2025-2026學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中模擬卷（強(qiáng)化版）解析版

高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中模擬卷（人教A版）

強(qiáng)化版?全解全析

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證

號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測(cè)試范圍：人教A版必修第二冊(cè)【平面向量+復(fù)數(shù)+立體幾何】

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.已知復(fù)數(shù)z=.026+2,則憶|=(

A.1B.V3C.2D.V5

【答案】D

【詳解】因?yàn)閕?=-l,i3=—ij4=l,i5=i,

所以i2026_,4x506+2=j2=一1,

2+i_2+i

所以Z=

i2026+2--1+2

所以|Z|=V22+12=VS.

2.一水平放置的平面四邊形04BC的直觀圖04夕。如圖所示,其中。4=09=2,0C1K軸,ABJ.K

軸，BC〃/軸，則四邊形0/1BC的面積為（）

A.3V2B.6D.1272

2

1/16

【答案】D

【分析】結(jié)合圖形可得4夕=4,求出四邊形07T夕。面積后可得四邊形04?C的面積.

【詳解】設(shè)V軸與交點(diǎn)為。，

因?yàn)?C_L入軸,4BJ.X軸，

所以。（7/4方，

因?yàn)锽'C'〃y’軸，

所以四邊形"，。7）為平行四邊形，

故DM=O'C=2,

又，VOy=45°,A'B'1V軸，

得DA=O'A'=2,

故AB'=4.

所以四邊形。’48C面積為32+4）X2=6,

因?yàn)樗倪呅巍?1BC面積是四邊形。4"的面積的斗，

所以四邊形。力8。的面積為12五.

3.己知兩個(gè)單位向量五，B的夾角為150。，則蒼?（百五一勵(lì)=（）

A.0B.號(hào)C.厘D.平

222

【答案】D

【詳解】依題意可得2?（占方一勵(lì)=6己2—2.石=O1ld*—同|Mcosl50。=V5xl2—1x1x（—=

3V3

4.己知。的三個(gè)內(nèi)角4,B,。的對(duì)邊分別是a,b,c,A=30°,a=4,c=4K，則角C為（）

A.30°或150°B.60°或120°

C.60°D.30°

【答案】B

2/16

【分析】借助正弦定理計(jì)算可得smC=當(dāng)，即可得角C.

【詳解】由正弦定理可得就=春，即有5訪。=等=嗎=當(dāng)

on1/1oiiiu*a44

由C>Q,故貝IJ30。VCV150。，故C=60。或120。.

5.已知一圓臺(tái)的上底面半徑為1,高為*體積為與，則該圓臺(tái)的側(cè)面積為（）

A.爭(zhēng)B.苧C.等D.Sir

424

【答案】C

【詳解】設(shè)圓臺(tái)的下底面半徑為九

147

由題意知式1+r2+r）Kx-=

整理得廠2+廠-6=0,解得r=2（負(fù)值舍去），

2

設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為，，M/=J（2-l）2+（1）=|,

所以該圓臺(tái)的側(cè)面積為S=n（l+2）x^=-^.

6.帆船比賽中，運(yùn)動(dòng)員可借助風(fēng)力計(jì)測(cè)定風(fēng)速的大小與方向，測(cè)出的結(jié)果在航海學(xué)中稱為視風(fēng)風(fēng)速.視風(fēng)風(fēng)

速對(duì)應(yīng)的向量是真風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量與船行風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量之和，其中船行風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量與船速對(duì)

應(yīng)的向量大小相等、方向相反.圖1給出了部分風(fēng)力等級(jí)、名稱與風(fēng)速大小的對(duì)應(yīng)關(guān)系.已知某帆船運(yùn)動(dòng)員在某

時(shí)刻測(cè)得的視風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量與船速對(duì)應(yīng)的向量如圖2所示（線段長(zhǎng)度代表速度大小，單位：m/s）,則

該時(shí)刻的真風(fēng)為（）

級(jí)數(shù)名稱風(fēng)速大小（單位:m/s）

2輕風(fēng)1.6?3.3

3微風(fēng)3.4?5.4

4和風(fēng)5.5?7.9

5勁風(fēng)8.0-10.7

圖I

3/16

圖2

A.輕風(fēng)B.微風(fēng)C.和風(fēng)D.勁風(fēng)

【答案】B

【分析】根據(jù)圖象，求出視風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量與船速對(duì)應(yīng)的向量，即可得船行風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量，由題意,

可求出真風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量，根據(jù)求模公式，求出大小，對(duì)照表格，即可得答案.

【詳解】視風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量，起點(diǎn)為（3,4）,終點(diǎn)為（0,3）,則向量為（—3,—1）,

船速對(duì)?應(yīng)的I句量，起點(diǎn)為（2,0）,終點(diǎn)為（3,4）,則向量為（1,4）,

因?yàn)榇酗L(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量與船速對(duì)應(yīng)的向量大小相等、方向相反，

所以船行風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量為（-1,-4）,

由視風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量是其風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量與船行風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量之和，

設(shè)真風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量為?匕），則｛二;二;，解得

即真風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量為（-2,3）,則真風(fēng)風(fēng)速大小J（一2）2+32=S叵，

因?yàn)?.42=11.56,5.42=29.16,11.56<13<29.16,

所以后￡3.4?5.4,則該時(shí)刻的真風(fēng)為：微風(fēng).

7.三棱錐S-4BC中，ABA.AC,SAL^ABC,AB=AC=2,SA=3,球。是三棱錐S—/IBC的外接球,

則球。的體積是（）

A.邛%B.邛%C.誓RD.嘩%

6323

【答案】A

【分析】借助補(bǔ)形法可將原三棱錐補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，再求出該長(zhǎng)方體體對(duì)角線長(zhǎng)即可得外接球半徑，最后利

用體積公式計(jì)算即可得解.

【詳解】如圖，由題意可知，可將三棱錐S-48C補(bǔ)形為長(zhǎng)、寬、高分別為2,2,3的長(zhǎng)方體，

且三棱錐S—ABC的外接球與長(zhǎng)方體的外接球?yàn)橥粋€(gè)球，

又該長(zhǎng)方體的外接球半徑為R=弋"32=當(dāng)，

4/16

則球。的體積是爭(zhēng)?3=苧x（亨丫=中.

8.在邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC的邊4B、4C上分別取M、N兩點(diǎn)，沿線段MN折疊三角形，使頂點(diǎn)A正好落在

邊8c上，則4M的長(zhǎng)度的最小值為（）

A.B.竽C.4V3-6D.2

【答案】C

【分析】在圖（2）中，連接MP,白折疊可知AM=PM,根據(jù)等邊對(duì)等角可得4艮4P=^APM,又因?yàn)?8Mp

為△/1PM的一個(gè)外角，設(shè)，區(qū)4P=心可得NBMP=2仇

再設(shè)力M=MP=x，根據(jù)正弦定理可得出關(guān)于式的關(guān)系式，結(jié)合正弦型函數(shù)的有界性可求得％的最小值.

【詳解】顯然4P兩點(diǎn)關(guān)于折線MN對(duì)稱，連接MP,圖（2）中，可得4M=PM,則有N84P=z4PM,

設(shè)=Z-BMP=Z.BAP+LAPM=20,再設(shè)/M=MP=x,則有MB=2—x,

在△ABC中，Z-APB=180°-^ABP-Z-BAP=120°-0,=120°-20,又4MBp=60°,

在△BMP中，山正弦定理知;^^=焉而，即而言丁=舟，:*=苧+/（^0。一2》

-.■OC<0<6O°,.-.0°<120°-20<120°,.-.^120°-20=90°,即。=15°時(shí)，sin（1200-20）=1.

此時(shí)％取得最小值舟=晉=4乃-6,貝的最小值為4K-6.

2+V3

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知為，Z2為復(fù)數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）

A.若Z；+Z2>0,則Z；>—z2

5/16

B.Zi一藥是純虛數(shù)或零

C.若%+1|=0+1|，則Zi=Z2

D.若Z1，Z2是方程;%2—2%+5=0的兩根,則z彳+z號(hào)=一6

【答案】BD

【分析】舉例z[=4+i,z2=2-2i,判斷A；利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則判斷B；利用反例法判斷選項(xiàng)C.利用

韋達(dá)定理計(jì)算判斷選項(xiàng)D.

【詳解】舉例說(shuō)明：若Zi=4+i,々=2—2i,則z彳=15+8i,z]=—8L>0?

但好與一z名都是虛數(shù)，不能比較大小，故A錯(cuò)；

設(shè)Zi=Q+bi（a,》ER）,則zy=Q-bi,故Zi-Zi=2bi,

當(dāng)七=0時(shí)是零，當(dāng)bHO時(shí)，是純虛數(shù)，B正確；

令21=—2,Z2=0,滿足|Z[+11=\Z2+11?但一2H0,故Zi*Z2,

ki+1|=\z2+1|不能推出Zi=z）,故C錯(cuò)誤.

已知ZM2是方程X2—2》+5=0的兩根，由韋達(dá)定理得償+第二：，

2

???21+Z2=⑵+Z2）—2Z/2=4—2X5=-6,故D正確.

10.如圖，AC為圓錐S。底面圓。的直徑，點(diǎn)8是圓。上異于4、C的動(dòng)點(diǎn)，SO=2,OC=五,則下列結(jié)論正

確的是（）

B

A.圓錐S。的側(cè)面積為

B.三楂錐S一力8C體積的最大值為4

C.圓錐S。外接球的表面積為

D.若AB=BC,￡為線段88上的動(dòng)點(diǎn)，則SE+CE的最小值為J10+4近

【答案】ACD

【分析】求出圓錐的母線長(zhǎng)，利用圓錐的側(cè)面積公式可判斷A選項(xiàng)；利用基本不等式結(jié)合錐體的體積公式

可判斷B選項(xiàng)；易知球心在直線S。上，所以該圓錐外接球半徑即為△SAC外接圓半徑，利用正弦定理以及

球體表面積公式可判斷C選項(xiàng)；將△SAB、ASBC展開為一個(gè)平面，利用余弦定理可判斷D選項(xiàng).

6/16

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，圓錐S。的母線長(zhǎng)為SC=7s02+32=72^+7=V6,

故該圓錐的側(cè)面積為ITX?X?=2技r,A對(duì);

對(duì)「B選項(xiàng)，因?yàn)?c為圓錐SO底面圓。的宜徑，點(diǎn)B是圓。上異「力、C的動(dòng)點(diǎn),

所以48_L8C,由勾股定理可得力B2+8C2=4C2=8,

由基本不等式可得力B2+BC2=8>2AB-BC,故48BC<4,

當(dāng)且僅當(dāng)4R=RC=2時(shí)，等號(hào)成立，故=

故%-4BC=B&4BC?SOW：X2X2=$故三棱錐5-4BC體積的最大值為!B錯(cuò);

對(duì)于C選項(xiàng)，易知球心在直線S。上，所以該圓錐外接球半徑即為△S4C外接圓半徑,

設(shè)其外接球半徑為R,SEQC4"二亭

所以家二裝片要二？，故圓錐S°外接球的表面積為4W?2=nx(2R)2=9mC對(duì):

對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)=時(shí)，易知A8=BC=2,將△5AB、△58C展開為一個(gè)平面，如下圖所示:

在CS/IB中，SA=SB=顯,48=2,

222

由余弦定理可得cos/SBA=SB+A3-SA6+4-6一限

2SDAD_2x>/6x2

所以sinz5b4=—cos2/SR4=J1—（半）=午5

易知ZJ18C=p故cosz?SBC=cosQ+z.SBA^=—sinz.SBA=—

由余弦定理可得SC?=SB2+BC2-2SB?BC-coszSBC=6+4-2V6x2x（一鑰=10+4。,

當(dāng)點(diǎn)S、E、C三點(diǎn)共線時(shí)，SE+EC的長(zhǎng)取最小值，且其最小值為，點(diǎn)+4西,D對(duì).

11.我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出了已知三角形的三邊長(zhǎng)，求三角形的面積的問題,

其求法是：“以小斜哥并大斜吊城中斜哥，余半之，自乘于上.以小斜幕乘大斜幕減上，余四約之，為實(shí);

一為從隅，開平方得積.”若把以上這段文字寫成公式，即S,現(xiàn)有△48C滿足

sinA:sinB:sinC=2：V7：3,且S。/?。=6K，則（）

A.△力BC三個(gè)內(nèi)角4B,。滿足關(guān)系4+C=28

B.△48。的周長(zhǎng)為10+2?

7/16

C.若乙8的角平分線與片。交于。，則8。的長(zhǎng)為皚

D.若足為△48C外接圓上任意一點(diǎn)，則冠?前的最大值為14+等

【答案】ABD

【分析】對(duì)A,利用正弦定理得出三邊關(guān)系，結(jié)合余弦定理可判定；對(duì)B,由三角形面積公式計(jì)算可得三邊

長(zhǎng)，從而判定：對(duì)C,利用三角形面積公式結(jié)合已知條件求解：對(duì)D,設(shè)2區(qū)4c二仇利用正弦定理表示出

AE,由數(shù)量積定義求出荏?公，利用正弦函數(shù)性質(zhì)求解最值.

【詳解】對(duì)于A,由sin4sinB:sinC=2：A/7：3,得a:b:c=2：V7：3.

設(shè)a=2k,h=y/7k,c=3k(k>0),

由余弦定理，cosB=±又0VB<TT,所以

則4+C=IT-]—g=28,故A正確；

對(duì)于B,由SAABC=macsinB=￡x2kx3kx，=6舊，解得k=2,

所以。=4力=2夕(=6,則其底長(zhǎng)為10+2夕，故B正確；

對(duì)于C,由=SfBD+S/D=-B0sin3O。+3BC.BDsin30°,

所以6b=16乂3/“打"4><電)乂表解得30=等，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,當(dāng)E在優(yōu)弧力。上時(shí)，設(shè)/B4C=仇0VJV-,則/。==一心

在CACE中，LAEC=/.ABC=7*

由正弦定理，人心嗔明唔鳴一),

—?—?廠4VH/2n\

AEAC=2v7x---sin―6)cosO

=早cos2。+；sin0cos0)=^^sin(26++14,

因?yàn)?<夕<與，所以26+“g號(hào)),

當(dāng)28+”1，即”工時(shí)，sin(26+勺=1,即版?元取得最大值空一+14；

又當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，荏?無(wú)=0；

當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)。重合時(shí)，AEAC=AC2=28-

當(dāng)E在劣弧4C上時(shí)，若NB4c相司時(shí)，此時(shí)|版“、于《在優(yōu)弧.4。上：

8/16

綜上，荏?前的最大值為邛+14,故D1E確.

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知向量?jī)?yōu)石的夾角為45。，且同=4,|引=VL則向量Z在向量，上的投影向量為.

【答案】拓

【分析】根據(jù)投影向量的計(jì)算公式即可求解.

【詳解】向前在向量讓的投影向量為[?[二V7X4X亭1

4x4。二產(chǎn)

13.如圖，風(fēng)景秀美的寶湖畔有四棵高大的銀杏樹，記作48,P,Q,湖岸部分地方圍有鐵絲網(wǎng)不能通過(guò).欲測(cè)

量P,Q兩棵樹和4P兩棵樹之間的距離，現(xiàn)可測(cè)得4B兩點(diǎn)間的距離為100m,乙PAB=75°/Q4B=45。

ZPBA=6Q°,^QBA=90。.則P,Q兩棵樹和4/兩棵樹之間的距離分別為m、m.

100m

【答案】50V250V6

【分析】利用正弦定理、余弦定理求解即可.

【詳解】在△P/18中，Z.APB=1800-Z,PAB-Z,PBA=180°-75°-60°=45°,

根據(jù)正弦定理:^77=:，代入48=100,^PBA=60°,^APB=45°,

sin乙，D/Isin/_/iID

得焉=揣，解得月0=50歷?

在RtZ\Q/lB中，Z.QBA=90°,Z-QAB=45°,AB=100,

所以AQ==100V2,且乙PAQ=LPAB-Z.QAB=750-45°=30°,

根據(jù)余弦定理，在△/MQ中，PQ2=AP2+AQ2-2APAQcos^PAQ,

代人得尸Q2=(50V6)2+(1OOV2)2-2x50V6x100V2x平=5000,

因此PQ=50V2,

故答案為：PQ=5OV2,/1P=5076.

9/16

14.已知底面為正方形的直四棱柱的高為4,底面邊長(zhǎng)為4,其內(nèi)部有一個(gè)與直四棱柱所有面均相切的內(nèi)切

球0.現(xiàn)以直四棱柱上底面的中心為頂點(diǎn)，下底面的外接圓為底面作一個(gè)圓錐，則該圓錐與內(nèi)切球。的公共部

分的體積為.注：球缺的體積公式為卜=口等紇R為球的半徑，力為球缺的高.

【答案】黨

【分析】根據(jù)題意可知重合部分由圓錐S-AB和球缺構(gòu)成，根據(jù)公式計(jì)算體枳即可.

【詳解】解：根據(jù)題意該直四棱柱是邊長(zhǎng)為4的正方體，

則球的半徑為2,圓錐底面半徑為2VL高為4,

如圖，重合部分由圓錐S-/1B和球缺構(gòu)成，

設(shè)MN=%,則0N=2—x,SN=4—x,AN=y/OA2—ON2=V4x—x2?

又tan“SM=^=,=平=率即臂=多

解得％=+或x=4（舍去），

則MN=/IN=W，SN=*

圓錐S-4B的體積匕=1xn（殍丫Xg=黑，

球缺的體積匕=半?把=Ax?-力（丁=魯，

3381

故重合部分的體積V=匕+匕=翳.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

15.（13分）已知i為虛數(shù)單位，zi，Z2是％2+mx+〃=0（7n刀￡/?公=7712一4九〈0）的兩個(gè)根.

（1）設(shè)Zi，Z2滿足方程zi+（1—i）Z2=9+6i,求m,n的值;

（2）設(shè)zi=l+2i,復(fù)數(shù)zi，Z2所對(duì)的向量分別是己與加若向量萬(wàn)一加與五+23的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)用勺取值

范圍.

【答案】（l）m=12,n=477

（2）（-7,-1）U（-1,+（?）

10/16

【分析】(1)利用共擾復(fù)數(shù)性質(zhì)和韋達(dá)定理求解方程參數(shù)：

(2)將復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化為向量，利用向最?yuàn)A角為鈍角的條件(數(shù)量積為負(fù)且不共線)求解參數(shù)范圍.

【詳解】(1)因?yàn)閙,屋€RA=m2—4n<0,

所以方程#+mx+?i=O的兩個(gè)根zi，Z2為共挽復(fù)數(shù)，

設(shè)Zi=a+bi,z2=a—b\(a,匕eR),

由韋達(dá)定理得zi+z2=一血，z[Z2=n,

將Zi=Q+bi,z2=a—bi代入Z14-(1—i)z2=9+6i,

得a+bi+(1—i)(a-di)=9+6i,即(2Q-b)-ai=9+6i,

所以『ML%>解得｛—二君，所以Zi=—6—21i,z2=-6+21i,

所以m=-Qi+z2)=12,n=zxz2=477.

(2)因?yàn)閆i=l+2i,所以Z2=l-2i,所以五=(1,2),b=(1,-2),

所以6-b=-(1,-2)=(t-l,2t+2),a+2b=(1,2)+2(1,-2)=(3,-2),

因?yàn)镋一行與3+2石的夾角為鈍角，所以(從一石)?(元+2勵(lì)<0,且歸一區(qū)與五十2區(qū)不共線，

所叫/二?J跋窗°0,解得t>-7且t7，

所以實(shí)數(shù)1的取值范圍為(一7,—與U(-l,+co).

16.(15分)在△ABC中，角4、B、C的對(duì)邊分別為a,8、c,若匕=Q(cosC+/sinC),

(1)求角A的大小：

(2)若。為8C中點(diǎn)，AD=V13,b=3c,求邊a.

【答案】(1)4=與

(2)a=2夕

【分析】⑴利用正弦定理對(duì)b=a(cosC+孚sin。把邊轉(zhuǎn)換為三角函數(shù)，變形化簡(jiǎn)計(jì)算出角A的三角函數(shù)

值，計(jì)算角4的大小；

(2)利用向量加法的法則可知而=*屈+而)，再利用余弦定理，計(jì)算邊&

【詳解】(1)因?yàn)閎=Q(cosC+?sinC),

所以由正弦定理可得sinB=sin/l(cosC+^sinf),

在中,B=n-Q4+C),

11/16

所以sin8=sin(i4+C)=sin4cosc+cos/lsinC=sin4cosc+^sin/lsinC,

BPcos/lsinC=^ySin/lsinC,

因?yàn)镃E(0,n),sinCH0,所以tam4=VJ,

因?yàn)?16(0,Tt),所以4=全

(2)因?yàn)槿?^(A8+AC),所以|而|=gj(而+AC)2=而2+|宿2+2|制祠cos/

=1Jc2+b2+2cbcos^=

又=所以d=乎c,所以c=2,

又因?yàn)镸=/J2+C2-2bccosA=9c2+c2-6c2cos^=7c2,所以Q=2y/7.

17.（15分）如圖，在梯形48CD中，AB//CD,AB=3CD=6,E為BC上一點(diǎn),且麗=3說(shuō),

DC

APB

（口若力^二山力^十九力。，求m+n的值；

⑵已知而?前二-9.

①求的長(zhǎng)；

②若乙8/1。=],設(shè)P是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），求麗?港的最人值.

【答案】（l）m+〃=?

（2）@AD=2：第.

【分析】（1）根據(jù)向量的線性運(yùn)算，結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)，可得答案；

（2）①利用同一組基底而，而表示向量，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，可得答案；

（2）-^=A^（0<l<1）,利用基底函而計(jì)算而?兩二36萬(wàn)一?1+6,根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最值.

【詳解】（1）因?yàn)锳B//CD,AB=3CD,所以瓦而，

所以荏=近+屁=而+科=而+-^BA+而+硝

=同+*_而+而+/）=癡+海，

又短=m荏+九而，方與而不共線，所以m=；,n=p

4Q

12/16

則?n+九=：.

（2）①由（1）知，荏=冠+涉，

前=-而+而+萍=荷-彳福

所以荏.前=&荏+；而）?（而—冠）=夕?而+癡2_潁2一9.而

=^AD2-^AB2=^AD2-12.

又荏?近=-9,所以%。2-12=一9,解得=2.

②沒Q=蘇政0<A<1）,

則方=AD-AP=AD-AAB,

~PE=AE-AP=^AB+^AD-XAB=6-X）AB+^AD.

又因?yàn)?/。=泉AB=6,AD=2,

所以而~PE=（AD-AAB）?［（I-A）而+涉］

1―?23—?217―，―?

=+-AD+-AD

24L4

13171

=-A（--A）x36+-X4+（---A）x6x2x-

Z4Z4Z

=36A2-^A+6.

因?yàn)?WaW1,函數(shù)/（A）=36"一?+6的對(duì)稱軸為;I=虛

所以2=1時(shí)，麗?麗的最大值樗.

18.（17分）為了響應(yīng)全國(guó)文明城市的號(hào)召，長(zhǎng)沙市計(jì)劃在公園內(nèi)建造如圖所示的正四棱臺(tái)力BCD—4i/Ci

建筑.

(I)若正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為6米和10米，高8米求該正四棱臺(tái)為8C0—4/GD1的側(cè)面積

和體積；

13/16

(2)若正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)之和為12米，下底與上底邊長(zhǎng)之差不超過(guò)4米，棱臺(tái)高2米，設(shè)4Bi

BC=a.求sina的最小值.

【答案】(l)64VT7(m2),號(hào)^(m3)

(2彥

【分析】(1)由臺(tái)體的體積公式求解該正四棱臺(tái)的體積即可；先求出正四棱臺(tái)的側(cè)面的

高，再由梯形的面積公式求解即可.

(2)設(shè)正四棱臺(tái)上、下底邊長(zhǎng)分別為2x,2y.分別用％,y表示MN,B]B,即可表示出sina,令t=(y-%)2

G(0,4],貝ljsina=。十二,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.

【詳解】(1)因?yàn)檎睦馀_(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為6和10,高為8,

故正四棱臺(tái)48co-力體積為V=x(62+102+762x102)x8=等(n^),

記01，。分別為校臺(tái)上、下底面的中心，分別取為Ci，8C的中點(diǎn)加，N,

連接。01，OiM,ON,MN,

在梯形01MN0中，過(guò)M作MHION于H,

由于正四棱臺(tái)側(cè)面是全等的等腰梯形，

且OiO=M〃=8,0}M=3,ON=5,所以〃N=2,

所以MN=7MH2+HN2=灰2+22=2g,

故該正四棱臺(tái)的側(cè)面積S=4x；x(6+10)x2a7=64V17(m2).

(2)設(shè)正四棱臺(tái)上、下底邊長(zhǎng)分別為2x,2y.

由條件可知，x+y=6,0<y-x<2.

此時(shí)在等腰梯形B/CCi中，

MN=yj22+(y—x)2,B$=yjMN2+(y—x)2=-J2(y—%)24-4?

所以sina=^=

Bpyj2(y-x)2+4

令c=(y-x)2k=(0,4],

14/16

則sina=戶=戶=R+—容

y/2(t+2)72(t+2)\J2t+23

當(dāng)且僅當(dāng)t=4時(shí)取等號(hào).

19.(17分)定義：設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若非零向量由=(。力)，函數(shù)/(乃的解析式滿足fa)=asinx+bcos

X，則稱/?(%)為麗的伴隨函數(shù)，麗為/?(%)的伴隨向量.

(1)若向量力瓦為函數(shù)/(無(wú))=2sin(K+?的伴隨向量，求。材的坐標(biāo)；

(2)若函數(shù)f(x)為向量麗的伴隨函數(shù)，在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為瓦c,f(C)恰好為函數(shù)/'(x)的最

大值.

(i)若麗=(24,7),的角平分線交48于點(diǎn)0,c=2,求CD的最大值：

(ii)若加=(b,1),在銳角△,4BC中，求丁=更察的范圍.

【答案】(1)麗=(1,遍)

(2)⑴j(ii)TG[4,|)

【分析】(I)應(yīng)用和角正弦公式展開，再由伴隨向量的定義寫出兩；

(2)(i)根據(jù)已知及輔助角公式得/(%)=25sin(x+◎),tan.=看,結(jié)合已知求得sinC=微，cosC=),

再由三角恒等變換、等面積法、基本不等式求CD的范圍，即可得；(ii)根據(jù)已知及(i)得乙。=,應(yīng)用正

弦邊角關(guān)系、三角恒等變換得T=■而目/W但J)，利用余弦函數(shù)的性質(zhì)求范圍.

4cosz(4-j)'62/

【詳解】(1)由已知/(x)=2sin(x+9=2(si