2026年福建省湘教版高二數(shù)學(xué)選修第10章知識(shí)點(diǎn)鞏固習(xí)題

2026年福建省湘教版高二數(shù)學(xué)選修第10章知識(shí)點(diǎn)鞏固習(xí)題一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.在選修第10章《數(shù)列》中，已知數(shù)列{a_n}滿足a_1=1，a_n+1=2a_n+1，則該數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n的表達(dá)式為（）A．n^2-1B．2^n-nC．n^2D．2^n-1解析：由遞推關(guān)系a_n+1=2a_n+1，可得a_n+1+1=2(a_n+1)，即{a_n+1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故a_n+1=2^n，進(jìn)而a_n=2^n-1。前n項(xiàng)和S_n=1+3+5+…+(2^n-1)，利用等差數(shù)列求和公式可得S_n=n^2。正確答案為C。2.若數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=3^n-1，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式b_n為（）A．3^n-3^(n-1)B．3^(n-1)C．2?3^(n-1)D．3^n解析：當(dāng)n=1時(shí)，b_1=T_1=2；當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=T_n-T_(n-1)=(3^n-1)-(3^(n-1)-1)=2?3^(n-1)。故b_n=2?3^(n-1)對(duì)所有n成立。正確答案為C。3.在等比數(shù)列{c_n}中，若c_3?c_7=64，且公比q≠1，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式c_n為（）A．2^(n-1)B．4^nC．2?3^(n-1)D．2^(n+1)解析：由等比數(shù)列性質(zhì)c_3?c_7=c_1q^2?c_1q^6=c_1^2q^8=64，又q≠1，解得c_1=2，q=2。故c_n=2?2^(n-1)=2^n。正確答案為D。4.已知數(shù)列{d_n}滿足d_1=2，d_n+1=√(d_n+d_n+1)，則該數(shù)列的極限為（）A．1B．2C．√2D．0解析：設(shè)極限為L(zhǎng)，則d_n→L，d_n+1→L，代入遞推式得L=√(L+L)，解得L=2。正確答案為B。5.在等差數(shù)列{e_n}中，若e_5+e_10=20，e_6?e_9=36，則該數(shù)列的公差d為（）A．1B．2C．3D．4解析：由e_5+e_10=2e_7=20，得e_7=10；由e_6?e_9=(e_7-d)?(e_7+2d)=36，代入e_7=10解得d=2。正確答案為B。6.若數(shù)列{f_n}的前n項(xiàng)和S_n=2n^2+n，則f_10的值為（）A．40B．41C．42D．43解析：f_n=S_n-S_(n-1)=2n^2+n-[2(n-1)^2+(n-1)]=4n-1，f_10=4×10-1=39。注意n=1時(shí)f_1=S_1=3，故f_n=4n-1對(duì)所有n成立。正確答案為A。7.在等比數(shù)列{g_n}中，若g_4=16，g_6=64，則該數(shù)列的公比q為（）A．±2B．2C．4D．±4解析：由g_6/g_4=q^2=64/16=4，得q=±2。正確答案為A。8.已知數(shù)列{h_n}滿足h_n=2n+3/(n+1)，則該數(shù)列的極限為（）A．2B．3C．5D．6解析：h_n=2n+3/(n+1)=2(n+1)-2+3/(n+1)，當(dāng)n→∞時(shí)，2(n+1)-2→∞，3/(n+1)→0，故數(shù)列發(fā)散。正確答案為無(wú)解，但選項(xiàng)中無(wú)正確答案，需調(diào)整題目。9.在等差數(shù)列{i_n}中，若i_1+i_3+i_5=15，i_2+i_4+i_6=21，則該數(shù)列的公差d為（）A．1B．2C．3D．4解析：i_1+i_3+i_5=3i_3=15，得i_3=5；i_2+i_4+i_6=3(i_4)=21，得i_4=7，故d=i_4-i_3=2。正確答案為B。10.已知數(shù)列{j_n}的前n項(xiàng)和T_n=n(n+1)/2，則j_n的表達(dá)式為（）A．nB．n+1C．2nD．n(n+1)解析：當(dāng)n=1時(shí)，j_1=T_1=1；當(dāng)n≥2時(shí)，j_n=T_n-T_(n-1)=n(n+1)/2-(n-1)n/2=2n。故j_n=2n對(duì)所有n成立。正確答案為C。二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.若數(shù)列{a_n}滿足a_1=1，a_n+1=3a_n+2，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n=_________。參考答案：3^(n-1)-1解析：由遞推關(guān)系a_n+1+1=3(a_n+1)，得{a_n+1}是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，故a_n+1=2?3^(n-1)，即a_n=3^(n-1)-1。2.在等比數(shù)列{b_n}中，若b_2=6，b_4=54，則該數(shù)列的公比q=_________。參考答案：±3解析：由b_4/b_2=q^2=54/6=9，得q=±3。3.若數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n=2^n-1，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式c_n=_________。參考答案：2^(n-1)解析：當(dāng)n=1時(shí)，c_1=S_1=1；當(dāng)n≥2時(shí)，c_n=S_n-S_(n-1)=2^n-1-(2^(n-1)-1)=2^(n-1)。故c_n=2^(n-1)對(duì)所有n成立。4.在等差數(shù)列{d_n}中，若d_5=10，d_10=25，則該數(shù)列的公差d=_________。參考答案：3解析：由d_10-d_5=5d=25-10=15，得d=3。5.已知數(shù)列{e_n}滿足e_n=e_(n-1)+n，且e_1=1，則e_10=_________。參考答案：55解析：e_n=e_(n-1)+n=e_(n-2)+(n-1)+n=…=e_1+1+2+…+n=1+n(n+1)/2=n(n+1)/2。e_10=10×11/2=55。6.若數(shù)列{f_n}的前n項(xiàng)和T_n=n^2+n，則f_5的值為_________。參考答案：16解析：f_n=T_n-T_(n-1)=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n。f_5=2×5=10。注意n=1時(shí)f_1=T_1=2，故f_n=2n對(duì)所有n成立。7.在等比數(shù)列{g_n}中，若g_3=8，g_6=32，則該數(shù)列的公比q=_________。參考答案：2解析：由g_6/g_3=q^3=32/8=4，得q=2。8.已知數(shù)列{h_n}滿足h_n=1/(n+1)，則該數(shù)列的前10項(xiàng)和S_10=_________。參考答案：1-1/11=10/11解析：S_10=1/2+1/3+…+1/11=∑(1/k)fromk=2to11=1-1/11=10/11。9.在等差數(shù)列{i_n}中，若i_1+i_2+i_3=9，i_4+i_5+i_6=15，則該數(shù)列的公差d=_________。參考答案：2解析：i_1+i_2+i_3=3i_2=9，得i_2=3；i_4+i_5+i_6=3i_5=15，得i_5=5，故d=i_5-i_2=2。10.已知數(shù)列{j_n}的前n項(xiàng)和T_n=n(n+2)/2，則j_n的表達(dá)式為_________。參考答案：n+1解析：當(dāng)n=1時(shí)，j_1=T_1=3；當(dāng)n≥2時(shí)，j_n=T_n-T_(n-1)=n(n+2)/2-[(n-1)(n+1)/2]=n+1。故j_n=n+1對(duì)所有n成立。三、判斷題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.若數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=a_n+2，則該數(shù)列是等差數(shù)列。（）錯(cuò)誤解析：等差數(shù)列的定義是相鄰兩項(xiàng)之差為常數(shù)，即a_n+1-a_n=d，而題中a_n+1-a_n=2，故是等差數(shù)列，正確。2.在等比數(shù)列{b_n}中，若b_1=1，b_3=8，則該數(shù)列的公比q=2。（）正確解析：由b_3=b_1q^2=8，得q^2=8，q=±√8=±2√2，但題目未限制q為有理數(shù)，故q=2√2時(shí)正確。3.若數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n=n^2，則該數(shù)列是等差數(shù)列。（）正確解析：當(dāng)n=1時(shí)，c_1=S_1=1；當(dāng)n≥2時(shí)，c_n=S_n-S_(n-1)=n^2-(n-1)^2=2n-1，故c_n=2n-1，是等差數(shù)列。4.在等差數(shù)列{d_n}中，若d_1+d_2+d_3=12，則3d_2=12。（）正確解析：d_1+d_2+d_3=3d_2=12，故3d_2=12。5.已知數(shù)列{e_n}滿足e_n=e_(n-1)+1，且e_1=1，則該數(shù)列是等差數(shù)列。（）正確解析：e_n-e_(n-1)=1，故是公差為1的等差數(shù)列。6.在等比數(shù)列{f_n}中，若f_2=6，f_4=54，則f_3=±18√2。（）錯(cuò)誤解析：由f_4/f_2=q^2=54/6=9，得q=±3，故f_3=f_2q=6×(±3)=±18，不是±18√2。7.若數(shù)列{g_n}的前n項(xiàng)和T_n=2^n-1，則該數(shù)列是等比數(shù)列。（）正確解析：當(dāng)n=1時(shí)，g_1=T_1=1；當(dāng)n≥2時(shí)，g_n=T_n-T_(n-1)=2^n-1-(2^(n-1)-1)=2^(n-1)，故g_n=2^(n-1)，是等比數(shù)列。8.在等差數(shù)列{i_n}中，若i_5=10，i_10=25，則i_7=17.5。（）錯(cuò)誤解析：由i_10-i_5=5d=25-10=15，得d=3，故i_7=i_5+2d=10+6=16。9.已知數(shù)列{j_n}滿足j_n=j_(n-1)+n，且j_1=1，則該數(shù)列是等差數(shù)列。（）錯(cuò)誤解析：j_n-j_(n-1)=n，故不是等差數(shù)列（相鄰項(xiàng)之差不為常數(shù)）。10.在等比數(shù)列{a_n}中，若a_1+a_2+a_3=14，且公比q≠1，則a_1=2，a_2=6，a_3=6。（）錯(cuò)誤解析：a_1+a_2+a_3=a_1+aq+a_1q^2=14，若a_1=2，則2+2q+2q^2=14，2q^2+2q-12=0，q^2+q-6=0，解得q=2或q=-3。若q=2，a_2=4，a_3=8；若q=-3，a_2=-6，a_3=18。四、簡(jiǎn)答題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）1.已知數(shù)列{a_n}滿足a_1=1，a_n+1=3a_n+2，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n。解：由遞推關(guān)系a_n+1+1=3(a_n+1)，得{a_n+1}是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，故a_n+1=2?3^(n-1)，即a_n=3^(n-1)-1。2.在等比數(shù)列{b_n}中，若b_2=6，b_4=54，求該數(shù)列的公比q。解：由b_4/b_2=q^2=54/6=9，得q=±3。3.若數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n=2n^2+n，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式c_n。解：當(dāng)n=1時(shí)，c_1=S_1=3；當(dāng)n≥2時(shí)，c_n=S_n-S_(n-1)=2n^2+n-[2(n-1)^2+(n-1)]=4n-1，故c_n=4n-1對(duì)所有n成立。4.在等差數(shù)列{i_n}中，若i_1+i_3+i_5=15，求該數(shù)列的公差d。解：i_1+i_3+i_5=3i_3=15，得i_3=5；又i_4=i_3+d=5+d，i_2=i_1+d，i_2+i_4+i_6=3i_4=21，得3(5+d)=21，解得d=2。5.已知數(shù)列{j_n}滿足j_n=j_(n-1)+n，且j_1=1，求該數(shù)列的前10項(xiàng)和S_10。解：j_n=j_(n-1)+n=…=j_1+1+2+…+n=1+n(n+1)/2=n(n+1)/2，S_10=1+2+…+10=10×11/2=55。6.在等比數(shù)列{a_n}中，若a_3=8，a_6=32，求該數(shù)列的公比q。解：由a_6/a_3=q^3=32/8=4，得q=?4=√2。7.若數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=n(n+2)/2，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式b_n。解：當(dāng)n=1時(shí)，b_1=T_1=3；當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=T_n-T_(n-1)=n(n+2)/2-[（n-1）(n+1)/2]=n+1，故b_n=n+1對(duì)所有n成立。8.在等差數(shù)列{c_n}中，若c_5=10，c_10=25，求該數(shù)列的前15項(xiàng)和S_15。解：由c_10-c_5=5d=25-10=15，得d=3，故c_1=c_5-4d=10-12=-2，S_15=15×(-2)+15×14/2=105。五、應(yīng)用題（本大題共8小題，每小題4分，共24分）1.在等比數(shù)列{a_n}中，若a_1=2，a_4=16，求數(shù)列的前10項(xiàng)和S_10。解：由a_4=a_1q^3=16，得q^3=8，q=2，S_10=2(2^10-1)/(2-1)=2046。2.若數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=n^2+n，求數(shù)列的第10項(xiàng)b_10。解：當(dāng)n=1時(shí)，b_1=T_1=2；當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=T_n-T_(n-1)=2n，b_10=2×10=20。3.在等差數(shù)列{i_n}中，若i_1=3，i_5=9，求數(shù)列的前20項(xiàng)和S_20。解：由i_5-i_1=4d=9-3=6，得d=3/2，S_20=20×3+(20×19/2)×(3/2)=630。4.已知數(shù)列{j_n}滿足j_n=j_(n-1)+n，且j_1=1，求數(shù)列的第10項(xiàng)j_10。解：j_n=j_(n-1)+n=…=j_1+1+2+…+n=1+n(n+1)/2=n(n+1)/2，j_10=10×11/2=55。5.在等比數(shù)列{a_n}中，若a_2=6，a_4=54，求數(shù)列的第6項(xiàng)a_6。解：由a_4/a_2=q^2=54/6=9，得q=3，a_6=a_2q^4=6×81=486。6.若數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=2^n-1，求數(shù)列的第5項(xiàng)b_5。解：當(dāng)n=1時(shí)，b_1=T_1=1；當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=T_n-T_(n-1)=2^n-1-(2^(n-1)-1)=2^(n-1)，b_5=2^4=16。7.在等差數(shù)列{i_n}中，若i_3=7，i_7=15，求數(shù)列的第10項(xiàng)i_10。解：由i_7-i_3=4d=15-7=8，得d=2，i_10=i_7+3d=15+6=21。8.已知數(shù)列{j_n}滿足j_n=j_(n-1)+2n，且j_1=1，求數(shù)列的前10項(xiàng)和S_10。解：j_n=j_(n-1)+2n=…=j_1+2(1+2+…+n)=1+n(n+1)，S_10=1+2+…+10+(1+2+…+10)=55+55=110。【標(biāo)準(zhǔn)答案及解析】一、單項(xiàng)選擇題1.C2.C3.D4.B5.B6.A7.A8.B9.B10.C二、填空題1.3^(n-1)-12.±33.2^(n-1)4.35.556.167.28.10/119.210.n+1三、判斷題1.×2.√3.√4.√5.√6.×7.√8.×9.×10.×四、簡(jiǎn)答題1.a_n=3^(n-1)-1解：由a_n+1+1=3(a_n+1)，得{a_n+1}是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，故a_n+1=2?3^(n-1)，即a_n=3^(n-1)-1。2.q=±3解：由b_4/b_2=q^2=54/6=9，得q=±3。3.c_n=4n-1解：當(dāng)n=1時(shí)，c_1=S_1=3；當(dāng)n≥2時(shí)，c_n=S_n-S_(n-1)=2n^2+n-[2(n-1)^2+(n-1)]=4n-1，故c_n=4n-1對(duì)所有n成立。4.d=2解：i_1+i_3+i_5=3i_3=15，得i_3=5；又i_4=i_3+d=5+d，i_2=i_1+d，i_2+i_4+i_6=3i_4=21，得3(5+d)=21，解得d=2。5.S_10=55解：j_n=j_(n-1)+n=…=j_1+1+2+…+n=1+n(n+1)/2=n(n+1)/2，S_10=1+2+…+10=10×11/2=55。6.q=√2解：由a_6/a_3=q^3=32/8=4，得q=?4=√2。7.b_n=n+1解：當(dāng)n=1時(shí)，b_1=T_1=3；當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=T_n-T_(n-1)=n(n+2)/2-[（n-1