高中數學 加練 專題5　第49練　奔馳定理和四心問題

第49練奔馳定理和四心問題(分值：35分)1.奔馳定理：如圖，已知P為△ABC內一點，則有S△PBC·PA+S△PAC·PB+S△PAB·PC=0.2.奔馳定理與三角形四心(1)若O為△ABC的重心，則OA+OB+OC=0?S△AOB∶S△BOC∶S△AOC=1∶1∶1；(2)若O為△ABC的外心，則sin2A·OA+sin2B·OB+sin2C·OC=0，且|OA|=|OB|=|OC|；(3)若O為△ABC的內心，則a·OA+b·OB+c·OC=0，或sinA·OA+sinB·OB+sinC·OC=0(a，b，c分別為角A，B，C的對邊)；(4)若O為△ABC的垂心，則tanA·OA+tanB·OB+tanC·OC=0，且OA·OB=OB·OC=OC·OA.一、單項選擇題(每小題5分，共25分)1.若點M是△ABC所在平面內的一點，且滿足3AM-AB-AC=0，則△ABM與△ABC的面積之比為()A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.2∶5答案B解析方法一將3AM-AB-AC=0變形可得MA+MB+MC=0，則點M在△ABC內，根據奔馳定理可知S△BCM∶S△ACM∶S△ABM=1∶1∶1，則S△ABM∶S△ABC=1∶3.方法二如圖，D為BC邊的中點，則AD=12(AB+因為3AM-AB-AC=0，所以3AM=AB+AC=2AD，所以AM=23所以S△ABM=23S△ABD=13S△ABC，則S△ABM∶S△ABC=1∶2.已知O是△ABC內部一點，滿足OA+2OB+mOC=0，且S△AOBS△ABC=47A.2 B.3 C.4 D.5答案C解析由奔馳定理得S△BOC·OA+S△AOC·OB+S△AOB·OC=0，又OA+2OB+mOC=0，∴S△BOC∶S△AOC∶S△AOB=1∶2∶m.∴S△AOBS△ABC=m1+2+3.已知△ABC的重心為G，AB=6，AC=8，BC=213，則△BGC的面積為()A.123 B.83 C.43 D.4答案C解析cosA=AB2+AC2-BC22AB·AC=36+64-522×6×∴S△ABC=12×6×8×sinπ3=12又G為△ABC的重心，∴GA+GB+GC=0，即S△AGB∶S△AGC∶S△BGC=1∶1∶1，∴S△BGC=13S△ABC=434.在△ABC中，AB=2，AC=3，BC=4，O為△ABC的內心，若AO=λAB+μBC，則3λ+6μ的值為()A.1 B.2 C.3 D.7答案C解析AO=λAB+μBC可化為OA+λOB-λOA+μOC-μOB=0，整理得(1-λ)OA+(λ-μ)OB+μOC=0，所以(1-λ)∶(λ-μ)∶μ=4∶3∶2，解得λ=59，μ=2所以3λ+6μ=3×59+6×295.奔馳定理：已知點O是△ABC內的一點，若△BOC，△AOC，△AOB的面積分別為S1，S2，S3，則S1·OA+S2·OB+S3·OC=0.“奔馳定理”是平面向量中一個非常優美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.如圖，已知O是△ABC的垂心，且OA+2OB+3OC=0，則cosC等于()A.31010C.255答案B解析如圖，延長CO交AB于點P，∵O是△ABC的垂心，∴OP⊥AB，∴S1∶S2=12·OC·BP=BP∶AP=(OPtan∠POB)∶(OPtan∠POA)=tan∠COB∶tan∠COA=tan(π-A)∶tan(π-B)=tanA∶tanB.同理可得S1∶S3=tanA∶tanC，∴S1∶S2∶S3=tanA∶tanB∶tanC.又S1·OA+S2·OB+S3·OC=0，∴tanA·OA+tanB·OB+tanC·OC=0.又OA+2OB+3OC=0，∴tanA∶tanB∶tanC=1∶2∶3.不妨設tanA=k，tanB=2k，tanC=3k，其中k≠0.∵tanA=-tan(B+C)=-tanB∴k=-2k+3k1-2k·3當k=-1時，tanA<0，tanB<0，tanC<0，則A，B，C都是鈍角，不符合題意，舍去.故k=1，則tanC=3>0，故C為銳角，∴sinCcosC=3，sin二、填空題(每小題5分，共10分)6.已知點P是△ABC的外心，且PA+PB+λPC=0，C=5π12，則λ=答案6解析依題意得，sin2A∶sin2B∶sin2C=1∶1∶λ，∴sin2A=sin2B，∴2A=2B或2A+2B=π(舍去)，∴A=B，又C=5π12，∴A=B=7π又sin2Bsin2C∴λ=sin2Csin2B=sin5π67.已知△ABC的內切圓的圓心為O，半徑為2，且S△ABC=14，2OA+2OB+3OC=0，則△ABC的外接圓面積為.答案64π解析在△ABC中，設內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，∵2OA+2OB+3OC=0，且O為內心，∴a∶b∶c=2∶2∶3，令a=2k，則b=2k，c=3k，設△ABC內切圓半徑為r，外接圓半徑為