2026年高考數學一輪復習專練：等式性質與不等式性質（學生版+解析）

專題1.3等式性質與不等式性質(舉一反三講義)

【全國通用】

題型歸納

【題型1不等式性質的應用】...........................................................................3

【題型2用不等式表示不等關系】......................................................................3

【題型3比較數(式)的大小】........................................................................4

【題型4利用不等式的性質證明不等式】................................................................4

【題型5利用不等式的性質求目標式的取值范圍】......................................................5

【題型6不等式的綜合問題】...........................................................................6

【題型7糖水不等式】..................................................................................7

1、不等關系與不等式性質

考點要求真題統計考情分析

高考對不等式的性質的考查比較穩定，

一般以選擇題、填空題為主，主要考查

不等式的性質及其應用、比較大小；單

(1)等式性質獨考查的題目雖然不多，但不等式的相

(2)比較兩個數的大小關知識往往可以滲透到高考的各個知識

2022年II卷：第12題，5分

(3)理解不等式的性質，并領域，作為解題工具與函數、向量、解

能簡單應用析幾何、數列等知識相結合，在知識的

交匯處命題，是進行不等式變形、證明

以及解不等式的依據，是高考考查的一

個重點內容.

知識梳理

知識點等式性質與不等式性質

1.等式的基本性質

性質1對稱性：如果a=b,那么b=a；

性質2傳遞性：如果a=b,b=c,那么a=c\

性質3可加(減)性：如果〃=b,那么。土c=/?±c；

性質4可乘性：如果〃=〃，那么雙=兒；

性質5可除性：如果。=〃，存0,那么

2.不等式的性質

⑴對稱性:如果4>b,那么b<a\如果b<a,那么a>b.BPa>b<^b<a.

(2)傳遞性:如果4>從b>c,那么G>c.即b>c=>a>c.

⑶可加性:如果4>力,那么o+c?+c.

(4)可乘性:如果〃>/?,C>0,那么4c>Ac；如果〃>/?,C<0,那么4C<力C.

(5)同向可加性:如果a>b,c>d,那么d+c>b+d.

(6)同向同正可乘性:如果4>8>0,0d>0,那么ac>札/.

(7)同正可乘方性:如果a>b>0,那么a>,>b,\n￡N,n>2).

3.不等式的兩類常用性質

⑴倒數性質

①a>b,ab>0=>5V'；

②；

③〃>〃>(),0<c、<d=?>%；

@0<a<v<Z?或?<v</?<()=>

(2)有關分數的性質

若a>b>0,m>0,則

①真分數的性質

bb+mbb-m,、

—<—；--->---------(b—m>0)；

aa-Vmaa—m

②假分數的性質

aa-\-maa-mf、

Tb>MbI|--m-,Tb<vb---m-(b—m>0).

4.比較大小的基本方法

方法

關系作差法作商法

與0比較與1比較

a>ba-b>0—>1(。,6>0)或>v1(>,方<0)

bb

a=ba-b=01=K^*0)

a<ba-b=0色<1(。，方>0)或@>1(。2<0)

bb

【方法技巧與總結】

1.應用不等式的基本性質，不能忽視其性質成立的條件，特別提醒的是在解決有關不等式的判斷題時,

有時可用特殊值驗證法，以提高解題的效率.

2.比較數(式)的大小常用的方法有作差法、作商法..直接應用不等式的性質，基木不等式，利用函

數的單調性，需要靈活運用方法求解.

舉一后二

【題型1不等式性質的應用】

【例1】（2025?天津南開?一模）設％yeR,則“/+/>o”是“到>0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式1-1]（2024?河南駐馬店?二模）已知Q>b>c>0,則下列說法一定正確的是（）

A.a>b+cB.a2<be

C.ac>b2D.ab+be>b2+ac

【變式1-2]（2025?河北石家莊?一模）如果好>0,那么“Q>b”是是<，的（）

ab

A.充分不必要條件R.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式1-3]（2025?山東?二模）若Q<匕V0,則下列不等式成立的是（）

A.a2<b2B.a+b<b+cC.-<7D.<-7-

ab|a|\b\

【題型2用不等式表示不等關系】

【例2】（24-25高一上?廣東深圳?階段練習）公司運輸一批木材，總重600噸，車隊有兩種貨車，4型貨車

載重量30噸，B型貨車載重量24噸，設派出A型貨車工輛，8型貨車y輛，則運輸方案應滿足的關系式是（）

A.5%4-4y<100B.5%+4y>100

C.5x+4y>100D.5x+4y<100

【變式2-1]（2024?江西撫州?模擬預測）為了慶祝建黨1，）周年，學校

計劃購買一些氣球來布置會場，已知購買的氣球一共有紅、黃、藍、綠四種顏色，紅色多于藍色，藍色多于綠

色，綠色多于黃色，黃色的兩倍多于紅色，則購買的氣球最少有（）個

A.20B.22C.24D.26

【變式2-2]（2025?山西?二模）從坐標平面的四個象限中取若干點，這些點中橫坐標為正數的點比橫坐標為

負數的點多，縱坐標為正數的點匕縱坐標為負數的點少，則下列對這些點的判斷一定正確的是（）

A.第一象限點比第二象限點多B.第二象限點比第三象限點多

C.第一象限點比第三象限點少D.第二象限點比第四象限點少

【變式2-3]（2024?浙江金華?一模）某高中高三（15）班打算下周開展辯論賽活動，現有辯題A、4可供選

擇，每位學生都需根據自己的興趣選取其中一個作為自己的辯題進行資料準備，已知該班的女生人數多于

男生人數，經過統計，選辯題A的人數多于選辯題8的人數，則（）

A.選辯題4的女生人數多于選辯題8的男生人數

B.選辯題4的男牛.人數多于選辯題B的男生人數

C.選辯題A的女生人數多于選辯題A的男生人數

D.選辯題4的男生人數多于選辯題B的女生人數

【題型3比較數（式）的大小】

【例3】（2025?云南昆明?一模）已知%>0,x2-2xy+z2=0,x2<yz,則（）

A.y>z>xB.x>y>zC.y>x>zD.z>x>y

【變式3-1］（2024?全國?模擬預測）已知%>y,則下列不等式正確的是（）

A.1-x<1-yB.x2>y2C.|^|>1D.xz>yz

【變式3-2］（2024?浙江金華?模擬預測）設a,b,c的平均數為M,Q與匕的平均數為N,N與c的平均數為P.若Q>b>

cM（）

A.NVPB.P<M

C.N<MD.M+N<2P

【變式3-3】（2025?廣西來賓?模擬預測）黃金不僅可以制成精美的首飾佩戴，還因其價值高，并且是一種稀

少的資源，長久以來也是一種投資工具.小李計劃投資黃金，根據自身實際情況，他決定分兩次進行購買，

并且制定了兩種不同的方案：方窠一是每次購入一定數量的黃金：方案二是每次購入一定金額的黃金.已知

黃金價格并不穩定，所以他預設兩次購入的單價不同.現假設他兩次購入的單價分別為%,上，且的安電，則

下列說法正確的是（）

A.當且僅當也時，方案一的平均購買成本比方案二更低

B.當且僅當田〉。2時，方案二的平均購買成本比方案一更低

C.無論由,?的大小關系如何，方案一的平均購買成本比方案一更低

D.無論%,即的大小關系如何，方案二的平均購買成本比方案一更低

【題型4利用不等式的性質證明不等式】

【例4】（2024?全國?模擬預測）已知小b,。為三角形的三邊.

（1）求證：Va24-h24-aft+y/b2+c2+be>2c；

（2）若c2bNa,求證：Va3+b34-Vc3+a3<a+b+c.

【變式4」】（24-25高一上.全國?課后作業）設x>。，y>。，z>0,證明一〈毒+煮+￡<2.

【變式4-2］（24-25高一上?海南省直轄縣級單位?期中）已知d<c<-2.

(1)求證：(a—l)(b—l)(c+2)(d+2)>0；

⑵求證:ac+bd>be+ad.

【變式4-3］（24-25高一上?上海?課堂例題）（1）已知c>Q>力>0,求證：—ca>—cb

（2）已知a>b,e>f,c>0,求證：f—ac<e—be.

【題型5利用不等式的性質求目標式的取值范圍】

【例5】（2025?吉林長春?模擬預測）已知V-則2a-2夕的取值范圍是（）

42

C.(—11,71)D.(―7T,0)

【變式5-1］（2025?河北滄州?模擬預測）已知2VQW4,-1<bW0,貝IJ2Q-b的取值范圍（）

A.[4,9）B.（4,9）C.（5,8]D.（5,8）

【變式5-2]（2024.江蘇南通.模擬預測）設％y為實數，滿足3Wxy?工W9,則1的最大值為（）

A.27B.24C.12D.32

[變式5-3]（2025?浙江?模擬預測）若負實數亡滿足:對于任意Qe[-4,t]，總存在瓦ce[-4,t]，使得ab+c=1,

貝狂的范圍是（）

A.[-4,-;]B.[,，TC.[-A-;]D.[-V5,-4]

【題型6不等式的綜合問題】

【例6】（24-25高一上?云南?期中）回答下列問題

⑴已知Q/都是正實數，比較1+廿與Q+匕的大小；

Da

（2）已知l<a+b<3,-2<a-b<2,求2a+3b的取值范圍.

【變式6-1]（24-25高一上?上海寶山?階段練習）（1）已知X6R,比較2/+3%-1與7%-3的大小;

（2）已知Q>0,b>0,若a+b>4,求證：生和-二中至少有一個大于3

b\2aI22

【變式6-2]（24-25高一上?四川南充?階段練習）（1）已知一1Wx+y44,2Wx-y<3,求戈+2y的取值

范圍；

（2）若a>b>0,c<d<0,e<0,求證：e>e

（a-c）/（b-d）/

【變式6-3］（24-25高一上?上海黃浦?期中）設a,b,c,d是四個正數.

（1）己知a>8,比較鬻與E的值的大小；

a+2bb

（2）若（a+l）（b+l）（c+l）（d+l）V16,求證：a,b,c,d中至少有一個小于1.

【題型7糖水不等式】

【例7】（24-25高一上?貴州六盤水?期末）十六世紀中葉，英國數學家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”

作為等號使用，后來英國數學家哈利奧特首次使用“V"和">"符號，并逐漸被數學界接受，不等號的引入對

不等式的發展影響深遠.如糖水在日常生活中經常見到，可以說大部分人都喝過糖水.如果。克糖水中含有匕克

糖（a>b>0）,再添加n克糖（n>0）（假設全部溶解），糖水變甜了，將這一事實表示為不等式正確

的是（）

.b+n、bb

A.——>一DR.------->-

a+naa+na

「b+nb

C.-----N一D.竺3

a+nab+nb

【變式7-1］（24-25高一上?福建苦田?期末）Q克糖水中含有b克糖，糖的質量與糖水的質量比為?這個質量

比決定了糖水的甜度，如果再添加7九克糖（假設全部溶解），生活經驗告訴我們糖水會變甜，對應的不等式

為翳>5（a>匕這個不等式趣稱為糖水不等式.根據糖水不等式，下列不等式正確的是（）

.如，\f7-2西西+2

A-而<赤B?石〈而

愴

c.log5<log10D7+Igll<lg7+lgll

816*1+Ig71+lgll、1+Ig7+Igll

【變式7-2］（2025高一?全國?專題練習）下列關于糖水濃度的問題，能提煉出怎樣的不等關系呢？寫出式子

并證明.

（1）如果向一杯糖水里加糖，糖水變甜了；

（2）把原來的糖水（淡）與加糖后的糖水（濃）混合到一起，得到的糖水一定比淡的濃、比濃的淡;

（3）如果向一杯糖水里加水，糖水變淡了.

【變式7-3]（24-25高一上?黑龍江黑河,階段練習）已知。克糠水中有。克糖（b>a>0）,往牖水中加入加

克精（m>0）,（假設全部溶解）糖水更甜了.

（1）請將這個事實表示為一個不等式，并證明這個不等式;

⑵利用3）的結論比較用=黑黑,N=魄置的大小;

⑶證明命題：設入?>（）,>證明；i<堂十++.<2.

過關測試

一、單選題

1.（2024?青海西寧?一模）下列自題中，正確的是（）

A.若ab。0且Q<b,貝壯〉二B.若a>b,則出>力2

ab

C.若a>b,c>d,則ac>bdD.若a>b,Ma+c>b+c

2.（2025?福建三明?三模）已知a,b■R,貝卜⑷+|b|41”是“Q2+A$1”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.（2025?北京海淀?二模）設a、b.cER,abc^O,且Q>b>c,則（）

A.^b+-c>2B.-a+^b<2

C.2a>b+cD.a+b>c

4.（2025?全國?模擬預測）已知x,y為實數，p:x<y,q:\x\<y,貝ijp是勺的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.（2025?山西臨汾?二模）若3W1,則2a-b的范圍是（）

A.[8,9]B.[4,8]C.[5,8]D.[5,12]

6.（2025?重慶?模擬預測）設a,b,c為均不為零的實數，且|a-c|vg|,則（）

A.a-c<bB.a+b>c

C.\a\<\b\+\c\D.|a|+|c|<|b|

7.（2025?云南玉溪?二模）已知%>0,x2—2xy+z2=0,x2<yz,則（）

A.y>z>xB.x>y>zC.y>x>zD.z>x>y

8.（2025?安徽淮北?二模）已知a,bWR,下列命題正確的是（）

A.若ab=1,Ma+b>2

B.若工<：,則

ab

C.若a>b,則ln（a—b）>0

D.若a>b>0,則a+￡>b+}

二、多選題

9.（2025?山東臨沂?二模）已知a>b>c,則下列不等式正確的是（）

22222

A.—a-c<—a-bB.ab>cbC.a+b>cD.a4-c>b

10.（2025?廣東茂名?一模）下列命題正確的是（）

A.若a>b,則a?>b2

B.若aVbV0,Mb2<ab<a2

C.若Q>5>0,2>”E，則mV0

aa+m

D.若2VQ+b<3,—1<Q-b<2,貝lj3V3a+bV8

11.（2025?湖南長沙?二模）設a,b,c,d為實數，月.a>b>0>c>d,則下列不等式正確的有（）

A.c2<cdB.a—c<b—dC.ac<bdD.--->0

ab

三、填空題

12.（2025?吉林長春?二模）正整數a,b滿足3VaV6V9,則哼的最大值為_____.

ab

13.（2024?河北石家莊?二模）若實數％,y,z20,且x+y+z=4,2%-y+z=5,則M=4x+3y+5z的

取值范圍是.

14.（2025?河北邯鄲?三模）記min{x,y,z}表示x,y,z中最小的數.設Q>0,b>0,則min{a,，,，+3b}的

最大值為.

四、解答題

15.（24-25高一?全國?隨堂練習）判斷下列命題的真假，并說明理由：

（1）若a>b,則。。2>加2；

2

（2）若ac?>bcf則a>b；

（3）若a>bfc>d,則QC>bd；

（4）若Q>b,則ab

16.（2025高三?全國?專題練習）已知一lWx+yW2,-2<x-y<l,求％-2y的取值范圍.

17.（24-25高一下?河北保定?階段練習）（1）已知1,比較3/與3/一％+1的大小.

（2）比較2%2+5%+3與/+4x-2的大小.

18.(24-25高一上?山西晉中?期天)為衡量房屋的采光效果，行業一般采用窗地面積比(房間窗洞口面積

與該房間地面面積的比值)作為標準，民用住宅的窗地面枳比應不小于10%，且不超過50%,而且這個比

值越大，采光效果越好.設某住宅的窗洞口面積與地面面積分別為am2,萬m2.

(1)若這所住宅的地面面積為100m2,求這所住宅的窗洞口面積的范圍；

(2)若窗洞口面積和地面面積在原來的基礎上都增加了xn?,判斷這所住宅的采光效果是否變好了，并說明

理由.

19.(24-25高一上?北京西城?期末)已知實數a,b滿足一1VQV1,—1Vb<1.

(1)求a+b和ab的取值范圍；

(2)證明：1+ab>a+b.

專題1.3等式性質與不等式性質（舉一反三講義）

【全國通用】

題型歸納

【題型1不等式性質的應用】...........................................................................3

【題型2用不等式表示不等關系】......................................................................3

【題型3比較數（式）的大小】........................................................................4

【題型4利用不等式的性質證明不等式】................................................................4

【題型5利用不等式的性質求目標式的取值范圍】......................................................5

【題型6不等式的綜合問題】...........................................................................6

【題型7糖水不等式】..................................................................................7

1、不等關系與不等式性質

考點要求真題統計考情分析

高考對不等式的性質的考查比較穩定，

一般以選擇題、填空題為主，主要考查

不等式的性質及其應用、比較大小；單

（1）等式性質獨考查的題目雖然不多，但不等式的相

（2）比較兩個數的大小關知識往往可以滲透到高考的各個知識

2022年II卷：第12題，5分

（3）理解不等式的性質，并領域，作為解題工具與函數、向量、解

能簡單應用析幾何、數列等知識相結合，在知識的

交匯處命題，是進行不等式變形、證明

以及解不等式的依據，是高考考查的一

個重點內容.

知識梳理

知識點等式住質與不等式性質

1.等式的基本性質

性質I對稱性：如果4=匕，那么8=4；

性質2傳遞性：如果〃=/%b=c,那么。=c；

性質3可加（減）性：如果。=仇那么。土c=方士。：

性質4可乘性：如果〃=〃，那么ac=bc；

性質5可除性：如果。=〃，H0,那么2=2

2.不等式的性質

(1)對稱性:如果a>b,那么b<a\如果b<a,那么即a>bob<a.

(2)傳遞性:如果。>力，b>c,那么a>c.即a>。，b>c=a>c.

(3)可加性:如果a>b,那么a-\-c>b-\-c.

(4)可乘性:如果c>0,那么ac>6c；如果〃>力，c<0,那么ac</?c.

(5)同向可加性:如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.

⑹同向同正可乘性:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.

⑺同正可乘方性：如果a9乂)，那么/>b"(〃WN,論2).

3.不等式的兩類常用性質

(1)倒數性質

①ci>b,〃/?0=—<T;

②〃</><()=—>T；

ah

③0<c<dn?>2；

?C<a<x<b或〃令<〃<()=

(2)有關分數的性質

若a>b>0,m>0,貝U

①真分數的性質

b+加b>b-"?

(b—m>0)；

aaaa—m

②假分數的性質

aa+waa—m、

廣中工〈二所(〃〉。).

4.比較大小的基本方法

方法

關系作差法作商法

與。比較與1比較

a>ba-b>0色>1(〃，〃>0)或色vl(a,/><0)

bb

a=ba-b=01=K/^o)

a<ba-b=02<1(〃，〃>0)或2>\(a,b<0)

bb

【方法技巧與總結】

1.應用不等式的基本性質，不能忽視其性質成立的條件，特別提醒的是在解決有關不等式的判斷題時,

有時可用特殊值驗證法，以提高解題的效率.

2.比較數（式）的大小常用的方法有作差法、作商法.、直接應用不等式的性質、基本不等式、利用函

數的單調性，需要靈活運用方法求解.

舉一反三

【題型1不等式性質的應用】

[Ml]（2025?天津南開?一模）設則“/+y2>°，，是>。，’的（）

A.充分小必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解題思路】根據不等式的性質判斷條件間的推出關系，即可得.

【解答過程】若/+*>0,如％=-1,丫=1，但%y>0不成立，充分性不成立；

若xy>0,顯然x,y同號且不為0,則/+y2>0成立，必要性成立；

所以“/+/>o”是“0>0”的必要不充分條件.

故選：B.

【變式1?1】（2024?河南駐馬店?二模）己知a>b>c>0,則下列說法一定正確的是（）

A.Q>b+cB.a2<be

C.ac>b2D.ab+be>b2ac

【解題思路】利用賦值法來舉反例比較大小，利用作差法來比較大小，利用不等式的性質來比較大小.

【解答過程】當a=3,b=2,c=1時，a=b+c,且acVb?,故A,C項錯誤；

因為a>b>0,a>c>0,所以a?>加，故B項錯誤；

ab+be-（b2+ac）=（b-c）（a-b）>0,故D項正確.

故選：D.

【變式1-2]（2025?河北石家莊?一模）如果ab>0,那么“a>6”是"V：”的（）

ab

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.允要條件D.既不允分也不必要條件

【解題思路】由不等式的性質作差后分別證明充分性和必要性即嘰

【解答過程】若ab>0,a>b,KJb-a<0,

則！_q=Y<o,即2■<：，充分性成立；

ababab

若ab>0,-<i,則二一：=哼<0,

ababab

所以。<a,必要性成立,

所以如果ab>0,那么“a>b”是是<，的充要條件.

ab

故選：C.

【變式1-3］（2025?山東?二模）若QVbV0,則下列不等式成立的是（）

22

A.a<bB.a+b<b+cC.-a<7bD.\a\IW

【解題思路】根據不等式的性質，即可結合選項逐一求解.

【解答過程】對于A,由于Q<b<0,小>82,故A錯誤，

對于B,由于a,c關系不確定，故Q+bVb+c不一定成立，故B錯誤，

對于C,由于avbvo,所以2C錯誤，

ab

對于D,由于QV2?V0,則|a|>|b|>0,故J;V白，D正確，

|Q|四

故選；D.

【題型2用不等式表示不等關系】

【例2】（24-25高一上?廣東深圳?階段練習）公司運輸一批木材，總重600噸，車隊有兩種貨車，4型貨車

載重量30噸，8型貨車載重量24噸，設派出A型貨車%輛，8型貨車y輛，則運輸方案應滿足的關系式是（）

A.5%4-4y<100B.5%4-4y>100

C.5x+4y>100D.5x+4y<100

【解題思路】根據已知列出不等式.化簡即可得出答案.

【解答過程】由已知可得,30x+24y>600,

所以有5x+4yN100.

故選：B.

【變式2-1］（2024?江西撫州?模擬預測為了慶祝建黨100周年，學校

計劃購買一些氣球來布置會場，已知購買的氣球一共有紅、黃、藍、綠四種顏色，紅色多于藍色，藍色多于綠

色，綠色多于黃色，黃色的兩倍多于紅色，則購買的氣球最少有（）個

A.20B.22C.24D.26

【解題思路】分別設紅、黃、藍、綠各有a,b,c,d個，根據題意列出不等式可分別求出a,b,c,d范圍，即可求

出.

【解答過程】分別設紅、黃、藍、綠各有a，b,c,d個，且a,b,c,d為正整數，

則由題意得aNc+1,c>d+l,d>b+l,2b>a+l,可得bZ4,

所以Q27,c>6,d>5,即至少有4+5+6+7=22個.

故選:B.

【變式2-2］（2025?山西?二模）從坐標平面的四個象限中取若干點，這些點中橫坐標為正數的點比橫坐標為

負數的點多，縱坐標為正數的點匕縱坐標為負數的點少，則下列對這些點的判斷一定正確的是（）

A.第一象限點比第二象限點多B.第二象限點比第三象限點多

C.第一象限點比第三象限點少D.第二象限點比第四象限點少

【解題思路】分別設出各象限內橫坐標、縱坐標分別為正數、負數時點的個數，根據題意列不等式，結合不

等式性質求解即可.

【解答過程】設第一象限的點即橫坐標為正數且縱坐標為正數的點有％個，

第二象限的點即橫坐標為負數且縱坐標為正數的點有y個，

第三象限的點即橫坐標為負數且縱坐標為負數的點有z個，

第四象限的點即橫坐標為正數且縱坐標為負數的點有w個，

又因為橫坐標為正數的點比橫坐標為負數的點多，縱坐標為正數的點比縱坐標為負數的點少，

所以x+w>y+z①，且z+w>x+y②，

由不等式性質可知，①+②可得w>y,即第二象限點比第四象限點少.

故選：D.

【變式2-3］（2024.浙江金華?一模）某高中高三（15）班打算下周開展辯論賽活動，現有辯題A、/《可供選

擇，每位學生都需根據自己的興趣選取其中一個作為自己的辯題進行資料準備，已知該班的女生人數多于

男生人數，經過統計，選辯題4的人數多于選辯題8的人數，則（）

A.選辯題A的女生人數多于選辯題8的男生人數

B.選辯題4的男生人數多于選辯題8的男生人數

C.選辯題A的女生人數多于選辯題A的男生人數

D.選辯題4的男生人數多于選辯題B的女生人數

【解題思路】根據不等式的性質以及簡單的邏輯推理，找出正確的選項即可.

【解答過程】設選辯題人的男生有x人，選辯題A的女生有），人，選辯題8的男生有機人，選辯題8的女生

有n人.

已知該班女生人數多于男生人數，即y++又知選辯題A的人數多于選辯題4的人數，即x+y>

m+n.

將這兩個不等式相加得到：2y+x+?i>2機+%+小兩邊同時消去％得到2y>2m,即

這就意味著選辯題A的女生人數多于選辯題B的男生人數.

故選:A.

【題型3比較數（式）的大小】

【例3】(2025?云南昆明?一模)已知x>0,x2-2xy+z2=0,x2<yz,則()

A.y>z>xB.x>y>zC.y>x>zD.z>x>y

【解題思路】根據題意，由原式可得y=暖，然后由作差法分別比較y與X,y與z的大小關系，即可得到結

果.

【解答過程】由X>0,且/一2町+/=0可得2xy=/+Z?,即y=笞乎，

x2+z2X2Z2X2Z2X2

W-x=--x=^+^-2=—-,

又Kvyz,BP%2<--Z,化簡可得2%3—/z—z3VO,

即(x-z)(2/+xz+z?)v0,其中27+%z+z?=2(x+》+^z2>0,

所以x-z<0,即0<x<z,所以/</,

所以'一％=與六：>0,所以y>x,

T7X2+Z2X2+Z2-2XZ（X-Z）2、八匚匚i、J、

又y-z=^^-z=---=^->0，所以y>z，

綜上所述，y>z>x.

故選：A.

【變式3-1］（2024?全國?模擬預測）已知x>y,則下列不等式正確的是（）

A.1—x<l—yB.x2>y2C.|^|>1D.xz>yz

【解題思路】利用不等式的性質可判斷A項正確，D項錯誤，通過舉反例可說明B,C兩項錯誤.

【解答過程】?.,%>H.,.一%<-%二一%+1〈一、+1,即1一支<1一y,故選項A正確；

當x=-l,y=一2時，滿足無>y,但/=l,y2=4,此時無2<y2,|-|=|^|=^<1,故選項B,C錯誤;

y-22

當z<0時，由%>y可得Xz<yz,故選項D錯誤.

故選:A.

【變式3-2］（2024?浙江金華?模擬預測）設a,瓦c的平均數為M.a與力的平均數為N,N與c的平均數為P.若Q>b>

c,則（）

A./V<PB.P<M

C.N<MD.M+N<2P

【解題思路】根據作差法比較大小，首先將要比較的MN,P,用a,b,c表示，后作差變形，運用a>b>c這個條件,

判斷正負即可比較出大小.

【解答過程】根據題意得,M=誓,N=竽,P=乎=可=竺產

3ZZZ4

對于A選項,N-P=-.................=----------,a>b>c,a-c>0,b—c>0,--a+b—2c>0,N—

244

a+b-2c

p>0,N>P.

4

a+b+ca+“2ca+匕-2c

對于B選項,M-P=

-12-J

Q+b—2c

va>b>c,a-c>0,b—c>0,a+h—2c>0,M—P=----------->0,:.M>P.

JL4

L-re....a+b+ca+b-a-b+2c

對于C選項,M-N=-----------=---,a>b>c,c—a<0,c—b<0,2c-a—b<0,M—

3No

對于D選項,；M>P,N>P,：.M+N>2P.

故選：B.

【變式3-3】（2025?廣西來賓?模擬預測）黃金不僅可以制成精美的首飾佩戴，還因其價值高，并且是一種稀

少的資源，長久以來也是一種投資工具.小李計劃投資黃金，根據自身實際情況，他決定分兩次進行購買，

并且制定了兩種不同的方案：方案一是每次購入一定數量的黃金：方案二是每次購入一定金額的黃金.已知

黃金價格并不穩定，所以他預設兩次購入的單價不同.現假設他兩次購入的單價分別為由,a2，且火工。2,則

下列說法正確的是（）

A.當且僅當時，方案一的平均購買成本比方案二更低

B.當且僅當即>。2時，方案二的平均購買成本比方案一更低

C.無論由,。2的大小關系如何，方案一的平均購買成本比方案二更低

D.無論四,的的大小關系如何，方案二的平均購買成本比方案一更低

【解題思路】根據題意，分別計算出方案一與方案二的平均購買成本，然后作差比較大小，即可判斷.

【解答過程】方案■：設每次購入的黃金數量為m,則平均購買成本%=坐%=%磬

方案二：設每次購入的黃金金額為幾則平均購買成本為

2n_2n_2a1a2

―+―=n(ai+a2)-.+a

ala2a1Q2a2

_ai+a22。1。2_(。1+。2)2-4<11。2_

Z的+?-2處+。2)—Z(Ch+Q2)'

且由工。2,則x—y=^^>0,即

無論右,。2的大小關系如何，方案二的平均購買成本比方案一更低.

故選：D.

【題型4利用不等式的性質證明不等式】

【例4】(2024?全國?模擬預測)已知〃，仇c為三角形的三邊.

(1)求證：y/a2+b2+ab+Vb2+c2+be>2c；

(2)若c>b>a,求證：Va3+h3+Vc3+a3<a+b+c.

【解題思路】(1)由迎2+］)2+g=J(Q+§2+渾>0+畀7b?+c?+be=J(c+丁+評>c+卜

結合三角形兩邊之和大于第三邊的性質可得答案.

(2)利用作差法求證6+/))3—(a3+/)>o,則］+GT廬，同理］+c>kT京，結合不等式的

性質可得答案.

【解答過程】(1)因為小江C為三角形的三邊，所以4,b,CW(0,+8),且Q+6>C,(關犍：根據三

角形的三邊關系得到a,b,c?滿足的條件)

所以+爐+。匕=J(a+§+；爐>0+會

y/b2+c2+be=J(c+g)+|爐>c+p

所以近2+爐+0卜+yjb?+c2+be>a+-+c+-=a+b-^-c>2c.

22

(2)因為c之b2a,

所以(F+b)-(/+b3)=—^a3+^a2b+^ab2>—^a3+^a3+|a3=ya3>0,

所以］+力>猊/，廬，

同理可得：+c>ET京，

所以+匕3+近3+Q3<^+/j+^+c=a4-b+C.

【變式4-1］(24-25高一上?全國?課后作業)設x>0,y>0,z>0,證明：1<三+上+/-V2.

x+yy+zz+x

【解題思路】由％+y+zX+y,x+y+z>x+z,x+y+z>y+z和土〉號,￡>

一丁證明即可.

x+y+z

【解答過程】由題意知》>