隨機事件與概率（基礎練）解析版

第十章概率

10.1隨機事件與概率（基礎練）

一、單選題（共5小題，滿分25分，每小題5分）

1.有下列事件：①連續擲1枚硬幣2次，2次都出現正面朝上：②異性電荷，相互吸引：③

在標準大氣壓下，水在時結冰.

其中是隨機事件的有（）

A.②B.③C.①D.①③

【答案】C

【解答】由隨機事件的定義得：

①連續擲1枚硬幣2次，2次都出現正面朝上，是隨機事件；

②異性電荷，相互吸引，是確定性事件；

③在標準大氣壓下，水在時結冰，是不可能事件.故選：C.

2.三國時期，諸葛亮曾經利用自身豐富的氣象觀測經驗，提前三天準確地預報出一場大霧，

并在大霧的掩護下，演出了一場“草船借箭”的好戲，令世人驚嘆.諸葛亮應用的是（）

A.動力學方程的知識B.概率與統計的知識

C.氣象預報模型的知識D.迷信求助于神靈

【答案】B

【解析】諸葛亮曾經利用自身豐富的氣象觀測經驗，提前三天準確地預報出一場大霧，

屬于氣象業務實踐中的經臉預報法，利用的是概率與統計的知識.

并未應用到動力學方程的知識和氣象預報模型的知識.故選：B.

23

3.某超市銷售的甲、乙兩種品牌的臘肉各占彳，二的份額，出廠時己知兩種品種臘肉亞硝

55

酸鹽超標的概率分別為g.現一市民在該超市隨機挑選了一塊胎肉，則該塊臘肉亞硝

109

酸鹽超標的概率為（）

【答案】A

【解析】設一市民在該超市隨機挑選了一塊臘肉，該塊脂肉來自甲品牌且亞硝酸鹽超標為事

211

件A,該塊臘肉來自乙品牌且亞硝酸鹽超標為事件B,則尸(4)=-XF=T，

51025

O11Q

P(^)=1x-=—,則所求概率為P(A)+P(8)=—.故選:A.

591575

4.從裝有2個白球和3個黑球的口袋內任取兩個球，那么下列事件中是互斥而不對立的事

件是()

A.“恰有兩個白球”與“恰有一個黑球”

B.“至少有一個白球”與“至少有一個黑球”

C.“都是白球”與“至少有一個黑球”

D.“至少有一個黑球”與“都是黑球”

【答案】A

【解析】對于A,事件：“恰有兩個白球”與事件：“恰有一個黑球”不能同時發生，

但從口袋中任取兩個球時還有可能兩個都是黑球，

，兩個事件是互斥事件但不是對立事件，，A正確；

對于B,事件：“至少有一個黑球"與事件：''至少有一個白球”可以同時發生，

如：一個白球一個黑球，???這兩個事件不是互斥事件，，B不正確；

對于C.“都是白球”與“至少有一個黑球”不能同時發生，且對立，故C錯誤；

對于D,“至少有一個黑球”與“都是黑球”可以同時發生，故不互斥.故選：A.

5.生物實驗室有5只兔子，其中只有3只測量過某項指標，若從這5只兔子中隨機取出3

只，則恰有2只測量過該指標的概率為()

2c3

A.—B.—

35

21

C.-D.一

55

【答案】B

【解析】設其中做過測試的3只兔子為剩余的2只為A8,則從這5只中任取3

只的所有取法有他ec},{a,"A},{0,瓦8},{a,c,A},{a,c,5},{a,A,B},

{〃,c,4},{〃,c,4},{b,AB},{c,A5}Jt10種.其中恰有2只做過測試的取法有

{a,b,A\,{a,b,B},{a,c,A\,{a,cyB],{b,cyA},{b,cyB}共6種,

所以恰有2只做過測試的概率為一二一，故選:B.

105

二、多選題(共3小題，滿分1b分，每小題b分，少選得3分，多選不得分)

6.袋中有紅球3個，白球2個，黑球1個，從中任取2個，則互斥的兩個事件是（）

A.至少有一個白球與都是白球

B.恰有一個紅球與白、黑球各一個

C.至少一個白球與至多有一個紅球

D.至少有一個紅球與兩個白球

【答案】BI）

【解析】袋中裝有紅球3個、白球2個、黑球1個，從中任取2個，

在月中，至少有一個白球和都是白球兩個事件能同時發生，不是互斥事件，故力不成立.

在笈中，恰有一個紅球和白、黑球各一個不能同時發生，是互斥事件，故夕成立；

在。中，至少一個白球與至多有一?個紅球，能同時發生，故。不成立；

在〃中，至少有一個紅球與兩個白球兩個事件不能同時發生，是互斥事件，故〃成立；

故詵：BD.

7.設A,B,C為三個事件，下列各式意義表述正確的是（）

A.ABC表示事件A不發生且事件B和事件C同時發生

B.A+8+C表示事件A,B,C中至少有一個沒發生

C.A+8表示事件A,8至少有一個發生

D.Z與C+H8C+A耳。表示事件A,B,C恰有一個發生

【答案】ACD

【解答】根據題意，依次分析選項：

對于A,Z4C表示事件A不發生且事件4和事件C同時發生，A正確，

對于8,A+8+C表示事件A、B、C至少一個發生，則A+3+C表示事件ABC都沒有

發生，8錯誤，

對丁C,A十臺表示事件A,6至少有個發生，C正確，

對彳耳。表示事件A、8不發生且事件C發生，AB。事件A、C不發生且事件3發

生，A月3事件8、C不發生且事件A發生，則無豆。+,83+483表示事件4，B,。恰

有一個發生，故選：ACI）.

8.甲、乙兩人卜.棋，兩人下成和棋的概率是甲獲勝的概率是！，下面結論正確的是（）

25

74

A.甲不輸的概率而B.乙不輸的概率不

31

C.乙獲勝的概率才D.乙輸的概率g

【答案】ABCD

【解析】因為甲、乙兩人下成和棋的概率是甲獲勝的概率是《，

117

所以甲不輸的概率—I—=—,故A正確：

2510

14

所以乙不愉的概率1一一=一，故B正確；

113

所以乙獲勝的概率1------二一,故C正確；

5210

所以乙輸的概率即為甲獲勝的概率是g,故D正確；故選：ABCD

三、填空題（共3小題，滿分15分，每小題5分，一題兩空，第一空2分）

9.從三男三女6名學生中任選2名（每名同學被選中的概率均相等），則2名都是女同學的

概率等干.

【答案】4

5

【解析】由樹狀圖可得：從3男3女共6名同學有15種基本事件，2名都是女同學由3種

基本事件，故其概率為《，故答案為1

55

10.從長度分別為1、2、3、4的四條線段中，任取三條的不同取法共有〃種，在這些取法中，

以取出的三條線段為邊可組成的三角形的個數為〃？，則一等于___________.

n

【答案】v

【解析】從4條長度不同的線段中任取3條，共有4種取法，即〃=4,可組成三角形的只

有一種（2,3,4）,因此m=1,所以‘二故答案為：_L.

n44

11.設連續擲兩次骰子得到的點數分別為相，〃，令平面向量。二。幾〃），8=（1,一3）,則

事件發生的概率為；事件］。卜慟”發生的概率為__________.

【答案】3

1O6

【解析】（1）由題意知，〃7￡{1,2,3,4,5,6}、“￡{123,4,5,6},故（m,n）所有可能的取

法共36種.

當山時,得m-3n=0,即m=3n,滿足條件共有2種：［3,1）,（6,2）,

21

所以事件a_L〃的概率尸二丁=一.

3618

（2）當。工5時，可得—+1?忘10,共有（1,1）,（1,2）,（1,3）,（2,1）,（2,2）,（3,

1）6種情況，

其概率。二0二二.故答案為：—

366186

四、解答題：（本題共3小題，共45分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）

12.做投擲一顆骰子試驗，觀察骰子出現的點數，用基本事件空間的子集寫出下列事件：

（1）“出現奇數點

（2）“點數大于3”.

【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析

【解析】（1）“出現奇數點”⑴，{3},{5},{1,3},{1,5},{3,5},{1,3,5|

（2）”點數大于3"，{4},{5},{6},{4,5},{4,6）,{5,6},{4,5,6）.

13.同時擲兩個骰子,

（1）指出點數的和是3的倍數的各種情形，并判斷是否為互斥事件；

（2）求點數的和是3的倍數的概率.

【答案】（1）彼此互斥；（2）」

3

【解析】（1）點數的和為3的倍數分，點數和為3,6,9,12,

分別記為事件4、B、C、。事件都是彼此互斥的；

（2）由題意知本題是一個等可能事件的概率，

o1

事件A中：3=1+2=2+1,：.P（A）=^^=—,

6x618

事件8中，6=14-5=2+4=3+3=4+2=5+1,共5種基本事件，尸（8）=色-=9

6x636

41

事件C中，9=3+6=44-5=5+4=6+3,共4種某本事件.?.=----=-

6x69

事件。中，12=6+6,1種基本事件，,P（B）=—!-=’

6x636

總之：P（A+8+C+O）=g

14.某旅游愛好者計劃從3個亞洲國家用，A2,A3和3個歐洲國家B”B2,B：§中選擇2個國

家去旅游.

（1）若從這6個國家中任選2個，求這2個國家都是亞洲國家的概率：

(2)若從亞洲國家和歐洲國家中各選1個，求這兩個國家包括%,但不包括4的概率.

|2

【答案】(1)P=-；(2)P=-

59

【解析】(I)由題意知，從6個國家中任選兩個國家，其一切可能的結果組成的基本事件

有：

{44},{44},{4,4},{4閏},{4，萬},{4修,{4閏},{&,82},{4，星},{4再},{4e}.{4也},

{4也},{4,紜},{%4},共15個.

所選兩個國家都是亞洲國家的事件所包含的基本事件有：

31

{A，4},{A，4},{A，A}，共3個，則所求事件的概率為：P=-4=-.

1JJ

(II)從亞洲國家和歐洲國家中各任選一個，其一切可能的結果組成的基本事件有：

{44},{4也},{4與},{4出},{4也},{4，4},{4,4},{怎與},{4也},共9

個，

包含A但不包括用的事件所包含的基本事件有：{A，3}，{A，四},共2個，

2

所以所求事件的概率為：

A級必備知識基礎練

1」探究點一］關于樣本點、樣本空間，下列說法錯誤的是

()

A.樣本點是構成樣本空間的元素

B.樣本點是構成隨機事件的元素

C隨機事件是樣本空間的子集

D.隨機事件中樣本點的個數可能比樣本空間中的多

2.［探究點三］給出事件A與B的關系示意圖，如圖所示，則

)

00

AAQBB.A3B

C.A與B互斥D.A與B互為對立事件

3」探究點三］拋擲一枚骰子，記事件A為“落地時向上的數是

奇數”，事件B為“落地時向上的數是偶數”，事件C為“落地時

向上的數是3的倍數”，事件D為“落地時向上的數是2或4”,

則下列各對事件是互斥事件但不是對立事件的是（）

A.A與BB.B與CC.A與。D.B與D

4.［探究點四］一批產品共有100件，其中5件是次品,95件是合

格品，從這批產品中任意抽取5件.現給出以下四個事件：

事件A:恰有1件次品；

事件3:至少有2件次品；

事件C至少有1件次品；

事件至多有1件次品.

并給出以下結論：

@AUB=C;?DUB是必然事件;③4n。=c

其中正確結論的序號有（）

A.①②B.③④C.①③D.②③

5」探究點二］從裝有3個紅球2個綠球的袋子中任取兩個小球,

請寫出這一過程中的一個隨機事件:.

6.［探究點四］在隨機拋擲一顆骰子的試驗中，事件A="出現不

大于4的偶數點"，事件B=“出現小于6的點數”，則事件AU后

的含義為，事件AHB的含義為.

7」探究點四］某射手進行射擊測試，設4="射中10環”乃i射

中9環”。=“射中8環

（1）“射中10環或9環”可表示為;

（2）“不夠8環”可表示為.

8.口策究點三］某小組有三名男生和兩名女生，從中任選兩名去

參加比賽,則下列各對事件中是互斥事件的有.（填

序號）

①“恰有1名男生”和“全是男生”；

②“至少有一名男生”和“至少有一名女生”；

③“至少有一名男生”和“全是男生”；

④“至少有一名男生,，和“全是女生

9」探究點一］用紅、黃、藍三種不同的顏色給大小相同的三個

圓隨機涂色,每個圓只涂一種顏色.設事件A廿三個圓的顏色

全不相同”,事件8二“三個圓的顏色不全相同二事件。=“其中

兩個圓的顏色相同”,事件"三個圓的顏色全相同”.

⑴寫出試驗的樣本空間；

（2）用集合的形式表示事件人民C,D

B級關鍵能力提升練

10.下列現象是必然事件的是（）

A.某路口單位時間內通過的車輛數

B.正n邊形的內角和為（加2）?180。（佗3）

C.某同學競選學生會主席成功

D.一名籃球運動員每場比賽所得的分數

1L同時拋擲兩枚均勻的骰子，事件“都不是5點且都不是6點"

的對立事件為()

A.一個是5點，另一個是6點

B.一個是5點，另一個是4點

C.至少有一個是5點或6點

D.至多有一個是5點或6點

12.(多選題)設集合A二{可/2",1￡2},〃,〃￡4,設直線3x+4y=0

與圓(x-Q)2+(.y-〃)2=i相切，則滿足條件的樣本點可能是()

A.(-l,2)B.(l,-2)

C.(-l,-2)D.(l,2)

13.(多選題)下列各組事件中是互斥事件的是()

A.一個射手進行一次射擊,命中環數大于8與命中環數小于6

B.統計一個班的數學成績,平均分不低于90分與平均分不高

于90分

C.播種100粒菜籽，發芽90粒與發芽80粒

D.檢驗某種產品，合格率高于70%與合格率低于70%

14.某人忘了電話號碼的最后一個數字，因而他隨意撥號，假設

撥過的號碼不再重復，若用A尸“第i次撥號接通電話'"=123.

則事件第3次撥號才接通電話可表示為，撥號不超

過3次而接通電話可表示為.

15.從一批產品中取出三件產品，設三件產品全不是次

品13="三件產品全是次品”,C=”三件產品不全是次品”，則下

列結論不正確的是.

①A與C互斥②3與。互斥③任何兩個均互斥

④任何兩個均不互斥

16.從含有兩件正品0/2和一件次品仇的3件產品中每次任

取1件，每次取出后不放回，連續取兩次.

⑴寫出這個試驗的樣本空間；

⑵設A二"取出的兩件產品中恰有一件次品”，寫出集合A

⑶把“每次取出后不放回”這一條件換成“每次取出后放回”,

其余條件不變，請繼續回答上述兩個問題.

17.某連鎖火鍋城開業之際,為吸引更多的消費者，開展抽獎活

動，前20位顧客可參加如下活動:搖動如圖所示的游戲轉盤

（上面扇形的圓心角都相等），顧客可以免費獲得按照指針所指

區域的數字10倍金額的店內菜品或飲品，最高120元,每人只

能參加一次這個活動.記事件A廿獲得不多于30元菜品或飲

品

(1)求事件A包含的基本事件；

(2)寫出事件A的對立事件，以及一個與事件A互斥的事件.

c級學科素養創新練

18.甲、乙兩人玩一種游戲，每次由甲、乙各伸出1至U5根手

指，若和為偶數算甲贏，否則算乙贏.

⑴若以A表示和為6的事件，寫出事件A的樣本點；

⑵現連玩三次，若以B表示甲至少贏一次的事件,C表示乙至

少贏兩次的事件，試問與。是否為互斥事件?為什么？

參考答案

1.D由定義知A,B,C均正確.因為隨機事件是樣本空間的子集，所以由子集的定義可知D

錯.

2.C由互斥事件的定義知C正確.

3.C在A選項中力與8是對立事件，故A錯誤;在B選項中,8與。能同時發生，故8與C

不是互斥事件，故B錯誤;在C選項中/與。不能同時發生，且不是對立事件，故A與。是

互斥事件但不是對立事件，故C正確;在D選項中,8與D能同時發生，故B與D不是互斥

事件，故D錯誤.故選C.

4.A事件AUB表示的事件:至少有1件次品，即事件C,所以①正確;事件。U8表示的事

件:至少有2件次品或至多有1件次品，包括了所有情況,所以②正確;事件ACI8=0,③不正

確;事件ACIO表示的事件:恰有1件次品，即事件人所以④不正確.

5.兩個小球都是綠色(答案不唯一)

6.出現2,4,6點出現2,4點易知日="出現6點”，則"出現2,4,6點”小0〃="出現

2,4點”.

7.（1）AUB（2）AU8UC

8.①④①是互斥事件，”恰有一名男生”的實質是選出的兩名同學中有一名男生和一名

女生，它與“全是男生''不可能同時發生;②不是互斥事件;③不是互斥事件;④是互斥事

件，“至少有一名男生”與“全是女生'’不可能同時發生.

9.解（1）由題意可知3個球可能顏色一樣,可能有2個一樣，另1個異色，或者三個球都異色,

則試驗的樣本空間

｛（紅，紅，紅）,（黃，黃，黃）,（藍，黃，藍）,（紅，紅，黃）,（紅，紅，藍）,（藍，藍，紅）,（藍，或，黃）,（黃，黃,

紅）,（黃潢，藍）,（紅，黃,籃）｝.

（2）4=｛（紅，黃，藍％

B=｛（紅，紅，黃）,（紅，紅，藍）,（藍，藍，紅）,（藍，藍，黃）,（黃，黃，紅）,（黃，黃，藍）,（紅，黃，藍巾

C=｛（紅，紅，黃）,（紅，紅，藍）,（藍灌，紅）,（藍，藍，黃）,（黃，黃，紅）,（黃，黃，藍）｝,

O=｛（紅，紅，紅）,（黃，黃，黃）,（藍，籃,藍）｝.

10.BA,C,D選項為隨機事件,B選項為必然事件.

11.C同時擲甲、乙兩枚骰子,可能出現的結果共有36個，“都不是5點且都不是6點”包

含16個，其對立事件是“至少有一個是5點或6點”.

mb

12.ABA=｛-2,“,0』,2｝,由直線與圓相切知，5=