空間向量的數量積運算【六大題型】-人教A版高中數學選擇性必修第一冊（解析版）

專題L2空間向量的數量積運算【六大題型】

【人教A版(2019)]

>題型梳理

【題型1空間向量數量積的概念辨析】............................................................2

【題型2求空間向量的數量積1...............................................................................................3

【題型3求空間向量的夾角(余弦值)].........................................................6

【題型4利用空間向量的數量積求模】............................................................8

【題型5空間向量數量積的應用】...............................................................II

【題型6投影向量的求解】.....................................................................14

A舉一反三

【知識點1空間向量的數量積與夾角】

i.空間向量的夾角

(1)定義：已知兩個非零向量〃，b,在空間任取一點O,作蘇=°,OB=b,則/AO8叫做向量a,8的

夾角,記作〈a,b>.

(2)范圍：0WQ，b)WTL

特別地，當(。，h)=寵時，Q_L6.

2.空間向量的數量積

已知兩個非零向量。，力，則悶|b|cos<.a,b)叫做。，力的數量積，記作。山.

定義即。山=|a||A|cos〈a,b).

規定：零向量與任何向量的數量積都為0.

①。_1_力=。6=()

性質

@a-a=a1=\a\1

?(/.d)b=k(ab),z￡R.

運算律②。仍=(交換律).

③a?S+c)=a?力+<rc(分配律).

3.空間向量夾角的計算

求兩個向量的夾角：利用公式以^〈3君)=高卷求COS〈H)，進而確定〈13〉.

同例

4.空間向量數量積的計算

求空間向量數量積的步驟：

(1)將各向量分解成己知模和夾角的向量的組合形式.

(2)利用向最的運算律將數最積展開，轉化為已知模和夾角的向晟的數顯積.

⑶代入a=同k|cos〈a，力求解.

【題型1空間向量數量積的概念辨析】

【例1】(23-24高二下?四川涼山?期中)對于任意空間向量篦J,3下列說法正確的是()

A.若d〃3且勿"，則五〃AB.d-(b+c)>=d-b+d-c

C.若五?B=五E且d工6,則B1D.(a-b)c=d(b-c)

【解題思路】根據數量積的運算律即可判斷BCD,根據向量共線的性質即可求解A.

【解答過程】對于A,若6=。,則可〃且力/3不能得到可匯，故A錯誤，

對于Ba-(b+c)=ab+a-cfB正確,

對于C,若a?B=G?3且、工。則同向cos值辦=|d|「|cos值"則B|cos(d,?)==cos<2,"無法得

出E=3所以C錯誤，

對卜D,(2?石口表示與共線的向量，而d(石?1)表示與五共線的向量,所以(日?3)1與2(刃?F)不一定相等，

故D錯誤，

故選：B.

【變式1-1](23-24高二上.廣東東莞?階段練習)已知空間向量乙則下列說法正確的是()

A.若du￡31|己則diiiB.若|小瓦=@?|瓦，則2與3共線

C.若江?不=石?則&=3D.(a-b)-c=(b-c)'a

【解題思路】對ACD,舉特例零向量判斷即可；對B,根據數量積公式判斷即可.

【解答過程】對A,若3=6,則五|花石II房不能得出五II3故A錯誤：

對B,怔?同=恨|?同cos值用二|五|?同，當,與族存在零向量時，d與B共線成立：

當3與另均不為零向后時，|cos優可|=1,故日石夾角為0。或180。，則五與9共線，故B正確：

對3若5=6,則2々二3?乙不能得出2=亂故C錯誤；

對D,(a-b)-c=me,(mER),(b-c)-a=nd,(nGR),故(五?B)，@，1),五不成立，故D錯誤；

故選：B.

【變式1-21(23-24高三下?廣東廣州?階段練習)已知向量灑S,-滿足(2-b)c=(a-c)bt(b-c)a=(5-a)c,

(c-a)S=(c-b)a,這三組向量中兩兩共線的不可能有且僅有()組.

A.3B.2C.1D.0

【解題思路】根據已知條件進行分類討論，列舉出AJB.D三個選項的可能情況即可.

【解答過程】若向量入5,1均為非零向量，則向量五，b,1共線或兩兩互相垂直，此時三組向量中兩兩共

線的有0組或3組，故A和D錯誤；

若其中一個為零向量，則另外兩個向量一定不共線，則(五?&*=(&=(&，3)3=(八&)石=

(c-b)a=O,零向量和另外兩個向量組成兩組共線向量,故B錯誤.

顯然，這三組向量中兩兩共線的不可能有且僅有1組.

故選：C.

【變式1-3](23-24高二上?北京期中)設2、次5是空間向量，則以下說法中錯誤的是()

A.6、b一定共面B.&、b、c一定不共面

C.db=b'dD.d-(b+c)>=d-b+dc

【解題思路】利用共面向量的定義可判斷AB選項；利用空間向量數量積的運算性質可判斷CD選項.

【解答過程】對于A選項，任意兩個空間向量都共面，A對；

對于B選項，G、b.不可能共面，也可能不共面，B錯；

對于C選項，d-b=ba,C對；

對于D選項，a?(b4-c)=a-/?4-a-c,D對.

故選:B.

【題型2求空間向量的數量積】

【例2X23-24高二上?天津靜海?階段練習)已知向量d和3的夾角為120。,且㈤=2,\b\=5,則(2G-b)-a=

()

A.12B.8+A/13C.4D.13

【解題思路】根據空間數量積的運算性質求解.

【解答過程】(2G-a?&=2彥一B?五=2|a|2-|a||b|cosl20°=2x4-2x5x(-0=13.

故選：D.

【變式2?1】(23-24高二上.安徽宣城.期末)已知正四面體ABC。的棱長為a,點E,”分別是8C,A。的

中點，則荏?標的值為()

A.a2B.-a2C.-a2D.—a2

242

【解題思路】根據向量的線性運算得出荏=X而+冠），AF=^AD,根據正四面體的性質得出所|=

\AC\=\AD\=a,且而、AC,而三向量兩兩夾角為不即可通逆向量數量積的運算率得出答案.

【解答過程】c

?.?四面體A8CO是正四面體，

A|S|=\AC\=\AD\=Q,且近、AC.而三向量兩兩夾角為今

???點E,尸分別是BC,4。的中點，

???荏=1（屈+硝，而=；而，

則荏.而=行+^C）-AD=AD+AC-AD）=：（a2cosg+a2cosg）=：小，

故選：C.

【變式2?2】（23-24高二上?重慶?期中）己知EF是棱長為8的正方體的-■條體對角線，點M在正方體表面上

運動，則就?麗的最小值為（）

A.-48B.-32C.-16D.0

【解題思路】求得正方體外接球的半徑，根據空間向量的數量積運算求得砒?標的表達式|麗產-48,確

定|而|的最小值，即得答案.

【解答過程】如圖，EF?是校長為8的正方體的一條體對角線，則也是正方體外接球的一條直徑，

由正方體的特征可得其外接球半徑為亞手￡=4?

設外接球球心為0,則而=一而，

則注?~MF=（M0+函?而+而）=（M0+0E）?而-0E）

=砌2_|05|2=?而『_代遮）2=|麗/_48,

由干點M在正方體表面上運動，

故|宿產的最小值為球心。與正方體面的中心連線的長，

即為正方體棱長的一半，為g=4,

所以砒?市的最小值為4?-48=-32,

故選：B.

【變式2-31（23-24高二上?遼寧沈陽?階段練習）如圖，在四棱錐F-4BCD中，PD1底面48CD,四邊形4"。

是邊長為1的菱形，且4ADC=120°,PD=40,則（）

P

A.(pA+DC^DP=1B.(DP+DB)-AD

C.CP-PA=-lD.瓦?麗書

【解題思路】由空間向量的線性運算對選項一一計算即可得出答案.

【解答過程】對于A,因為PO_L氐面ABC。，所以O4OCu底面力8c。，

所以PD_L￡M,PD1OC,所以（5X+反）?麗=萬彳?萬？+反?而=0,故A錯誤;

對于B,因為N/WC=120°,40=DC=1,所以44D8=60°,

所以△408為等邊三角形，所以。B=l,

所以麗?AD=一麗?DA=-\DB\-DCOS

|7|60°=--2

(而+麗).而=麗?前+而=而故B錯誤:

對于C,CPPA=(CD+DP)-(DA-~DP)=CD-DA-CD-DP+DPDA-DP2

=-\DC\?|53|cosl200-0+0-1=1-1=故C正確；

對于D,DC-BP=DC-(DP=DC-DP-DC-DB=0-\DC\-|D5|COS60°=

故D錯誤.

故選：C.

【題型3求空間向量的夾角(余弦值)】

【例3】(23-24高二上.山東煙臺.期中)已知空間向量2b,1滿足㈤=2,同=3,隨|=近且@+族+才=6,

則d與族的夾角大小為()

A.30°B.60°C.120°D.150°

【解題思路】由0=_0+1)，利用向量數量積的運算律有產=或+2,不+岸，即可求,與石的夾角大小.

【解答過程】由題設5=—(a+b),則產=m+5)2=a2+2d-5+S2=4+2x2x3xcos伍,￡)+9=7,

所以cos(G,3)=一右又(五㈤￡(0m),可得值研二g,BP(a,b)=120°.

故選：C.

【變式3-1X23-24高二上?北京順義?階段練習)如圖，在平行六面體48CD-48iCiDi中，4B=40=441=

1,二匕48力力1=乙644=9則直線BDi與直線4C所成角的余弦值為()

24

【解題思路】由線段的位置關系及向量加減的幾何意義有西=而+京-而、AC=AB+AD,利用向

量數量積的運算律求尼?西、|西|，最后應用夾角公式求直線夾角余弦值.

【解答過程】由西=瓦(+而+西=而+而一荏，AC=AB+AD,

所以衣-BDl=(AB+AD>)-(AD^AA^-AB)=AB-lS+AB-AAi-AB2+AD2+AD-AA^-AD-AB,

又AB=AD=AAr=1,4BAD=^,/.BAA1=^DAAr=：,

所以痔西=0+當-1+1+9-0=&，M|ZC|=V2,

?I.....??/?_?2?......，1????,??*.........—…”

222

\BD1\=l（AD+AAX-AB）=^AD4-AAj+AB+2AD-AAA-2AD-AB-2AAX-AB

=V1+1+1+V2-0-V2=V3,

綜上，直線8劣與直線4c所成角的余弦值為|需森|=段=￡

故選：D.

【變式3-2]（23-24高二?江蘇?課后作業）已知蔡，盛是兩個空間單位向量，它們的夾角為60。，設向昂W=

—>—?——>—>

2m4-n,b=—3m+2n.求：

（1）：?8；

（2）向量溫與I的夾角.

【解題思路】（I）由題知/■二%進而根據數量積的運算律得計算即可得答案；

（2）由向量模的計算公式得問二夕，慟二被，進而根據夾角公式即可求得答案.

【解答過程】（1）解：因為薪，品是兩個空間單位向量，它們的夾角為60。，

所以m-n=|n||TTI|COS60°=

所以Z?b=（2m4-n）?（—3m+2n）=-6m|+zn-n+2n|=-6+|+2=-^；

（2）解：因為=（2m4-n）=4|m|4-4m-n+|n|=4+4x|+l=7,

7*/TT\2IT2TT[T[21

b=（—3m+2n）=9|TH—12m-n+4|n|=9-12x-+4=7

所以同二夕，Z）|=yfl,

又因為之-b=-^

所以8s的=崩=急=/

因為色,，€[0,汨，所以G，3二今即向量3與拓夾角為等

【變式3-3]（23-24高二上.廣東江門?期中）如圖，在平行六面體48。0-4&。1。1中，以頂點A為端點的

三條楂長度都為2,且兩兩夾角為60。.求：

DiG

(l)8〃i的長；

(2)西與前夾角的余弦值.

【解題思路】(1)表達出西=-&+^+人平方后，結合數量積運算法則計算出西之=8,求出西的

長為2或：

(2)計算出國|=26,西?元=4,從而利用向量的夾角余弦公式求出答案.

【解?答過程】(1)設A*=a,AD=b,AA[=c,由題意知：|五|二|同=|曰=2,<a,b>=<b,c>=<c,a>

=60°,

.*.a-b=b-c=c-d=2x2xcos600=2,

又*?西=BA+=-a+c+b,

222

BDl=(b+c—a)=S+c+a+2b-c-25-a—2c-5=44-4+4+4-4-4=8,

???|西|=2&，即西的長為2vL

(2)yAC=AB+AD=a^b,

,.AC2=(d+J)=a2-^-2a-b+b2=4+2x24-4=12,

：.\AC\=2V3,

22

BDi-AC=(b+c-a)-(<d+b')=d'b+d'C-d+b+b-c-d'b=4,

Acos<BD[.AC>=萼客==西，

1忸北|2V2X2V36

即西與前夾角的余弦值為

【題型4利用空間向量的數量積求模】

[ft4](23-24高二上.新疆和田期中)已知2、b,乙均為單位向量，值研=(方㈤=90。,(afc)=60%則

\a-b+c\=()

A.4B.V2C.2D.V3

【解題思路】利用空間向量數量積的定義與運算性質可求得怔-B+4的值.

【解答過程】因為2、b.1均為單位向量，值㈤=仿?=90。，60=60。，

由空間向量數量枳的定義可得五.J=b-c=0,d-c=\a\'|c|cos600=

所以，|,-族+42=&2+中+產-2&不+2G々-2族1=3—0+2x：-0=4,

因此，|G-G+4=2.

故選：C.

【變式4-1］（23-24高二上?湖南?期中）如圖，一塊礦石晶體的形狀為四棱柱48CD-&B1GD］,底面4BC。

是正方形，CQ=2,CD=3,且4&。8=〃：1。。=60。，則向量碇的模長為（）

A.V29B.34C.52D.V34

【解題思路】由后=初+而+而，結合向量數量積的運算律求向量砧的模長.

【解答過程】由碇=羽+而+而，又底面4BC。是正方形，CCi=2,CD=3且4GCB=4\CD=60°,

所以碇2=（幣+AB+而產=不2+而2+而2+2^1?AB4-2A^A?AD+2AB?而=4+9+9+

6+6+0=34,

故|砧|=V34.

故選：D.

【變式4-2］（23-24高二上?浙江?期中）平行六面體力BCD-41BiGDi中，AB=AD=1,AAX=2,乙DAB=

90°,^AtAD=^ArAB=120°,則線段4G的長度是（）

A.4B.2V2C.2D.V2

【解題思路】根據溫=麗+而+麗\根據向量數量積的定義和運算律可求得|福廣，由此可得結果.

【解答過程】

vACi=AC+CCi=ABAD+AAX,

???|殖:=（ABAD+麗=畫2+質:+|對2+2通而+2而.麗*+2通.麗=1+1+

4+0+4cosl20°+4cosl20°=6-2-2=2,

|裾|=或，即線段AC1的長度為VI

故選：D.

【變式4-3］（2024?遼寧?模擬預測）已知空間向量五萬,麗兩夾角均為60。，且|汨=\b\=1,用=2.若向量￡,歹

滿足H?（H+d）=￡?歹?CP+通=歹?F,則|￡一步|的最小值是（）

A.1B.—C.0D.-

222

【解題思路】根據題意，取一個三棱錐，用其棱表示對應的向量，結合題中所給的條件，將柞應的邊長求

出，之后應用空間向量運算法則，表示出對應的結果，從而判斷出取最值時對?應的情況，求值即可.

且440B=Z.AOC=Z-BOC=60°,OA=OB=1,OC=2,所以48=1,

AC=BC=y]UB2+UC2-2UB-VC-COS6U0=V1+4-Z=W,

設加=x,AY=y,

因為￡?(;?+,)=￡?3,所以衣?(衣+成一而)=0,即衣?或=0,

所以X在以為直徑的球上，球半徑為點設球心為O，

又由夕?（歹+日）=歹㈤司理可知丫在以4c為直徑的球上，球半徑為弓，設球心為E,

球心距。￡=今所以兩球相交，即x點與y點可以重合，

又伉一歹|=I萩一而|=\YX\,

所以氏一到min=I我Lnin=°，

故選：C.

【題型5空間向量數量積的應用】

【例5】（23-24高二上?四川綿陽?期中）如圖，在平行六面體ABCO中，底面ABCD是邊長為I

的正方形，側棱力H的長為2,且乙4S8=￡A'AD=120°.求:

⑴片廠的長；

（2）直線BD'與4C所成角的余弦值.

【解題思路】（I）利用空間向量數量積的運算律求解；

（2）利用空間向量的數最積的運算律以及夾角公式求解.

【解答過程】（1）AB2=l.AD2=l,A^2=4,ABAD=0,

AB-AAf=\AB\?\AAf\cos￡A'AB=-1,AD-AA^=\AD\?|而|cos乙AAD=-1,

因為而=AB+AD+彳R,

所以

I砌=J（而+AD+碼）2=J而2+而2+疝2+2（而-AD+AB-AA;+AD-Z47）

=71+1+4+2（0-1-1）=&.

（2）'BD7=~BA+~BC+F57,

|兩|=函+說+兩=J麗2+痔+兩2+2廊?麗+麗?兩+旅.兩）

=Jl+1+4+2（0+|明.甌|cos60。+國?甌|cosl20。）=倔

|回=V2,

BD7-AC=（BA+~BC+麗）?由+砌

=-AB2+而屈+萬?兩+麗?而+刷而+?同=-1+0-1+0+1-1=-2,

所以cos<BD',AC>=|鴛M=房"2=-4，

忸叫|ac|V6XV23

因為直線80與4c所成角€［0,3,

所以直線BD'與4。所成角的余弦值為苧.

【變式5-1］（23-24高二上?河南?階段練習）已知不共面的三個單位向量瓦工而，而兩兩之間的夾角均為60。,

OM=OA+OB+0CfON=OB+OC.

⑴求證：0M1BC；

（2）求cos（。雙麗）.

【解題思路】（1）根據向量的數量積運算即可證明.

（2）利用向量的夾角公式即可計算.

【解答過程】（1）因為為?。萬=雨?配=礪?覺=1X1XCOS60O=5

所以南-BC=（pA+OB+OCy（OC-OB）>=OA-（OC-OB）+（pB+OCy（OC-OBy）

=0C2-0B2=1-1=0,

所以麗1就，即。M18C.

（2）因為畫?麗=麗?沃=US-U?=lxlxcos60o=5

所以兩?西=（OA+08+OC）?（OC+UK）=4,|UM|2=（UA+CTB+OC）2=6,

2?

所以I而I=（而+沆）=3.

所以|而|=在，|而|=V3.

所以cos西麗）=jggi=焉=半

【變式5-2］（23-24高二上?重慶九龍坡?期末）如圖，已知平行六面體力BCD—4B￡Di中，底面力BCO是

（1）求線段C%的長;

(2)求證：CA1LB1D1.

【解題思路】

(1)西=而+而+西，結合向量數量積運算，求模即可.

(2)B^=-CB+CD,由向量數量積關于垂直的表示即可判斷.

【解答過程】(1)設而=d,^B=b,CCi=c,則|五|=\b\=1,\c\=2,

?；=乙BCD=乙GCD=60\W>Ja-c=6?c=2x1xcos60°=1,a-6=lxlxcos60°=

VCA[=CD+CF+CC；=d+5-Fc?|C4；|=|d+5+c|=J(G+B+c)2=

Ja2+52+c2+2(a?5+a?c+5-c)=Jl+l+4+2xQ+l+l)=VTl.

故線段C4的長為“I.

(2)證明：=-CS4-CD=a-5,=(a+b+c)?(a-S)=a2-b2-5-c+a?

c=1—1--+-=0.

22

故C418iD「

【變式5-3](2024高二.全國?專題練習)如圖，正方體A8CD—4B1GD1的棱長是a,CDi和OG相交于點。?

⑴求可?辦

（2）求同與13的夾角的余弦值

（3）判斷刀與兩是否垂直.

【解題思路】

（1）利用數量積的公式可得；

（2）先用荏，而，何表示而，利用數量積運算律可得前?3、|布|進而利用公式可得而與次的夾角的余

弦值.

（3）利用數量積運算律得彩?可=0,進而可得而與可是否垂直.

【解答過程】（1）正方體ABCD-&8iGDi中，CD[=&a,（可，而）=：,

故)2

C￡i?CD=V2axaxcos-4=a

(2)由題意知，AB-AD=O,AB-AA^=O,AA^-AD=0,

AO=AD+~DO=AD+^(AB+,

畫=J［而+灑+砌2=J而2+(而2+］麗*2=亨

故而-CB=-AOAD=-［Z5+；(而+而)1AD=-a2,

故儂陽函=布=e=-9

(3)由題意，AB-AD=0,AB-AA^=0,AA^-AD=0,

萬?E=［而+X近+標)］?(赤-硝

=3磯2一g府2=o,

故而與E垂直.

【知識點2向量的投影】

1.向量：的投影

(1)如圖(1),在空間，向量。向向量力投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平

面a內，進而利用平面上向量的投影，得到與向量力共線的向量c,c=|a|cos〈a,b＞卷，向量。稱為向量

a在向量。上的投影向量.類似地，可以將向量。向直線/投影(如圖(2)).

(2)如圖(3),向量。向平面夕投影，就是分別由向量。的起點4和終點8作平面口的垂線，垂足分別為

A',8',得到A'B1,向量A'8,稱為向量。在平面夕上的投影向量.這時，向量a,A'Br的夾角就

是問量。所在直線與平面P所成的角.

【題型6投影向量的求解】

【例6)(23-24高二下?安徽合肥?開學考試)已知空間向量悶=V13,\b\=5,且五與3夾角的余弦值為一誓

則d在月上的投影向量為()

.9V13r09V13r

A.--------bB.------bD--舒

1313c3

【解題思路】根據題意和投影向量的概念計算即可求解.

【解答過程】???悶=反，網=5,五與3夾角的余弦值為-誓