2026年高考數(shù)學(xué)一輪練習(xí)：數(shù)列中的構(gòu)造問題（附答案）

§6.4數(shù)列中的構(gòu)造問題

分值：70分

一、單項(xiàng)選擇題（每小題5分，共20分）

1.在數(shù)列｛%｝中,S”為其前〃項(xiàng)和，首項(xiàng)。尸1,又函數(shù)/A/a+isinx+lM+lM+l,若/0）=0,則S2025等

于（）

A2?。H2024B.22O24-2025

C.2?85_2026D.22O26-2027

2.已知數(shù)歹lj｛。”｝滿足a]=I,an+1=2%+〃，則出等于（）

A.17B.18C.19D.20

3.（2025?宜賓模擬）一只蜜蜂從蜂房A出發(fā)向右爬，每次只能爬向右側(cè)相鄰的兩個蜂房（如圖），例如：從蜂房

A只能爬到1號或2號蜂房，從1號蜂房只能爬到2號或3號蜂房……以此類推，用小表示蜜蜂爬到〃號

蜂房的方法數(shù)，則GmgMS-送024等于（）

4.在數(shù)列｛斯｝中，。尸1,a”+i=3a”-2'"(〃eN"),記金=3”-2X（-1）%9若數(shù)列｛c.｝為遞增數(shù)列,則實(shí)數(shù)2的取

值范闈為（)

A.(-|,1B.(-2,1)

C.(-l,1)D.(0,1)

二、多項(xiàng)選擇題（每小題6分，共12分）

5.已知數(shù)列優(yōu)〃｝的前〃項(xiàng)和為S”，的3,且即產(chǎn)3S〃+2（〃￡N）則下列說法正確的有（）

A.?i=|

BS號

C.｛aJ是等比數(shù)列

D.｛S〃+|｝是等比數(shù)列

6.（2024?邢臺模擬）已知數(shù)列｛小｝的前〃項(xiàng)和為S〃，。尸3,而產(chǎn)44+3X4",則（）

A.但二24

B.倒為等比數(shù)列

29X41°+1

C$o：

3

D.log2（4aioo-3S100+1）=200

三、填空題（每小題5分，共1（）分）

7.已知數(shù)列｛〃”｝中，。尸1,G=2,出+1-54“+4即尸05￡川’，〃22）,則｛&｝的通項(xiàng)公式為.

8.（2025?南京模擬）已知數(shù)列｛。〃｝滿足ai=1,2a^\-an+anan+1=0（〃￡N"）,則數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式

為.

四、解答題（共28分）

9.（13分）（2025?湖北云學(xué)重點(diǎn)高中聯(lián)盟聯(lián)考）已知數(shù)列｛知｝的前〃項(xiàng)和為S”G=1且S”+i=2S“+”（〃￡N*）.

（1）求數(shù)列｛小｝的通項(xiàng)公式；（6分）

（2）設(shè)數(shù)列（〃〃｝滿足/?“二log2（a〃+l）,數(shù)列（力〃｝的前〃項(xiàng)和為T,?求■…+9（7分）

1213Qln

10.（15分）（2025?八省聯(lián)考）已知數(shù)列｛6｝中，。戶3,*=生.

an+2

（1）證明：數(shù)列｛1—J為等比數(shù)列；（5分）

（2）求必“｝的通項(xiàng)公式；（4分）

（3）令"二%\證明："<4向<1.（6分）

Qn

答案精析

l.D2.C

3.B［依題意，。”=。小1+斯.2（〃23）,

0=1.（12=2,的=。1+。2=3,

當(dāng)〃22時，a”a〃+2-Q"i=a”（4〃+i+a〃）-W+i=a〃a〃+i+W-a"i=Q0+4Li（4「a”+i）=Q-a"+ia〃-i=-（a〃-ia”+i-W）,

2

2=

所以數(shù)列｛?4皿-謚十］）是首項(xiàng)為-1,公比為-1的等比數(shù)列，

所以a2023a2025-?2024=（-I）X（-1）23=-1.］

4.A［由。“+尸3。〃-2"」，

得即+1=31

即&

2n+l22\2n2）*

而患=0，則犯=。，

即廿2"」，則c〃=3"-2X(-l)%2""二3"-(-2)〃"

由數(shù)列｛金｝為遞增數(shù)列，得V〃￡N*,oc〃恒成立，

則V〃EN",3"+L(-2)"+D>3"-(-2)」，

即3〃/>(-2)叫恒成立，

當(dāng)〃為奇數(shù)時，在前―恒成立，數(shù)列｛(|廣]為遞增數(shù)列，?1的最小值為1,則kl,

當(dāng)〃為偶數(shù)時，2>-(|廠|恒成立，數(shù)列卜(|廣)為遞減數(shù)列，-(|)z的最大值為-|,則》?|,所以實(shí)數(shù)

」的取值范圍為(一右1).]

5.ABD[由題意，數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為Sn“2=3,且而i=3S“+2,

貝ij￡72=3SI+2=3?I+2,

所以“產(chǎn)》，故A正確；

因?yàn)樗?產(chǎn)3sa+2,①

所以當(dāng)心2時，小=3s“+2,②

①-②得an+i-an=3an,即。”+尸4%，

當(dāng)〃=1時，￡71=1，不滿足s=4ai,

故數(shù)列｛〃“｝不是等比數(shù)列，故C錯誤；

當(dāng)〃22時，為+]=4斯，

貝ljch=4a2=12,?4=4?3=48,

故5戶$3+12+48二等，故B正確；

由O?+I=3SM+2,

得S〃+i-S“=3S”+2,

所以S〃+i=4S〃+2,

令S"+i+2=4(S”+2),

貝|J5?+i=45?+32,

所以3/1=2,即,

所以S〃+1+|=4(Sn+1),

2

即空等4,故國+m是首項(xiàng)為S+M彩=1,

3

公比為4的等比數(shù)列，故D正確」

6.ACD[選項(xiàng)A,由題意得々2=4〃+3X4=24,A正確；

選項(xiàng)B,將知+i=4a〃+3X4"兩邊同時除以司足，

得a”+L二%3

By+l4n4，

即皿色二

1”+14n4，

則償｝是首項(xiàng)為牛三，公差為:的等差數(shù)列，不是等比數(shù)列，B錯誤；

選項(xiàng)C,由知4%⑴亭，

得a?=3〃X4”“，

所以%二3+6X4+9X4?+…+3〃X4”“，①

貝lj4sk3X4+6X42+9X43+…+3〃義4",②

①.②得，.3S尸3+3X(4+4?+43+…+4”/)-3〃X4"=3+3X^^^-3〃X4”=(3〃-l)X4〃-l,

1-4

即$尸況1產(chǎn)1,

貝iJSo=咨*,C正確；

選項(xiàng)D,因?yàn)?a”-3S〃+1=4X3〃X#L3X竺節(jié)空口+1=4",

所以logzBioo-BSioo+lAlogzd$logzZZ^ZOO,D正確.]

r4n-1+2

7.0尸一--

8a尸號

解析在數(shù)列｛〃“｝中,〃|=1,2att+]-all+anan+i=0,顯然。〃在0,

則有1=2?工+1,

an+lan

即二一+1=2(工+1),

an+l^an)

而工+1=2,

Qi

因此數(shù)列出+1｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

所以’?+1=2",即即二:1二.

n

an2-l

9.解(1)由S〃+尸2S”+〃，

可得%+1=5〃+/?,

令n=l,可得a2=Si+l=l,

即Si=ai=0,

由S,^\=2Stl+n可得Sn+i+(n+1)+\=2(Sn+n+1),

且S]+l+l=2W0,

可知數(shù)列(S汁〃+1｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列，

則S〃+〃+l=2X2"=2"，可得S"+〃=2"-l,即呢+尸2"-1,

則為=2"4-1,〃22,

nl

且。尸0符合上式，所以an=2-l.

rt

(2)由⑴可得bn=log2(an+1)=log22',

則〃〃+i也』-(〃/)=1,

可知｛仇｝是首項(xiàng)6=0,公差為1的等差數(shù)列，

可得刀尸吧產(chǎn)二號2,

當(dāng)時,

貝哈二島產(chǎn)后_力，

所以才…力

io.⑴證明???斯+戶衛(wèi)也,

即+2

?1=32一2J

-

**an+l3an~3an3'

又1--=-^0,

的3

???數(shù)列｛1-2｝是首項(xiàng)為|,公比為:的等比數(shù)列.

(2)解由⑴知14圖”,

?n\3/

故"k1_(9n="一2n.