2026高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)練：點(diǎn)、線、面位置關(guān)系

點(diǎn)、線、面位置關(guān)系（教師版）

一、單選題

1.若〃，，〃為空間兩條不同的直線，。，夕為空間兩個不同的平面，則下列結(jié)論不正確的是（）

A.若,m//n,na,則〃〃aB.若加_La,6///，則。_1_夕

C.若a//,mLa,nu。,則〃?_L〃D.若mila,n!/a,則用//〃

【答案】D

【解析】根據(jù)線面、線面的位置關(guān)系，結(jié)合平面法向量的概念及性質(zhì)判斷各項的正誤即可.

A：若加/a,mlln,則〃〃a或〃<Xa,而〃若a,故〃//a,對；

B：若〃?_La,將加視作。的法向量所在直線，又〃?〃￡,易知a_L〃，對；

C：若a//,mla,則mJ?夕，而"u〃，故m_L〃，對；

D：若〃〃/a,〃〃a,則也〃平行、異面、相交都有可能,錯.

故選：D

2.如圖，在四棱錐〃-48C。中，底面48CO是邊長為4的正方形，PA=PB=4,PC=PD=2日該棱錐的高為（）.

A.1B.2c.OD.百

【答案】D

【解析】取點(diǎn)作輔助線，根據(jù)題意分析可知平面尸后尸，平面N8C。，可知POJ.平面48CD,利用等體積法求點(diǎn)到面

的距離.

如圖，底面48co為正方形，

當(dāng)相鄰的棱長相等時，不妨設(shè)PA=PB=AB=4,PC=P￡>=2V2,

分別取力8,CO的中點(diǎn)E/,連接PE,PF,EF,

則PE_L,48,M_L48,且PEcEF=E,PE,EFu平面PEF,

可知力8J_平面尸￡7"且平面/8CO,

所以平面PEF1平面ABCD,

過，作EF的垂線，垂足為。，即POLE”,

由平面尸MCI平面44CO=￡7LPOu平面PEF,

所以尸OJL平面/9C7）,

由題意可得：PE=2瓜PF=2,EF=4,則尸獷+尸產(chǎn)二后尸，即尸后,尸尸，

1Ior.n/7

則一PEPF=—POEF,可得尸。=一——=V3,

22EF

所以四棱錐的高為VL

故選：D

3.已知正三棱臺ABC-44G5的2體積為三，AB=6,44=2,則44與平面48c所成角的正切值為（）

A.；B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】解法一：根據(jù)臺體的體枳公式可得三棱臺的高/?=迪，做輔助線，結(jié)合正三棱臺的結(jié)構(gòu)特征求得4M=迪,

33

進(jìn)而根據(jù)線面夾角的定義分析求解?：解法二：將正三棱臺力3C-4AG補(bǔ)成正三棱錐尸-48C,44與平面44。所成

角即為P.4與平面/8C所成角，根據(jù)比例關(guān)系可得%做=18,進(jìn)而可求正三棱錐尸-力以？的高，即可得結(jié)果.

解法一：分別取8C,3￡的中點(diǎn)D?,則4。=36MR=6,

可知Sm=%x6x等=9百￡.f2x百S

設(shè)正三棱臺48C—44G的為人

則P-G=養(yǎng)6+75+近萬二印=y，解得h=當(dāng),

如圖，分別過4，"作底面垂線，垂足為M,N,設(shè)4W=X,

則=J4M?+AM2=^v2+y,DN=AD-AM-MN=2^-x，

2

可得DD}=qDN'D'N?=（26-x）+—,

結(jié)合等腰梯形BCqe可得BB；=（等）+DD；,

即/+￡=（26—4+/4,解得工=殍，

所以4力與平面力8C所成角的正切值為tanDJ,JZ）二弟=1;

AM

解法二：將正三棱臺力8C-44G補(bǔ)成正三棱錐尸-4,

則44與平面ABC所成角即為產(chǎn)力與平面ABC所成角，

因?yàn)閐=坐L=_L則生如L=_L,

PAAB3Vp_ABC27

可知匕…4。=57%,呼,則展紀(jì)=18,

設(shè)正三楂錐P—48c的高為d,則/由.=ldxL<6x6x?=18,解得d=2行,

r-/IDL322

取底面48。的中心為O,則PO_L底面/出C,且=2百，

P0

所以21與平面ABC所成角的正切值tan/.PAO=—=l.

AO

故選：B.

4.如圖，點(diǎn)48、CM、N為正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則下列各圖中，不滿足直線〃平面.48C的是（）

【答案】D

【解析】根據(jù)線面平行、面面平行的判定定理及性質(zhì)即可判斷.

對于A選項，如圖①所示，在正方體DWM-GP0r中，

QT〃EF且QT=EF,

圖①

因?yàn)槊瘛７謩e為。r,環(huán)的中點(diǎn)，

則40〃石。且4。二￡。，

所以四邊形4CE。為平行四邊形，

所以8C〃EQ,

因?yàn)?cz平面EMPQ,EQu平面EMPQ,

所以8C〃平面EM尸0,同理可證為8〃平面EA/P。,

因?yàn)?8c8C=8,4?,8Cu平面/BC,

所以平面EMPQ//平面ABC,

因?yàn)镸Vu平面EMP。，

故MN〃平面48C,故A滿足：

對于B選項，如圖②所示，連接P7,

圖②

在正方體。Eb-GPQT中，PE〃FT旦PE=FT、

因?yàn)榱?8分別為PE,"的中點(diǎn)，則P///BT且PA=BT,

所以四邊形2187為平行四邊形，故AB〃PT,

因?yàn)榉謩e為GP,G7的中點(diǎn)，則MV〃/>7,

所以MN〃AB,

因?yàn)镸N(Z平面ABC,48〃平面43C,

所以MN〃平面/4C,故B滿足；

對于C選項，如圖③所示，在正方體QWKN-GPQT中，取GT的中點(diǎn)b，

連接力￡8￡尸兀

圖③

因?yàn)槭珿〃KN且尸G=KN,A,C分別為PG,KN的中點(diǎn)，

所以4G〃CN且“G=CN,故四邊形力CNG為平行四邊形，則力C〃GN,

因?yàn)槭斗謩e為G7,6V的中點(diǎn)，

所以8GN,則8/〃/1C,

所以48,C,產(chǎn)四點(diǎn)共面，

因?yàn)镻M//NT且PM=NT,則四邊形PMNT為平行四邊形，

所以PT〃MN,

因?yàn)?尸分別為尸G,GT的中點(diǎn)，則"?〃尸九

所以MY〃加?'，

因?yàn)镸N(Z平面ABC,AFu平面ABC,

所以MN〃平面/BC,故C滿足；

對于D選項，如圖④所示，在正方體中，取EK的中點(diǎn)H,

連接BH,HM,CN,PT,EF,BN,

GC

H

圖④

因?yàn)镻E〃FT且PE=FT,B,N分別為PE,FT的中點(diǎn)

則Q8〃。且P8=7W,

所以四邊形P8N7為平行四邊形，則BN〃PT,

因?yàn)?c分別為GP,G7的中點(diǎn),

所以力C〃尸7,WAC〃BN,

所以44.C,N四點(diǎn)共面,

同理可證“〃//BNt故力。〃MH,

同理可得48//MN,BH//CN,

反設(shè)“二二平面力班:,

因?yàn)镸N〃4九且44u平面44C,則MN〃平面4〃C,

但MN與平面48c'有公共點(diǎn)N,這與MV〃平面力8c矛盾,

故MNu平面/8C,故D不滿足.

故選：D

5.正方體力44GA的棱長為1,E為棱。A的中點(diǎn)，點(diǎn)P在面對角線8G上運(yùn)動（P點(diǎn)異于8、G點(diǎn)），以下說

法錯誤的是（）

A.3。//平面力EC

B.4P上BQ

2

C.直線與片與平面。AG所成角的余弦值為:

D.三棱錐尸一/C。的體積為，

6

【答案】C

【解析】根據(jù)線面平行的判定定理可證明A選項正確：應(yīng)用空間向量計算數(shù)量積，可判斷B正確：

根據(jù)線面角的計算，可得C選項錯誤；應(yīng)用空間向量法可求得點(diǎn)到平面距離，再結(jié)合三棱錐的體積公式，計算可得D

正確.

對于A,連接4。、AC,相交于點(diǎn)。，連接OE,如圖所示，

因?yàn)樗倪呅?9CO為正方形，所以。是8。中點(diǎn),

又E為棱。口的中點(diǎn)，所以O(shè)E//BD、,

又OEu平面力EC,84a平面月EC,所以8。//平面片EC,故A正確;

對于B,以。為原點(diǎn)，以D4、QC、。。為x軸、V軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)8P=,MC,則4(1，°」)，

5,(1,l,l),D(0,0,0),P(l-2,1,2),

所以麗=(T,T,-1),乖=(-入1,；1-1),布?麗=(-l)x(")+(-l)xl+,所以同尸J_8Q,故B正確;

對于C,由B選項知，4(1,0,0),40、0,g),所以雨

因?yàn)镈4_平面CDD￡,所以平面CDDG的法向量為加=(1,0,0),

設(shè)直線BE與平面CDDC所成角為8,

\DA-'^E\2_______77

所以sin6=?__?]]=]'=彳,所以cos0=J1—sin?8=——，故C錯誤:

|叫回33

對于D,因?yàn)槭?I-%,"),4(1,0,0),C(0,l,0),D,(0,0,1),

貝I]"=(一41,4)，JC=(-l,l,0),西=(0,—1,1),

設(shè)平面的法向量為歷=(rj/),

[m-AC=0\-x+y=0,、

則_,即)八，解得而=1,1,1,

因?yàn)?C=力￡>i=C。=8，所以S〃刀='x拒xJix@=立，

114/1匕必222

I-F-fvw-r—,LrtLf?、ft-7+1+4\/3

點(diǎn)P到平面ACDi的距離為h=同=一百一=—,

所以三棱錐夕-力C〃的體積為匕工母鼠L,故D正確.

P~ACD'3236

故選：C.

6.正方體力4。。-44GA的棱長為hM是楂AB的中點(diǎn)，N是側(cè)面BB￡C內(nèi)一點(diǎn)，且MN//平面

/4G。，則MV長度的取值范圍是()

【答案】c

【解析】取8C,8c的中點(diǎn)為G,〃，連接MG,GH,HM,確定平面MG"http://平面AA.C.C,得到N的軌跡是線段〃G,

即可求解.

取8c8c的中點(diǎn)為G,4,

連接MG、GH,HM,

由中位線易知MG///CHG//CG，

又力C,CG在平面44CC內(nèi)，MG,"G不在平面力4GC內(nèi),

所以A/G//平面AA}CyC,"G〃平面AAXCXC,

又MG,HG是平面A/G〃內(nèi)兩條相交直線，

所以平面MG"http://平面AAXCXC,

又MNU平面AA}C}C,

所以N在平面MG〃內(nèi)，又N是側(cè)面BB￡C內(nèi)一點(diǎn),

所以N的軌跡是線段雨,

易知MG=>AC=JMH

22

MG<MN<MH,

所以MN長度的取值范圍是

故選：C

7.若/,"7是兩條直線，區(qū)夕是兩個平面，且lu仇aC0=m.設(shè)p:/〃a,夕：/〃小則〃是^的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】由線面平行的性質(zhì)定理利判定定理結(jié)合充要條件的判定可得.

若p:l〃a,lu"aCp=m,由線面平行的性質(zhì)定理可得g：/〃加，充分性成立；

若lup,aCQ=m,由線面平行的判定定理可得p：/〃出,必要性成立.

所以〃是夕的充要條件.

故選：c

8.風(fēng)箏又稱為“紙鶯”，由中國古代勞助人民發(fā)明于距今2000多年的東周春秋時期，是人類最早的風(fēng)箏起源.如圖,

是某中學(xué)學(xué)生制作的一個風(fēng)箏模型的多面體彳5。￡尸，。為邊力8的中點(diǎn)，四邊形EFOC為矩形，且QF上4B,

AC=BC=3,4c8=120°,當(dāng)8E時，多面體/BCE尸的體枳為()

A9x/6n9>/3r9#n9G

4884

【答案】A

【解析】由線面垂直的判定與性質(zhì)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)與勾股定理，求得底面積，利用三棱錐體積公式，可得答

案.

在矩形CEF。中，^FDLCD,CE//FD,

因?yàn)椤Ｊ琠L48,ABQCD=Dt44,CZ)u平面48C,所以H)JL平面48C

則CE_L平面力8C,因?yàn)榱ICu平面48C,所以CE_L4C,CElBCf

在出力4C中，由/1C=8C=3,ZACB=120\則力8=2?力C-sin600=3jL

3

又因。為”的中點(diǎn)，則CQ_L/14,易知CQ=/1CCOS60O=5，AB=2AD=2xACsin60°=3x^,

易知AEC4上ECB,則4E=8E,因_L8￡,則/￡=4541145。=亞，

2

在Rt"CE中，CE=\JAE2-AC2-jf)-3=，

則矩形CDFE的面積S=CDCE=-x逑=逑，

224

因?yàn)椤．a(chǎn)CDYAB,CDcDF=D,CD,DFu平面CDFE,所以J_平面。。尸E,

多面體48COEE的體積P=L/18S=LX3X/3X冬

3344

故選：A.

9.如圖，在體積為尸的正四棱錐P-IBCO中，而=2而，而=而，設(shè)平面力即與直線尸。交于點(diǎn)G,記四棱錐

的體積為匕，則匕：P=()

AB

177

BC.D.

-11530

【答案】D

【解析】利用四點(diǎn)共面中的向量關(guān)系來求解正=|可'再利用三棱錐體積變換來求比值’從而解答問題.

如圖所示,

由4B、C、。四點(diǎn)共面，且四邊形46co為正方形,

可得AB=DC^>PB-PA=PC-戶方,

由而=2而，而=而,設(shè)定=丸方，

3一______3一____

可得：：PE-PA=WPF,BPPJ=-1PE-2PG+2PF,

根據(jù)43、€\。四點(diǎn)共面，可得,一義+2=1=/1!

一5一

即PC=-PG,

2

hpF?

設(shè)九，生分別是點(diǎn)￡到平面P/E和點(diǎn)。到平面尸48的距離，則萬=孑

〃了1L.JN

—P-4￡F_“F-P4E_S&ME，八_￡P(guān)/EPAPE1211

所以

^P-A3D^D-PABrAB〃Nse!5Ao2PAPB2323

V

17=llZ'P-AEF

,P-AHD2PTBCD'6

LE匕.EGF%「EGPE?PGPF2212

匕8DC勿耿PBPCPD35215'

V

YP-BDC

/rP-AKD2

117

=—I=—

yp-dBCDypTBCD61530

則四棱錐尸-AEFG與四棱錐P-ABCD的體積比為5.

JU

故選：D

10.如圖，在平行六面體488-44GA中，P是線段4。上的一點(diǎn)，且力尸=：3尸。，則三棱錐4一4CP的體積與平

行六面體力88-44GA的體積之比為（）

A.2:5B.1:2C.1:3D.1:6

【答案】D

【解析】根據(jù)已知，先證明力。〃面44。，再由/.心＞=/..叫「=/一』跖=%-8及棱錐和棱柱的體積公式，即可得.

由題設(shè)及平行六面體的結(jié)構(gòu)特征易知4。〃與。，面”(，qcu面/瓦。，

所以4。//面/8c,則A、D上任意一點(diǎn)到面力6c的距離為定值，

又P，。€4。,則〃TCP=Vp-AB\C=^D-A3yC~/-ACD?

由4-4c。的底面面積是平行六面體/188-44GA底面面積S的一半，旦高方相等，

1sl1

所以/KD=士h,3=_hS="BCD4BCD?

，八八KD3266金60。-4|魴°|”|

故選：D

二、多選題

11.己知圓錐的頂點(diǎn)為尸，底面圓心為。,月6為底面直徑，4P6=120。，尸力=2,點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角P-AC-O

為45。，則().

A.該圓錐的體積為兀B.該圓錐的側(cè)面積為4方兀

C.AC=242D.APXC的面積為百

【答案】AC

【解析】根據(jù)圓錐的體積、側(cè)面積判斷A、B選項的正確性，利用二面角的知識判斷C、D選項的正確性.

依題意，4P8=120。，PA=2,所以。2=1,。4=。8=6，

A選項，圓錐的體枳為:x7ix(J5『xl=7T,A選項正確；

B選項，圓錐的側(cè)面積為兀xJ5x2=2E7t，B選項錯誤：

C選項，設(shè)。是/C的中點(diǎn)，連接。。/。，

則AC1OD.ACLPD,所以NPQO是二面角P—/C—O的平面角,

則/尸。。=45。，所以。?=。。=1,

故AD=CD=y^\=g，則4C=2JLC選項正確；

D選項，PD=Vl2+12=>/2?所以S..C=gx2>/?x夜=2,D選項錯誤.

12.如圖，四邊形力為正方形，F(xiàn).DI平面力《C。，F(xiàn)B〃ED、=ED=2FBZ己三棱錐E—{Cn,F-ARC,F-ACE

的體積分別為匕，匕，匕，則＜)

A.匕=2%B.匕=匕

C.匕=匕+匕D.2匕=3匕

【答案】CD

【解析】直接由體積公式計算9匕，連接8。交力C于點(diǎn)M,連接由匕+匕y計算出匕，依次判

斷選項即可.

設(shè)AB=ED=2FB=2a,因?yàn)镋OJ.平面力8cO,I7B||ED,則匕=；.￡7>S“e=92a,（2a『二：J,

3323

匕=；/8￡京=；”；（2。）2=：/,連接40交/iC于點(diǎn)A1,連接EAAFM,易得BDL4C,

JJ/J

又EOJL平面48CO,4Cu平面力8CQ,則EOJ./C,又EDC\BD=D,ED,BDu平面BDEF,則力Cl平面8QE/，

又BM=DM=；BD=?,過尸作R9_LOK于G,易得四邊形8QG產(chǎn)為矩形，則bG==2"?,￡G="，

則+（夜。）=y/^a,FM==\&，EF=Qa2+（2x/ii）=3ez>

EM2+FM=EF2,則￡0_1而，S&AIEtlFJfMl=、cEM.FM=^C~a\AC=2五a，

則匕=%.EF“+七.卬”=；力。，卬“=2/,則2%=3匕，匕=3匕，匕=匕+匕，故A、B錯誤；C、D正確.

故選：CD.

13.已知正方體48CO—44G〃，則()

A.直線8G與。4所成的角為90。B.直線8cl與C4所成的角為90。

C.直線BC、與平面8BQ。所成的角為45。D.直線B3與平面ABCD所成的角為45。

【答案】ABD

【解析】數(shù)形結(jié)合，依次對所給選項進(jìn)行判斷即可.

如圖，連接4。、BG，因?yàn)椤?//8C，所以直線8G與BC所成的用即為直線8G與。4所成的角,

因?yàn)樗倪呅?8CC為正方形，則故直線8G與所成的角為90。，A正確；

連接4。，因?yàn)?￡_L平面84GC,平面則

因?yàn)?cl.8C],44口與。=用，所以8。_L平面44。，

又4CU平面44C,所以BC|J_C4，故B正確：

連接4G，設(shè)4GC5a=。,連接80,

因?yàn)椤?j_平面44G。，GOu平面48cA，則GO_LA/,

因?yàn)椤闛_L8Q,4。仆8田=4，所以C0_L平面88QQ,

所以NC"O為直線8G與平面BBRD所成的角,

設(shè)正方體棱長為I,則CQ=*，SCt=V2,5山/。/。=黃二；,

所以，直線8G與平面8BQ。所成的角為30。故C錯誤;

因?yàn)镚C_L平面力BC。，所以NC/C為直線8G與平面力所成的侑，易得/。田。=45',故D正確.

故選：ABD

14.在四棱柱4?CQ-44CQ中，力4_L平面四邊形48CZ）為菱形，NABC吟,力8=2,/U,=4,M為

棱。。的中點(diǎn)，N為四邊形CQDC內(nèi)一個動點(diǎn)（含邊界），且與N〃平面48M,則下列結(jié)論正確的有（）

A.動點(diǎn)N軌跡的長度為石

B.平面4屈“截四棱柱所得的截面是五邊形

C.存在點(diǎn)N使得GN18M

D.當(dāng)三棱錐N-8QQ的體積最大時，其外接球的表面積為三64不

【答案】ACD

【解析】取分別CA，CG中點(diǎn)為。，。，根據(jù)題意做出對應(yīng)的幾何圖，結(jié)合幾何圖，利用空間面面平行的性質(zhì)即可

得出N的軌跡為線段也，則A選項可求；取CQ中點(diǎn)為r,連接A/r,BT,可得平面48M截四棱柱48。。-4耳弓。

所得的截面是四邊形力/7”，則B可求；利用線面垂直的判定與性質(zhì)即可求得C；結(jié)合題意求出外接球半徑農(nóng)，利用

球的表面枳公式即可判斷D.

如圖1,取分別G0,CG中點(diǎn)為人。，

4。||4M，也||C。IM也PQ=QA\Mc%B=4，

40,尸。u平面Hf。，4MM/u平面4&W,

易得平面4P。〃平面48W,

即N的軌跡為線段也，又PQ=5改A正確；

如圖2,取C。中點(diǎn)為7,連接MT,BT,可得A/r〃48,

所以平面48M截四棱柱月8C0-4AC；A所得的截面是四邊形487M,故B錯誤；

因?yàn)樗倪呅瘟?CO為菱形，ZJ^C=y,所以8/_LG。，

因?yàn)槠矫?4G〃_L平面CCQQ,平面44G"n平面CCQQ=CQ,4尸u平面44CQ,

所以4P，平面COQG，

因?yàn)椤鱭p。為直角三角形，所以此時存在N,

當(dāng)GN_LP。時，因?yàn)槠琍_L平面CORG，GNu平面CDOG，

所以耳尸J.GN,又PQCBF=P,P2,BFu平面平面BF。,

所以GN_L平面&P。,

即GNL平面4氏0，則有GAU8M,故c正確；

三棱錐N-8QQ的體積最大時，此時點(diǎn)N與點(diǎn)。重合，如圖3.

由已知得此時ND=ND、=N4=2及，所以N在底面BQD、的射影為通。2的外心，

又由△片叫為直角三角形，所以N在底面四。2的射影為BQ中點(diǎn)，

設(shè)為?,設(shè)外接球的球心為。，半徑為R，B、D=2后,4G=2石，N?=g4G=G,

由/?2=。。：+。￡：=。。：+5,R-00\=N0\=6可得外接球半徑口=空，

所求外接球的表面積為4尸肥=程乃，故D正確.

故選：ACD.

【小結(jié)】

三、填空題

15.三棱錐力一8。。中，DAVDB,且。4=。〃=2。。=2,則當(dāng)該三棱錐的體積最大時二面角。-4B—C的正切值

為.

【答案】4

2

【解析】先利用。力_LQ6,可計算得到底面面積，當(dāng)。。=1恰好為三棱錐的高時，三棱錐體積最大，此時。QC

兩兩互相垂直，取4?的中點(diǎn)E,連接EDEC.利用二面角的平面角的定義算出二面角。-48-C的正切值.

依題意可得三棱錐力-4CO體積為P=1xSsd8x/?=；x；x2x2x/?.

JD乙

因?yàn)椤?gt;C=1,所以當(dāng)。C_L面ZM8時，即。。=力=1時三棱錐體積最大，此時。月，力民。。兩兩互相垂直.

取月8的中點(diǎn)為E,連接E2EC

因?yàn)?4=。8=2,_L。8,所以DE,4&

又因?yàn)?C=8C,所以，所以NCEZ）為二面角的平面角，又因?yàn)镈E=E,DC=1.

所以二面角。-48-。的正切值為tan?=2￡=1

CE2

故答案為:坐.

2

16.如圖，在正方體力8C。-48cA中，AB=2,E為力。的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在C。上，若石尸〃平面力用。，則七尸=.

【答案】；2

【解析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，可得到小〃力C,即可求EF的長.

根據(jù)題意，因?yàn)椤晔?/平面/8C，E尸u平面4BCD,

且平面ABCDA平面AB.C=AC

所以E/3//C.

又E是力。的中點(diǎn)，所以廠是。的中點(diǎn).

因?yàn)樵赗i△。4'中，DE=DF=1,故防=JL

故答案為：丘

17.在正方體48C。-44GA中，E為4A的中點(diǎn)，尸為底面/BCD上一動點(diǎn)，E/與底面力BCD所成的角為。，若

sin9-cose=&*,且該正方體的外接球的體積為4百兀，則動點(diǎn)尸的軌跡長度為.

2

【答案】迪E

9

【解析】取力。的中點(diǎn)〃，連接證得￡7/J.底面488,得到NEFH為所與底面48CZ）所成的角。，求得。=1,

2

設(shè)正方體的棱長為。，利用球的體枳公式，求得。=2,得到點(diǎn)尸的軌跡為以〃為圓心，忑為半徑的圓在正方形48C。

區(qū)域內(nèi)的部分布，作出圖形，進(jìn)而求得動點(diǎn)尸的軌跡長度.

如圖1所示，取力。的中點(diǎn)H,連接E〃，則EH//44,

在正方體力BCD-44GA中，底面4BCO,所以￡77J.底面/8C。,

所以NEF"為EF與底面ABCD所成的角0,

因?yàn)閟ine-cos6=^l,所以0=NEFH=

23

設(shè)正方體的棱長為

因?yàn)檎襟w的外接球的體積為4百=4＞萬兀，解得a=2,

所以E"=/4=Q=2,可得〃/=耳,

2

所以點(diǎn)尸的軌跡為以〃為圓心,W為半徑的圓在正方形ABCD區(qū)域內(nèi)的部分MG，

2所以cos/力"G=〃~=立，則//“GUN

如圖2所示，HG=HM=忑,

HG26

根據(jù)對稱性，可得'，所以NM〃G=7c-2x2=空,

663

故動點(diǎn)尸的軌跡長度為女40"

3-x/39

故答案為：士應(yīng)

＜兀）部分圖像的紙片沿x軸折成鈍二面角，夾角為年，此時

【解析】過43分別作X軸的垂線，垂足分別為C,。，過4。分別作N軸，X軸的垂線相交于點(diǎn)E,結(jié)合條件和余弦

定理求出M,然后將0,手j代入函數(shù)解析式即可得出答案.

過48分別作x軸的垂線，垂足分別為C,。，過4。分別作N軸，％軸的垂線相交于點(diǎn)E,

連接力3,8E,則=—,BD=DE=M,

3

由余弦定理得8七2=M2+M2-2M2cos型=3M2,

3

由上可知，工軸垂直于8DOE,又BDUDE=D,BD,DEu平面BDE,

所以x軸垂直于平面4QE,又/l￡〃x地，所以4E_L平面

因?yàn)锽Eu平面8DE,所以力E_L8E,

T=生=6

因?yàn)?（”的周期一兀，所以花=CZ）=3,

3

由勾股定理得3A〃+9=18,解得M=、Q

由圖知，/（》）的圖象過點(diǎn),且在遞減區(qū)間內(nèi),

所以/(O)=JJsine=即sin*=

因?yàn)?＜夕＜兀，點(diǎn)在遞減區(qū)間也所以夕下,

故答案為：彳.

四、解答題

19.如圖，在四棱錐P-48C。中，BC//AD,AB=BC=1,40=3,點(diǎn)E在上，且PEJ.4D,=DE=2.

（1）若尸為線段QE中點(diǎn)，求證：BF〃平面PCD.

（2）若48"L平面尸力。,求平面218與平面尸C。夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

（2叁

30

【解析】（1）取。。的中點(diǎn)為s,接S尸,SC,可證四邊形S尸6c為平行四3形，山線面平行的判定定理可得6尸〃平面尸Q.

（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面力P8和平面PC。的法向量后可求夾角的余弦值.

（1）取PO的中點(diǎn)為S,接SRSC,則Sr〃EDS/=,￡D=l,

2

而ED〃BC,ED=2BC,故SFHBC,SF=BC,故四邊形SR9C為平行四邊形，

一故BFMSC,而4〃仁平面PCD,SCu平面PC。，

所以跖〃平面PCD.

因?yàn)椤?)=2,故[E=1,故AE/iBC,AE=BC,

故四邊形力ECA為平行四邊形，故CEHAB,所以CE1平面

而尸&EQu平面產(chǎn)力。，故CE1PE,CE人ED,而PE_LED,

故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則4(0,-1,0),8(1,-1,0),0(1,0,0),0(020),尸(0,0,2),

則瓦5=(0,-1,-21方=(1,-1,-2四=fl,0,-2)PD=(),2,-2)

設(shè)平面P48的法向量為而=(x,y,z),

m-PA=0f-y-2z=0/、

則由_可得/,八，取應(yīng)=0,-21，

m-PB=0[x-y-2z=0

設(shè)平面PC。的法向量為萬=（。,6,c）,

iiPC=0a-2b=0

則由，可得取萬=(2,1,1),

n~PD=02b-2c=0

故如例用二瓦為“不

故平面尸/也與平面PCD夾角的余弦值為叵

30

20.如圖，AB3CD,CDHEF,AB=DE=EF=CF=2,CD=4,AD=BC=4i(),4￡=2G為CO的中點(diǎn).

AB

(1)證明：EM〃平面8c/；

(2)求點(diǎn).M到力。上的距離.

【答案】(1)證明見詳解；

(2喑

【解析】(1)結(jié)合已知易證四邊形EFCW為平行四邊形，可證屈W//FC,進(jìn)而得證;

(2)先證明04_L平面EDM,結(jié)合等體積法匕,_m=因的即可求等

(1)由題意得，EFHMC,且EE=MC,

所以四邊形EFCAZ是平行四邊形，所以EM//FC,

又CFu平面BCF,EMU平面BCF,

所以EA///平面8c/：

(2)取DM的中點(diǎn)0,連接。力，0E,因?yàn)锳BI/MC,且=

所以四邊形力MC8是平行四邊形，所以4M=8。=而，

又AD=府,故△/QM是等腰三角形，同理△EOM是等腰三角形,

可得04上DM,0EJ.DM,04=（DJ；彳）=3QE=R=寸,

又AE=2，h,所以。才+。E2=力爐，故。力j_OE.

又04_LDM,OEnDM=O,OE,DMu平面EDM,所以CM_L平面EDM,

易知SAEDW=gx2x.

4+12-10_框

在cfe/iOE中，cosZDEA=

2x2x26-4

所以sinNO"=姮,艮叵二叵.

4>o口242

設(shè)點(diǎn)M到平面ZOE的距離為d,由八…醛=VA-EDM，

得;S“DE.d=；S&EDM.04,得”=嚕，

故點(diǎn)M到平面/OE的距離為名叵.

13

21.如圖，在以小3,C,Q,E,廠為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形488與四邊形力。斯均為等腰梯形，EF//AD.BC//AD,

AD=4,AB=BC=EF=2,ED=屈,FB=26,M為的中點(diǎn).

(1)證明；平面CDE；

(2)求二面角/-8M-E的正弦值.

【答案】(1)證明見詳解；

⑵嚕

【解析】(1)結(jié)合已知易證四邊形8CZ)時為平行四邊形，可證8M//CQ,進(jìn)而得證；

(2)作5。1力。交力。于。，連接OF,易證。8,。，。尸三垂直，采用建系法結(jié)合二面角夾角余弦公式即可求解.

(1)因?yàn)?c7/4。,￡產(chǎn)=2,4。=4,/為/。的中點(diǎn)，所以=

四邊形8CDW為平行四邊形，所以8M〃C。，又因?yàn)榕骔a平面

。。＜=平面。。￡,所以8M〃平面CQ￡；

(2)如圖所示，作交力。于。，連接O/7,

因?yàn)樗倪呅瘟?。￡＞為等腰梯形，BC//AD,AD=4,AB=BC=2,所以CO=2,

結(jié)合(1)4CQ歷為平行四邊形，可得創(chuàng)/=。力=2,又4必=2,

所以△48M為等邊三角形，O