。規則性常用Lipschitz指數來度量。有關Lipschitz指數的定義及在信號檢測中的應用將在第13章討論。2．規則性(regularity)

粗略的說，函數在某一點，如的導數的階次越高，函數在該點越平滑，其Lipschitz指數也越高。在區間

上都有高階的導數，該函數在整個區間上是平滑的。用這樣的函數去分析信號，更有利于突出信號的變化。幾個特殊的情況(記李氏指數為）：若在處一次可微，但一階導數不連續（分段線性函數），則在拐點處的階躍函數在階躍點是連續的，但不可微，所以單位沖激函數在處，既不連續，更不可導，所以因此，若想構造出高規則性的尺度函數和小波函數，還要從濾波器入手。討論規則性的目的是構造出連續且具有高階導數的尺度函數和小波函數。由上例可知：由遞推求出的收斂，即平滑遞推求出的不收斂，不平滑Daubechies給出了正交小波的構造方法，還給出了保證具有高的消失矩和規則性的方法。假定：

階

階保證具有 階消失矩

函數，隨衰減，大衰減快可導出1.如果Daubechies證明了：可保證遞推出的

是收斂的2.再如果

不但是收斂的，且是次可微的是設計小波濾波器的基本結構。合適的選擇和可得到不同性能的濾波器及對應的小波函數。例所以，遞推出的收斂。例所以，遞推出的不收斂。

如果是有限支撐的，則尺度函數和小波函數均是有限支撐的。若的支撐范圍是則的支撐范圍也是，而的支撐范圍是：3.支撐范圍定理11.2證明見教材11.4Daubechies正交小波構造思路：由要求：：正交、緊支撐：高階消失矩

已給定：：好的規則性，即盡可能平滑對小波函數和尺度函數的要求轉化為對濾波器的要求：1.低通特性的要求

在要有零點，且零點的階次（）越高越好;2.

3.要保證規則性要求，越大越好若能確定，則 也就確定目標：如何求出具有最小階次且滿足上述 要求的多項式，并使得

滿足CQMFB:階次為:階次為Daubechies證明了：滿足要求的的最小階次為：這樣，的階次為；即有個系數。Daubechies算法的導出：

的偶函數，可表為的函數

也是的偶函數，故也可表為的函數因為所以則令則再令

由有任務：求Bezout方程Bezout方程

BezoutEtienne（貝祖）（1730－1783）

法國數學家Bezout定理指出:若，為階次，的多項式，且二者之間沒有共同的零點，那么，唯一地存在兩個階次分別為,的多項式,使得則令無共同零點由

是一奇對稱多項式，即的不同選擇可構造出不同類型的小波，在構造正交小波時，Daubechies選擇因為可求出：因此有：給定,右邊多項式可求。做譜分解，可將單位圓內的零點賦給,則 是最小相位的。這樣可以求出令，求db小波及尺度函數例由由求出：壓縮到的范圍內，得：由濾波器系數

由FB的關系，求出又可求出Haar小波令，求db小波及尺度函數

例求出：db小波在時及的波形

11.5接近于對稱的正交小波 及Coiflet小波

問題

db小波是緊支撐的正交小波，但它們不是對稱的,也即和不具有線性相位。

SymN小波和db小波構造的方法基本相同

使序列較為對稱的辦法是令為混合相位系統，即其零點有的在單位圓內，有的在單位圓外。

令，求db小波及尺度函數

例該多項式六個零點：db小波：sym4小波：

利用MATLAB的有關文件可給出N＝2～10時的濾波器的系數及相應的尺度函數、小波函數。關于coifN”小波的構造在“dbN”中，小波函數具有最大的消失矩()，但尺度函數的消失矩沒有考慮。Coifman感到這一類小波在數值分析中的應用中尚不能滿足要求，因此要求Daubechies構造一類使也具有和一樣消失矩的正交緊支撐小波。Daubechies構造了這樣的小波，并稱之為“coiflet小波”。特點：對應頻域等效Daubechies給出了時的求解方法

保證滿足功率互補關系coifN小波和dbN小波相比，支撐范圍變寬，但具有更好的對稱性。正交小波不足：

和都不是對稱的;symN,coifN接近對稱，但不是真正的對稱。

正交小波的優點：

尺度函數和小波函數都是緊支撐的，有著高的消失矩

和的不對稱來自于和的不對稱。因此，要設計出對稱的尺度函數和小波函數就要首先設計具有對稱的濾波器組。我們已在7.8節討論了具有線性相位的雙正交濾波器組的基本概念，給出了可準確重建的雙正交濾波器組的設計方法。

將上述內容引入到小波分析，即可給出適合小波變換的雙正交濾波器組準確重建的條件，同時也給出雙正交條件下的多分辨率分析及雙正交小波的構造方法。

雙正交濾波器組一對濾波器用于信號的分解，一對濾波器用于信號的重建（對偶濾波器）兩個濾波器的長度不再相同。11.6 雙正交濾波器組準確重建的充要條件:普通兩通道FBPR條件

雙正交FBPR條件區別翻轉來自不同的濾波器雙正交濾波器組中的正交關系：同一支路濾波器系數偶數移位正交上下支路，濾波器系數偶數移位交叉正交注意兩組正交的不同上下支路交叉正交:

正交于;正交于上下支路各自是正交的:

和其對偶正交;和其對偶正交11.7 雙正交小波

離散小波變換:

分解重建對偶關系正交小波：二者相等正交小波二尺度差分方程頻域關系在雙正交濾波器組的情況下，分解濾波器(

)和重建濾波器(

)將產生兩個尺度函數()和兩個小波函數()。其中和對應信號的分解，而和對應信號的重建。

引出如下關系雙正交小波：兩尺度差分方程頻域關系要求低通高通低通帶通滿足要求兩套函數分解重建雙正交時：不要求互相正交

但要求和其對偶正交

放寬正交性是使具有線性相位，從而使 更具有對稱性，從而減小了相位失真。雙正交情況下的多分辨率分析：

正交情況下：

雙正交情況下：不再要求！兩套空間互為對偶要求雙正交！正交性在頻譜上的反映雙正交小波變換的快速算法和正交小波變換的快速算法基本相同，區別是在重建時使用的是對偶濾波器。兩對濾波器的頻率特性尺度、小波函數和其對偶函數的頻率特性

分解出的概貌分解出的細節雙正交情況下的多分辨率分解：雙正交情況下的多分辨率重建：二插值在雙正交小波中，分解和重建對應兩套濾波器、尺度和小波函數，MATLAB中也是這樣給出的。例如[RF,DF]=BIORWAVF(W)returnstwoscalingfiltersassociatedwithbiorthogonalwaveletspecifiedbythestringW.W='biorNr.Nd'wherepossiblevaluesforNrandNdare:Nr=1Nd=1,3or5；Nr=2Nd=2,4,6or8Nr=3Nd=1,3,5,7or9；Nr=4Nd=4Nr=5Nd=5；Nr=6Nd=8RFisthereconstructionfilterDFisthedecompositionfilter[LO_D,HI_D,LO_R,HI_R]=BIORFILT(DF,RF)computesfourfiltersassociatedwithbiorthogonalwaveletspecifiedbydecompositionfilterDFandreconstructionfilterRF.LO_DDecompositionlow-passfilterHI_DDecompositionhigh-passfilterLO_RReconstructionlow-passfilterHI_RReconstructionhigh-passfilter[LO_D1,HI_D1,LO_R1,HI_R1,LO_D2,HI_D2,LO_R2,HI_R2]=BIORFILT(DF,RF,'8')returnseightfilters,thefirstfourassociatedwiththedecompositionwaveletandthelastfourassociatedwiththereconstructionwavelet.Forabiorthogonalwavelet:[PHI1,PSI1,PHI2,PSI2,XVAL]=WAVEFUN('wname',ITER)returnsthescalingandwaveletfunctionsbothfordecomposition(PHI1,PSI1)andforreconstruction(PHI2,PSI2).11.8雙正交小波的構造

雙正交小波構造關鍵是的構造：1.支撐范圍：在構造時，應盡量讓它們在處有高階的重零點，以保證2.消失矩：有階消失矩；技術要求：

有著相同的規則性；的規則性隨著在處零點數的增加而增加；的規則性也隨著在處零點數的增加而增加；如果在處有不同的零點數，則的規則性也不相同。

3.規則性：4.對稱性：要求：具有線性相位；結果：具有對稱性；

為對稱中心為對稱；以位移中心反對稱；

為對稱中心對稱方式為對稱；以位移中心為對稱；

及的構造線性相位要求濾波器系數是實的如果以為對稱中心，則濾波器的系數仍是實的，增加一個移位因子為保證、具有階消失矩，令類似正交小波構造現在的任務是尋找，使其滿足：Cohen，Daubechies雙正交小波的結構方法：

因為和都是的實系數多項式，所以可將它們分別寫成的函數：（A）

情況1：為對稱；當以為對稱中心，即

情況2：（B）將（A）、（B）二式分別代入：:對應(A)式:對應(B)式有：可表為的函數，即同理再令：得到：令：Bezout方程

解得：以對稱以對稱問題1:如何得到？問題2：如何和

聯系起來？在雙正交小波中，有多少函數需要構造注意下面的符號？11.9 雙正交樣條小波

樣條函數是分段光滑且在連結點處具有一定光滑性的一類函數，它在數值逼近方面有廣泛的應用。其中基數B樣條(CardinalB-Spline)函數具有最小的支撐范圍且又容易在計算機上實現，因此被認為是構造小波函數的最佳候選。令：次卷積

：不連續：連續，一階導數不連續：連續，一階導數也連續隨著的增大，越來越光滑用樣條函數構造雙正交小波的思路：有多少函數需要構造？注意下面的符號Step1

FT這樣，在雙正交小波中，一個尺度函數基本上不需求解，只需把相應階次的樣條函數作為該尺度函數即可。Step2令有（A）（A）Step3由求出再實現下面的分解：現在的問題：如何得到？綜合Step1,Step2,對應（A）式，有于是可以求出（B）同理，對應（B）式,有：

：僅和有關，和無關，取決于

：和，都有關，取決于和(A)(B)給定不同的和，即可求出：例令由必有選中（B）式。由注意：雙正交的情況下，分解濾波器和綜合濾波器的系數一般不等長。現：實際尺度為2；可取不同的值，因此有不同的長度令由必有已有由其他Haar函數是正交的，同時也是雙正交的MATLAB中記法令由必有已有再令必有已有可以求出：注意：和系數的長度不同，隨著的增大，二者的差距急劇變大。例令由必有選中（A）式由有由例令必有求出令必有求出令必有求出：分解和重建濾波器是對稱的，都具有線性相位；4、階是階（）樣條函數；可求出：5、按照頻域關系，有3、濾波器系數，在分母是2的整次冪；2、濾波器和其對偶濾波器的長度有較大的差別；雙正交小波及濾波器組的特點：用于分解的用于分解的用于分解的上述雙正交濾波器的改進：因為所以，的長度即是的長度。信號分解時：

兩個濾波器的長度有較大的差別，一方面影響濾波器的性能，另一方面也使輸出數據的長度有較大的差別，這是不希望的。如何解決長度差別太大的問題？長度差別太大的原因是由于分解：改變的方法是令：Daubechies的方法是：

的一階實根

的共軛復根在保證、系數始終為實數的情況下，考慮對和的分配。例按原來的方法，即令六階多項式比高六階現在它們各由兩部分組成令共同部分：長度等于5長度等于7長度等于9不同部分將零點“db9/7小波”長度接近相等！在已求出：的情況下，“db5/3小波”用于分解的

及用于重建的

例有兩種分解方法，其中之一是：用于分解的

及用于重建的

11.10 正交小波包

Mallat多分辨率分析：特點：只對低頻空間進行分解，對高頻空間不分解。空間中給出離散系數，它反映了信號的概貌，空間中給出離散系數，它反映了信號的細節，也即小波系數。顯然比有著好的時間分辨率，但差的頻率分辨率。若在二者之間取折中，則可將也作分解。

空間的逐級分解概念：

在上面的分解中，任取一組空間進行組合，如果這組空間：①能將空間

覆蓋；②相互之間不重合;則稱這一組空間中的正交歸一基的集合構造了一個小波包(waveletpacket)。都符合要求上述分解的實現：問題：1.在每一子空間，正交基是否存在？如何構造？2.如何選擇最佳小波包？為了探討小波包中正交基的存在及構造方法，再一次考察Mallat算法中正交基的行為：(1)

信號本身的性質；(2)

信號分解的目的；(3)“最佳”原則的選擇。一個最佳小波包的選擇取決于三個因素：二尺度差分方程CQMFB√?定理12.5

令是空間中的正交歸一基， 是一對共軛正交濾波器，令則是中的正交歸一基。該定理說明：這樣，在對和的向下逐級分解中，每一個子空間中都存在著按二尺度差分方程生成的正交基第級，有個子空間統一命名：對應低頻,正交基：對應高頻,正交基小波包中的基本關系子空間總數的一半關于空間和基向量名稱的說明：如此類推，可得到各個子空間的正交基(A)(B)(C)例Haar小波由（A）式：由（B）,(C)式：例令中的為db5對應的尺度函數，當時，求出中的正交基上面兩例可以表示為下面的樹狀結構：對小波包的節點，記令則作為多分辨率分析的輸入為在該結點(或子空間)處的小波包系數，下面的定理給出了小波包分解和重建算法：在小波包的分解中，在結點處的小波包系數由下式給出定理12.6在結點處的小波包系數由下式重建插入一個零后的新序列信號的小波包分解與重建信號是MATLAB中所給的信號noisdopp.mat，下圖是其小波包分解：

例關于最佳分解“樹”的選擇：一個最佳的小波包應使信號在其各個子空間中的投影(即)盡可能地大，這取決于信號能量隨頻率的分布。

在決定“最佳小波包”的過程中，需要一個“代價函數”，從而使在各種小波包選擇的可能中，選擇一種具有最小代價的小波包。去噪：選擇將信號和噪聲最大程度分離的空間；數據壓縮：選擇信號能量最大集中的空間。

求出信號在每一個子空間的“熵”，或“范數”，或指定“閾值”，并把它們作為代價函數來決定小波包的選擇。令為信號在某一子空間正交基上的投影。定義：waveletToolbox中有著豐富的有關小波包的命令：為的Shannon熵

為的范數為的對數能量熵MATLAB中有關小波包的文件：WaveletsPacketsAlgorithms.bestlevt-Bestleveltree(waveletpacket).besttree-Besttree(waveletpacket).entrupd-Entropyupdate(waveletpacket).wentropy-Entropy(waveletpacket).wp2wtree-Extractwavelettreefromwavelet packettree.wpcoef-Waveletpacketcoefficients.wpcutree-Cutwaveletpackettree.wpdec-Waveletpacketdecomposition1-D.wpdec2-Waveletpacketdecomposition2-D.wpfun-Waveletpacketfunctions.wpjoin-Recomposewaveletpacket.wprcoef-Reconstructwaveletpacketcoefficients.wprec-Waveletpacketreconstruction1-D.wprec2-Waveletpacketreconstruction2-D.wpsplt-Split(decompose)waveletpacket.function[wpt,ento,n2m]=bestlevt(wpt)%BESTLEVT：Bestlevelwaveletpackettree.%BESTLEVTcomputestheoptimalcompletesub-treeofan%initialtreewithrespecttoanentropytypecriterion.%Theresultingcompletetreemaybeofsmallerdepth%thantheinitialone.%T=BESTLEVT(T)computesthemodifiedtreeT%correspondingtothebestleveltreedecomposition.[T,E]=BESTLEVT(T)returnsbesttreeT%andinaddition,thebestentropyvalueE.%Theoptimalentropyofthenodewhoseindexisj-1isE(j).function[wpt,ento,n2m]=besttree(wpt)%BESTTREEBestwaveletpackettree.%BESTTREEcomputestheoptimalsub-treeofaninitialtree%withrespecttoanentropytypecriterion.%Theresultingtreemaybemuchsmallerthantheinitialone.%T=BESTTREE(T)computesthemodifiedtreeT%correspondingtothebestentropyvalue.%[T,E]=BESTTREE(T)returnsthebesttreeT%andinaddition,thebestentropyvalueE.%Theoptimalentropyofthenodewhoseindexisj-1functiont=entrupd(t,ent,in3)%ENTRUPDEntropyupdate(waveletpackettree).%T=ENTRUPD(T,ENT)or％T=ENTRUPD(T,ENT,PAR)%updatestheentropyofwaveletpackettreeT%usingtheentropyfunctionENTwithoptional%parameterPAR(seeWENTROPYformoreinformation).functionent=wentropy(x,t_ent,in3)%E=WENTROPY(X,T,P)returnstheentropyEoftheX.%Tisastringcontainingthetypeofentropy:%T='shannon','threshold','norm',%'logenergy'(or'logenergy'),'sure','user'.%PisanoptionalparameterdependingonthevalueofT:%IfT='shannon'or'logenergy',Pisnotused.%IfT='threshold'or'sure',Pisthethreshold，apositivenumber.%IfT='norm',Pisthepowerandmustbesuchthat1<=P.%IfT='user',PisastringcontainingtheM-filenameofyour％ ownentropyfunction,withasingleinputX.function[wpt,n2m]=wp2wtree(wpt)%WP2WTREEExtractwavelettreefromwaveletpackettree.%T=WP2WTREE(T)computesthemodifiedtreeT%correspondingtothewaveletdecompositiontree.functionx=wpcoef(wpt,node)%WPCOEFWaveletpacketcoefficients.%X=WPCOEF(T,N)returnsthecoefficientsassociated%withthenodeNofthewaveletpackettreeT.%IfNdoesn'texist,X=[];function[wpt,n2m]=wpcutree(wpt,level)%WPCUTREECutwaveletpackettree.%T=WPCUTREE(T,L)cutsthetreeTatlevelL.%Inaddition,[T,RN]=WPCUTREE(T,L)returnsthevectorRN%whichcontainstheindicesofthereconstructednodes.functionx=wprcoef(t,node)%WPRCOEFReconstructwaveletpacketcoefficients.%X=WPRCOEF(T,N)computesreconstructedcoefficients%ofthenodeNofthewaveletpackettreeT.functionvarargout=wpdec(x,depth,wname,type_ent,parameter)%WPDECWaveletpacketdecomposition1-D.%T=WPDEC(X,N,'wname',E,P)returnsawptreeobjectT%correspondingtoawaveletpacketdecompositionofthevect