函數的奇偶性-高考數學重難點題型專練（新高考地區專用）解析版

專題2.6函數的奇偶性?重難點題型精練

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）

I.（5分）（2022?東湖區校級一模）已知/（公=0?+布?是定義在［a-1,2a］上的偶函數，那么4+〃的值

是（）

1111

A.—B.-C.-5D.一

3322

【解題思路】依照偶函數的定義，對定義域內的任意實數，/（-幻=f（X）,由此求得/開勺值.且定義

域關于原點對稱，故。-1=-2〃，由此求得〃的值，從而得到a+b的值.

【解答過程】解：對于函數知f（幻=（Lr+bx,

依題意得：.f（■外=/（x）,??.b=0.

又a-1=-2a,Aa=

.皿1

??a+b=2.

故選：B.

2.（5分）（2021秋?海安市校級月考）設函數/（x）=尋，則下列函數中為奇函數的是（）

人I乙

A.f（A--2）-1B./（x-2）+1C.f（x+2）-1D./（x+2）+1

【解題思路】化簡函數/（x）=1-*,分別寫出每個選項對應的解析式，利用奇函數的定義判斷.

【解答過程】解：由題意得，/（X）=1-2.

人*1乙

對4,/（x-2）-1二一?是奇函數；

對B,f（.x~）+1=2—（,關于（（），2）對稱，不是奇函數；

對C,/（.葉2）7=-嘉，定義域為（-8,-4）U（-4,+8）,不關于原點對稱，不是奇函數；

對。，/（%+2）+1=2—士:，定義域為（?8,-4）U（-4,+8）,不關于原點對稱，不是奇函數：

故選：A.

3.（5分）（2022春?滿洲里市校級期末）若函數/（%）是奇函數，當x>0時，/（x）=logw則/'（—）=

)

A.\B.-1C.2D.-2

1

【解題思路】根據題意，由函數的解析式求出/(')的值，結合函數的奇偶性分析可得答案.

【解答過程】解：根據題意，當x>0時，f(x)=log3X，所以=2。,。3義=，。,。33T=-，，

又由/Cr)為奇函數，所以/(-4)=—/(3=l，

故選：A.

4.(5分)(2022秋?渝中區校級月考)已知/(x)是R上的偶函數，當x20時，/(%)=x+/n(x+1),

則x〈0時，/(x)=()

A.-x-In(I-.r)B.x-In(1-x)C.-x+ln(1-x)D.x+ln(I-x)

(解題思路】利用偶函數的性質對應求解即可.

【解答過程】解：令x<0,則?x>0,/(x)=f(-x)=-x+ln(-x+1).

故選：C.

5.(5分)(2022?寶垠區校級模擬)已知函數f(A)是定義在R上的偶函數，且當x>0時，f(x)=ln

【解題思路】根據題意，先通過對稱點的方法求出函數在區間(-8,())上的表達式，從而得出函數完

整的表達式，然后利用對數函數y=〃狀圖象向左平移一個單位的圖象與原困數在(0,+8)上圖象進行

對照，得到正確的選項.

【解答過程】解：???當工>0時，/(x)=/〃(A+1),

???設/<0,得-x>0,/(-x)=In(-x+1)?

又???函數/(x)是定義在R上的偶函數，

???/(-x)=f(x),

即當xVO時,f(x)=ln(-A+1),

綜上所述，得/⑴二F(”+i)a>o),

由自然對數的底為e=2.71828“?>l,當x>0時原函數由對數函數y=)a圖象左移一個單位而來，

得當x>0時函數為增函數，了數圖象是上凸的，

根據以上討論，可得C選項符合條件，

故選：C.

6.(5分)(2022?黃州區校級二模)已知函數f(x)=—(口+1)-?+l,f(a)=2,則j(?a)的值

為()

A.1B.0C.-1D.-2

【解題思路】構造函數g(x)=xln(?'+1)-x2,可判g(x)為奇函數，易得答案.

【解答過程】解：構造函數g(A)=篦〃(0+1)

則g(-x)+g(x)=-xln(e'2x+l)-x^+xlnCeZx+\)-x2

2x+l

=xln—e—--2x1=xlne2x-2.r=0,

e-2x+l

故函數g(x)為奇函數，

又/(a)=g(a)+1=2,(a)=1,

/./(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1=0

故選:B.

7.(5分)(2021秋?城關區校級期末)若f(x)是定義在R上的偶函數，在(-8,0］上是減函數，且/

(2)=0,則使得/(log”)V0的x的取值范圍是()

A.(0,4)B.(4,+8)

11

C.(0,-)U(4,+8)D.(-,4)

44

【解題思路】偶函數圖象關于)，軸對稱，所以只需求出(-8,()］內log”的范圍，再根據對稱性寫出logzt

解集，最后根據對數的單調性求出不等式的解集.

【解答過程】解：/(x)是定義在R上的偶函數，在(-8,()］上是減函數，，在［0,+8)上是增函數，

.*./(log2X)=f(|log2x|)?則不等式等價于f(|k>gzr|)<f(2),A|log2x|<2.

1

:.-2<log2x<2.*.—<x<4.

故選：D.

8.（5分）（2021?河南模擬）設函數/（x）為定義在R上的偶函數，當xVO時，/（x）=/，；（-X）,若

?=/（2L,）,/?=/（504）,c=f（lnV5）,則a,b,c的大小關系是（）

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.c<a<b

【解題思路】由已知先求出七>0時函數解析式，然后結合函數的單調性即可比較大小.

【解答過程】解：因為xVO時，/（x）=ln（-x）,

所以￡>0時，-xVO,

所以/（-x）=lnx=f（x）,

因為工>0時，f（x）=/小單調遞增，

因為/〃遍V/〃e=l,504>1,

則b>c,

114_____________

因為21」+5°q=2而+5而=-211+54=^3.2768>1,

故2口>5叫

故a>b.

綜上

故選：B.

二.多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

9.（5分）（2021秋?濱州期末）下列函數中，既是偶函數，又在區間（0,+8）上單調遞減的是（）

1O

A.y=-B.y=-xC.y=log^\x\D.y=cosx

%2

【解題思路】根據題意，依次分析選項中函數的單調性和奇偶性，即可得答案.

【解答過程】解?：根據題意，儂次分析選項：

對于A,y=l,是反比例函數，不是偶函數，不符合題意；

對于從），=-/,是二次函數，既是偶函數，又在區間（0,+8）上單調遞減，符合題意；

log\x,x>0

之，既是偶函數，又在區間（0,+8）上單調遞減，符合題意；

（，。91（-%），XV0

對于。，y=cosx,是余弦函數，區間（0,+8）上不具有單調性，不符合題意；

故選：BC.

10.（5分）（2022春?揚州期末）已知奇函數/（x）與偶函數g（x）的定義域、值域均為R,則（）

A./(x)+g(x)是奇函數B./（x）|g（外|是奇函數

C./(x)g(x)是偶函數D.f(g(x))是偶函數

【解題思路】根據奇函數、偶函數的定義逐?判斷即可.

【解答過程】解：對于A選項，因為/(?x)+g(r)=-f(x)+g(x)(x)+g(x)且/(?x)

+g(-x)=-f(x)+g(x)-[f(x)+g(x)],

所以/(x)+g(x)既不是奇函數也不是偶函數，故A錯誤；

對于8選項，因為f(-x)Ig(-X)1=-fix)\g(x)I，所以極(A)I是奇函數，故B正確；

對于C選項，因為/(-K)g]-X)=-/(x)g(A-)乎f(x)g(x),所以J'(x)g(x)是奇函數，不

是偶函數，故C錯誤；

對于。選項，因為/(g(-工))=/(g(x)),所以/(g(x))是偶函數，故D正確.

故選：BD.

11.(5分)(2022春?煙臺期末)若函數/(2x+2)為偶函數，/(x+1)為奇函數，且當.隹(0,1]時，f

(A)=//LV?貝I」()

A.f(X)為偶函數

B.f(e)=1

C./(4-1)=-l

D.當x€[l,2)時，/(x)=~In(2-x)

【解題思路】由函數的奇偶性的定義，推得/(x+2)=-f(x),可得f(X)的奇偶性和周期性，結合

已知區間上的函數解析式，計算可得結論.

【解答過程】解：若函數/(21+2)為偶函數，可得/(-2%+2)=/(21+2),

即為/(?x+2)=/(x+2),即/(?％)=/(x+4),

又/(x+1)為奇函數，可得4/(x+l)=0,

即有/'(-x)+fCx+2)=0,

所以/(x+4)=-/(x+2),

即有/(x+2)=-/(x),

可得/(-x)=f(x),即f(x)為偶函數，故A正確；

當xW(0,1]時,f(x)=lnx,

由/(x+4)=-f(x+2)=/(1)，可得/(x)的最小正周期為4,

f(e)=/(-e)=f(4-e)=?/(e?2)=-In(e-2),故B錯誤；

f(4-1)=/(-；)=/(,)='":=一1’故0正確；

當x￡[l,2)時，2-尤(0,1],/(2-x)=ln(2-x),

而/(2-x)=-f(-x)=-f(x),

則/(x)=-In(2-x),xE[[,2),故。正確.

故選：ACD.

12.(5分)(2022春?荷澤期中)已知函數/(x)是定義在R上的奇題數，當x>0時，/(X)=丁)?(x

-I),貝lj()

A.當xVO時，/(x)=，?(A+1)

B.函數/(x)有2個零點

C.f(x)>0的解集為(?1,0)U(1,+8)

D.V.vi,A-26R,都有>(川)-f(A-2)|<2

【解題思路】由已知結合函數的性質分別檢驗各選項即可判斷.

【解答過程】解：因為/(X)是定義在R上的奇函數，當七>0時，/(x)=e"?a-I),

當x<OH寸，-x>0,

則/(-x)=ex*(-x-1)=-f(x),

所以/(x)=夕?(x+1),A正確；

當x>0時，/(x)=/工?(x-1)有一個零點x=l,

當xVO時，/(x)="?(x+1)有一個零點”=-I,

由奇函數性質得/(0)=0,故有3個零點，8錯誤；

當％>0時，/(%)=e"?(x-1)>0得％>1,當xVO時，f(x)="?(x+1)>0得?1VXV0,。正

確；

當x>0時，f(x)=er?(X-1),

則/(%)=符，

易得，當工>2時，f(x)<0,函數單調遞減，當()VxV2時，f(x)>0,函數單調遞增，

故當x=2時，函數取得極大值/(2)=/，x-+8時，/(x)-0,x-0時，/(x)-*-1,

故此時函數有最大值/(2)=也，

根據函數對稱性可知，xVO時，函數取得最小值/(2)=一3,

故I/'（XI）-f（X2）|<2,。正誦.

故選：ACD.

三.填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

13.（5分）（2022春?滿洲里市校級期末）設函數/（%）=（x+1）（盧4）在區間（\-b,2）上為偶函

數，則2。+〃的值為

【解題思路】根據題意，由偶函數的定義域要求可得的值，結合二次函數的性質可得。的值，計算可

得答案.

【解答過程】解：根據題意，因為函數/（x）=（x+l）（戶。）在區間（I-〃，2）上為偶函數，

必有.（1-〃）+2=0,即1-/尸-2,解得h=3.

乂二次函數=『+（4+1）X+4為偶函數，則其對稱軸為），軸，

必有a+\=0,則有a=-1,

所以2。十〃=1；

故答案為：1.

14.（5分）（2020秋?豐臺區期中）已知偶函數/（x）部分圖象如圖所示，且/（3）=0,則不等式/.（x）

<0的解集為（-3,3）.

【解題思路】根據題意，由函數的圖象分析.f（x）>0與/G）V0的區間，結合函數的奇偶性分析可得

答案.

【解答過程】解：根據題意，由函數f（x）在［0,+8）上的圖象，

在區間［0,3）±,f（x）<0,在區間（3,+8）上，y（x）>0,

又由/（x）為偶函數，則區間（-3,0］上，/（x）<0,在區間（-8,-3）上，/（x）>0,

綜合可得：不等式/（x）V0的解集為（-3,3）,

故答案為：（-3,3）.

15.（5分）（2022春?福州期末〕設函數/（公的定義域為R,/（1+1）-2為奇函數，/（x+2）為偶函數,

當大41,2］時，f（x）=a.r+b.若f（-I）4/（0）=1,則/（當當

【解題思蹂】先由題設得函數f（%）關于點（1,2）和直線x=2對稱，再由對稱性得出函數周期

為4,再結合/(1)=2以及/(-I)4/(0)=1求出小方的值，最后由周期性求函數值即可.

【解答過程】解：由/(x+1)-2為奇函數，可得/(x+1)-2=-/(7+1)+2,函數/(工)關于點(1,

2)對稱.

又定義域為R，則有/(I)=2,又/(x+2)為偶函數.

可得/(x+2)=/(-x+2),函數/(%)關于直線x=2對稱，則/(x)=4-/(2-x)=4-/(2+x).

又/(2+x)=4-/(-x),則/(4)=/(-x),則/(x+2)=/(-x+2)=f(x-2),函數f(x)周

期為4.

則..2023=/(1012-11)1=/(1-)=4-/(3-)?

由上可得八-1)=/(1)=""(0)=4-/(2)=4-4?-b,則｛煞:;：_4Q—=1'解得卷;；

則e/(；3)號9+1=竽13，則e20/23(丁3)=73.

故答案為：

4

16.(5分)(2022春?湖南月考)函數/皂)=/+〃(〃>0,b>(),例)是偶函數，貝、

fCab)與/(2)三者間的大小關系是f(ab)Vf(2)<f(a+b).

【解題思路】由偶函數的定義推得時=1,再由指數函數和對勾函數的單調性可得/￡)的單調性，結

合基本不等式可得所求大小關系.

【解答過程】解：函數/(x)=/+〃(。>0,b>0,4/1,萬W1)是偶函數,

可得/(-x)=/(x),即4

ax+bx

即7777“5

(ab)x

1

可得(ab)x=l,即有必=1,即。=熱

由a+b>2>/ab=2,

又/(X)當。>0時，若則〃>1；若OVaVI時，則小、>1,

令，=/,x>0,

若。>1時，則/=/遞增;

又在(1,+8)遞增，可得/(x)在(0,+8)遞增;

若OVqVl時，則/="遞減,

又y=f+/i在(0,1)遞減，可得/(x)在(0,+8)遞增;

由l〈2〈a+b,可得/(I)</(2)<f(a+b),

即/(必)</(2)</(〃+〃).

故答案為：f(ab)</(2)</(〃+〃).

四,解答題(共6小題，滿分70分)

17.(10分)(2021秋?長泰縣校級期末)已知函數/(%)=旦要是奇函數，且/(2)=-行求/(x)的解

析式.

【解題思路】先由奇函數的定義得到等式八-x)=-/(x)由其恒成立的特性得出q的值，再由/(2)=

求出p,即可得到函數的解析式.

【解答過程】解：/(%)=名著.

V/(X)是奇函數，

???對定義域內的任意的乂都有/(?x)=?/a),

即竺等=一絲等，整理得：q+3x=-q+3x,

q+3xQ—3x

：,q=0(8分)

乂?.?/(2)=-I，

f(2)==—率解得〃=2

，所求解析式為/?二名著.

18.(12分)(2022春?三元區校級月考)已知/(x)為R上的奇函數，當x>0時，f(x)=--2x.

(1)求/(?2)；

(2)求/(x)的解析式：

(3)畫y=/(x)的草圖，并通過圖像寫出)=/(》)的單調區間.

【解題思路】(1)由已知先求/(2),然后結合奇函數定義可求;

(2)由已知區間上函數解析式，結合奇函數定義及性質可求；

(3)結合二次函數的圖象及性質即可求解.

【解答過程】解：(1)因為/(#為R上的奇函數，當x>0時，/(x)=？-2x.

所以/(2)=0,

則/(-2)=-/⑵=0；

(2)當x=0時，/(x)=0,

當xVO時，-x>0,f(x)=X2+2￥=-f(x),

所以/(x)=-f-2t,

x2-2x,x>0

0,x=0,

(-x2-2x,x<0

(3)結合函數圖象可知，函數的增區間為(?8,?1)和(1,+8),減區間為(?1,1).

19.(12分)(2021秋?海安市校級月考)設/(x)是定義在R上的奇函數，且當xVO時，f(x)=2以3工

(1)求函數/(x)在R上的解析式；

(2)解關于x的不等式/(x)>2.5、.

【解題思路】(1)根據奇函數，利用換元法求出當x>0時解析式，即可得到函數/(x)在R上的解析

式；

(2)分別對xVO,x=0,x>0三種情況解不等式/(x)>25\

【解答過程】解：(1)當x<0時，/(x)=2"3，.

當x>0時，-xVO,所以/(-x)=2'x+3'x.

因為/(x)是定義在R上的奇函數，所以/(-工)=-/(工).

所以/(x)=-(2X+3X).

當x=0時，W/(-0)=?/(0),從而/(0)=0.

2X+3X,x<0

(0,x=0

一(2一工+3一，x>0

(2)由(1)知，當x>0時，因為2i>0,3r>0,所以-(2'x+3'-v)<0.

當x=0,/(0)=0.所以當x20時，/(x)W0.

而當時，2.5'>0,所以不等式/(x)>2.5、在［0,+°°)上無解.

23

當XV0時,不等式/(%)>2.5、為。+3”>2.5工,所以(-)x-(-)t>2.

55

23

記函數g(X)=(-)*+(-)r,X<().

55

2323

因為三，(o，1),所以函數了=(-)y=(-)”均為"上的單調減函數，從而函數g(x)為R上

的單調減函數.

23

又g(0)=1+1=2.所以不等式(一)以(一)”>2的解集為(-8,0).

55

從而關于x的不等式/J)>2.5工的解集為(-8,0).

20.(12分)(2021秋?包頭期末)函數/(x)=log2(2-x)+Iog2(2+x).

(1)求/(x)的定義域，判斷并證明函數/(x)的奇偶性；

(2)若2a=3〃=〃?(lVmV2),比較/(2a)與/(?3〃)的大小.

【解題思路】(1)根據對數函數成立的條件，建立不等式，以及利用函數奇偶性的定義進行判斷即可：

(2)利用指數基和對數之間的關系進行轉化，利用復合函數單調性之間的關系進行轉化即可.

2—xJ-->0(x

,得，得-2<x<2,即函數的定義域為

(2+x>0U>-2

(-2,2),

則/(-X)=log2(2+x)+log2(2-x)=f(x),即f(x)是偶函數.

(2)V/(x)是偶函數，

/./(-3b)=f(3b),

由2a=3h=m得n=log2〃i,〃=log3〃?，

Vl</n<2,AO<t/<l,0<Z><L

則2。=210g2〃?，3。=310g3〃?，

2lnm

2a2logm方寸2ln3In9

則五二標2丁晅=痂"嬴"

ln3

則2a>3bt

f(x)=log2(2-x)+Iog2(2+x)=log2(2-x)(2+x)=log2(4-x2),

則/(x)在(0,2)上為減函數，

則/(2a)</(3Z?),即/(2a)<fC-3b).

21.(12分)(2022春?大興區校級期末)已知函數/(%)二2《.

(1)判斷函數的奇偶性，并進行證明；

(2)若實數。滿足2/(，。92。)+/(，。91。)+/(-1)工0,求實數〃的取值范圍.

【解題思路】(1)利用奇函數的定義證明即可；

(2)利用對數的性質化簡，利用函數的單調性脫去/,即可得解.

【解答過程】解：(1)函數/(A?)為奇函數，證明如下:

函數f(幻=基r的定義域為R

旦/(7)

?V(X)為奇函數.

△，，_ex-e-x_e2x-l2

2

由于為增函數且為減函數，.?./J)為R上的增函數;

e2x+l'

/.2f(log2?)+f(logia)+f(I)=2f(log2t/)-f(log2?)+/'(1)WO；

2

,V(Iog2?)W-/(I)=/(-1)；

1

，log2。龍-l=log2-；