2026高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專練：翻折、探究性問題

專題突破練12翻折、探究性問題

1.(15分)(2025湖北九師聯(lián)盟二模)如圖,在平面四邊形中/O〃BC,8C=44D=4,

。。=夜,N8C0=45°,點(diǎn)￡為8。的中點(diǎn)，將沿,4E翻折至△4￡的位置，使得四棱

錐尸-4ECO的體積為1.

(1)證明:平面尸EC_L平面AECD;

(2)求二面角A-PD-C的正弦值.

2.(15分)(2025河北滄州模擬)如圖,六面體力的側(cè)面力引石為矩形

BC,FB=AD=3y4B=BC=2,FD=B.

(1)求證:平面48斤EJL平面ABCD.

(2)線段力￡上是否存在點(diǎn)P,使得CP〃平面QEF?若存在，求山AP的長;若不存在,請(qǐng)說明

理由.

(3)求平面￡7力與平面RQC夾角的余弦值.

3.(15分)(2025沏北黃岡二模)如圖，在三棱錐尸-48C的平面展開圖中/C="8=/Q=8,

ABLAC,AB.LAD,ZCAE=30o.

(1)求NRLB的余弦值.

1

(2)在三棱錐的棱/。上是否存在點(diǎn)2使得平面48P和平面8C。所成角的余弦值為丫?

若存在，求出點(diǎn)。的位置;若不存在，說明理由.

4.(17分)(2025湖北武漢一模)已知四棱錐S-ABCD的底面ABCD為平行四邊

形,S/=/8=S8,S8_L/C,N/3C=60°,BC=2,AB=1.

(1)求三棱錐S-4"。外接球的表面積.

(2)設(shè)7為線段SO上的點(diǎn).

(i)若求直線4C與平面所成角的正弦直

(ii)平面a過點(diǎn)B,T,且平面a,探究:是否存在點(diǎn)7,使得平面SAD與平面a之間所成角

的正切值為屈?若存在，求出曇的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

2

答案：

1.⑴證明連接。尺在△。。￡1中,。。=/,。￡'=2,/8。。=45°,由余弦定理得

P^=22+(V2)2-2x2xV2cos45°=2,所以。石=魚,所以Ca+ZM^EC2,所以DEA.CD.

因?yàn)榱Α！?C,N8CO=45°,所以/4OC=135°,則N4OE=45°.

在A4DE中1由余弦定理，得4"=12+(加戶2xlxV2cos450=1,所以AE=1,

故AL^+AE^DE2,^以ADVAEXAD〃BC,所以4E_LBC,則AELEC/E工PE,又

PECEC=E,PE,ECu平面尸EC,所以力￡_L平面尸石C,因?yàn)榱u平面力EC。,故平面PECA.

平面AECD.

(2)解設(shè)四棱錐。/ECQ的高為力,由乙皿P-AECD^x|x(1+2)x1?〃=1,得h=2.

由(1)可知，平面P￡CJ_平面4ECD,PE=2,所以尸E即為四棱錐P-AECD的高，所以PE1

平面4EC。,所以力瓦EC,EP兩兩互相垂直，以￡為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則4(0,1,0),C(2Q0)Q(1,1,0),P(0,0,2),所以而=(1,0,0),而=(-11,2)而=(-1,1,0).

m=0,即儼1=0,

設(shè)平面力的一個(gè)法向量為則DP-m=0,l~xi~yi+2zi=°，

取zi=l,得制=0兇=2,所以〃1=(0,2,1).設(shè)平面尸CZ)的一個(gè)法向量為〃=(工2)2/2),則

n=0,

S?n=0,

即呼取刈=1,得竺=6=1,所以〃二(1,1,1),

十/<2—U,

0x1+2x14-1x1

所以COS</H,W>=

|m||n|V02+22+12XV12+12+12尾乂炳

設(shè)二面角力-PQ-C的大小為0,則sin0=小-(?)2=?,

故二面角4-0》C的正弦值為粵.

2.(1)證明如圖，連接力方,則力尸=后，因?yàn)樾?反4)=3,所以4。2+4產(chǎn)=心2,所乂4。

A.AF.

3

因?yàn)?BLBC,BC〃AD,所以ABVAD,

又4B(V1F=4/B/Fu平面44RE,所以4。J_平面4BFE,因?yàn)?Ou平面4BCQ,所以平面

力BFE工平面ABCD.

(2)解線段力E上存在點(diǎn)P,使得CP〃平面DEF.

如圖，過C作CMJ_N。，交AD于M,則4M=2,過"作MP〃ED灰力E于點(diǎn)P,則空=空，

得AP=2.

下面證明當(dāng)月P=2時(shí),CP〃平面DEF,因?yàn)镃M〃AB,AB〃EF,所以CA/〃E凡因?yàn)镋Fu平

面QERCMC平面DEF,所以CM〃平面DEF,因?yàn)镸P〃ED,EDu平面DERMPU平面

DEF,所以"尸〃平面DEF,又CWnA/P=MCMMPu平面CA/0,所以平面CM尸〃平面

DEF,又CPu平面CA用所以CP〃平面DEF.

(3)解依題意，以4B,力。，力E所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系，

則4(0。0)。(2,2,0),￡)(0,3,0),E(0,0,3)以2,0,3),麗=(-2,3,?3),卮=(0,2,-3),麗=(-2,0,0).

設(shè)平面EFD的一個(gè)法向量為〃=(可/),則［竺"=0=°，不妨令尸1,則

yFD-u=-2x+3y-3z=0,

x=0,z=l,則?=(0,1,1).

設(shè)平面EDC的一個(gè)法向量為羽=(見〃,5),則［吧"-2n-3s—0,不妨令〃=3,

(FDv=-2m+3n-3s=0,

則s=2,〃?=1，則V=(1,3,2).

設(shè)平面EFD與平面FDC的夾角為仇則cos9=|cosv〃，心|=熠=—=%,

I"呵V2xJY61

所以平面EFQ與平面ROC的夾角的余弦值為評(píng).

61

4

3.解⑴在△48。中，因?yàn)?3_L4rM3=40=75,所以3D=遙，所以FB=BD=?

在△力CE中，因?yàn)?E=/Q=C=l,NC4E=30°，所以

CE=J(V3)2+12-2xV3x1xcos30°=1,所以CF=CE=\.

又因?yàn)锽C=y/AC2+AB2=l2+(V3)2=2,

222

在4FCB中，由余弦定理得cosN尸。9=寫篦產(chǎn)l+2-(V6)=1

2CFBC2x1x2一一4

(2)因?yàn)榧词?4/C,/Pu平面力CR所以N8_L平面ACP.

以點(diǎn)力為原點(diǎn)，而，說為x軸、z軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則P(百,0,0)乃(0,0,百),。/。0),設(shè)QQO,O)(OWaW例故的=(a,0,■①)現(xiàn)=(苧；，?何

(m-BQ=ax-\[3z=0,

設(shè)平面3c0的法向量析=(x』,z),則_1取Z=Q,貝ij〃I=(J5,2，5Q-

mBC=—x+-y-V3z=0,

22J，

3/),易得平面48戶的一個(gè)法向量為(0,1,0),則平面力8尸和平面6。。所成角的余弦值cos

0=.2vla'3'=空解得。=8或。■故當(dāng)/。=舊或彳0=今時(shí)，平面初產(chǎn)和平面

j3+(2V3a-3)2+a2

4c。所成角的余弦值為拶.

222

4.解(1)如圖所示，因?yàn)?/BC=60°,BC=2/B=1,故AC=AB-hBC-2ABBCcosZABC=39

即AC=?

則8。2=482+4。2,故418。為直角三角形,即ABtAC,又S8_L/C,S8n48='且SB工Bu

平面S/8,則4C_L平面S4B,又因?yàn)?Cu平面48C。,所以平面S48J_平面ABCD,設(shè)AB

的中點(diǎn)為。，則AS/IB的外凄圓圓心0\滿足0。=白。二x=4B=",這4SAB的外接圓圓

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心。】作直線/】垂直于平面S48,過線段BC的中點(diǎn)。2作直線/2垂直于平面4BC7),其中

5

/￡/2=Q,則。3即為三棱錐S-N8C的外接球球心，且四邊形OQQO3為矩形，即

22

02。3=0。4,故R=BO^B02+0203=點(diǎn),故三棱錐S-ABC外接球的表面積

S=4兀R2=4兀乂上=生.

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(2)(i)以43的中點(diǎn)0為原點(diǎn),08為x軸,平行于ZC的方向?yàn)閥軸,0S為z軸,建立如圖

所示的空間直角坐標(biāo)系，

則4號(hào)0,0),瞄0,0),。(1,V3,O),S(O,O凈V3,0),

而ST鄭D放琨，今條國=(-1,6,0)初=(0,-竽凈.

(-X+V3y=0,(/n

設(shè)〃=(WN)為平面MC的法向量，則|2百V3則產(chǎn)o"令J，=1,則”=(75,1,2)

y+vz=(z=，y,

為平面8TC的一個(gè)法向量.

而尼=(0,遮,0),故直線力。與平面B7C所成角的正弦值sin9=|cosv前,〃>|=黑=

_J3_=V2

V3x2V2―T'

(ii)由(i)可知巾=(-如-=)而=(-|,但-斗,設(shè)平面S/。的一個(gè)法向量為〃尸(RJVD,則

(sArn=-jxryzi=0,

[/m=-1%1+75yl-rzi=0,

令zi=l,貝ij/M=(-V3,-1,I).

如圖,記直線S力Pl平面a=E,直線SCO平面6=尸，連接EF.

因?yàn)?c〃平面a,平面BETFC平面SAC=EF,所以AC/7EF.

不妨設(shè)豆=加，則#=4元,0W2W1,則豆=2(，。￥),故￡(-1,0,y一爭(zhēng)),

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同理可得F(-^,V31,^——1,0,-y—占A),BF=(W—I，V3A,^—yA).

LLLILLLLLLL

設(shè)平面8E777的一個(gè)法向量為〃=(X2必㈤),則

/丸1、，「百百】、

(-2'5)X2+(---^)z2=A0，

+w入y?+(y-yA)z=0,

(2

件泊

解得)，2=0,設(shè)Z2=1,則故Z"T1UA"r11),所以|C3</7I,〃)|fH||<4|=