蘇科八年級數學下冊復習-第十二章 二次根式（復合二次根式化簡和應用拓展）

第十二章二次根式（復合二次根式化簡和應用拓展）

復合二次根式化簡

典例1

閱讀材料：數學上有一種根號內乂帶根號的數.形如必赤,如果你能找到兩個數加、〃,

使〃P+/r=a,且〃〃?=s[b,則\]a±2\[b可變形為m2+n2±2mn=J(,n土八丫=\in±.從而達到化

去一層根號的目的.例如化簡2寂，?.?5=3+2且6=3*2,

.?.J5_2#=J=6一拉.

⑴填上適當的數：78+2715=7(___)2=|-1=

⑵當1W2時，化筒4X+2\/X^\+7^-2\/7-T.

典例2

閱讀材料：

小明在學習了二次根式后，發現一些含有根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如

3+2&=（1+夜了.這樣就可以將際正進行化簡，

即：＞/3+2夜=J（l+&）2=1+、4.

善于思考的小明進行了以下探索：

對于4+2痣,若能找到兩個數成和〃,使病+〃2=4且相〃=G，則4+2昭可

變為〃廣+n2+2mn＞即變成（加+〃）2,從而使得Ja+2/=+=m+n.

（其中a,b,加，〃均為正整數）

例如：,??4+26=1+3+2退=（4尸+（6尸+2石=（1+6）2,

"+2&=J（i+75）2=1+6.

請你仿照小明的方法探索并解決下列問題:

⑴化簡?+26;

⑵化簡小5-2庭;

⑶若［方=2+6，求。的值.

跟蹤訓練1

先閱讀材料，然后回答問題.

⑴小張同學在研究二次根式的化簡時，遇到了一個問題：化簡經過思考

小5-2瓜=小2-2而i+3①,

=，（&『-2』XB+MY②，

=,，（夜-可③,

=歷.-6④，

在上述化簡過程中，第一步出現了錯誤，化簡的正確結果為

⑵請根據你從上述材料中得到的啟發，化簡：

①2石②J8+46

跟蹤訓練2

閱讀材料：

小李同學在學習二次根式后，發現一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如

3+2&=（1+碼=善于思考的小李同學進行了以下探索：

設a+b&=（m+尸（其中a、〃、〃?、〃均為整數），則有a+b42=m2+2n2+2mn近.；?a=nr+2n2,

b=2mn.

這樣小李同學就找到了一種把類似a+8虛的式子化為平方式的方法.

請你仿照小李同學的方法探索并解決下列問題：

⑴當a、b、m、〃均為正整數時，若a+b6=（巾+〃百）,用含加、〃的式子分別表示。、b,得:

"，b=；

⑵若a+4G=+,且4、〃均為正整數，求。的值.

⑶化簡：。5+46.

二次根式應用問題

典例3

如圖，在長方形44C。中無重疊放入面積分別為16cm2和12cm2的兩張正方形紙片則圖中空白部

分的面積為（）cnr.

A____________D

1216

BC

A.-12+8^B.16-8、回C.8-4x/3D.4-2x/3

典例4

【閱讀下列材料】：

若a>0,b>0f貝lJa=(G),b=(4b^,(4a-4b^=a+h-2y/ab.(注：=4ab)*.*

-C)NO,a+b-2\[ab>0?，△.”a+Z?22\/^“稱為"基本不等式”，利用它可求

一些代數式的最值及解決一些實際問題.(。、。為正數；職定和最??；和定積最大；當。=力時，

取等號.)

【例】：若。>0,力>0,ab=[6,求a+b的最小值.

解：*.*?>0,b>0fab=16a+b-2y/cib>0,

a+b>2\/ab=8.

.,.a=b=4時,〃+〃的最小值為8.

【解決問題】

(1)用籬笆圍成一個面積為lOOnf的長方形菜園，當這個長方形的邊長為多少時、所用籬笆最

短？最短籬笆的長是多少；

(2)用一段長為l(X)m的籬笆圍成一個長方形菜園，當這個長方形的邊長是多少時，菜園面積最

大？最大面積是多少；

⑶如圖，四邊形A3CD的對角線八C、加相交于點。，少OD、△或紇的面積分別為2和3,求

四邊形A3CO面積的最小值.

O

BC

跟蹤訓練3

如圖，長方形內有兩個相鄰的正方形：正方形A8CO和正方形EFG”,面積分別為1和2,那

么圖中陰影部分的面積為（）

D

C

A.>/2—2B.5/2—1C.2>/2—1D.>/2—3

跟蹤訓練4

閱讀理解：由丫20得，a2+h2>2ab；如果兩個正數4，b,即a>0,Z?>0,則有下面

的不等式：瘋，當巨僅當時，取到等號.

例如：已知工>0,求式子的最小值.

解：令a=x,b=—則由ii+h>2\fab,得x+->2.x--=4,

xtxVx

當且僅當X=±時，即正數工=2時，式子有最小值，最小值為4.

x

請根據上面材料回答下列問題：

9,1

⑴當入?>（）,式子工+-的最小值為二

x

⑵如圖1,用籬笆圍一個面積為50平方米的長方形花園，使這個長方形花園的一邊靠墻（墻

長20米，籬笆周長指不靠墻的三邊），這個長方形的長、寬各為多少米時，所用的籬笆最短，

最短的籬笆是多少米？

墻

//////////1/

花園

圖1

⑶如圖2,四邊形A8C。的對角線AC、比）相交于點O,A4O8ACO。的面積分別是6和12,

求四邊形A8CQ面積的最小值.

過關訓練

1、如圖，將長女m、寬1cm的長方形剪拼成一個正方形，則正方形邊長為cm.

2.我國南宋著名數學家秦九韶在他的著作《數書九章》一書中，給出了下面的公式：如果一

個三角形的三邊長分別為。、從則該三角形的面積為S=J已知

的三邊長。、汰c分別為1、瓜2,則△居（?的面積是（）

A.7B.BC.6D.73

242

3、閱讀下列材料，解決問題：

①+也『=1+2*以夜+（正）2=3+2應

；?{3+2&=旭+a）2

二13+2五=\+五

②（2+可=2?+2x2x75+（"『=7+4退

???g+4G=J（2+@2

；?j7+4g=2+G

由此可知，部分含有雙重二次根式的式子可以運用以上方法進行化簡.

⑴化簡：“+26:

⑵現有長度分別為g+4g，“7韭，歷大后的三條線段，以這三條線段的長為邊能否構

成三角形？請說明理由.

4、先閱讀材料，然后回答問題.

（1）小張同學在研究二次根式的化簡時，遇到了一個問題：化簡后函

經過思考，小張解決這個問題的過程如下：

55-2#=&-25/^+3①

=_2血xG+（揚2②

=J@一回③

二及-6④

在上述化簡過程中，第步出現了錯誤，化簡的正確結果為

（2）化簡J9+2/X;

（3）請根據你從上述材料中得到的啟發，化簡：歷訪.

5、閱讀材料：

如果一個三角形的三邊長分別為a,b,c,記〃="魯，那么這個三角形的面積5二

）（〃-c）.這個公式叫“海倫公式”，它是利用三角形三條邊的邊長直接求三角形

面積的公式.中國的秦九韶也得出了類似的公式，稱三斜求積術，故這個公式又被稱為“海倫

—秦九韶公式”完成下列問題：

如圖，在“比、中，?=7,b=5,c=6.

A

⑴求△/WC的面積；

⑵設AB邊上的高為九，AC邊上的高為生，求4+4的值.

6、閱讀材料：

已知4,〃為非負實數，,?F+b-2\/^=(6)+(力)-2yfa-4b=^>/a-\/b^>0,

:.a+b之2夜,當且僅當“a=b”時，等號成立.

這個結論就是著名的“均值不等式“，”均值不等式“在一類最值問題中有著廣泛的應用.

例：已知x>0,求代數式x+［最小值.

解：令“=工，貝(J由a+〃之得x+&之2Jx?3=4.

當且僅當x=3,即片2時，代數式取到最小值，最小值為4.

x

根據以上材料解答下列問題：

⑴已知x>0,則當尸時，代數式士到最小值，最小值為;

X

(2)用籬笆圍一個面積為lOOnf的矩形花園，則當這個矩形花園的長、寬各為多少時，所用的

籬笆最短？最短的籬笆的長度是多少米？

(3)已知x>0,則自變量x取何值時，代數式，:。取到最大值?最大值為多少？

x-2x+9

(4)若X為任意實數，代數式2:4的值為根,則“范圍為______.

x+4x4-5

第十二章二次根式（復合二次根式化簡和應用拓展）

答案全解全析

復合二次根式化簡

典例1

閱讀材料：數學上有一種根號內又帶根號的數.形如而礪，如果你能找到兩個數〃?、〃,

使4+〃，=〃，且〃"?=4b，則\/a±2\[b可變形為\lm2+n2t2mn=^（m+n）2=\in±n\.從而達到化

去一層根號的目的.例如化簡加-2印，,-5=3+2且6=3：<2,

《5-2a=-=>/3—\f2.

⑴填上適當的數：V8+2V15=7（）2=|-1=；

⑵當1W2時，化簡++\/x-24x^1.

【答案】⑴石+G，石+5后+6

⑵2

【分析】本題主要考查了二次根式的性質與化簡，正確應用完全平方公式，掌握完全平方公

式的特征是解題的關鍵.

（1）將8寫成（石丫+（石『，將后寫成方*6,然后將被開方數變形成完全平方公式的形式，

即可得出答案.

（2）將x寫成+然后將被開方數變形成完全平方公式的形式，即可得出答案.

【詳解】（1）解：后

廚+⑹+2X氐6

和+國

=|不+四

二石+石，

故答案為：石+6，5/5+73,百+G；

（2）vl<x<2,

/.Jx+2\lx-\Mx_2y/x-1，

—)+2xdX-lx1+1~+^y/x—T-2xy/x—Tx1+1"

=y/x—}+1+I—yjX-ir

典例2

閱讀材料：

小明在學習了二次根式后，發現一些含有根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如

3+2&=（1+&兒這樣就可以將病運進行化簡，

即：）3+2夜=J（1+上L=1+&.

善于思考的小明進行了以下探索：

對于〃十2加，若能找到兩個數，〃和〃，使〃/十〃2=4且"?〃=",則《十2赤可

變為nr+n2+hnn,即變成（m+〃）]，從而使得+=/,〃+=m+n.

（其中mb,m,〃均為正整數）

例如：?.?4+2G=l+3+2G=（W）2+（G）2+2G=（1+6）2,

6+26=J（i+G）2=i+&.

請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：

⑴化簡?+2石;

⑵化簡y]5-2^/6;

⑶若＞//+4"=2+后,求。的值.

【答案】（1）1+后

⑵癢0

（3）?=±3

【分析1（1）仿照題中的計算方法以及完全平方公式求解即可；

（2）仿照題中的計算方法以及完全平方公式求解即可；

（3）仿照題中的計算方法以及完全平方公式求解即可.

【詳解】（1）解：??，6+2逐=1+5+2逐=尸+2石+（石『=0+石『，

；?76+2布={(1+逐了=1+75;

(2)解：V5-2>/6=3+2-2^=(V3)2-2>/3XV2+(V2)2=(X/3-^)2,

*??2#=r(6-6)=G-&;

(3)解：V(2+>/5)2=22+2x2xx/5+(>/5)2=4+5+4x/5=9+4x/5,

a2=9,貝lja=±3.

【點睛】本題考查二次根式的化簡、完全平方公式，理解題中計算方法，利用類比思想求解

是解答的關鍵.

跟蹤訓練1

先閱讀材料，然后回答問題.

⑴小張同學在研究二次根式的化簡時，遇到了一個問題：化簡經過思考

75-2>/6=72-2V2x3+3?，

=附—2&xQ+(可②,

=,/(應-可③,

=&-+④，

在上述化簡過程中，第一步出現了錯誤，化簡的正確結果為二

⑵請根據你從上述材料中得到的啟發，化簡：

①/6-26

②《8+4%

【答案】⑴④，V3-V2

(2)?>/5-1；②娓+近

【分析】本題考查了二次根式的性質和化簡，掌握被開方數化成完全平方的形式，利用二次

根式的性質進行化簡是解題的關鍵.

(1)根據二次根式的性質(，后0)即可求解；

(2)根據(1)中的材料化簡即可.

【詳解】(1)解：《5-26=^2-27^+3①,

=,］附一2區6+（可②,

=J（及-@2③,

=A/3—\/2④，

在上述化簡過程中，第④步出現了錯誤，

故答案為：④，百-0；

（2）解：①原式=--2褥+1

T曲—2布+1

=西

=75-1;

②原式=小6+2>/^1+￡

=,/（利、46+（何?

=柄+國

=5/64-5/2.

跟蹤訓練2

閱讀材料：

小李同學在學習二次根式后，發現一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如

3+2應=（1+及善于思考的小李同學進行了以下探索：

設a+b&=（m+（其中a、b、ni、n均為整數），則有a+b42=m2+2n2+2mn\l2.**?a=m2+2n2,

h=2mn.

這樣小李同學就找到了一種把類似〃+/,右的式子化為平方式的方法.

請你仿照小李同學的方法探索并解決下列問題：

⑴當。、b、m、〃均為正整數時，若a+46=（機+〃@~,用含"2、〃的式子分別表示a、b,得:

a-,b=；

⑵若。+4右=（〃?+〃>/5）2,且4、"7、〃均為正整數，求。的值.

⑶化簡：也5+4后.

【答案】

（2）13或7

（3）276+1

【分析】（1）利用完全平方公式將（〃，+〃6）2展開即可求解；

（2）由（1）中所得結論結合〃、加、〃均為正整數，即可求解；

（3）25+4遍=25+2后=/+2依+（舊了=（值+1『，據此即可求解.

【詳解】（1）解：,+

*.*a+b\[i=（m+〃石）

a=m1+3n2,b=2mn.

故答案為：〉+3/『,2mn.

（2）解：???，+4G=+,

：.b=4f

由（1）中結論可知：2"掰=4,

mn=2,

'??"八〃均為正整數,

m=1,〃=2或m=2,〃=1,

當m=1,〃=2時，a=nt2+3n2=13;

2

當〃?=2,〃=1時，a=nr+3n=7；

???。的值為13或7.

(3)解：25+4G=25+2厲=/+2扃+(扃丫=(9+『,

）25+4#-+-向+1=2斯+1.

【點睛】本題考查復合二次根式的化簡.正確理解題意是解題關鍵.

二次根式應用問題

典例3

如圖，在長方形A8CO中無重春放入面積分別為16cm2和12cm2的兩張正方形紙片則圖中空白部

分的面積為（）cmt

AD

1216

BC

A.-12+85/3B.16—8、回C.8-473D.4-2x/3

【答案】A

【分析】本題主要考查二次根式的應用，算術平方根的實際應用，根據正方形的面積求出兩

個正方形的邊長即可得出結果.

【詳解】解：???兩張正方形紙片面積分別為16cm2和12cm，

???它們的邊長分別為加=4(cm),阮=26(cm),

AB=4cm,BC=(2>/3+4jcm,

???空臼部分的面積=(26+4)x4-12-16

=8百+16-12-16

=(8x/3-12)cm2

故選：A.

典例4

【閱讀下列材料】：

若a>0,b>0f則a=(G),b==a-vb-lsfab.(注：xfa-\fb=\[ab)*/

(da>0,a+b-2y[ab>0>；.4+。N2\/^.“〃+2\/^”稱為"基本不等式”，利用它可求

一些代數式的最值及解決一些實際問題.(。、〃為正數；積定和最?。缓投ǚe最大；當。=〃時，

取等號.)

【例】：若〃>0,ab=16f求a十。的最小值.

解：*/?>0,/?>0,ab=\6a+b-2\[ab>0f

a+b>2\[ab=8.

.?.”=b=4時，的最小值為8.

【解決問題】

(1)用筒笆圍成一個面積為lOOn『的長方形菜園,當這個長方形的動長為多少時.所用籬笆最

短？最短籬笆的長是多少；

(2〕用一段長為l(X)m的籬笆圍成一個長方形菜園，當這個長方形的邊長是多少時，菜園面積最

大？最大面積是多少；

(3)如圖，四邊形A8CD的對隹線AC、8。相交于點O,AAOD、的面積分別為2和3,求

四邊形相CD面積的最小值.

【答案】⑴這個長方形的長、寬分別為10夜米，5&米時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是20頁

米；

(2］菜園的長為50m,寬為25m時,面積最大為1250m?；

⑶I四邊形八BCD面積的最小值為5+卡.

【分析】本題主要考查完全平方公式的應用，二次根式的應用.

(1)設這個長方形垂直于墻的一邊的長為x米，則平行于墻的一邊為5米，則個=100,)，=&,

x

所以所用籬笆的長為(變+25米，再根據材料提供的信息求出(吧+2「的最小值即可；

IxJkxJ

(2)設垂直于墻的一邊為xm,利用矩形的面積公式得到菜園的面積關于x的關系式，再利

用非負數的性質求解即可；

(3)設點8到AC的距離為4(4>0),點。到AC的距離為"仇>0),又△AO。、△COB的面

4664

積分別是2和3,則。a=丁，0C=-fAC=OC+OA=-+-f從而求得右邊形—然后根據材

料提供的信息求出最小值即可.

【詳解】(1)解：設這個長方形垂直于墻的一邊的長為九米，則平行于墻的一邊為y米，

則R，=100,

.100

??y=—,

???所用籬笆的長為(岑+2)米，

—+2A>2x2x=20>/2,

??.當且僅當一=2x時，——+2x的值最小，最小值為20滅，

XX

二?x=5正或x=-5夜（舍去）.

???這個長方形的長、寬分別為10枝米，5&米時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是2。&米;

（2）解：設垂直于墻的一邊為xm,則平行于墻的一邊長為（100-2x）m,

WKS!X（100-2X）=-2A2+100.V=-2（X-25）2+1250,

XV-2（X-25）2＜0,

???當x=25時，菜園的面積有最大值為1250,

答：菜園的長為50m,寬為25m時，面積最大為1250m?；

（3）解：設點8到AC的距離為"供＞0）,點。到AC的距離為"仇＞0）,

又???^AOD、MOB的面積分別是2和3,

46

??.OA—OC--,

生丸

64

,\AC=OC+OA=—+—f

h｝心'

?,S四邊形八be。=S4ABe+SAADC=2AC%+萬AC也

=；AC（…）

if64Y.i、＜3兒2h

=~—+—（/?.+lly）=5+--+—]

21%fh）4%

???強+紋＞2匹Z

%也一N4也

???當且僅當黑=｝時，取等號，即祟+務的最小值為石，

??.四邊形A8C。面積的最小值為5+6.

跟蹤訓練3

如圖，長方形內有兩個相鄰的正方形：正方形/WCQ和正方形ER7”,面積分別為1和2,那

么圖中陰影部分的面積為（）

D

C

A.V2-2B.V2-IC.2V2-ID.V2-3

【答案】B

【分析】本題考查求陰影部分的面積，二次根式的混合運算.正確的識圖，確定長方形的長

和寬，是解題的關鍵.

分別求出兩個正方形的邊長，進而得到長方形的長和寬，利用長方形的面積減去兩個正方形

的面積即可得解.

【詳解】解：??,兩個正方形的面積分別為1和2,

???它們的邊長分別為：I和6，

由圖可知，長方形的長為兩個正方形的邊長之和，即為（1+夜），寬為大正方形的邊長，即為正,

二?陰影部分的面積為（1+夜）,拉-1-2=&+2-1-2=夜-1；

故選：B.

跟蹤訓練4

閱讀理解：由（〃-3飛。得，a1+h2>2ah;如果兩個正數即a>0,Z?>0,則有下面

的不等式：〃之2而，當巨僅當。=力時，取到等號.

例如：已知1>0,求式子x+g的最小值.

解：令a=xb=—,則由u+b>2\fab,得x+—2LV--=4,

fXXX\X

當且僅當X=±時，即正數X=2時，式子有最小值，最小值為4.

X

請根據上面材料回答下列問題：

9

⑴當人>（）,式子X+-的最小值為二

X

⑵如圖1,用籬笆圍一個面積為50平方米的長方形花園，使這個長方形花園的一邊靠墻（墻

長20米，籬笆周長指不靠墻的三邊），這個長方形的長、寬各為多少米時，所用的籬笆最短，

最短的籬笆是多少米？

墻

//////////[/

花園

圖1

⑶如圖2,四邊形人3CZ）的對角線AC,9相交干點0,△AO8ACO。的面積分別是6和12,

求四邊形A48面積的最小值.

（2）20米

（3）18+12人

【分析】本題主要考查完全平方公式的應用，二次根式的應用，閱讀材料，材料閱讀題是中

學階段所學習的重要內容，體會材料中的數學思想與方法，學會用新方法去解決數學中的問

題，對學生的要求較高，是一道拔高型的綜合題目.

（1）根據材料提供的信息解答即可.

（2）設這個長方形垂直于墻的一邊的長為x米，則平行于墻的一邊為），（0<）小20）米，則個=50,

>'=-，所以所用籬笆的長為（竺+2寸米，再根據材料提供的信息求出竺+2］的最小值即可.

X\X）X

（3）設點8到AC的距離為4仇>。），點。到OC的距離為他仇>0），又JOB、△C8的面

12941224

積分別是6和12,則。4=丁，℃=7，AC=OA+OC=-+-f從而求得S崛閡曲，然后根

據材料提供的信息求出最小值即可.

【詳解】（1）解：令《=x，b=2,貝|J由a+b>2^b,得x+->2.O-=6,

XX\X

9

當且僅當工=?時，即正數工=3時，式子有最小值，最小值為6.

x

（2）解：設這個長方形垂直于墻的一邊的長為x米，則平行于墻的一邊為y（0<>?20）米，

則邛=50,

.50

??）'=一，

x

???所用籬笆的長為（三+2x）米,

—+2x>2x=20

X

;當且僅當竺=2x時,4+2》的值最小，最小值為20,

X

??.x=5或x=-5（舍夫）.

???這個長方形的長、寬分別為10米，5米時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是20米.

（3）解：設點8到AC的距離為九供＞0）,點。到OC的距離為％仇＞0）,

又?；AAOB、△C。。的面積分別是6和12,

??.。若，。一，

九%

.?.AC=OA+OC=—+—

%生t

S=S+SAC,t

mm^ABCD&ARC&ADC=^y+'%）=g號+今（4+他）=18+等+

\*1*/.

—I也

???當且僅當空=詈時，取等號，即空+等的最小值為12&,

"1,z2〃ifh

.??四邊形A8CD面積的最小值為18+12我.

過關訓練

1、如圖，將長女m、寬1cm的長方形剪拼成一個正方形，則正方形邊長為cm.

【答案】6

【分析】本題主要考查圖形的拼接，根據正方形的面積等于長方形的面積進行計算即可.

【詳解】解：???長方形的長女m、寬1cm

，長方形的面積為：3xl=3cm2,

???正方形是由這樣的長方形拼接面成的，

???正方形的面積為3cm2,

因此正方形的邊長為6cm,

故答案為：V3.

2.我國南宋著名數學家秦九韶在他的著作《數書九章》一書中，給出了下面的公式：如果一

個三角形的三邊長分別為。、汰。，則該三角形的面積為S=1,已知

的三邊長久b、c分別為1、6、2,則小8。的面積是（）

A.B.@C.且D.G

242

【答案】C

【分析】本題考查了二次根式的應用，根據三角形的面積公式可求得結果，準確化簡二次根

式是解題的關鍵.

【詳解】解：的三邊長久氏c分別為1、瓜2,

故選：C.

3、閱讀下列材料，解決問題：

①?.?（1+應y=l+2xlx&+（正丫=3+2也

JJ3+2&='（1+可

73+272=1+>/2

@V（2+V3）2=22+2X2XT3+（X/3）2=7+4X/3

Jg+4百='（2+75）2

77+475=2+x/3

由此可知，部分含有雙重二次根式的式子可以運用以上方法進行化簡.

（1）化簡：“+2g;

⑵現有長度分別為凡語，“7?萬，歷赤的三條線段，以這三條線段的長為邊能否構

成三角形？請說明理由.

【答案】（1）1+6

（2）能，理由見解析

【分析】（1）根據例題以及二次根式的性質，進行計算即可求解；

（2）先化簡雙重二次根式，然后根據三角形三邊關系即可求解.

【詳解】（1）解：+省『=1+2萬+3=4+2右

；?"+26=1+6

（2）能，理由如下，

?（夜+廚=2+2#+3=5+2#

；.<5+2瓜=向6

<g+4石=2+石，“+26=1+石

*.*1<V2<2

???1+百<&+6<2+6

?1+>2

??1+，3+\/2+\/3>2+，3

即J4+2G+J5+2卡>,7+46

???長度分別為671萬，7^/3,屈二店的三條線段，以這三條線段的長為邊能構成三角

形

【點睛】本題考查了二次根式的應用，三角形三邊關系定理，掌握二次根式的運算法則、完

全平方公式以及三角形三邊關系定理是解題的關鍵.

4、先閱讀材料，然后回答問題.

（1）小張同學在研究二次根式的化簡時，遇到了一個問題：化簡7^3忑

經過思考，小張解決這個問題的過程如下：

"5-26=也-2>/^+3①

=J（&）z-2&x&+（祈②

=J（夜-石>③

=72-73@

在上述化簡過程中，第步出現了錯誤，化簡的正確結果為;

（2）化簡血+2而;

（3）請根據你從上述材料中得到的啟發，化簡：歷語.

【答案】（1）④，>/3-V2；（2）#+6;（3）>/6+-Ji

【分析】（1）第④步出現了錯誤，J（辰揚2朋=6-點:

（2）類比例題，將9分別拆為兩個二次根式的平方的和，再用完全平方公式變形，計算求值

即可；

（3）類比例題，將8分別拆為兩個二次根式的平方的和，再用完全平方公式變形，計算求值

即可.

【詳解】解：（1）第④步出現了錯誤，正確解答如下:

\/5-2>/6=72-272^3+3

=7（>/2）2-2V2XV3+（X/3）2

=7（X/2-V3）2

=|夜-四

=A/3->/2；

（2）79+2718=76+276^3+3

=1函2-2舟6+（石>

=J（#+6）2

=|\/6+>/5|

（3）78+4^3=76+2^2+2

=1（府+2顯&+（揚2

=/（?+舟

=2+闋

=瓜+>/2.

【點睛】本題考查了二次根式的化簡和完全平方公式的運用，能夠將數據拆為正確的完全平

方公式是解題的關鍵.

5、閱讀材料：

如果一個三角形的三邊長分別為a,b,c,記歲，那么這個三角形的面積5二

Jp（〃-a）（〃叫（P"）.這個公式叫“海倫公式”，它是利用三角形三條邊的邊長直接求三角形

面積的公式.中國的秦九韶也得出了類似的公式，稱三斜求積術，故這個公式又被稱為“海倫

一秦九韶公式”完成下列問題：

如圖，1fAe中，〃=7,b=5,c=6.

A

b

BaC

⑴求"8C的面積；

⑵設43邊上的高為4，AC邊上的高為生，求4+4的值.

【答案】(1)6#

嶗瓜

【分析】此題主要考查三角形面積的計算，二次根式的運算，解題的關鍵是根據題意及所學

的三角形的面積公式進行求解.

(1)先計算P,再代入海倫公式即可求解；

(2)根據三角形的面積求法即可求出九，仁即可計算4+42的值.

【詳解】(1)解：根據題意知〃=絲簪=9,

所以s=(〃-a)(/T)(〃-c)=^9x(9-7)x(9-5)x(9-6)=6瓜,

AAI3C的面積為6瓜；

(2)???5=；哂=馴=66，

???/64=京5〃2=6"

**.Iiy=2>/6,k=/;

:,h\+k=苦痛.

6、閱讀材料：

已知m〃為非負實數，2?^=(々)+(")-2G.e=>0,

:.a+b之2強,當且僅當“a=b”時,等號成立.

這個結論就是著名的“均值不等式”，“均值不等式''在一類最值問題中有著廣泛的應用.

例：已知x>0,求代數式x+g最小值.

解：令〃=4，b=—t則由〃+〃之2>/^,得x+*V2卜.±=4.

當且僅當X=t即x=2時，代數式取到最小值，最小值為4.

x

根據以上材料解答下列問題：

⑴已知x>0,則當x=時，代數式x+士到最小值，最小值為;

X

(2)用籬笆圍一個面積為lOOn?的矩形花園，則當這個矩形花園的長、寬各為多少時，所用的

籬笆最短？最短的籬笆的長度是多少米？

⑶已知\>0,則臼變量x取何值時，代數式、:°取到最大值?最大值為多少？

x-2x+9

(4)若X為任意實數，代數式、:一的值為〃7,則〃?范圍為______.

x+4.r+5

【答案】⑴⑸26

⑵這個矩形花園的長、寬均為10米時，所用的籬笆最短，最短的籬笆的長度是4。米

(3)自變量x=3時，函數y=,:。取最大值,最大值為:

A:-2x+94

(4〕一且?一\<-1

22

【分析】本題主要考查了“均值不等式”的應用，解題關鍵是理解例題，借助例題求解.

(1)根據例題，可得尸X+，2、Q=2G,故當R僅當戶,時，函數y=取到最小值,

xVxxx

最小值為26，即可獲得答案；

(2)設這個矩形的長為x米，籬笆周長為y米，可得函數解析式為'=2(工+嗖)，根據例題,

x

即可獲得答案；

(3)將原函數變形為,=3［，由"+［取最小值，即可確定自變量x取何值時，函數

X

尸，:。取到最大值,并求得最大值.

(4)分x>0,x=0,x<0,三種情況進行討論求解即可.

【詳解】(1)解:Vx>0,

y=x+—>2dx3-2\j3,

當且僅當工=上時，取等號，

x

???當》二百時，函數產工