陜西省2025-2026學年高一下學期期中質量檢測數學試卷

陜西咸陽市實驗中學2025-2026學年高一下學期期中質量檢測數學試卷

一'單選題

1.設復數z=3-i（i為虛數單位），則z在復平面內對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知一燈罩呈圓臺結構，上、下底皆挖空，上底半徑為10cm,下底半徑為18cm,母線長為17cm,側面

計劃選用絲綢材質布料制作，若不計制作布料的浪費，則制作這樣兩個燈罩需要的絲綢材質布料面積為

)

A.969兀cm2B.952兀cm2C.864兀cm2D.476兀cnr

3.有一塊四邊形的菜地，用斜二測畫法畫出它的直觀圖是直角梯形，如圖所示，NA8C=45"AD//BC,

AB=AD=\,DCLBC,則這塊菜地的面積為（）

C.1+走

D.2+x/2

2

4.設有兩條不同的直線〃?、〃和兩個不同的平面“，6,下列說法正確的是（）

A.若〃?//（X,成6且。〃怯則〃如

B.若〃?u(x,〃(26且〃?〃“，貝JO//0

C.若麗，=U（X,則加//。

D.若mu(X,〃ua,且ml/B，nJ/B，則。

5.已知向量。=（1,2）,力=（3,1）,則白在〃上的投影向量為（）

1一3-5-

A.”B.如C.~bD.~b

222

6.如圖，某建筑物的高度BC=300m,一-架無人機Q上的儀器觀測到建筑物頂部C的仰角為15。，地面某

處A的俯角為45°,且/BAC=60。，則此無人機距離地面的高度PQ為（）

AB

A.100mB.2（X）mC.300mD.200V2m

7.棱長均為2的四面體的外接球體積為（）

44

§產B.46式C.D.J3K

8.在△ABC中，設就:瓶：=茄廠記-，那么動點M的軌跡必通過△//C的（）

A.垂心B.內心C.外心D.重心

二'多選題

9.已知復數馬=l+i,4=2-i,則下列說法正確的是（）

A.2i|=j2

B.z?的實部為1

Z113.

C1=+1

馬55

D.若"-〃-同=正，則標+〃的最大值為8

10.如圖所示，圓錐50的底面半徑,?=6,?5（7=1,A8是底面圓周的一條直徑，M為底面圓周上與8

不重合的一點，則下列命題正確的是（）

A.圓錐SO的體積為TT

B.圓錐SO的表面積為（2、6+3）TT

C.aSBM的面積的最大值是6

D.有一只螞蟻沿圓錐的側面從點4爬行到點B,則螞蟻爬行的最短距離為&TT

11.已知。，江c分別是VA8C三個內角A,B,。的對邊，則下列說法錯誤的是（）

A.若A>8,則sinA>sinB

B.若VA8C是邊長為1的正三角形，則蒜.力理避

2

C.若B=gb=6,。=2,則VA8C有兩解

D.若acosA=〃cosB,則V/18C是等腰直角三角形

三'填空題

12.已知空間兩個角/4BC與/AB'C,若AB//A'B',BC//B'CfNABC=66。，則NA8'。=.

13.已知正方體人ACO-AiiGR的棱長為2,平面儀過體對角線BQ,且與直線人4平行，則平面a截該正

方體所得截面的周長為.

14.如圖，在VABC中，點。是BC的中點，過點。的直線分別交直線AB,AC于不同兩點M,N.設

AB=mAM,AC=nAN,〃？>0,n>0,m+2n=tmn,則1的最小值為.

四、解答題

15.已知復數z=（濘-3〃?+2）+（渥-4m+3）i,meR.

⑴若z是實數，求機的值.

⑵若z是純虛數，求小的值.

⑶若z對應復平面上的點在第四象限，求〃，的范圍；

16.如圖，在平行四邊形A8CO中，點E,F,G分別在邊48,A。，8c上，且滿足AE=）AB,AF=\

33

2

AD,BG=—BC,設AB=a，AD-b.

（1）用a，b標EF,EG；

(2)若EF1EG,ABEG=2ab,求角A的值.

17.已知向量T=O2),6=(1,M，且“與〃的夾角為7r.

a~4

"?***

⑴求卜+2小

⑵若與￡+〃的夾角為銳角，求實數入的取值范圍.

18.在VABC中，角48C的對邊分別為a,b,c,滿足在+4-加=/.

⑴求角C的大小；

⑵若“+b=8,求VA3c周長的最小值；

⑶若VA8C是銳角三角形，且。=26，求VA8C面積S的取值范圍.

19.如圖，四棱錐P-ABC。中，AB=BC=LAD,AD//BC,乙尸,”分別為線段AD,PC,CD的中點，AC

與BE交于0點.

P

⑴求證：4P//平面

⑵求證：平面OF"〃平面P人。；

⑶設平面PBC交平面PAD于直線I.

①求證：BC||/;

②求^一的值.

VF-EHD

參考答案

1.D

【詳解】由題意知，復數z在復平面內對應的點的坐標為（3,T）,位于第四象限.

2.B

【詳解】如下圖所示:

T

由題意可知制作這樣兩個燈罩需要的絲綢材質布料面積為2x兀x（10+18）x17=9523/.

3.A

【詳解】在直觀圖中，過點A作/1￡_L8C,垂足為點E,

則在RtZXABE中，AB=1,/A6E=45。，所以8E=ABsin45。=正，

2

AD=\,所以CK=AQ=1,

月f以BC=BE+EC=U+1?

2

由此可還原原圖形如圖所示.在原圖形中，AD=\,A3'=2,9。=/+1，

2

且A'D7/8'C,A'B'1B'C,

所以這塊菜地的面積為S==（A7）'+9C）A6

4.C

【詳解】對于A選項,若〃?/似，砌8且O//6,則，〃與〃平行、相交或異面，A錯;

對亍B選項，若小UO(,〃u0且就/〃，則(X與6平行或相交，13錯?；

對于C選項，若。/力，〃?u(X,由面面平行的性質可知〃?/#,C對；

對于D選項，若mu(X,〃ua,且〃?//怯〃〃。，則口與6平行或相交，D錯.

5.A

【詳解】向量。=(1.2),/?=(3.1),

則a在/，上的投影向量為辿￡=小1±3;.段%一.

U(即)

6.B

BC300

AC=

【詳解】由題意，在中，ZBAC=60°,BC=300,所以sin60。

T

在aACQ中，NAQC=450+15°=60°,Z1QAC=180°-45°-6()。=75。,

月〒以NACQ=180°-75°-60°=45。，

_=AQ=四包絲二竺%二200立

4QAC

由正弦定理,

sin45°sin60,)。sin60°忑

2

乂zMPQ為等腰直角三角形，所以PQ=AQsin450=200x=200.

2

故選項B正確.

7.B

【詳解】作P在底面48c上的投影，連接PO,AO,則外接球球心。|位于PO上,

連接4。1，

n

設外接球半徑為R,則八a二。。產R,已知。=2,則

22=2\P,

A0=XXPX

323

PO=JAP2—AO2=

在R/a4OO中，AO1+OO2=AO\即=R"

1

III3)3

解得A=史，

2

4n/?347r(向丫

V=—3—=x|I=J57t.

8.C

【詳解】設3c的中點是o,

HIT：uiT2uuuruuuruuuruuurunruuuruuuruuur

AC-AB=(AC+4〃)(4C-4〃)=2AOBC=2AMBC,

即(AO-AM)BC=MOBC=0,所以MO_L3C，

所以動點M在線段8c的中垂線上，故動點M的軌跡必通過VABC的外心,

故選：C.

【詳解】由Z1=l+i,得㈤=J]2+]2=6,A正確;

2

z,z2=(l+i)(2-i)=2-i+2i-i=3+i,實部為3,B錯誤;

zl+i(l+i)(2+i)l+3i13.

C正確;

z22-i(2-i)(2+i)555

由條件得：|(|-?)+(l-/；)i|=V2,

平方得：3-l)2+S—1)2=2,

該式表示：點（。，力）在以（1,1）為圓心、、反為半徑的圓上,

是點肛切到原點（0,0）的距離的平方:

原點到圓心（1,1）的距離為配工=J2,圓上點到原點的最大距離為J5+拉=23,

故,+加的最大值為（2點）2=8,D正確.

10.AB

【詳解】圓錐SO的底面半徑一二6，高SO=1,所以母線長為2；

對于A.圓錐SO的體積為V=；xTTx瓜%1=11,所以A正確：

對亍B.圓錐SO的表面積為S=TTx班條x3/=（23第）TT,所以B正確；

對亍C.由軸截面為等腰三角形SAB,且頂角為4S6=2/850=2x60。=120。，

當等腰aSBM的頂角為90。時，aSBM的面積取得最大值為：S=[x2x2xsin9O0=2,所以C錯誤；

aJV.9?2

對于D.圓錐的底面圓周長為2和，所以側面展開圖的圓心角為儀=’三瓜TT,所以圓錐側面展開圖中圓弧

r

AB=J^_^=JTT,螞蟻沿圓錐的側面從點A爬行到點6,則螞蟻爬行的最短距離為線段A6,且

AB<IAB=赤，所以D錯誤；

故選：AB.

11.BD

【詳解】VABC中，大角對大邊，若A>B,則

由正弦定理-^―=~^—=2R,貝！a=2RsinA,/?=2RsinB,

sinAsinB

2i?sinA>2RsinB,即sinA>sin8,故A正確；

正三角形中|A同=|閡=1,AB,BC夾角為120°,

,———————O(1)14

AB-BC=\AB\\BC[cos\20=lxlx^_2j=_?弓,故B錯誤;

已知8=1，b=也，c=2,

6

所以1=csin故VABC有兩解，故C正確；

由正弦定理得o=2RsinA,/?=2RsinB,則〃354=兒058可化為

sinAcosA=sinBcosB,即sin24=sin28,有兩種情況：

2A=28,即A=8,V/WC為等腰三角形；

或2A=兀-25,即A+6=±,V/仍。為直角三角形；

2

所以aA8C不一定是等腰直角三角形，故D錯誤.

12.66°或114。

【詳解】因為AB//4B,BC/IB'C,故/49。=66。或N4'B'C=

114。,故答案為:66。或114。

13.4+川2

【詳解】

如圖，因為＜Z平面BDD】B[,u平面BDDS,

所以AAt//平面BDD'Bi,又Bju平面BDD冏,

所以平面a截該正方體所得截面即為正方體對角面BDD冏,

易知BD=BiDi=2也,

所以平面直截該正方體所得截面的周長為4+4J2.

14.孚

【詳解】由題意募｛AB+AC)=^A/-2曲一，又“ON共線，則加+〃=2,

/??>0,/；>0,m+2〃=tmn,

山"7+2〃12II2%、1(.m2n\1C

所以/==}+}]=(〃?+〃)=勿3+7+下q>7213+22,

當且僅當上='，即〃?=4-2J2"=22時取等號，即，的最小值為上正.

nm2

15.(1)加=1或"？=3；

(2)m=2；

（3）2<rn<3.

【詳解】（1）因為z為實數，

所以〃戶一4〃7+3=0,解得/〃=1或"1=3.

fw2-3m+2=0

（2）因為z是純虛數，所以有《，解得切=2.

―4〃？+3/0

\nr-3m+2>0

⑶因為z對應復平面上的點在第四象限,所以有

解得2<〃?<3.

----*j—|--—2T2_*TT

16(1)EF=卜一",EG=b+a-(2)

33333

-----.-?I——?|?1**1T

【詳解】(1)由平面向量的線性運算可知￡尸二人尸-AE=?AQ-1A8=b-a,

3333

----------------------?2------*2------2-*

EG=EB+BG=-AB+-AD=h+a.

3333八八

(2)由題意，因為以1七G,所以EF?EG=(/?-?)-[+〃)=(。一a,G+a)

339

1(%〃)2。+%)=2(5-。0+%)=2.解"=件,

2

所以則可化簡上式為一+

AB.EG=a-—G+”)=2"WcosA+2W=2\a\\b\cosAtcosA=2cosA,解得

33333

cosA=),又4e(0,TT),故A=7

23

17.(1)2、后；

⑵S-1)U(-1=).

2_

【詳解】(1)由向量"*=(0,2),力=(1,M)，得-=-=_____,且一.b=2m，

a|a|2,\b\J〃戶+1a

兀--ab2m公

由a與〃的夾角為，得cos〈a,b〉=-~>==S,解得m=1,則力=(1,1),

4\a\\b\2斤12

于是?+2h=(0,2)+2(1,1)=(2,4),所以\a+2b|=VF+47=275.

(2)由(1)知向量b=(l,l),

則7-M=（0,2）-入（1,1）=（A,2-入）,7+力=（0,2）+（1］）=（1,3），

由「一兒與Z+/，的夾角為銳角，得（了_從）.（a+方）>0且［一兒與鼠/）不共線,

3（2-X）-X>0、3、

，解得入右且入會-1,

3

所以實數4的取值范圍為（YO,-DU（-1A.

2

18.⑴」

3

⑵12

⑶（正叫

【詳解】（1）因為白？+乂-岫=〃，所以標+及一c?=,

、cr+lr-rab1

由余弦定理可得cosC===

2ab2ab2

因為Ce(0,7r),所以C=［；

3

(2)因為o2+〃=(a+-lab=64-2ab,

所以c?=a'+加一H?=64-3ab,

由基本不等式可知8=〃+Z>22j茄，當且僅當〃=。=4時等號成立，

所以a。W16,寸216即cN4,

所以當〃=%=c=4時，V48C周長有最小值為12；

(3)由正弦定理可得-7=芻=-7，所以〃=4sinA,〃=4sinB,

sinAsinBsinC

因為八+B+C=TI,所以8=_1-A,

貝！ja/?=16sinAsinf=16sinAjs