平面向量的概念（提升練）原卷版

第六章平面向量及其應(yīng)用

6.1平面向量的概念（提升練）

一、單選題（共5小題，滿分25分，每小題5分）

1.在四邊形44CD中，|八用=|/1萬|且加=C力，則四邊形A4c。的形狀一定是（）

A.正方形B.矩形C.菱形D.等腰梯形

2.下列命題中，正確的是（）

A.有相同起點(diǎn)的兩個非零向最不共線

B.的充要條件是|司且涼徒

C.若［與五共線，日與Z共線，則辦與2共線

D.向量石與五不共線，則Z與五都是非零向量

3.給出下列結(jié)論：

①數(shù)軸上相等的向量，它們的坐標(biāo)相等；反之，若數(shù)軸上兩個向量的坐標(biāo)相等，則這兩個向

量相等；

②對于任何一個實(shí)數(shù)，數(shù)軸上存在一個確定的點(diǎn)與之對應(yīng)；

③數(shù)軸上向量通的坐標(biāo)是一個實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)的絕對值為線段/歷的長度，若起點(diǎn)指向終點(diǎn)的

方向與數(shù)軸同方向，則這個實(shí)數(shù)取正數(shù)，反之取負(fù)數(shù)；

④數(shù)軸上起點(diǎn)和終點(diǎn)重合的向顯是零向量，它的方向不確定，它的坐標(biāo)是0.

其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

4.如圖所示，在等腰梯形A8CO中，AB//CD,對角線AC,BD交于點(diǎn)過點(diǎn)。作

MN〃A3,交AO于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N,則在以A，3,C，。，M，O，N為起點(diǎn)

和終點(diǎn)的向量中，相等向最有（）

A.1對B.2對C.3對D.4對

5.卜?列關(guān)于向量的結(jié)論：

（1）若|々|=歷|，則2=5或

（2）向量7與B平行，則Z與B的方向相同或相反;

（3）起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量;

（4）若向量￡與1同向,且I〃加,則Q〉萬.

其中正確的序號為（）

A.(1)(2)B.(2)(3)C.(4)D.(3)

二、多選題（共3小題，滿分15分，每小題5分,少選得3分，多選不得分）

6.下列有關(guān)向量命題，不正確的是（)

A.若則B.己知。工0,且則a=〃

c.若a=6，b=c,則己一D.若d=[,則I。|=|5I且d/〃；

7.若四邊形力四是矩形，則下列命題中正確的是()

A.而,國共線B.元,麗相等

C.4立。百模相等，方向相反D.女,3）模相等

8.下列說法中，正確選項(xiàng)是（)

A.時間、摩擦力、重力都是向量:B.向量的模是一個正實(shí)數(shù);

C.相等向量?定是平行向量;D.向量）與辦不共線，則;與了都是非零向量

三、填空題（共3小題，滿分15分,每小題5分，一題兩空，第一空2分）

9.如圖，D,E,F分別是正三角形ABC各邊的中點(diǎn).

圖中所示向量與向量由長度相等的向量有;圖中所示向曷與向

量FB相等的向量有_____________________

10.如圖所示，AA3C和AA'9C是在各邊的！處相交的兩個全等的等邊三角形，設(shè)AABC

3

的邊長為。，圖中列出了長度均為人的若干個向量

3

A

（2）與向量而共線，且模相等的向量有________；

11.如圖，半圓的直徑AB=6,。是半圓上的一點(diǎn)，D、E分別是A3、上的點(diǎn).，且

則國二.

四、解答題：（本題共3小題，共45分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）

12.如圖，〃，其尸分別是△/伊。各邊的中點(diǎn)，四邊形是平行四邊形，試分別寫出與理

共線及相等的向量.

A

BD

13.如圖，已知四邊形A8CO中，M，N分別是BC,AD的中點(diǎn)，麗=反且函=兩,

求證：~DN=MB.

14.如圖的方格紙由若干個邊長為1的小正方形并在一起組成，方格紙中有兩個定點(diǎn)從B.

[AC\=J5

點(diǎn)C為小正方形的頂點(diǎn)，且??

T

A

8

(1)畫出所有的向量衣;

(2)求阮的最大值與最小值.

A級必備知識基礎(chǔ)練

1」探究點(diǎn)一]有下列物理量:①質(zhì)量;②速度;③力;④加速度;⑤路程;⑥功.其中，不是向量的個

數(shù)是（）

A.lB.2

C.3D.4

2」探究點(diǎn)三］給出下列命題:①起點(diǎn)相同，方向相同的兩個非零向量的終點(diǎn)相同;②起點(diǎn)相同的

兩個相等的非零向量的終點(diǎn)相同;③兩個平行的非零向量的方向相同;④兩個共線的非零向

量的起點(diǎn)與終點(diǎn)一定共線.其中正確的是（）

A.①②B.②

C.②③D.@?

3」探究點(diǎn)三］如圖所示，在正三角形ABC中,P,Q,R分別是AB.BCAC的中點(diǎn)，則與向量PQ相等

的向量是)

A而與無B.AR與而

cR?與赤D.亦與磔

4」探究點(diǎn)二］若0B|=|AD|且弘=C。,則四邊形.co的形狀為（）

A.正方形B.矩形

C.菱形D.等腰梯形

5.（多選題）［探究點(diǎn)三］下列說法正確的是（）

A.若|4B|二|而|目84=CQ則四邊形4BCO是菱形

B.在平行四邊形48CQ也一定有48=DC

C.若a=b,b=c,則a=c

D.若a〃b.b〃c，則a〃c

6.（多選題）［探究點(diǎn)一］下列說法正確的是（）

A.向量不能比較大小，但向量的模能比較大小

B.|a|與|b|是否相等與a與b的方向無關(guān)

C.若a〃b.b〃c，則a/7c

D.若向星4B與向最CD是共線向后.則從ac。四點(diǎn)在一條直線H

7」探究點(diǎn)二］在四邊形ABCD中,AB=DC^AB.AL是單位向量，則四邊形AI3CD

是.

8.［探究點(diǎn)三］如圖所示,4x3的矩形（每個小方格的邊長均為1）,在起點(diǎn)和終點(diǎn)都在小方格的頂

點(diǎn)處的向量中，試問：

⑴與48相等的向量共有幾個?

⑵與戰(zhàn)平行且模為、2的向量共有幾個？

⑶與從月方向相同且模為的向量共有幾個?

B級關(guān)鍵能力提升練

9.已知a為單位向量，下列說法正確的是（）

A.a的長度為一個單位長度

B.a與0不平行

C.與a共線的單位向量只有一個（不包括a本身）

D.a與0不是平行向量

10.（多選題）如圖,在菱形4BCO中,ND48=120。,則以下說法正確的是（）

A.與4B相等的向量只有一個（不包括4E本身）

B.與48的模相等的向量有9個（不包括本身）

C.8C的模為屬模的V弓倍

D.C8與。林共線

11.給出下列四個條件:①a=b;②|a|二|b|;③a與b方向相反;④|a|二0或|b|=0.其中能使a〃b成

立的條件是.（填序號）

12.已知|AB|=|,Hq=2,若乙4BG90。,則.

13.已知在四邊形ABCD中,BC=4D且MB|=|B0|=|BC|=2,則該四邊形內(nèi)切圓的面積

是.

14.已知在四邊形ABCO中,4B=DC,且04=Wq,tan。二百，判斷四邊形A8CO的形狀.

AB

15.中國象棋中規(guī)定:馬走“日”字，如圖是中國象棋的半個棋盤,若馬在A處,可跳到4處，也可跳

到A2處,用向量與曲俵示馬走了“一步”，試在圖中畫出馬在B,C處走了“一步”的所有情

況.

C級學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練

16.（多選題）如圖所示,四邊形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形，則下列結(jié)論中一定成立的是

ILG

D

CE

/fAB

A.p4B|=|FF|

B.而與F娛線

c而與EH共線

D.CO=?

17.如圖所示的方格紙由若干個邊長為I的小正方形組成,方格紙中有兩個定點(diǎn)點(diǎn)C為小

正方形的頂點(diǎn)，且EG八3

(1)畫出所有的向量4G

⑵求的最大值與最小值.

參考答案

1.C因?yàn)樗俣取⒘图铀俣燃扔写笮。钟蟹较颍运鼈兪窍蛄?而質(zhì)量、路程和功只有

大小，沒有方向，所以它們不是向量，故不是向量的個數(shù)是3.

2.B①起點(diǎn)相同，方向相同，但大小不一定相同，所以兩個非零向量的終點(diǎn)不一定相同，故

錯誤；

②起點(diǎn)相同的兩個相等的非零向量的終點(diǎn)相同，故正確；

③兩個平行的非零向量的方向相同或相反，故錯誤;

④兩個共線的非零向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)不一定共線，有向線段所在的直線可能平行，故錯誤.

故選B.

!—

AR與RC—

3.B向量相等要求模相等，方向相同，因此都是和PQ相等的向量.

4.C由B4=CO知=C。且A8〃CQ,即四邊形ABC。為平行四邊形.又因?yàn)閨4B|=p4D|,

所以四邊形A8CO為菱形.

5.ABC對于A,由84=以,知AB=CD且AB〃C￡>,即四邊形ABCD為平行四邊形，又因

為［44=|力以所以四邊形ABCD為菱形，故A正確;對于B,在平行四邊形ABCD中,對邊平

行且相等/B,DC的方向相同，所以AB=DC,故B正確;對于c,由向量相等的定義知，當(dāng)

a=b.b=c時，有a=c,故C正確;對于D,當(dāng)b=0時不成立，故D錯誤.故選ABC.

6.AB對于A,向量既有大小又有方向,不能比較大小，向量的模可以比較大小,故選項(xiàng)A

正確；

對于B,|a|與|b|分別表示向量a與b的大小，與a,b的方向無關(guān),故選項(xiàng)B正確；

對于C,當(dāng)b=0時，向量a與c可以是任意向量，都滿足a〃b,b〃c,故選項(xiàng)C不正確；

AB^jCD

對于D,若向量46與向量。工是共線向量，表示的有向線段可能不在同一條直淺上,

得不出A,8,CQ四點(diǎn)在一條直線上,故選項(xiàng)D不正確.故選AB.

7.菱形由AB=D（可知四邊形ABCD是平行四邊形，

又4BM0是單位向量，所以|AB|二|/4O|二i,所以四邊形ABCO是菱形.

8.解（1）與向量力8相等的向量共有5個（不包括5B本身）.

（2）與向量4B平行且模為&的向量共有24個.

（3）與向量AB方向相同且模為3、e的向量共有2個.

9.A???已知a為單位向量,???a的長度為一個單位長度，故A正確;

a與0平行，故B錯誤；

與a共線的單位向量有無數(shù)個，故C錯誤;零向量與任何向量都是平行向量，故D錯誤.

10.ABCA項(xiàng)，由相等向量的定義知，與力B相等的向量只有DC,故A正確;B項(xiàng)，因?yàn)?/p>

AB=BC=CZ)=D4=AC,所以與4方的模相等的向量除AB外有9個，故B正確;C項(xiàng)，在RtA

ADO中,NDAO=60。,則。。二？。4所以BD=6DA、故C正確;D項(xiàng)，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是

而與應(yīng)

菱形，所以共線，故D錯誤.

11.①③④若a=b,則a與b大小相等且方向相同，所以2〃1);若m|二也|,則a與b的大小

相等，而方向不確定,因此不一定有a〃b:方向相同或相反的向量都是平行向量,因此若a

與b方向相反，則有a〃b;零向量與任意向量平行,所以若|a|二0或|b|=0,則a/7b.

eJ\AC\2-\AB\2=^^7/q

12.V-由勾股定理可知,|灰7|二,^|nC|=V3

3TI_____

13.