2026年天津市北師大版高中數學選修第10章知識點鞏固習題

2026年天津市北師大版高中數學選修第10章知識點鞏固習題一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.在選修第10章《極坐標與參數方程》中，極坐標方程ρ=4sinθ表示的曲線是（）A.以原點為圓心，半徑為4的圓B.以（2，π/2）為圓心，半徑為2的圓C.以（4，π/2）為圓心，半徑為2的圓D.以原點為圓心，半徑為2的圓解析：將ρ=4sinθ兩邊同乘ρ，得到ρ2=4ρsinθ，即x2+y2=4y。整理為x2+(y-2)2=4，表示以（0，2）為圓心，半徑為2的圓。選項B正確。2.參數方程x=t2-2t，y=t+1（t為參數）表示的曲線是（）A.拋物線B.直線C.圓D.雙曲線解析：消去參數t，由y=t+1得t=y-1，代入x=t2-2t，得到x=(y-1)2-2(y-1)=(y-2)2-1。整理為x=y2-4y+3，是拋物線方程。選項A正確。3.極坐標方程ρcos(θ-π/3)=1表示的曲線是（）A.直線B.圓C.拋物線D.雙曲線解析：利用三角恒等式cos(θ-π/3)=cosθcos(π/3)+sinθsin(π/3)=√3/2cosθ+1/2sinθ，方程變為ρ(√3/2cosθ+1/2sinθ)=1，即√3ρcosθ+ρsinθ=2。轉換為直角坐標方程為√3x+y=2，是直線方程。選項A正確。4.參數方程x=2cosθ，y=3sinθ（θ為參數）表示的曲線是（）A.拋物線B.橢圓C.雙曲線D.直線解析：消去參數θ，由x=2cosθ得cosθ=x/2，由y=3sinθ得sinθ=y/3。平方相加得cos2θ+sin2θ=1，即(x/2)2+(y/3)2=1。整理為x2/4+y2/9=1，是橢圓方程。選項B正確。5.極坐標方程ρ=2cosθ+4sinθ表示的曲線是（）A.圓B.拋物線C.雙曲線D.直線解析：兩邊平方得到ρ2=2ρcosθ+4ρsinθ，轉換為直角坐標方程為x2+y2=2x+4y。整理為(x-1)2+(y-2)2=5，是圓方程。選項A正確。6.參數方程x=t2，y=2t（t為參數）表示的曲線是（）A.拋物線B.直線C.圓D.雙曲線解析：消去參數t，由y=2t得t=y/2，代入x=t2，得到x=(y/2)2=y2/4。整理為y2=4x，是拋物線方程。選項A正確。7.極坐標方程ρ=2θ（θ為參數）表示的曲線是（）A.直線B.圓C.拋物線D.等速螺線解析：這是等速螺線的標準參數方程，ρ隨θ線性增加。選項D正確。8.參數方程x=cos2θ，y=sin2θ（θ為參數）表示的曲線是（）A.拋物線B.直線C.圓D.橢圓解析：利用三角恒等式cos2θ=1-sin2θ，得到x=1-y。整理為x+y=1，是直線方程。選項B正確。9.極坐標方程ρ2=4cos2θ表示的曲線是（）A.雙曲線B.橢圓C.拋物線D.直線解析：利用三角恒等式cos2θ=cos2θ-sin2θ=2cos2θ-1=1-2sin2θ，方程變為ρ2=4(2cos2θ-1)=8cos2θ-4。轉換為直角坐標方程為x2+y2=8x2/4-4，即x2+y2=2x2-4。整理為x2-y2=4，是雙曲線方程。選項A正確。10.參數方程x=2cosθ+1，y=2sinθ-3（θ為參數）表示的曲線是（）A.圓B.拋物線C.雙曲線D.直線解析：消去參數θ，由x=2cosθ+1得cosθ=(x-1)/2，由y=2sinθ-3得sinθ=(y+3)/2。平方相加得cos2θ+sin2θ=1，即((x-1)/2)2+((y+3)/2)2=1。整理為(x-1)2+(y+3)2=4，是圓方程。選項A正確。二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.極坐標方程ρ=3cos(θ-π/4)表示的曲線的直角坐標方程是__________。參考答案：(x-√2/2)2+(y-√2/2)2=9/2解析：cos(θ-π/4)=cosθcos(π/4)+sinθsin(π/4)=√2/2(cosθ+sinθ)，方程變為ρ(√2/2cosθ+√2/2sinθ)=3，即√2ρ(cosθ+sinθ)=6。轉換為直角坐標方程為√2(x+y)=6，整理為(x-√2/2)2+(y-√2/2)2=9/2。2.參數方程x=t2-1，y=2t+1（t為參數）表示的曲線的普通方程是__________。參考答案：y2=8x+8解析：消去參數t，由y=2t+1得t=(y-1)/2，代入x=t2-1，得到x=((y-1)/2)2-1=(y2-2y+1)/4-1=(y2-2y-3)/4。整理為y2=8x+8。3.極坐標方程ρ=2/(1-2cosθ)表示的曲線是__________。參考答案：拋物線解析：這是圓錐曲線的極坐標標準方程，其中e=2>1，表示拋物線。4.參數方程x=3cosθ，y=4sinθ（θ為參數）表示的曲線的焦點坐標是__________。參考答案：(±√7,0)解析：這是橢圓方程x2/9+y2/16=1，a=4，b=3，c=√(16-9)=√7，焦點在x軸上，坐標為(±√7,0)。5.極坐標方程ρ=4sin2θ表示的曲線的直角坐標方程是__________。參考答案：x2=4y解析：利用三角恒等式sin2θ=2sinθcosθ，方程變為ρ=4sinθcosθ，轉換為直角坐標方程為x2=4y。6.參數方程x=2cosθ+3，y=2sinθ-1（θ為參數）表示的曲線的圓心坐標是__________。參考答案：(3,-1)解析：這是圓的參數方程，圓心坐標為(3cos(π/2),-1+3sin(π/2))=(3,-1)。7.極坐標方程ρ=1+cosθ表示的曲線的直角坐標方程是__________。參考答案：(x+1/2)2+y2=1/4解析：兩邊平方得到ρ2=ρ+ρcosθ，轉換為直角坐標方程為x2+y2=x+y。整理為(x+1/2)2+(y+1/2)2=1/2，即(x+1/2)2+y2=1/4。8.參數方程x=t+1/t，y=t-1/t（t為參數）表示的曲線的普通方程是__________。參考答案：x2-y2=4解析：平方相減得x2-y2=(t+1/t)2-(t-1/t)2=4。9.極坐標方程ρ=2cosθ+3sinθ表示的曲線的圓心極坐標是__________。參考答案：(√13,π/2)解析：轉換為直角坐標方程為x2+y2=2x+3y。整理為(x-1)2+(y-3/2)2=13/4，圓心坐標為(1,3/2)，轉換為極坐標為(√(12+(3/2)2),arctan(3/2))=(√13,π/2)。10.參數方程x=2cosθ，y=3sinθ+1（θ為參數）表示的曲線的普通方程是__________。參考答案：x2/4+(y-1)2/9=1解析：消去參數θ，由y=3sinθ+1得sinθ=(y-1)/3，代入x=2cosθ，得到cos2θ=(x/2)2，sin2θ=1-cos2θ=(y-1)2/9。平方相加得1，即(x/2)2+(y-1)2/9=1。三、判斷題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.極坐標方程ρ=2cosθ表示的曲線是以（1，π/2）為圓心的圓。（×）解析：ρ=2cosθ轉換為直角坐標方程為x2+y2=2x，即(x-1)2+y2=1，是以（1，0）為圓心，半徑為1的圓。2.參數方程x=t2，y=2t（t為參數）表示的曲線是直線。（×）解析：消去參數t，得到y2=4x，是拋物線。3.極坐標方程ρ=4sinθ表示的曲線是橢圓。（×）解析：ρ=4sinθ轉換為直角坐標方程為x2+y2=4y，即x2+(y-2)2=4，是圓。4.參數方程x=cosθ，y=sinθ（θ為參數）表示的曲線是單位圓。（√）解析：消去參數θ，得到x2+y2=1，是單位圓。5.極坐標方程ρ=1+2cosθ表示的曲線是拋物線。（×）解析：ρ=1+2cosθ轉換為直角坐標方程為x2+y2=2x+1，即(x-1)2+y2=2，是圓。6.參數方程x=2cosθ+1，y=2sinθ（θ為參數）表示的曲線是橢圓。（√）解析：消去參數θ，得到(x-1)2+y2=1，是橢圓。7.極坐標方程ρ=2θ表示的曲線是直線。（×）解析：這是等速螺線的參數方程。8.參數方程x=t，y=t2（t為參數）表示的曲線是拋物線。（√）解析：消去參數t，得到y=x2，是拋物線。9.極坐標方程ρ=3cos(θ-π/3)表示的曲線是圓。（√）解析：轉換為直角坐標方程為(x-3√3/2)2+(y-3/2)2=9/4，是圓。10.參數方程x=2cosθ，y=3sinθ+2（θ為參數）表示的曲線是橢圓。（√）解析：消去參數θ，得到(x/2)2+(y-2)2/9=1，是橢圓。四、簡答題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）1.求極坐標方程ρ=4cosθ的圓心坐標和半徑。解析：轉換為直角坐標方程為x2+y2=4x，即(x-2)2+y2=4。圓心坐標為（2，0），半徑為2。2.求參數方程x=2cosθ，y=3sinθ（θ為參數）的普通方程。解析：消去參數θ，由x=2cosθ得cosθ=x/2，由y=3sinθ得sinθ=y/3。平方相加得cos2θ+sin2θ=1，即(x/2)2+(y/3)2=1。整理為x2/4+y2/9=1。3.求極坐標方程ρ=2/(1-2cosθ)的焦點坐標。解析：這是拋物線的極坐標方程，焦點在極軸上，焦點坐標為（1/e，π），其中e=2，所以焦點坐標為（1/2，π）。4.求參數方程x=t2-1，y=2t+1（t為參數）的焦點坐標。解析：消去參數t，得到y2=8x+8，是拋物線。焦點坐標為（2，0）。5.求極坐標方程ρ=3cos(θ-π/4)的圓心極坐標。解析：轉換為直角坐標方程為(x-√2/2)2+(y-√2/2)2=9/2。圓心極坐標為(3√2/2,π/4)。6.求參數方程x=3cosθ，y=4sinθ+1（θ為參數）的圓心坐標。解析：消去參數θ，得到(x/3)2+(y-1)2/16=1，是橢圓。圓心坐標為（0，1）。7.求極坐標方程ρ=1+cosθ的圓心坐標。解析：轉換為直角坐標方程為(x+1/2)2+y2=1/4。圓心坐標為（-1/2，0）。8.求參數方程x=2cosθ+1，y=2sinθ-1（θ為參數）的普通方程。解析：消去參數θ，由x=2cosθ+1得cosθ=(x-1)/2，由y=2sinθ-1得sinθ=(y+1)/2。平方相加得cos2θ+sin2θ=1，即((x-1)/2)2+((y+1)/2)2=1。整理為(x-1)2+(y+1)2=4。五、應用題（本大題共8小題，每小題4分，共24分）1.已知點A的極坐標為（5，π/3），點B的極坐標為（4，π/6），求AB的距離。解析：轉換為直角坐標，A（5cos(π/3)，5sin(π/3)）=(2.5，5√3/2)，B（4cos(π/6)，4sin(π/6)）=(2√3，2）。AB距離為√((2.5-2√3)2+(5√3/2-2)2)≈3.61。2.求曲線ρ=2cosθ與ρ=4sinθ的交點坐標。解析：方程組為ρ=2cosθ，ρ=4sinθ，即2cosθ=4sinθ，tanθ=1/2，θ=π/4。代入ρ=2cosθ得ρ=√2。交點極坐標為（√2，π/4）。3.求曲線x=2cosθ，y=3sinθ（θ為參數）與直線x+y=5的交點坐標。解析：代入x=2cosθ，y=3sinθ到x+y=5，得到2cosθ+3sinθ=5。平方相加得13cos2θ+12sinθcosθ=25。解得θ≈0.79，代入得交點（1.94，3.06）。4.求曲線ρ=1+2cosθ的面積。解析：這是心形線，面積公式為A=1/2∫?2πρ2dθ=1/2∫?2π(1+2cosθ)2dθ=1/2∫?2π(1+4cosθ+4cos2θ)dθ≈6.28。5.求曲線x=2cosθ，y=3sinθ（θ為參數）的周長。解析：這是橢圓，周長公式為C≈2π√(a2+b2/2)=2π√(4+9/2)≈15.08。6.求曲線ρ=2/(1-2cosθ)的焦點到準線的距離。解析：這是拋物線，p=1/e=1/2，焦點到準線距離為2p=1。7.求曲線ρ=3cos(θ-π/3)的面積。解析：轉換為直角坐標方程為(x-3√3/2)2+(y-3/2)2=9/4，是圓。面積公式為A=πr2=π(3/2)2=9π/4。8.求曲線x=2cosθ+1，y=2sinθ-1（θ為參數）的面積。解析：這是橢圓，面積公式為A=πab=π