2026年重慶市人教版高中數學選修2-3立體幾何綜合測試卷

2026年重慶市人教版高中數學選修2-3立體幾何綜合測試卷一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.在空間直角坐標系中，點A（1，2，3）到平面α：x-2y+3z=6的距離為（）A.1B.√14C.√22D.√26解析：點A到平面α的距離公式為d=|Ax?+By?+Cz?+D|/√(A2+B2+C2)，代入A（1，2，3）和α：x-2y+3z=6得d=|1×1-2×2+3×3+6|/√(12+(-2)2+32)=√22，故選C。2.已知直線l：x=1與平面α：x+y+z=1相交，則直線l在平面α上的投影方程為（）A.x=1，y+z=0B.x=1，y-z=0C.x=0，y+z=1D.x=0，y-z=1解析：直線l與平面α的法向量（1，1，1）垂直，投影方向為（0，1，-1），投影平面方程為x=1，法向量為（1，1，1）×（0，1，-1）=（2，1，1），即y+z=0，故選A。3.若三棱錐P-ABC的頂點P在底面ABC上的射影為△ABC的重心，且PA=PB=PC=1，則三棱錐P-ABC的體積為（）A.√6/12B.√3/12C.1/4D.1/6解析：設底面ABC面積為S，重心到頂點的距離為2/3×高，由射影定理PA2=PG?PE得PG=1/3，PE=2/3，體積V=1/3×S×PG=1/3×√3/4×1×1/3=√3/12，故選B。4.已知正四棱錐S-ABCD的底面邊長為2，側棱長為√3，則側面與底面所成二面角的余弦值為（）A.1/√3B.√2/2C.1/2D.√3/2解析：底面中心O到頂點A的距離為√2，SO=√(SA2-AO2)=√(3-2)=1，側面三角形SAB中cos∠SAB=(AB2+SA2-SB2)/(2×AB×SA)=1/√3，故選A。5.在正方體ABCD-A?B?C?D?中，E為棱CC?的中點，F為棱BB?的中點，則直線AE與平面B?C?CD所成角的正切值為（）A.1/2B.√2/2C.1D.√2解析：建立空間直角坐標系，A（1，1，1），E（0，1，1），B?（1，0，1），D（1，1，0），平面B?C?CD的法向量為（0，1，-1），向量AE=（-1，0，0），cosθ=|AE?n|/|AE||n|=1/√2，tanθ=1/√2，故選B。6.已知球O的半徑為R，點P在球面上，OP與球面上過P的某大圓所在平面的距離為R/2，則OP與大圓所在平面的夾角為（）A.30°B.45°C.60°D.90°解析：設大圓平面為α，OP與α的交點為Q，OP=2R/√3，cos∠POQ=R/(2R/√3)=√3/2，∠POQ=30°，故選A。7.若四棱錐P-ABCD的底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，則二面角A-PBC的余弦值為（）A.1/√3B.√2/2C.1/2D.√3/2解析：BC=√5，PC=√6，向量BC=（-1，0，0），向量PC=（-1，√5，2），cos∠BCP=|BC?PC|/|BC||PC|=√5/√30=1/√6，cos∠BCP=√5/√30=1/√6，故選A。8.已知正三棱錐S-ABC的底面邊長為2，側棱長為3，則側面與底面所成二面角的正弦值為（）A.2/3B.√3/3C.1/2D.√2/2解析：底面中心O到頂點A的距離為√3，SO=√(SA2-AO2)=√(9-3)=√6，側面三角形SAB中sin∠SAB=(AB2+SA2-SB2)/(2×AB×SA)=2√3/3×√3/3=2/3，故選A。9.在三棱柱ABC-A?B?C?中，底面ABC為等邊三角形，側棱AA?⊥底面ABC，AA?=2，則二面角A-BB?-C的余弦值為（）A.1/2B.√3/2C.1/√3D.√2/2解析：設AB=1，平面ABB?A?的法向量為（0，√3/2，1），平面BCC?B?的法向量為（√3/2，0，1），cosθ=|n??n?|/|n?||n?|=√3/2，故選B。10.已知正四棱臺的上底面邊長為1，下底面邊長為2，高為1，則側面與底面所成二面角的正切值為（）A.1B.√2C.2D.√3解析：側面斜高為√(12+(1/2)2)=√5/2，底面邊長差為1，tanθ=1/1=1，故選A。二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.在正方體ABCD-A?B?C?D?中，點E為棱CC?的中點，點F為棱BB?的中點，則直線AE與直線CF所成角的余弦值為______。解析：向量AE=（-1，0，0），向量CF=（-1，-1，1），cosθ=|AE?CF|/|AE||CF|=1/√3，故填√3/3。2.已知三棱錐P-ABC的頂點P在底面ABC上的射影為△ABC的重心，且PA=PB=PC=1，則三棱錐P-ABC的表面積為______。解析：底面ABC為等邊三角形，邊長為√6/√3=√2，表面積S=√3/4×(√2)2+3×1×√2=√3+3√2，故填√3+3√2。3.在正四棱錐S-ABCD中，底面邊長為2，側棱長為√3，則側面與底面所成二面角的正弦值為______。解析：底面中心O到頂點A的距離為√2，SO=√(SA2-AO2)=√(3-2)=1，側面三角形SAB中sin∠SAB=(AB2+SA2-SB2)/(2×AB×SA)=2√3/3×√3/3=2/3，故填2/3。4.已知正三棱錐S-ABC的底面邊長為2，側棱長為3，則側面與底面所成二面角的余弦值為______。解析：底面中心O到頂點A的距離為√3，SO=√(SA2-AO2)=√(9-3)=√6，側面三角形SAB中cos∠SAB=(AB2+SA2-SB2)/(2×AB×SA)=2√3/3×√3/3=1/√3，故填1/√3。5.在三棱柱ABC-A?B?C?中，底面ABC為等邊三角形，側棱AA?⊥底面ABC，AA?=2，則二面角A-BB?-C的余弦值為______。解析：設AB=1，平面ABB?A?的法向量為（0，√3/2，1），平面BCC?B?的法向量為（√3/2，0，1），cosθ=|n??n?|/|n?||n?|=√3/2，故填√3/2。6.已知正四棱臺的上底面邊長為1，下底面邊長為2，高為1，則側面與底面所成二面角的正切值為______。解析：側面斜高為√(12+(1/2)2)=√5/2，底面邊長差為1，tanθ=1/1=1，故填1。7.在正方體ABCD-A?B?C?D?中，點E為棱CC?的中點，點F為棱BB?的中點，則直線AE與平面B?C?CD所成角的正弦值為______。解析：向量AE=（-1，0，0），平面B?C?CD的法向量為（0，1，-1），sinθ=|AE?n|/|AE||n|=1/√2，故填√2/2。8.已知球O的半徑為R，點P在球面上，OP與球面上過P的某大圓所在平面的距離為R/2，則OP與大圓所在平面的夾角為______。解析：設大圓平面為α，OP與α的交點為Q，OP=2R/√3，cos∠POQ=R/(2R/√3)=√3/2，∠POQ=30°，故填30°。9.若四棱錐P-ABCD的底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，則二面角A-PBC的余弦值為______。解析：BC=√5，PC=√6，向量BC=（-1，0，0），向量PC=（-1，√5，2），cos∠BCP=|BC?PC|/|BC||PC|=√5/√30=1/√6，故填1/√6。10.在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=1，且△ABC為邊長為√2的正方形，則三棱錐P-ABC的體積為______。解析：底面ABC面積為1，P到平面ABC的距離為√6/3，體積V=1/3×1×√6/3=√6/9，故填√6/9。三、判斷題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.在正方體ABCD-A?B?C?D?中，對角線AC與對角線B?D?所成的角為60°。（）解析：AC與B?D?所成角為∠ACB?，cos∠ACB?=|AC?B?D?|/|AC||B?D?|=1/√3≈0.577，∠ACB?≈35.26°，故錯誤。2.若三棱錐P-ABC的頂點P在底面ABC上的射影為△ABC的重心，則PA=PB=PC。（）解析：重心到頂點的距離不等，故錯誤。3.在正四棱錐S-ABCD中，側面與底面所成二面角的平面角一定是直角。（）解析：只有當正四棱錐為正方體時才成立，故錯誤。4.若四棱錐P-ABCD的底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，則二面角A-PBC一定是直角。（）解析：只有當BC⊥PC時才成立，故錯誤。5.在正三棱錐S-ABC中，側面與底面所成二面角的平面角一定是60°。（）解析：只有當正三棱錐為正四面體時才成立，故錯誤。6.若正四棱臺上底面邊長為1，下底面邊長為2，高為1，則側面與底面所成二面角的正切值一定是2。（）解析：tanθ=1/1=1，故錯誤。7.在正方體ABCD-A?B?C?D?中，點E為棱CC?的中點，點F為棱BB?的中點，則直線AE與直線CF所成角一定是60°。（）解析：cosθ=1/√3≈0.577，∠ACF≈35.26°，故錯誤。8.若球O的半徑為R，點P在球面上，OP與球面上過P的某大圓所在平面的距離為R/2，則OP與大圓所在平面的夾角一定是30°。（）解析：cosθ=R/(2R/√3)=√3/2，∠POQ=30°，故正確。9.在三棱柱ABC-A?B?C?中，底面ABC為等邊三角形，側棱AA?⊥底面ABC，則二面角A-BB?-C一定是60°。（）解析：cosθ=√3/2，∠A-BB?-C=30°，故錯誤。10.若三棱錐P-ABC的頂點P在底面ABC上的射影為△ABC的重心，且PA=PB=PC=1，則三棱錐P-ABC的體積為√3/12。（）解析：體積V=√6/9，故錯誤。四、簡答題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）1.已知正方體ABCD-A?B?C?D?中，點E為棱CC?的中點，求直線AE與平面ABB?A?所成角的正弦值。解析：建立空間直角坐標系，A（1，1，1），E（0，1，1），平面ABB?A?的法向量為（0，1，0），向量AE=（-1，0，0），sinθ=|AE?n|/|AE||n|=1/√2，故填√2/2。2.在正三棱錐S-ABC中，底面邊長為2，側棱長為3，求側面與底面所成二面角的正切值。解析：底面中心O到頂點A的距離為√3，SO=√(SA2-AO2)=√(9-3)=√6，側面三角形SAB中tan∠SAB=(AB2+SA2-SB2)/(2×AB×SA)=2√3/3×√3/3=2/3，故填2/3。3.在三棱柱ABC-A?B?C?中，底面ABC為等邊三角形，側棱AA?⊥底面ABC，AA?=2，求二面角A-BB?-C的余弦值。解析：設AB=1，平面ABB?A?的法向量為（0，√3/2，1），平面BCC?B?的法向量為（√3/2，0，1），cosθ=|n??n?|/|n?||n?|=√3/2，故填√3/2。4.在正四棱錐S-ABCD中，底面邊長為2，側棱長為√3，求側面與底面所成二面角的正弦值。解析：底面中心O到頂點A的距離為√2，SO=√(SA2-AO2)=√(3-2)=1，側面三角形SAB中sin∠SAB=(AB2+SA2-SB2)/(2×AB×SA)=2√3/3×√3/3=2/3，故填2/3。5.已知正四棱臺的上底面邊長為1，下底面邊長為2，高為1，求側面與底面所成二面角的正切值。解析：側面斜高為√(12+(1/2)2)=√5/2，底面邊長差為1，tanθ=1/1=1，故填1。6.在正方體ABCD-A?B?C?D?中，點E為棱CC?的中點，點F為棱BB?的中點，求直線AE與平面B?C?CD所成角的正弦值。解析：向量AE=（-1，0，0），平面B?C?CD的法向量為（0，1，-1），sinθ=|AE?n|/|AE||n|=1/√2，故填√2/2。7.在正三棱錐S-ABC中，底面邊長為2，側棱長為3，求側面與底面所成二面角的余弦值。解析：底面中心O到頂點A的距離為√3，SO=√(SA2-AO2)=√(9-3)=√6，側面三角形SAB中cos∠SAB=(AB2+SA2-SB2)/(2×AB×SA)=2√3/3×√3/3=1/√3，故填1/√3。8.在三棱柱ABC-A?B?C?中，底面ABC為等邊三角形，側棱AA?⊥底面ABC，AA?=2，求二面角A-BB?-C的正切值。解析：設AB=1，平面ABB?A?的法向量為（0，√3/2，1），平面BCC?B?的法向量為（√3/2，0，1），tanθ=|n?×n?|/|n?||n?|=√3，故填√3。五、應用題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）1.在正四棱錐S-ABCD中，底面邊長為2，側棱長為√3，求側面與底面所成二面角的正切值。解析：底面中心O到頂點A的距離為√2，SO=√(SA2-AO2)=√(3-2)=1，側面三角形SAB中tan∠SAB=(AB2+SA2-SB2)/(2×AB×SA)=2√3/3×√3/3=2/3，故填2/3。2.在正三棱錐S-ABC中，底面邊長為2，側棱長為3，求側面與底面所成二面角的余弦值。解析：底面中心O到頂點A的距離為√3，SO=√(SA2-AO2)=√(9-3)=√6，側面三角形SAB中cos∠SAB=(AB2+SA2-SB2)/(2×AB×SA)=2√3/3×√3/3=1/√3，故填1/√3。3.在三棱柱ABC-A?B?C?中，底面ABC為等邊三角形，側棱AA?⊥底面ABC，AA?=2，求二面角A-BB?-C的余弦值。解析：設AB=1，平面ABB?A?的法向量為（0，√3/2，1），平面BCC?B?的法向量為（√3/2，0，1），cosθ=|n??n?|/|n?||n?|=√3/2，故填√3/2。4.在正四棱臺的上底面邊長為1，下底面邊長為2，高為1，求側面與底面所成二面角的正切值。解析：側面斜高為√(12+(1/2)2)=√5/2，底面邊長差為1，tanθ=1/1=1，故填1。5.在正方體ABCD-A?B?C?D?中，點E為棱CC?的中點，點F為棱BB?的中點，求直線AE與平面B?C?CD所成角的正弦值。解析：向量AE=（-1，0，0），平面B?C?CD的法向量為（0，1，-1），sinθ=|AE?n|/|AE||n|=1/√2，故填√2/2。6.在正三棱錐S-ABC中，底面邊長為2，側棱長為3，求側面與底面所成二面角的正切值。解析：底面中心O到頂點A的距離為√3，SO=√(SA2-AO2)=√(9-3)=√6，側面三角形SAB中tan∠SAB=(AB2+SA2-SB2)/(2×AB×SA)=2√3/3×√3/3=2/3，故填2/3。7.在三棱柱ABC-A?B?C?中，底面ABC為等邊三角形，側棱AA?⊥底面ABC，AA?=2，求二面角A-BB?-C的正切值。解析：設AB=1，平面ABB?A?的法向量為（0，√3/2，1），平面BCC?B?的法向量為（√3/2，0，1），tanθ=|n?×n?|/|n?||n?|=√3，故填√3。8.在正四棱臺的上底面邊長為1，下底面邊長為2，高為1，求側面與底面所成二面角的正切值。解析：側面斜高為√(12+(1/2)2)=√5/2，底面邊長差為1，tanθ=1/1=1，故填1。9.在正方體ABCD-A?B?C?D?中，點E為棱CC?的中點，點F為棱BB?的中點，求直線AE與平面B?C?CD所成角的正弦值。解析：向量AE=（-1，0，0），平面B?C?CD的法向量為（0，1，-1），sinθ=|AE?n|/|AE||n|=1/√2，故填√2/2。10.在正三棱錐S-ABC中，底面邊長為2，側棱長為3，求側面與底面所成二面角的余弦值。解析：底面中心O到頂點A的距離為√3，SO=√(SA2-AO2)=√(9-3)=√6，側面三角形SAB中cos∠SAB=(AB2+SA2-SB2)/(2×AB×SA)=2√3/3×√3/3=1/√3，故填1/√3。【標準答案及解析】一、單項選擇題1.C2.A3.B4.A5.B6.A7.C8.A9.B10.A解析：1.距離公式計算；2.投影計算；3.重心性質；4.正四棱錐幾何性質；5.空間向量法；6.球幾何性質；7.二面角計算；8.正三棱錐幾何性質；9.矩形棱錐性質；10.正四棱臺幾何性質。二、填空題1.√3/312.√3+3√213.2/314.1/√315.√3/216.117.√2/218.30°19.1/√620.√6/9解析：11.向量法計算夾角；12.體積公式；13.正四棱錐幾何性質；14.正三棱錐幾何性質；15.平面法向量；16.正四棱臺幾何性質；17.向量法計算夾角；18.球幾何性質；19.矩形棱錐性質；20.三棱錐體積公式。三、判斷題1.×