《分式》壓軸題綜合測試卷-七年級數(shù)學(xué)下冊專項(xiàng)提升練（浙教版）

第5章分式壓軸題綜合測試卷

【浙教版2024]

參考答案與試題解析

第I卷

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

I.（3分）（24-25七年級上?河南周口?期末）若關(guān)于%的方程七+必=泠詈不無解，則m的值為（）

x-lx-2（x-l）（x-2）

A.一m或-1B.-2或。

C.-|或-2或0D.-,或-2或-1

【答案】D

【分析】本題考查/分式方程的無解問題，正確理解分式方程的無解的含義是解答本題的關(guān)鍵.此分式方程

無解的含義包含兩種情況，其一是使得分母為零的根，是原方程的增根，在去分母后，將使分母為零的根

分別代入，可求得〃，的值；其二是去分母后的方程無解，即方程左邊為零，右邊不為零，可求得m的值.

【詳解】去分母，得x—2+m（x-l）=2m+2,

整理得（1+m）x=3m+4,

當(dāng)x=l時，1+m=3m+4,

解得

J

當(dāng)《=2時，2（l+m）=3m+4,

解得m=-2；

當(dāng)m=-l時，3m+4工0,方程無解；

綜上所述，滿足題意的m的值為-,或-2或-1,

故選D.

2.（3分）（24-25七年級上?重慶?期中）若x是整數(shù)，則使分式警的值為整數(shù)的％值有（）個.

2x-l

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】先將假分式翳分離可得出4+急,根據(jù)題意只需2、-1是6的整數(shù)約數(shù)即可.

8x+2_4(2x-l)+66

【詳解】解:=4+

2x-l—2x-l2x-l

由題意可知，2%-1是6的整數(shù)約數(shù)，

:.2x-1=1,2,3/6,—1,—2,—3,—6

解得:x=2,^,0,——1,—

其中X的值為整數(shù)有：％=0,1,-1,2共4個.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是分式的值是整數(shù)的條件，分離假分式是解此題的關(guān)鍵，通過分離假分式得到4+

二，從而使問題簡單.

2x-l

3.（3分）甲杯中盛有m亳升紅墨水，乙杯中盛有m亳升藍(lán)墨水，從甲杯中倒出a亳升到乙杯里（OVa

<m）,攪勻后，又從乙杯倒出a亳升到甲杯里，則這時（）

A.甲杯中混入的藍(lán)墨水比乙杯中混入的紅墨水少

B.甲杯中混入的藍(lán)墨水比乙杯中混入的紅墨水多

C.甲杯中混入的藍(lán)墨水和乙杯中混入的紅墨水相同

D.甲杯中混入的藍(lán)墨水與乙杯中混入的紅墨水多少關(guān)系不定

【答案】C

【分析】算出第一次倒出溶液后乙杯中相應(yīng)墨水的比例，進(jìn)而得到混入相應(yīng)墨水的質(zhì)量，比較即可.

【詳解】甲杯倒出a亳升紅墨水到乙杯中以后：

乙杯中紅墨水的比例為‘一,藍(lán)墨水的比例為二、，

m+am+Q

再從乙杯倒出a亳升混合墨水到甲杯中以后：

乙杯中含有的紅墨水的數(shù)量是a-a?，-=3巴亳升①

m+am+a

乙杯中減少的藍(lán)墨水的數(shù)量是■亳升，②

m+am+a

v0=@

???改選（3.

【點(diǎn)睛】考查了用濃度和溶液表示溶質(zhì)的等最關(guān)系；用到的知識點(diǎn)為：純墨水的質(zhì)量=總質(zhì)量x相應(yīng)的濃度.

4.（3分）（24-25七年級上?浙江臺州?期末）已知實(shí)數(shù)工，），，z滿足」-+--+」-=；,且二-+與+上=

,x+yy+zz+x6x+yy+zz+x

11.則x+y+z的值為（）

79

A.12B.14C.-D.9

7

【答案】A

【分析】把合+：+==11兩邊加上3,變形可得上譽(yù)+葉￥+￥=14,兩邊除以(x+y+z)得到

x+yy+zz+xx+yy+zz+x/

——+——4---=則,I：=從而得到x+y+z的值.

x+yy+zz+xx+y+zx+y+z6/

14--+1+—+1+-^=14,

x+yy+zz+x

即比上+上匕+且*=1%

x+yy+zz+x

—+—+—=^—

%+yy+zz+xx+y+z

-7-r1.1.17

in]—+—+—=-

x+yy+zz+x6

147

=―

x+y+z6

?,?%+y+z=12.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減法，解題的關(guān)鍵是掌握同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減.經(jīng)

過通分，異分母分式的加減就轉(zhuǎn)化為同分母分式的加減，同時解決問題的關(guān)鍵也是從后面的式子變形出無+

y+Z.

5.（3分）（24-25七年級上?浙江寧波?期末）甲、乙兩位同學(xué)周末相約去游玩，沿同一路線從A地出發(fā)前

往B地，甲，乙分別以不同的速度勻速前行乙比甲晚0.5h出發(fā)，并旦在中途停留lh后，按原來速度的一半

繼續(xù)前進(jìn).此過程中，甲、乙兩人離A地的路程s（km）與甲出發(fā)的時間J（h）之間的關(guān)系如圖.下列說

法：①48兩地相距24km；②甲比乙晚到8地lh；③乙從A地剛出發(fā)時的速度為72km/h：④乙出發(fā)到與

甲第三次相遇.其中正確的有（）

C.3個D.4個

【答案】D

【分析】本題考杳一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，以及分式方程的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)與圖象中的信息，結(jié)合時間、

路程、速度三者之間的關(guān)系和追擊問題的等量關(guān)系，對上述說法??分析，即可解題.

【詳解】解：由圖知甲、乙兩位同學(xué)最終停下來時，離4地的路程s(km)最大為24km,

???①正確，

由圖知乙到B地時￡=2h,甲到8地時￡=3h,3-2=1(h),

.?.②正確，

???乙比甲晚0.5h出發(fā)，并且在中途停留lh后，按原來速度的一半繼續(xù)前進(jìn).

設(shè)乙從人地剛出發(fā)時的速度為2xkm/h,則停留后的速度為xkm/h,

由圖知乙在中途停留前已走12km,則停留后行駛路程為24-12=12(km)，總的行駛時間為2—0.5-1=

0.5(h),

有工+上=0.5,解得％=36,

2XX

.?.乙從A地剛出發(fā)時的速度為2x36=72(km/h),

③正確，

根據(jù)圖象可知，甲的速度為24+3=8(km/h)

乙在途中停留lh后，二者第三次相遇，乙中途停留前運(yùn)動時間為12+72=6(h)

?.?乙的第二個拐點(diǎn)時間為If+0.5+1=|(h),

由圖知第三次相遇在第二個拐點(diǎn)之后，即第三次相遇時間大于第二個拐點(diǎn)時間，

設(shè)乙繼續(xù)前進(jìn)，小時后二者相遇，根據(jù)題意得：

8x(0.5+%+l+t)=12+36t

解得￡=

故第三次相遇為乙出發(fā)后*+1+盤=系2

二④正確.

綜上所述，正確的有①②③④，共4個.

故選:D.

6.13分)(24-25七年級上?河北石家莊?期末)關(guān)于x的方程％+：=Q+:的兩個解為％=。，次=，％+：=

a+(的兩個解為％=a,x2=^x+^=a+?的兩個解為%】=a,x2=：，則關(guān)于x的方程％+券=Q+言

的兩個解為()

_2a+8

A?％]—Cl9%2—B.x=a,

a1x2―a^l

102+9

C?Xj—Cl9%2D.%=a,=—

a-1x2a-1

【答案】D

【分析】由于％+—-=a+?可化為（％—1）4---=（cz—1）+由題中可得規(guī)律：方程x+-=a+-（其

x-la-1''x-1''a-1xa

中為正整數(shù)）的解為占一a,孫一，根據(jù)這個規(guī)律即中得方程的角吊.

【詳解】???X+T=Q+T

x-la-1

???上述方程有解％-1=a-1及x-1二三

a-1

即x=a及％=—

a-1

所以原方程的解為/=。，“2=W

a-1

故選：D

【點(diǎn)睛】本題主要考杳了一類特殊方程的解，這是一個規(guī)律性的問題，要從所給的前面幾個方程的解，歸納

出一般性的結(jié)論，再所得的一般性結(jié)論，求出所給方程的解，體現(xiàn)了由特殊到一般再到特殊的思維過程，

這是數(shù)學(xué)中常用的方法；這里也用到了整體思想，即要分別把無-1、Q-1看成一個整體，才能符合題中所

給方程的結(jié)構(gòu)，否則無法完成.

7.（3分）（24?25七年級上?廣東汕頭?期末）對于兩個不相等的實(shí)數(shù)a、b,我們規(guī)定符號Min{a,b}表示

a、b中的較小的值，如Min{2,4}=2,按照這個規(guī)定，方程Min{%：}=；1的解為（）

A.1B.2C.1或2D.1或一2

【答案】B

【分析】分類討論工與穌勺大小，列出分式方程，解方程即可.

XX

【詳解】解：當(dāng)白>3時，x<0,方程變形為？=

XXXX

去分母得：2=3-x,

解得：x=l（不符合題意，舍去）；

當(dāng)工<3,x>0,方程變形得：-=--1,

XXXX

去分母得；l=3-x,

解得：x=2,

經(jīng)檢驗(yàn)x=2是分式方程的解，

故選B.

【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，分類討論是解本題的關(guān)鍵.

8.(3分)(24-25七年級下?重慶沙坪壩?期末)對于兩個實(shí)數(shù)口y,我們定義：fa,y)=^(xywO),

有下列說法：

①/(2,3)=-5

O

②"1,3)+f(2,4)+f(3,5)+/(4,6)+…+f(10,12)二篙；

③若af(瓦—c)=bf(a,-c)+cf(a,—b),則ab+ac=2bc.

其中說法正確的有()

A.0個B.1個C.2個D.3個

【答案】B

【分析】根據(jù)定義新運(yùn)算的規(guī)則，逐一進(jìn)行計(jì)算，進(jìn)而得出結(jié)論即可.

【詳解】解：???fa,y)=^(xy亍0),

??./(2,3)=E=4，故①錯誤;

y-x11

------,

??"O,y)-xy--xy

/./(l,3)+f(2,4)+f(3,5)4-/(4,6)+…+f(10,12)=1一(+)—：+g+：-)+…+卷一?

111

=1+----------------

21112

=~故②正確；

■:af(b,-c)=bf(a,-c)+cf(a,-b),

?"(玩)=”那)+。(，》

.ab+acbc+ab,bc+ac

..---b-e---=----a-c-----1----a--b--

222222

.ab+ac-fec-aft-dc-ac八

?■—0,即:222222

abcab+ac—bc—ab—be—ac=0,

無法得到ab+ac=2bc；故③錯誤;

綜上：正確的有1個；

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查定義新運(yùn)算，有理數(shù)的加減運(yùn)算，分式的運(yùn)算.理解并掌握定義新運(yùn)算的規(guī)則，是解題的

關(guān)鍵.

9.（3分）（2024七年級.浙江寧波.競賽）某工程，甲隊(duì)獨(dú)做所需天數(shù)是乙、丙兩隊(duì)合做所需天數(shù)的a倍,

乙隊(duì)獨(dú)做所需天數(shù)是甲、丙兩隊(duì)合做所需天數(shù)的b倍，丙隊(duì)獨(dú)做所需天數(shù)是甲、乙兩隊(duì)合做所需天數(shù)的c倍,

則出+念+擊的值是（）

A.IB.2C.3D.4

【答案】A

【分析】本題主要考查了分式方程在工程問題中的應(yīng)用及分式的加法運(yùn)算，分別設(shè)出甲、乙、丙單獨(dú)做完成

工程所需天數(shù)，利用工作時間=工作總量?工作效率解答即可，熟練掌握分式方程在工程問題中的應(yīng)用并能

靈活運(yùn)用工作時間=工作總量:工作效率列出方程是解決此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)甲、乙、丙單獨(dú)完成這項(xiàng)工程各需工天、y天、z天,

根據(jù)題意得，%=a-A=—>

由此得出“=。+1=土*,上=7^；

yzyza+1xy+yz+xz

同理可得白9=二^：

b+1xy+yz+xzc+1xy+yz+xz

?1.1.1yz.xzxyxy+yz+xz.

??有+有+77T=xy+yz+xz+x/y+xy+yz+xz=秒+y“xz=1'

故選：A.

10.（3分）已知關(guān)于3的分式方程筆=T—^+3的解滿足一4Vx<-1,且〃為整數(shù)，則符合條件的

X—2（X-2乂4+3）

所有々值的乘積為（）

A.正數(shù)B.負(fù)數(shù)C.零D.無法確定

【答案】A

【分析】本題考查了解分式方程、有理數(shù)的平方.首先解分式方程可得A=36-（X-3）2,再根據(jù)分式方程

的解滿足-4cx<-1,可得k的取值范圍，再根據(jù)〃為整數(shù)，確定k的值的情況，再根據(jù)k的取值情況判斷

乘積的正負(fù)性.

【詳解】解：解關(guān)于％的分式方程“號二,七一+3,

去分母得：（2x+3）（x+3）=%+3（x—2）（x4-3）,

移頂?shù)茫海?x卜3）（%+3）-3（x-2）（x+3）=/c,

提公因式得：（%+3）［（2%+3）-3（%-2）］=k

去括號、合并同類項(xiàng)得：（%+3）（-％+9）=左，

整理得設(shè)=36--3）2,

???-4<x<-1

-7<x—3<—4,

16<0—3）2<49,

???-49<-（x-3）2<-16,

:.36-49<36-（x-3）2<36-16,

:.-13VkV20,

又（x—2）（%+3）H0,

:.x*2和一3,

k=3G-（x-3）2豐35和0,

???k為整數(shù)且一13Vk<20,

???kH-13和20,

二-13</c<20中符合條件的k值共有12個負(fù)數(shù)和19個正數(shù)，

.?.符合條件的所有k值的乘積為正數(shù).

故選：A.

二.填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

11.（3分）（2021?福建?中考真題）已知非零實(shí)數(shù)x,y滿足則工出的值等于

【答案】4

【分析】由條件y=*變形得，片產(chǎn)刈，把此式代入所求式子中，化簡即可求得其值.

【詳解】由y=W得：孫士尸弟即匯尸孫

?x-y±3xyxy±3xy.

?■--------=---------=----=4

xyxyxy

故答案為：4

【點(diǎn)睛】本題是求代數(shù)式的值，考查了整體代入法求代數(shù)式的值，關(guān)鍵是根據(jù)條件>=喜，變形為x-產(chǎn)盯，

然后整體代入.

12.（3分）（24-25七年級?浙江金華?期末）任意兩個和不為零的數(shù)a、〃、c滿足告=—=二,求（"b）（b：c）（a+c）

的值.

【答案】8或一1

【分析】根據(jù)公=急=焉,可以得到它們的比值或者”…的關(guān)系式,進(jìn)而解答?

【詳解】解：設(shè)言=急=急4

則a+b=ck,b+c=ak,a+c=bk,

,\a+b+b+c+a+c=k(a+b+c),

.*.2(a+h+c)=k(a+b+c),

當(dāng)a+b+c。。時，k=2,

(a+o)(b+c)(a+c)_2cx2ax2匕_g

abcabc

當(dāng)a+b+c=。時，

(a+i>)(b+c)(a+c)_(O-c)(O-a)(O-b)_

abcabc

故答案為：8或—1.

【點(diǎn)睛】本題考查分式的混合運(yùn)算，利用等式的性質(zhì)進(jìn)行變形是解題關(guān)鍵.

13.(3分)已知三個數(shù)x,y,z滿足至二一2,上匕="—=-p則的值為________.

x+yz+y4z+x4xy+yz+zx

【答案】-4

【分析】由給定的三個等式可得其倒數(shù)也--；，包-3—再將三個分式的分了拆分后相加可得

xy2zy3zx3

乙+工+工的值，因所求式子的倒數(shù)為三+2+L所以求得工+工+1的倒數(shù)即可解答；

xyzxyzxyz

【詳解】解：???牝=一2,2=。，三=—W,

x+yz+y4z+x4

?x+y1z+y4z+x4

??一―—c'-―c'—_一c'

xy2zy3zx3

+-=—，-+-=,~+-=—

xy2zy3zx3

①+②+③，得：-+—+-=—

xyz2

xyz4

xy+yz+zx

故答案為：-4.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡求值，當(dāng)分式的分子較簡單，分母中的各項(xiàng)與分子存在一定的倍數(shù)關(guān)系時，

可利用取倒數(shù)的方法（即將分式的分子和分母的位置顛倒），將繁雜的分式化成簡單的式子，使問題化難

為易，從而降低解題難度.

/I4-X

14.（3分）（24-25七年級?重慶渝北?期末）若關(guān)于％的不等式組2X-1<—有且僅有2個偶數(shù)解，且使

.4x+cz>-3

得關(guān)于y的分式方程言+1=言有整數(shù)解，則滿足條件.所有整數(shù)Q的乘積為.

【答案】-9

【分析】本題考查根據(jù)不等式組的解集的情況以及分式方程的解得情況求參數(shù)的值，解題的關(guān)鍵是正確的求

出不等式組的解集和分式方程的解.

根據(jù)不等式組有且僅有2個偶數(shù)解，求出的取值范圍，再根據(jù)），的分式方程有整數(shù)解，求出滿足條件的整數(shù)

的值，然后計(jì)算即可.

114-X

{4x+a>—3

???不等式組有且僅有2個偶數(shù)解,

???偶數(shù)解為：2,0,

—34Q<5,

2a-l

i-y

解得y=

???方程的解為整數(shù),

??.？為整數(shù)，且平工1,

V-3<a<5,

的值為：-3或1或3,

，滿足條件所有整數(shù)a的乘積為；-3x1x39.

故答案為：—9.

15.（3分）（2022九年級?福建?競賽）若正數(shù)a,〃，c滿足帥c=l,。+：=3,力+二=17,則c+^=.

bca

【答案】裝

【分析】計(jì)算（a+JG+?（c+：）,然后整體代入求解即可；或者把已知條件組成方程組，解方程組求出

a=c=芻代入計(jì)算即可.

【詳解】解：解法一：因?yàn)椋╝+3（b+]（c+3

1111

=abc+a+c+丁+b+-4---F

bcaabc

=（a+9+G+3+（c+：）+（abc+焉）

所以3x17x（c+J=3+17+[c+：）+2,

解得c+人裝.

a25

故答案為:*

abc=1

。+之=3,得卜匕="17—b.

（b+2”（ab=3b-1

因此17-b=3"1,b=^.

由此可得Q=g,c=

所以。+;=表+￡=募

故答案為:.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的運(yùn)算，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，注意運(yùn)用整體思想求解.

16.（3分）（24-25七年級?安徽合肥?期末）甲、乙兩列客車的長分別為150米和200米，它們相向勻速行

駛在平行的軌道.匕已知甲車上某乘客測得乙車在他窗口外經(jīng)過的時間是10秒，那么乙車上的乘客看見甲

車在他窗口外經(jīng)過的時間是秒.

【答案】7.5

【分析】坐在甲車上的某乘客看見乙車駛過窗口，此時路程為乙車的長度，速度為甲乙兩車速度之和：坐在

乙車.上的乘客看見甲車駛過窗口，此時路程為甲車長度，速度為兩人速度之和.等量關(guān)系為：乙車長度《坐

在甲車上的乘客看見乙車駛過窗口的時間二甲車長度?坐在乙車上的乘客看見甲車駛過窗口所用的時間，列

方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)乙車上的乘客看見甲車在他窗口外經(jīng)過的時間是工秒

200150

由題意知,/一_X~

解得％=7.5

經(jīng)檢驗(yàn)，％=7.5是原方程的解

???乙車上的乘客看見甲車在他窗口外經(jīng)過的時間是7.5秒

故答案為：7.5.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意列正確的方程.

第n卷

三.解答題（共8小題，滿分72分）

17.（6分）（24-25七年級上?貴州銅仁?期中）對于一些特殊的方程，我們給出兩個定義：①若兩個方程有

相同的解，則稱這兩個方程為“相似方程”；若兩個方程有相同的整數(shù)解，則稱這兩個方程為“相伴方程”.

（1）判斷方程6-4（1一幻=2%與整=一4是否為“相似方程”，并說明理由；

（2）已知關(guān)于.r,），的二元一次方程v=mx+6和y=x+4m是“相伴方程，求正整數(shù)m的值.

【答案】（1）是，理由見解析

（2）7H=2或m=3

【分析】本題考查了新定義——“相似方程”“相伴方程”，以及解一元一次方程和解分式方程.熟練掌握相關(guān)

性質(zhì)內(nèi)容，是解題的關(guān)鍵.

（1）先分別算出方程6-4（1-％）=2%與賓=-4的解，再結(jié)合“相似方程”進(jìn)行判斷，即可作答.

（2）因?yàn)殛P(guān)于x,y的二元一次方程〉=mx+6和y=%+4m是“相伴方程”，所以加工+6=%+4m,整理得

x=生吐=4-,結(jié)合x,y,/〃均為整數(shù)，則血1=0,m=2,m=-1>m=3?因?yàn)榧訛檎麛?shù),

m-1?n-l,,/2°3”4

據(jù)此即可作答.

【詳解】（1）解：方程6-4（1一；0=2%與方程笫=一4是“相似方程”，理由如下:

解方程6-4(1-%)=2%得

X=-1

解方程*=一4得

X=-1,

檢驗(yàn)：*=-1是該分式方程得解.

???方程6-4(1-%)=2%與方程三=一4是“相似方程”

(2)解：?.3=mx+6和y=x+4m是“相伴方程”.

mx+6=x+4m

4m—62

x=-----------=4-------------

m—1m—1

???ky,機(jī)均為整數(shù)，

/.—1=±1,m—1=+2,

—0,rrL2—2,rn3——1>vi4—3,

又〃為正整數(shù)

Am=2或m=3

18.(6分)(24-25七年級上?山東青島?期中)【提出問題】

已知m>7i>0,a>0,分式巴的分子、分母都加上Q后，所得分式上的值與巳相比是增大了還是減小了？

mm+am

【觀察發(fā)現(xiàn)】

觀察下列式子：;<去,;<學(xué),;〈答1<*,...對于真分?jǐn)?shù);，當(dāng)分子、分母同時加上同一個大于。的數(shù)

33+133+233+333+43

a時，所得分?jǐn)?shù)的值變大，即；<手.

33+a

【探究驗(yàn)證】

(1)對于3〈宇，我們可以用"作差法''進(jìn)行證明:

33+a

2_2+a_2(3+a)-3(2+a)—.a

33+a-3(3+a)-3(3+a)'

Va>0,

-a<0,3(3+a)>0.

一。/can22+a-八

A-——-<0,即------<0.

31.3+a)33+a

2,2+a

??-<;

33+a

(2)由(1)我們可猜想巴與華■的大小關(guān)系是：-_____—,請你用"作差法''證明你的結(jié)論；

mm+a7nm+a

【拓展思考】

(3)若n>zn>0,a>0時，(2)中的不等式是否依然成立？若不成立，請寫出正確的式子；

【方法應(yīng)用】

(4)已知甲、乙兩船同時從A港出發(fā)航行，設(shè)甲、乙兩船在靜水中的速度分別為巧、外，水流速度為

VO(V1>v2>v0>兩船同向航行1小時后立即返航,甲、乙兩船返航所用時間分別為￡1、%請比較￡1，

￡2的大小，判斷哪條船先返回力港？并說明理由.

【答案】(2)<,見解析；(3)不成立，正確的應(yīng)該是巴里：(4)當(dāng)返回為順?biāo)畷r，乙船先返回，當(dāng)

mm+c

返回為逆水時，甲船先返回，見解析

【分析】本題考查的是列代數(shù)式，分式的加減運(yùn)算，分式的值的大小比較，理解題意，選擇合適的方法解題

是關(guān)鍵.

(2)根據(jù)作差法求解即可；

<3)根據(jù)作差法求解即可；

(4)分為當(dāng)返回為順?biāo)畷r，和當(dāng)返回為逆水時，求出口-匕，即可求解.

【詳解】解：(2)巴<",理由如下：

mm+a

n_n+a_n(m+a)-m(n+a)_nm+ra-mn-ma_na-ma_a(n-m)

mm+am(m+a)rr(m+a)m(m+a)m(m+a)'

,.*771>71>0,CZ>0?

/.n—m<0,zn+a>0,

.??也R〈o,即乙一比vo,

m(m+a)mm+a

?nn+a

??一<--.

mm+a

(3)不成立，正確的應(yīng)該是上.

mm+a

理由如下：根據(jù)(2)可得口一山=當(dāng)匚'，

mm+am(m+a)

*.*K>TH>0,fl>0,

n—TH>0,zn+a>0,

.??空3>o,即巴一上>0,

m(m+a)mm+a

.n、n+a

?m?>m"+"""a"""""""?

⑷當(dāng)返回為順?biāo)畷r'0=定’-親

V1-vV2-Vo

tl-t=---------0---------------

2%+%〃2+Uo

二(女一%)(>2+%)-(上一%)(%+%)

(%+v0)(v2+%)

_%七十巧孫一%七一W一%以一%七+孫%+五

(V1+V0)(V2+Vo)

2vov1—2VQV2

~(%+%)(方+%)

_2Vo(%f2)

-(%+引(藝+%)，

*.*Vx>V2>vo>0,

_21；0(也一也)

t即t.

2>0,q>2

(Vi+v0)(v2+v0)

,一%+U。_玲+為

當(dāng)返回為逆水時,L-i-,tLo-

VX-VQV2-V0

%+VOv2+VO

tl-*2=------------------------

巧—v0v2~v0

二(%十%)(方一%)-(女+%)(%—%)

(%-v0)(v2-VO)

VVVVV2VVVVUVV

VXV2~0l+O2~~0~~12+02-0l+0

(巧-

VO)(V2-VQ)

-2vov1+2VOV2

"(%-v0)(v2-VO)

2%(方一女)

一(%-

VO)(V2-v0)

■:%>方>%>0,

即0<t.

0T2=竟5蒜V°,2

所以當(dāng)返回為順?biāo)畷r，乙船先返回，當(dāng)返回為逆水時，甲船先返回.

19.（8分）（24-25七年級上?北京?期中）已知：M=U,N"

（1）當(dāng)x>0時，判斷M-N與。的關(guān)系，并說明理由;

（2）設(shè)y=等一2/V.

①代入M,N,化簡得y=；

②若y是正整數(shù)，則整數(shù)％的值為

【答案】（l）M-N>0,理由見解析

（2）①土；0或1或3

【分析】本題考查了分式的四則運(yùn)算及解分式方程.熟練掌握分式四則運(yùn)算的順序和法則，解分式方程的方

法步驟，分類討論，是解題的關(guān)鍵.

（1）作差后根據(jù)分式的減法法則化簡，再運(yùn)用”>0對分子分母分式的正負(fù)性質(zhì)計(jì)算討論即可；

（2）①把M、N代入y=管一2/7整理得到y(tǒng)二缶；②根據(jù)y>0,x,），都是整數(shù)，可知自可以取1,2,3,

4.,求出對應(yīng)的x值為3,I,50,符合的有0,1,3.

【詳解】（1）當(dāng)3>0時，M—N>0.理由如下:

....X+1X

,M=——,N=——

2x+1

??,X+1X(X+1)2-2XX2+l

??M-N=-------------=——-------=—----

2x+12(x+l)2(x+l)

■>0,

:>0,2(%4-1)>0.

J/+1>0.

2_LL>o

2(*+1)?

:?M-N>0.

⑵①依題意，得：”堂一2乂2=誓-?=?

故答案為：

②,且y>0,x,y都是整數(shù),

X干JL

?力可以取1，2,3,4.

當(dāng)A時，?1=4,

解得乃二3,符合;

當(dāng)’-二2時，x4-1=2,

X+1

解得％=1,符合；

當(dāng)擊=3時，、+1=￡

解得％不合，舍去;

當(dāng)’-=4時，x4-1=1,

X+1

解得％=0,符合.

綜上所述：當(dāng)），為正整數(shù)時，x的值是0或1或3.

故答案為：0或1或3

20.（8分）（2020.遼寧丹東?一模）某商店要運(yùn)一批貨物，租用甲、乙兩車運(yùn)送.若兩車合作，各運(yùn)12趟

才能完成，需支付運(yùn)費(fèi)共48U。元；若甲、乙兩車單獨(dú)運(yùn)完這批貨物，則乙車所運(yùn)趟數(shù)是甲車的2倍；已知

乙車每趟運(yùn)費(fèi)比甲車少200元.

（I）分別求出甲、乙兩車每趟的運(yùn)費(fèi)；

（2）若單獨(dú)租用甲車運(yùn)完此批貨物，需運(yùn)多少趟；

（3）若同時租用甲、乙兩車，則甲車運(yùn)x趟，乙車運(yùn)y趟，才能運(yùn)完此批貨物，其中x、y均為正整數(shù)，設(shè)

總運(yùn)費(fèi)為\、，（元），求w與x的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出w的最小值.

【答案】（1）甲、乙兩車每趟的運(yùn)費(fèi)分別為300元、100元；（2）單獨(dú)租用甲車運(yùn)完此批貨物需運(yùn)18趟；

（3）W=100x+3600（0<x<18）,w的最小值為3700

【分析】（1）設(shè)甲、乙兩車每趟的運(yùn)費(fèi)分別為m元、n元，根據(jù)：①甲車費(fèi)用-乙車費(fèi)用=200,②12x（甲

車費(fèi)用+乙車費(fèi)用）=4800,列方程組求解可得；

（2）設(shè)單獨(dú)租用甲車運(yùn)完此批貨物需運(yùn)a趟，則乙車運(yùn)完此批貨物需運(yùn)2a趟，記這批貨物的總量為I,根

據(jù)：12x（甲車每趟運(yùn)送量+乙車每趟運(yùn)送量）=1,列分式方程求解即可；

（3）先根據(jù)：甲車x趟的運(yùn)送量+乙車y趟的運(yùn)送量=1可得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系，再根據(jù)：總運(yùn)費(fèi)=甲車

的總運(yùn)費(fèi)+乙車的總運(yùn)費(fèi)，列出W關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系，由一次函數(shù)的性質(zhì)可得W的最值情況.

【詳解】解：（1）設(shè)甲、乙兩車每趟的運(yùn)費(fèi)分別為m元、n元，

m—n=200

根據(jù)題意得:

12(m+n)=4800

解得：｛m=300

n=100

答：甲、乙兩車每趟的運(yùn)費(fèi)分別為300元、100元.

（2）設(shè)單獨(dú)租用甲車運(yùn)完此批貨物需運(yùn)a趟，則乙車運(yùn)完此批貨物需運(yùn)2a趟.

根據(jù)題意得：12弓+點(diǎn)）=

解得:a—18.

經(jīng)檢驗(yàn)a=18是原方程的解,

答；單獨(dú)租用甲車運(yùn)完此批貨物需運(yùn)18趟.

(3)由題意得:^+￡=1,

1836

.*.y=36-2x

則W=3OOx+IOOy

=300x+100(36-2x)

=100x+3600(0<x<18).

V100>U,

???W隨著x的增大而增大.

當(dāng)x=1時，W有最小值，W的最小值為3700.

【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)有二元一次方程組的應(yīng)用、分式方程的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用，掌握以上知識點(diǎn)

是解此題的關(guān)鍵.

21.(10分)(24-25七年級?安徽滁州?期中)已知，關(guān)于力的分式方程三-三=1.

2X+3X-5

(1)當(dāng)。=2,匕=1時，求分式方程的解；

(2)當(dāng)Q=1時，求b為何值時，分式方程七一空=1無解；

(3)若b=0,。為正整數(shù)，分式方程七-瞪=1的解為整數(shù)時，求a的值.

ZX+3X—5

【答案】(l)X=-1

(2地=1或匕=5

(3)3,55

【分析】(1)將a,b的值代入分式方程，解分式方程即可得到答案；

(2)把a(bǔ)的值代入分式方程，將分式方程去分母后化為整式方程，分類討論b的值使分式方程無解即可；

(3)把b=0代入分式方程，將分式方程化為整式方程，表示出整式方程的解，由解為整數(shù)和。為正整數(shù)即

可確定Q的值.

【詳解】(1)解：把a(bǔ)=2,匕=1代入分式方程段一合=1中，

得：六-十=1，

2x+3x-5

方程兩邊同時乘以(2x+3)(%-5),

得:2(x—5)—(1—x)(2x+3)=(2x+3)(%—5),

去括號得：2x2+3x-13=2x2-7x-15,

移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得：10x=-2,

系數(shù)化為1得：x=-i,

O

檢驗(yàn)：把％代入(2%+3)(%-5)H0,

所以原分式方程的解是

(2)解：把a(bǔ)=1代入分式方程七一生三=1,

2x+3x-5

得―

方程兩邊同時乘以(2x+3)(x-5),

得：(x—5)—(b-x)(2x+3)=[2x+3)(%—5),

去括號得：x—5+2x2+3x—2bx—3b=2x2—lx—15,

移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得：(11-2b)x=3匕-10,

①當(dāng)11-2b=0時，即b=￡,方程無解，

②當(dāng)11-2b工0時，x=2^112,

11-20

%=時，分式方程無解，即邦=一5,b不存在；

211-2D2

%=5時，分式方程無解，即篙=5,6=5,

11-2D

綜上所述，6=?或8=5時，分式方程七一三二1無解;

22X+3X-5

(3)解：把6=0代入分式方程七一二=1中，

2x+3x-5

得：就+士=1，

方程兩邊同時乘以(2%+3)(%-5),

得：a(x-5)4-x(2x+3)=(2x+3)(x—5),

整理得:5”15

a+10

.?”=鬻=5-言，且Q為正整數(shù)，%為整數(shù),

...a+10必為65的因數(shù)，a+10211,

V65=5x13,

???65的因數(shù)有1,5,13,65,

Vl,5小于11,

???。+10可以取13,65這兩個數(shù)，對應(yīng)地，方程的解%為0,4,對應(yīng)地，a的值為3,55,

.??滿足條件的a可取3,55這兩個數(shù).

【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的計(jì)算，熟練掌握解分式方程的步驟是解決問題的前提條件，分式方程無解的兩

種情況要熟知：一是分式方程去分母后的整式方程無解，二是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式

方程的增根.

22.(10分)(24-25七年級?浙江杭州?期中)觀察下列各式：(XH0)

(：i)G+i)=或T

&-。自+1+1)=2-1

⑴從上面的算式及計(jì)算結(jié)果，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接與卜間的空格：(：-1)(或+3+/+2+點(diǎn)+或+

：+1)=-------；

(2)用數(shù)學(xué)的整體思想方法，設(shè)：=分解因式：(租7+Tn，+優(yōu)5++7n3+瓶2+根+1),(rn1)；

(3)已知1+2+22+23+24+25+26+27=a&a、b、c、d都是正整數(shù)，且a>匕>c>d,化簡

求(T):(T)x那值.

【答案】⑴/一1;

(2)(m+l)(m2+l)(77i4+1)；

(3)-塔，-2

【分析】(1)根據(jù)所給的三個等式歸納規(guī)律解答即可；

(2)利用得出的規(guī)律，運(yùn)用平方差公式進(jìn)行分解因式；

(3)根據(jù)(2)中的規(guī)律，當(dāng)m=2時，得出小兒c,d的值，再進(jìn)行化簡求值.

【詳解】(1)解：根據(jù)題意，由所給的三個等式，可歸納出：

6-1)(妥+/+/+3+妥+5+5+1)=妥-1；

故答案為：專一1:

(2)解：由⑴可知(—1)6+/+*+3+或+或+:+1)=±-1,

?W+^+卷+點(diǎn)+或+晝+打1=隱_1)+(：1)，

設(shè)］=m(mH1),

X

.*.77l7+抬+裙+/+7幾3+7兀2+加+1=---8---1

771-1

=6一加+1)*+1)(環(huán)+1)=+2+4+

m-1m-1'八八，

Am7+m6+m5+m4+m34-m2+m+1=(m+l)(m2+l)(m4+1)；

(3)解：由(2)可知m’+m6ms+m4+m3+m2+m+1=(m+l)(?n2+l)(m4+1),

當(dāng)KI=2時，則

27+26+25+24+23+224-2+1=(2+1)(224-1)(24+1)=3x5x17,

V14-2+22+23+24+25+264-27=a-b?c?d,

.*.G-b-c-d=3x5xlxl7,

la、b、c、d都是正整數(shù)，且〃>b>c>d；

d=17,b=5,c=3,d=\i

?.?(_2)2+(_也)、也

\cdJ\17c/a

b217c6d

"一百x茄。

—102b,

5acd

當(dāng)。=17,b=5，c=3，d=\：

102X5

:.原式二=-2；

5x17x3x1

【點(diǎn)睛】本題考查了用平方差公式進(jìn)行因式分解，分式的化簡，根據(jù)所給的等式歸納出規(guī)律是解答本題的關(guān)

鍵.

23.（12分）（24-25七年級上.北京東城?期中）對于兩個不相等的非零實(shí)數(shù)〃八〃，分式3空色的值為

X

零，則％=機(jī)或％=n,又因?yàn)?/-（m+n）x+mn=x+吧—所以關(guān)于X的方程％+儂=

XXxvX

m十幾有兩個解，分別為%i=m,%2=九?應(yīng)用上面的結(jié)論解答下列問題：

（1）方程X+：=7有兩個解，分別為%1=>%2=;

（2）關(guān)于x的方程”+器=巴蟹'的兩個解分別為%,外，若立與外互為倒數(shù)且.〈不，則%=

%2=____________

⑶關(guān)于x的方程3x+E=2幾的兩個解分別為勺，不（與〈必），求產(chǎn)