八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)暑假預(yù)習(xí)：二次根式的運(yùn)算（解析版）

第11講二次根式的運(yùn)算

作知識(shí)點(diǎn)梳理

一、二次根式的乘法及積的算術(shù)平方根

1.乘法法則：幾.盛?顯(。》0,人20),即兩個(gè)二次根式相乘，根指數(shù)不變，只把被開(kāi)方數(shù)

相乘.

要點(diǎn)：

(1).在運(yùn)用二次根式的乘法法則進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，一定要注意：公式中a、b都必須是非負(fù)數(shù)；(在本章

中，如果沒(méi)有特別說(shuō)明，所有字母都表示非負(fù)數(shù)).

(2).該法則可以推廣到多個(gè)二次根式相乘的運(yùn)算：

E?向?向?....?百二?%?.....….

(3).若二次根式相乘的結(jié)果能寫(xiě)成02的形式，則應(yīng)化簡(jiǎn)，如JiW=4.

2.積的算術(shù)平方根：

友=而.蕊(。，0,b》0)，即積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算術(shù)平方根的積?

要點(diǎn)：

(1)在這個(gè)性質(zhì)中，a、b可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式，無(wú)論是數(shù)，還是代數(shù)式，都必須滿(mǎn)足。20,

b20,才能用此式進(jìn)行計(jì)算或化簡(jiǎn)，如果不滿(mǎn)足這個(gè)條件，等式右邊就沒(méi)有意義，等式也就不

能成立了；(2)二次根式的化簡(jiǎn)關(guān)鍵是將被開(kāi)方數(shù)分解因數(shù)，把含有°2形式的a移到根號(hào)外面.

二、二次根式的除法及商的算術(shù)平方根

1.除法法則：亞=E(。20,匕〉0),即兩個(gè)二次根式相除，根指數(shù)不變，把被開(kāi)方數(shù)相除

要點(diǎn)：

(1)在進(jìn)行二次根式的除法運(yùn)算時(shí),對(duì)于公式中被開(kāi)方數(shù)a、b的取值范圍應(yīng)特別注意，。20,力>0,

因?yàn)閎在分母上，故b不能為0.

(2)運(yùn)用二次根式的除法法則，可將分母中的根號(hào)去掉，二次根式的運(yùn)算結(jié)果要盡量化簡(jiǎn)，最后

結(jié)果中分母不能帶根號(hào).

2.商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：

但=巫("20,/?>()),即商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根.

4b

要點(diǎn)：

運(yùn)用此性質(zhì)也可以進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)，運(yùn)用時(shí)仍要注意符號(hào)問(wèn)題.

三、同類(lèi)二次根式

1.定義：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開(kāi)方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式就叫做同類(lèi)二

次根式.

要點(diǎn)：

(1)判斷幾個(gè)二次根式是否是同類(lèi)二次根式，必須先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再看被開(kāi)方

數(shù)是否相同；

(2)幾個(gè)二次根式是否是同類(lèi)二次根式，只與被開(kāi)方數(shù)及根指數(shù)有關(guān)，而與根號(hào)外的因式無(wú)關(guān).

2.合并同類(lèi)二次根式

合并同類(lèi)二次根式，只把系數(shù)相加減，根指數(shù)和被開(kāi)方數(shù)不變.(合并同類(lèi)二次根式的方法與整式

加減運(yùn)算中的合并同類(lèi)項(xiàng)類(lèi)似)

要點(diǎn)：

(1)根號(hào)外面的因式就是這個(gè)根式的系數(shù)；

(2)二次根式的系數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的要變成假分?jǐn)?shù)的形式.

四、一次根式的加減

1.二次根式的加減實(shí)質(zhì)就是合并同類(lèi)二次根式，即先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再把其

中的同類(lèi)二次根式進(jìn)行合并.對(duì)于沒(méi)有合并的二次根式，仍要寫(xiě)到結(jié)果中.

要點(diǎn)：

(1)在進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算時(shí)，整式加減運(yùn)算中的交換律、結(jié)合律及去括號(hào)、添括號(hào)法則仍然

適用.

(2)二次根式加減運(yùn)算的步驟：

1)將每個(gè)二次根式都化簡(jiǎn)成為最簡(jiǎn)二次根式；

2)判斷哪些二次根式是同類(lèi)二次根式，把同類(lèi)的二次根式結(jié)合為一組；

3)合并同類(lèi)二次根式.

五、二次根式的混合運(yùn)算

二次根式的混合運(yùn)算是對(duì)二次根式的乘除及加減運(yùn)算法則的綜合運(yùn)用.

要點(diǎn)：

(1)二次根式的混合運(yùn)算順序與實(shí)數(shù)中的運(yùn)算順序一樣，先乘方，后乘除，最后算加減，有括號(hào)

要先算括號(hào)里面的：

(2)在實(shí)數(shù)運(yùn)算和整式運(yùn)算中的運(yùn)算律和乘法公式在二次根式的運(yùn)算中仍然適用；

(3)二次根式混合運(yùn)算的結(jié)果要寫(xiě)成最簡(jiǎn)形式.

U例L下列運(yùn)算錯(cuò)誤的是：)

A.72x75=^B.x/8-V4=V2C.(右丫=5D.2+有=2百

【答案】D

【解析】

【分斤】

利用二次根式的運(yùn)算性質(zhì)分別運(yùn)算后即可確定錯(cuò)誤的選項(xiàng)，從而確定正確的答案.

解：A、近乂6=瓜,正確，不符合題意；

瓜+6=五,正確，不符合題意；

C、(逐了=5,正確，不符合題意;

D、2+6=平，故原式錯(cuò)誤，符合題意，

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次根式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是了解二次根式的有關(guān)的運(yùn)算性質(zhì)，難度不大.

例2.計(jì)算質(zhì)X&N的值是（）

A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)二次根式乘法法則計(jì)算即可.

原式=70.4x1.6==0.8.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次根式乘法法則：算術(shù)平方根的積等于各個(gè)被開(kāi)方數(shù)積的算術(shù)平方根.

［計(jì)算<2>/5-2>/3）（V12+V20）的結(jié)果是（）

A.4B.8C.16D.32

【答案】B

【解析】

【分析】

利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可.

解：（2x/5-2x/3）（V12+V20）

=（2后-2百）（2石+26）

=（2X/5）2-（2X/3）2

=20-12=8.

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是利用平方差公式進(jìn)行二次根式的乘法運(yùn)算，掌握公式特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

4.能使，工=7名成立的x的取值范圍是(

)

A.*2B.x>0C.x>2D.x>2

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)，且分式的分母不能為0,列不等式組求出文的取值范圍即可.

由題意可得：C7、，解得：x>2.

x-2X)

故選D.

【點(diǎn)睛】

二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)，分母不為0,是本題確定取值范圍的主要依據(jù).

[j^j5下列計(jì)算正確的是()

A.3夜x4夜=12夜B^(-9)x(-25)=V^9xV^25=(-3)x(-5)=15

C.-3^|=^(-3)2X-|=>/6D.\/132-122=^(13+12)X(13-12)=5

【答案】D

【解析】

A選項(xiàng)：3&x4&=24,計(jì)算錯(cuò)誤，故與題意不符；

B選項(xiàng)：/(-9)x(—25)=3x5=15,計(jì)算步驟有誤，故與題意不符；

C選項(xiàng)：-35二?舊￡-76,計(jì)算錯(cuò)誤，故與題意不符；

D選項(xiàng)：V132-122=7(13-12)(13+12)=5,計(jì)算正確，故與題意相符.

故選D.

6-計(jì)算如一2百+《x而的結(jié)果是(

)

A.2百+巡B.2x/3+|C.6x/3+—

D.26+6?

424

【答案】A

【解析】

【分析】

先化簡(jiǎn)各個(gè)二次根式再合并即可.

解：>/48-2>/3+.^x^27=45/3-2x/3+—x3V3=2x/3+—.

V844

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次根式的混仔運(yùn)算，熟練掌握二次根式的化簡(jiǎn)與同類(lèi)二次根式的合并是解題的關(guān)鍵.

例7.一個(gè)長(zhǎng)方體紙盒的體積為4Gdm，若這個(gè)紙盒的長(zhǎng)為2&dm，寬為瘋1m,則它的高為

()

A.IdmB.2\/2drr.C.2GdmD.48dm

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)長(zhǎng)方體體積=長(zhǎng)、寬x高，把數(shù)據(jù)代入公式解答即可.

解?：設(shè)長(zhǎng)方體紙盒的高為x，

貝Ij2&x后=46,

解得：x=\,

故長(zhǎng)方體紙盒的高為：1dm,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本寇考查長(zhǎng)方體體積公式、二次根式的混合運(yùn)算，掌握長(zhǎng)方體體積公式是解題關(guān)鍵.

8.下列計(jì)算中，正確的是()

A.26+26=56B.(x^+\/7)-^=x/i0-5/i0=10

C.(3+2揚(yáng)(3-26)=-3D.(>/2a+4b)(\[2a+b)=2a+b

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)二次根式的性質(zhì)和二次根式的混合運(yùn)算計(jì)算即可得出答案.

解：A、2G與2石不是同類(lèi)二次根式，不能合并，此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意;

B、(百+夕).癡=回+質(zhì)，此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意;

C、(3+26)(3-26)=9-12=-3,此選項(xiàng)正確，符合題意:

D、(>/2a+\fb)(\/2a+b)=2a'+y/lab+x/2}ja-^b\/b,此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則.

例￡如果最簡(jiǎn)二次根式d3a-8與Jl7-2.能夠合并,那么J3a-8+如17-2〃的值為

()

A.石B.V7C.2石D.2出

【答案】D

【解析】

【分析】

由題意可得反耳與是同類(lèi)二次根式，即兩者的被開(kāi)方數(shù)相同，由此可求出a的值，將a代入原

二次根式合并即可.

解：由題意可知最簡(jiǎn)二次根式后與與ViT二五的被開(kāi)方數(shù)相同，即為-8=17-2a,解得〃=5.所以

V31?-8+y/\7-2a=x/7+x/7=2x/7.故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了同類(lèi)二次根式，同類(lèi)二次根式才能夠進(jìn)行合并,正確理解同類(lèi)二次根式的含義是解題的關(guān)鍵.

1°.已知a=l+&，b=￡y^則a與b的關(guān)系是(

)

A.互為相反數(shù)B.互為倒數(shù)C.相等D.互為負(fù)倒數(shù)

【答案】A

【解析】

【分析】

把b=￡

的分子分母同乘(1+夜)，進(jìn)一步化簡(jiǎn)與a比較得出結(jié)論即可.

u11+&l

vb===

T^（i-V2）（i+V2）m

a=l+>/2，

???a與b互為相反數(shù).

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查分母有理化.

a-b

甲、乙兩位同學(xué)對(duì)代數(shù)式不詬3>0⑦>0），分別作了如下變形：甲:

a-b(a-b)^-4b)匚任■^^=（6一久"插1G向關(guān)于這兩種變

7^二(G邳G㈣\la+>Jb\Ja+yjb

形過(guò)程的說(shuō)法正確的是（)

A.甲、乙都正確B.甲、乙都不正確

C.只有甲正確D.只有乙正確

【答案】D

【解析】

【分析】

甲利用分母有理化的知識(shí)，可求得：乙先將分子因式分解，然后約分，即可求得.

解：甲：當(dāng)川方時(shí)，

a-b_（。叫（&-舊_j-仄

而丁麗詢(xún)麗祠，

當(dāng)4=%時(shí)，無(wú)意義，

乙：百展①￡）（1+6）=&—而

IJbI"

，甲錯(cuò)誤，乙正確，

選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；

選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；

選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；

選項(xiàng)說(shuō)法正確，符合題意；

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了分母有理化，因式分解，解題的關(guān)鍵是要全面考慮。與〃之間的數(shù)量關(guān)系.

12.比較大小：(1)3754x/2:

(2)4->/32+5

(4)V2019-V2018(2018—，2()17.

【答案】>,v,>,<

【解析】

【分析】

(1)先將3石，4人變形為屈，庫(kù)，有45>32,即可比較大小;

(2)利用作差法，即可比較大小；

(3)利用作商法，即可比較大小；

(4)先將麻一師‘師一頡化為J2019+J2018'a0恒+々017'又有

>/2019+V2018>V20184-V2017,即可比較大小.

解：(1)<3，5=候,4忘=序，.口.45>32,

:.歷>寂，

:.36>4夜；

(2)???(4-揚(yáng)-(2+揚(yáng)=4-6-2-6=2-2>/5=2(1-?又V也>\,

/.2(l-V3)<0,即(4-拘-(2+6)<0,

工4一6〈2+百；

?"、石

?*-7=">------

752

(4)V72019-72018=.1.

V20194-V2018

V20i8-V20T7=.1.

J2018+J2017

V2019+V2018>72018+72017,

,]1

**72019+72018^/20i8+^/20^J

KP72019-V2018<V2018-V2017.

故答案為：(1)>：(2)<；(3)>；(4)<.

【點(diǎn)睛】

本題主要考杳了二次根式比較大小，二次根式的運(yùn)算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

在^q計(jì)算：⑴712+3^=:(2)3?-而=

【答案】3&&

【解析】

【分析】

根據(jù)合并同類(lèi)二次根式的法則計(jì)算即可；

解：(1)7iI+3<E=2G+3x立=36

V33

(2)3\fx->/4x=3\[x-14x=4x;

故答案為：36，&

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次根式的加減法，熟練掌握合并同類(lèi)二次根式的法則是解題的關(guān)鍵

414.已知x=6+1,>，二6一1,貝+[=.

【答案】G

【解析】

【分析】

先計(jì)算出x+y,歲的值，再把：變形整體代入即可求解.

解：?；x=x/3+1,y=>/3—1>

.*.,x+y=2V3,xy=3-l=2,

L山=述=6

xyxy2

故答案為：A/3.

【點(diǎn)睛】

本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值以及二次根式的運(yùn)算，根據(jù)％、y的值的特點(diǎn)和所求分式的特點(diǎn)進(jìn)行正確變形,

熟知相關(guān)運(yùn)算公式，法則是解題關(guān)鍵，本題也可以直接代入計(jì)算，但運(yùn)算量比較大.

015.已知療=劣/元="用含。、〃的代數(shù)式表示師=.

【答案】ab

【解析】

【分析】

根據(jù)二次根式的乘法，將師表示成"、版的形式，即可求解.

解：>/490=77x70=V7x770=

故答案為必

【點(diǎn)睛】

此題考查了二次根式乘法的逆用，熟練掌握二次根式是解題的關(guān)鍵.

y/a-y/b(a>b]

.對(duì)于任意的正數(shù)。，b,定義運(yùn)算“*”如下：=廠(chǎng)l'\計(jì)算(3*2)+(48*50)的

>Jb-\!a(a<b)

結(jié)果為

【答案】4加一3石##-36+40

【解析】

【分析】

根據(jù)題意選擇合適的對(duì)應(yīng)法則.因?yàn)?>2,所以選擇第一種對(duì)應(yīng)法則；48<50,選第二種對(duì)應(yīng)法則.

x[a-\fb(a>b)

解：

4b-\[ci[a<b)

.??(3*2)+(48*5())=6一血+同一屈=6一立+5忘-4年4夜一3G

故答案為：4>/2-35/3.

【點(diǎn)睛】

主要考查二次根式的運(yùn)算及化簡(jiǎn).定義新運(yùn)算題型能很好的考查學(xué)生對(duì)新情景知識(shí)的學(xué)習(xí)能力.讀懂題意,

按照定義是關(guān)鍵.

心跟蹤蒯I練

一、單選題

1.計(jì)算2疝x且b行的結(jié)果是（）

4

A.且B.立C.G

D.2也

24

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則即可求出答案.

原式+石

=3+6

二超

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查二次根式的乘除法，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的乘除法法則，本題屬卜基礎(chǔ)感型.

2.下列各運(yùn)算，正確的是（

A.2石.3石=60

C.7=5x7-125=^/-5x（-125）

【答案】B

【解析】

【分^5】

根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則和二次根式有意義的條件進(jìn)行計(jì)算即可.

解：A、275-375=30,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤:

B、本選項(xiàng)正確;

c、根據(jù)二次根式有意義的條件可得Q和沒(méi)有意義，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;

D、y]x2+y2=y]x2+y2?故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次根式的運(yùn)算法則，二次根式有意義的條件，掌握這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

A.--\lcibB.—abC.—dabD.b,Jab

ab~ahb

【答案】A

【解析】

【分析】

直接利用二次根式的乘除運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求出即可.

原式=J——-----=—\[ab.

\habahah2

故選：A

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了二次根式的乘除運(yùn)算，正確掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

4.已知a=J5-血，b=6+五,那么。與的關(guān)系為()

A.互為相反數(shù)B.互為倒數(shù)

C.相等D.。是人的平方根

【答案】B

【解析】

【分析】

求出而的值，利用倒數(shù)定義判斷即可.

解：a=j3-'jl?b—+>J2?

/.=(73->/2)(5/3+>/2)=3-2=1,

則“與人的關(guān)系是互為倒數(shù).

故選：B.

【點(diǎn)睛】

此題考查了倒數(shù)的定義、一.次根式的乘法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

5,下列結(jié)論中，對(duì)于實(shí)數(shù)b,成立的個(gè)數(shù)有（）

①、屆=冊(cè).加;②乎③<7?=±a；?\/a^=a2-

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)二次根式有意義的條件結(jié)合二次根式的乘除法及二次根式的性質(zhì)逐一分析四條結(jié)論的正誤，由此即可

得出結(jié)論.

①當(dāng)a、b均為負(fù)時(shí)，?、加無(wú)意義,

???①不成立;

②;在空中，a>0,b>0,

%=②成立,

③;卡加

，③不成立；

?*>*VF=la2l=a2>

???④成立.

綜上可知：成立的結(jié)論有②④.

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次根式有意義的條件、二次根式的乘除法以及二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，熟練掌握二次根式的

乘除法及二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.甲，乙兩同學(xué)對(duì)代數(shù)式:一〃「（〃>（）,〃>0）分別作了如下變形：

〃?〃_（〃?一〃）（右一石）

甲：=yfm-y/n；

41n+\[n-G）

乙:m-n

Jni-\-4n4m+4n

關(guān)「這兩種變形過(guò)程的說(shuō)法正確的是（）

A.甲，乙都正確B.甲，乙都不正確

C.只有甲正確D.只有乙正確

【答案】D

【解析】

【分析】

甲的做法是先把分母有理化，再約分;乙的做法是先把分子分解因式，再約分.計(jì)算過(guò)程中，要考慮m=n

這種情況.

甲的做法是先把分母有理化，再約分,如果m=n則化簡(jiǎn)不成立;

乙的做法是先把分子分解因式，再約分，正確.

故本題選D.

【點(diǎn)睛】

本題考杳的是分母有理化的計(jì)算方法.

7.己知+Jl8x=10,則x等于（）

A.4B.±2C.2D.±4

【答案】C

【解析】

【分析】

已知+Vi87=io,先化簡(jiǎn)再求值即可得出答案.

已知+7187=10,.,.x>0,

?,?原式可化簡(jiǎn)為：\/2x+V2x+3\/2x=10,

:g=2,

兩邊平方得：2x=4,

:.x=2,

故選c.

【點(diǎn)睛】

本題考查了解無(wú)理方程，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是先化簡(jiǎn)后再根據(jù)平方法求無(wú)理方程.

8.設(shè)而＞0,則L/口+，藏|-（24口+瘍7]的值一定是（）.

IV"a）VUI）

A.正數(shù)B.負(fù)數(shù)C.0D.1

【答案】B

【解析】

【分析】

分”、。同正和。、〃同負(fù)兩種情況把各項(xiàng)化成最簡(jiǎn)二次根式,再去括號(hào)合并同類(lèi)二次根式，然后結(jié)合已知條

件即可進(jìn)行判斷.

解：???曲＞0,???當(dāng)服〃同正時(shí)，

（5相厚｝（2胎國(guó)）

靠?亨3,而1”?當(dāng)5瘋

=5\[ab+＞/ab-2\[ab-5\[ab

=-yfab;

*.*ab＞0,/.-4ab＜0,即原式的值是負(fù)數(shù).

當(dāng)a、b同負(fù)時(shí)，

（5唔+訝加哦+岳可

厚華1?（閑）-|〃?呼5而

=-5x/ab-\[ab+2\/ab-5\[ab

=—^4ah；

Vab＞0f/.—9\[ab＜（）＞即原式的值是負(fù)數(shù).

綜上，劭＞（）時(shí)原式的值是負(fù)數(shù).

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次根式的加減運(yùn)算，熟練掌握二次根式的化簡(jiǎn)與加減運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

9.已知x=1?(次而一1〃是大于1的自然數(shù)，那么卜-成壽了的值是(

).

2IV2007

A-2007B.-2(X)7C'㈠)2007D*-㈠)2(X)7

【答案】C

【解析】

【分析】

令”=3007,得至1」4二3(4一一),1+7='"+￡，"=2007,進(jìn)而得到x-Jl+f的值,代入即可得

到結(jié)論.

令.=42007,從而xJ”/=如+3),/=2007,:.x-Jl+V=g(a_；_[b+十=j

二原式=今、(一吟=5募.

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次根式的混合運(yùn)算.熟練掌握二次根式混合運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵.

10.設(shè)s=J1+,+*+/*+(+/+/+*+…+/表+焉，則不大于S的最大整數(shù)⑸等于()

V14VVyy1UU

A.98B.99C.100D.101

【答案】B

【解析】

【分析】

由(*十島""Kg代入數(shù)值’求出

S=/+注+*+)+*+*>*+/+...+，1+表+需=99+1-擊,由此能求出不大于S的最大整

數(shù)為99.

_M(〃+l/+〃?+(7?+l)2

\+n+y

l+〃+〃2

?(/?+!)

=99+1---

100

=100--

100

，不大于S的最大整數(shù)為99.

故選B.

【點(diǎn)睛】

~~ii,11

本題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，知道*L+>+「▼=1+二一777是解答本題的基礎(chǔ).

二、填空題

11.V27x5/3=

【答案】9

【解析】

【分^5】

根據(jù)二次根式的乘法法則進(jìn)行運(yùn)算，然后將二次根式化為最簡(jiǎn)即可得出答案.

解：V27x>/3

=J27x3

故答案為：9.

【點(diǎn)睛】

此題考查了二次根式的乘法，屬于基礎(chǔ)題，掌握二次根式的乘法法則是關(guān)鍵.

化簡(jiǎn):%=

12.計(jì)算至xG=

【答案】6如

3

【解析】

【分析】

直接利用二次根式的乘除法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求出即可.

解：x73=V12X3=>/36=6,

V2_（2_[2^3_瓜

3=V3=fe=T，

故答案為：6；員.

3

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了二次根式的乘除運(yùn)算法則，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵.

13.計(jì)算夜x（夜+1）+*-2]的值是.

【答案】4

【解析】

【分析】

根據(jù)絕對(duì)值的意義、二次根式的運(yùn)算可進(jìn)行求解.

解：原式=2+夜+2-0=4;

故答案為4.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二次根式的運(yùn)算，熟練掌握二次根式的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

14.計(jì)算:

【答案】1

【解析】

【分析】

先利用乘法分配律進(jìn)行展開(kāi)，然后根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則計(jì)算即可.

=0X百—Gx

=3-2

=1.

故答案為：I.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了乘法分配律、二次根式的運(yùn)算法則等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的運(yùn)算法則成為解答本題

的關(guān)鍵.

15.已知力*/=忘*〃百=貝ija—；b-_.

【答案】26

【解析】

【分析】

先將化為最簡(jiǎn)二次根式，再利用二次根式的乘法法則解題.

解：V2xVi2=V2x2V3=2V6

:.a=2,h=6

故答案為:2,6.

【點(diǎn)睛】

本題考杳利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)計(jì)算，涉及最簡(jiǎn)二次根式、二次根式的乘法等知識(shí)，是基砒考點(diǎn)，掌握

相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

16.兩個(gè)最簡(jiǎn)二次根式與a石的和5石，則/+a=.

【答案】2

【解析】

【分析】

根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義可得〃=3,由〃?+〃=5,代入代數(shù)式即可求解.

解：兩個(gè)最簡(jiǎn)二次根式加〃與。G的和56，

〃=3,/n+a=5,

盟一〃+。=5-3=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】

本題考查最簡(jiǎn)二次根式的定義.根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義，最簡(jiǎn)二次根式必須滿(mǎn)足兩個(gè)條件：(1)被開(kāi)方

數(shù)不含分母；(2)被開(kāi)方數(shù)不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式.

17.設(shè)長(zhǎng)方形的面積為S,相鄰兩邊長(zhǎng)分別為〃.b.已知S=4百.〃=JT?.則〃二.

【答案】勺叵##［厲

1515

【解析】

【分析】

根據(jù)題意得：S=ab,將5=4,。=樂(lè)代入即可得到〃的值.

解S=ab,

b,

4厲

??b----------?

15

故答案為：巫.

15

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次根式的乘除法，掌握分母有理化是解題的關(guān)鍵.

18.我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書(shū)九章》中記述了利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾

何學(xué)家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長(zhǎng)分別是小。，c,記則其面

s=J〃(/.a)(j)(〃-c).這便是著名的海倫-秦九韶公式.若已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為5,6,7,這個(gè)

三角形的面積為.

【答案】6x/6

【解析】

【分析】

直接將。、Ac值代入海倫-秦九韜公式計(jì)算即可.

解：*.*a=5,b=6,c-7,

a+b+c

P=22

**-s=J〃(p-a)(〃一b)(〃一c)=^9(9-5)(9-6)(9-7)=6瓜.

故答案為：6\/6.

【點(diǎn)睛】

此題考查二次根式的應(yīng)用，掌握二次根式的化簡(jiǎn)和讀懂題意是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

19.計(jì)算

（1）4石+店一人+4應(yīng);

(2)(屈Y-6+3、

(3)(75-3)2+(VFT-3)(717+3)；

V48+>/3-^1xVi2-V24.

(4)

【答案】（1）76+2近；（2）14；（3）16-6x/5；（4）5盡3限.

【解析】

【分析】

（1）先化簡(jiǎn)莊，逐，再合并同類(lèi)二次根式即可得到答案；

（2）先計(jì)算二次根式的乘方，同時(shí)求解立方根與算術(shù)平方根，可合并即可得到答案；

（3）分別按照完全平方公式與平方差公式先計(jì)算二次根式的乘法運(yùn)算，再合并即可得到答案;

（4）先化簡(jiǎn)二次根式與計(jì)算二次根式的乘法，再合并同類(lèi)二次艱式即可得到答案.

解：（1）46+屈一通+4夜

=?+3石-2忘+4近

=7x/5+2x/2

(2)(V16)2+^27-74+3

=16+(-3)-2+3

=14

(3)(有-3尸+(而-3)(而+3)

=5-675+9+11-9

=16-6\/5

(4)回+G—《x/—?

=4舟艮巫-2庭

=5&3限

【點(diǎn)睛】

本題考查的是立方根與算術(shù)平方根的含義，二次根式的化簡(jiǎn)，二次根式的混合運(yùn)算，完全平方公式與平方

差公式的應(yīng)用，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

20.計(jì)算：

⑴舟造

(2)+3祗xg^^(a>0)

(3)V12x--3x/2

4

⑷海舊x炳

(5)2ab用,3機(jī)子(-；舊)(a>0,b>0).

【答案】(1)(2)y；(3)^-；(4)63;(5)72a3b

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)二次根式的除法運(yùn)算法則計(jì)算即可；

(2)根據(jù)二次根式的乘除法混合運(yùn)算法則計(jì)算即可；

(3)根據(jù)二次根式的乘除法混合運(yùn)算法則計(jì)算即可；

(4)根據(jù)二次根式的乘除法混合運(yùn)算法則計(jì)算即可；

(5)根據(jù)二次根式的乘除法混合運(yùn)算法則計(jì)算即可.

(3)原式=2石x33&=(2X+3)(G+&)《日邛;

(4)原式=?\[\2x=J3x12x3=436x3=65/3；

3

(5)原式=2abx3+(-2)x

2ylba

=-\2abx\la2-aa

=-12abxa2

=-\2ayb.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熱練化簡(jiǎn)二次根式后，在加減的過(guò)程中，有同類(lèi)二次根式的要合并；相

乘的時(shí)候，被開(kāi)方數(shù)簡(jiǎn)單的直接讓被開(kāi)方數(shù)相乘，再化簡(jiǎn)；較大的也可先化簡(jiǎn)，再相乘，靈活對(duì)待.

21.計(jì)算：源_《+3心

【答案】)瓜

X

【解析】

【分析】

先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后再合并同類(lèi)二次根式即不.

解：原式="-也+?4=3、G.

XXXX

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式,然后進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算，再合

并即可.

22.計(jì)算：R啟弓-七)

【答案】&十〃

【解析】

【分析】

根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可求解.

b-a\[b-\[a

解：原式=

4abyfab

=4a+\[b.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，同有理數(shù)混合運(yùn)算順序一樣，二次根式的混合運(yùn)算順序?yàn)椤跋茸龀朔剑?/p>

做乘除，最后做加減”，在二次根式運(yùn)算最后結(jié)果?定要化簡(jiǎn).

23.計(jì)算題

⑴2V12-iV50xl^|-|V2

(2)先化簡(jiǎn)，再求值.(6入口-之向7)(4'E+'36xy),其中x=g,y=27.

Vxy

【答案】⑴0；(2)yV2.

【解析】

【分析】

(1)先進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，再進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算即可；

(2)先化簡(jiǎn)每個(gè)二次根式，再合并同類(lèi)二次根式，最后代入計(jì)算即可.

(1)原式=2x2x~lJ12+5()x3--y[2

2V45

=2x—-->/2

105

=|V2-|V2

=0；

=(3-J)而

3y-4x

y

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了二次根式的計(jì)算，二次根式的化簡(jiǎn)求值，?定要先化簡(jiǎn)再代入求值.二次根式運(yùn)算的最后,

注意結(jié)果要化到最簡(jiǎn)二次根式，二次根式的乘除運(yùn)算要與加減運(yùn)算區(qū)分，避免互相干擾.

24.請(qǐng)閱讀下列材料：