期末試題匯編：一元二次方程-人教版九年級《數學》上學期

專題01一元二次方程

考點01一元二次方程定義及一般式

考點02一元二次方程的根求參數

考點03解一元二次方程

考點04一元一次方程的判別式判斷根的情況

考點05一元二次方程的根與系數的關系

考點06一元一次方程的判別式與根與系數的關系

考點07一元一次方程的應用

考點01一元二次方程定義及一般式

1.（24?25九上?江西贛州興國縣第五中學.期末）下列方程中屬于一元二次方程的是（）

A.x+y=0B.x—3=0C.x2-2x=0D.=3

【答案】C

【分析】我們從方程的限定詞入手，“一元”的意思是等式中只含有一種未知數（不限定該未知數出現的次

數）：“二次”的意思是未知數的最高次數是二.

【詳解】解：A、x+y=0是二元一次方程，故A錯誤；

B、％-3=0是一元一次方程，故B錯誤：

C^x2-2%=0屬于一元二次方程，故C正確；

D、三=2是分式方程，故D錯誤：

X

故選：C.

【點睛】此題考查了一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解本題的關鍵.

2.（24-25九上.江西弋陽縣.期末）下列方程中，是一元二次方程的是（）

A.x3+2%=0B.x（x-3）=0C.-x2=1D.y-x2=4

【答案】B

【分析】本題主要考查了一元二次方程的定義，解題的關鍵在于熟知“只含有一個未知數，且未知數的最高

次為2的整式方程叫做一元二次方程”.

【詳解】解：A、x3+2x=0,未知數的最高次不是2,不是一元二次方程，不符合題意；

B.%(x-3)=0,即“2-3%=0,是一元二次方程，符合題意；

C、［一/=l,不是整式方程，不是一元二次方程，不符合題意；

D、y-/=4,含有兩個未知數，不是一元二次方程，不符合題意；

故選B.

3.(24?25九上?江西萍鄉?期末)下列方程中是關于x的一元二次方程的是()

A.3(x+I)2=2(x4-1)B.2+：—2=0C.ax2+bx+c=0D.x2+2x=

x2+1

【答案】A

【分析】根據一元二次方程的定義逐項判斷解答即可.

【詳解】A、將方程3。+1y=2(%+1)整理，得3/+4%+1=0,是一元二次方程，故正確；

B、義+工一2=0不是整式方程，故錯誤：

X2X

C、若a=0,則ax?+匕工+。=0就不是一元二次方程，故錯誤；

D、將方程/+2%=/+1整理，得2%=1,是一元一次方程，故錯誤.

故選：A.

【點睛】本題主要考查了一元二次方程的判斷，掌握定義是解題的關鍵.即一元二次方程有3個特點：(I)

只含有一個未知數；(2)未知數的最高次數是2；(3)是整式方程.

4.(24-25九上?江西贛州南康區?期末)將一元二次方程式%-3)=25化成一般形式正確的是()

A.x2-3x-25=0B.x2+3x4-25=0C.%2-3x+25=0D.x2+3x-

25=0

【答案】A

【分析】本題考查了一元二次方程的一股式，利用去括號和移項把方程整理成a/+以+c=0(a,b,c為

常數，且QH0)即可，掌握一元二次方程的一般式是解題的關鍵.

【詳解】解：X(x-3)=25,

x2-3x=25,

x2-3%-25=0,

???將?元二次方程-3)=25化成一般形式為一一3%-25=0,

故選:A.

5.(24-25九上?江西贛州龍南?期末)將方程3/+1=5%化成+加+。=0的形式，則a,b,c的值分別

為()

A.3,5,1B.3,5,-1C.3,-5,-1D.3,-5,1

【答案】D

【分析】將一元二次方程化成一般式即可得出結論.

【詳解】解：3/+1=5%可化為3乃2一5工+1=0,

.*.6=3,b=-5,c=\.

故選：D.

【點睛】本題考查一元二次方程的一般式，熟練掌握其形式是解決問題的關鍵.

6.(24-25九上?江西贛州于都縣?期末)把方程%(%+2)=5(%-2)化成一般式得爐-bx+10=0,則b的值

為.

【答案】3

【分析】此題考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式為a/+b%+c=0(a工0).先去括號，再移項，

再合并同類項，即可答案.

【詳解】解：x(x4-2)=5(x-2),

x24-2x=5x-10,

x2+2x-5x+10=0,

x2-3x4-10=0,

??,把方程%(%+2)=5(%—2)化成一般式得為2—bx+10=Q,

：--b=-3

:?b=3.

故答案為：3.

7.(24-25九上?江西萍多?期木)一元二次方程/+4r3=0的一次項系數、二次項系數、常數項的和是.

【答案】2

【分析】先確定一次項系數是4,二次項系數是1,常數項是-3,計算它們的和即可.

【詳解】因為一元二次方程/+4如3=0的一次項系數是4,二次項系數是I,常數項是-3,

所以1+4—3=2,

故答案為：2.

【力、睛】本題考查了?元二次方程的基本概念，熟練掌握加+c=0(a：M)中二次項系數為小一次項系

數是江常數項是c是解題的關鍵.

一元二次方程的根求參數

1.（24-25九上?江西宜春上高縣?期末）若x=m是方程/+2%-1=0的一個根，WJZrn2+4m-3=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【分析】先根據一元二次方程根的定義得到*+2m=1,再把2m2+4m-3變形為2（而+2m）-3,然

后利用整體代入的方法計算.

【詳解】解：=m是方程/+2%-1=0的一個根，

m2+2m-1=0,

???mz+2m=1,

:.2m2+4m-3=2（m2+2m）-3=2x1—3=—l.

故選：B

【點睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的

解.

2.（24-25九上?江西宜春?期末）若工=一1是方程/+mx+5=0的一個根，則m的值是（）

A.3B.4C.-5D.6

【答案】D

【分析】本題考查了一元二次方程的解，把％=-1代入方程得1一血+5=0,求出機的值即可.

【詳解】解：把％=-1代入/+血3+5=0得：

1-m+5=0,

解得m=6,

故選：D.

3.（24-25九上?江西贛州安遠縣第末）若關于x的一元二次方程/一2%+a=-1有一個根為％=0,則。的

值為.

【答案】-1

【分析】本題主要考查了一元二次方程的解，把一元二次方程的解代入一元二次方程即可得出〃的值.

【詳解】解：把x=0代入/一2K+Q=-1,

得：a=-1

故答案為：—1.

4.（24-25九上?江西贛州經開區期末考試?期末）如關于x的方程/-2%-a=0的一個根是一1，則另一個根

是.

【答案】3

【分析】本題考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，熟練掌握知識點是解題的關鍵.先把-1代入原

方程即可解出a的值，再解方程求解即可.

【詳解】解：???關于戈的方程/一2%-。=0的一個根是一1,

Affix=一1代入原方程，得（一1）2—2X（-1）一Q=0,

；?G=3,

???原方程為“2-2%一3=0,

（x-3）（x+1）=0.

-3=0或％+1=0,

解得％=3或x=-1,

故答案為：3.

5.（24-25九上?江西南昌第五中學實驗學校?期末）已知％=3是一元二次方程/+mx+n=0的一個根，則

37n+n=.

【答案】-9

【分析】本題考查了一元二次方程的解的定義，把x=3代入一元二次方程％2+加工+九=0即可求解，掌握

知識點的應用是解題的關鍵.

【詳解】解：=3是一元二次方程/+mx+九=。的一個根，

/.32+3m+n=0,

.*.3m+n=-9,

故答案為：-9.

｝聲點03解一元二次方程

1.（24-25九匕江西贛州上猶縣?期末）通過一元二次方程/-6%+3=0配方后變形正確的是（）

A.(x—3)2=6B.（無一3尸=9

C.(x+3)2=6D.(x4-3)2=9

【答案】A

【分析】本題考查配方法，根據配方法的步驟求解即可.

【詳解】解:移項，得/-6%=-3,

配方,得%2-6%+32=-3+32,

即(％—3)2=6,

故選：A.

2.(24-25九上?江西贛州安遠縣?期末)用配方法解方程/-以-1=0時，配方后正確的是()

A.(%+27=3B.(%+2產=17C.(%-2)2=5D.(%-2)2=17

【答案】C

【分析】根據配方法，先將常數項移到右邊，然后兩邊同時加上4,即可求解.

【詳解】解：x2-4%-1=0

移項得，x2-4x=1

兩邊同時加上4,即/一4%+4=5

/.(x-2)2=5,

故選：C.

【點睛】本題考查了配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法是解題的關鍵.

3.(2d25九上.江西宜春?期末)用配方法解方程尢2%-1=3時，配方結果正確的是()

A.(x+I)2=5B.(x+I)2=3

C.(%+2)2=2D.0+2)2=3

【答案】A

【分析】本題考查了配方法的運用，先移項，在等式的兩邊同時加上一次項系數一半的平方，由此即可求

解.

［詳解】解：x2+2x-1=3

x24-2x=4

x2+2x+1=5

(無+1)2=5,

故選：A.

4.(24-25九上?江西贛州大余縣?期末)用適當的方法解下列方程

(\)x2+x-l=0

（2）x（x-2）+x-2=0

【答案】（1）勺=與，血=等

（2）工1=2,x2=-1

【分析】本題考查/一元二次方程的知識，解題的關鍵是熟練掌握一元二次方程的解法;

⑴根據配方法，得卜+丁=￡從而完成求解；

（2）先去括號，再根據因式分解法求解一元二次方程即可得到答案.

【詳解】（1）x2+x-1=0

.??/+》+:合0

.??，+；士苧

V5-1-V5-1

??丫1=—，

(2)x(x-2)+x-2=0

AJT2—2x+x-2=0

?\x2-x-2=0

-2）（x+1）=0

勺=2,*2=1?

5.（24-25九上?江西弋陽縣?期末）解下列一元二次方程

（l）x2-4x-5=0

（2）（x-47=10（x-4）

【答案】（l）%i=5,%2=一1

（2）%i=4,x2=14

【分析】本題主耍考查了解元二次方程，解題的關鍵是熟練掌握解元二次方程的方法，準確計算.

（1）用因式分解法解一元二次方程即可；

（2）先移項，然后用因式分解法解一元二次方程即可.

【詳解】（1）解：X2-4X-5=0,

因式分解得：（工一5）（工+1）=0,

.?.X—5=0或％+1=0,

解得：=5,x2=-1：

(2)解：(%-4)2=10(x-4),

移項得：(%-4)2-10(%-4)=0,

因式分解得：。-4)(%—14)=0,

?*.x-4=0或3-14=0,

解得：Xj=4,x2=14.

6.(24-25九上?江西贛州于都縣?期末)(1)解方程/+2%-3=0；

(2)已知點/(2m-4,3m)關于原點對稱的點在第四象限，求m的取值范圍.

【答案】(1)%i=3,x2=-1;(2)0<m<2

【分析】本題考查了解一元二次方程，中心對稱的特征，求不等式組的解集.

(1)用因式分解法求解即可；

(2)判斷力(2m-4,3m)在第二象限，然后根據第二象限點的坐標特征列不等式組求解.

【詳解】解：(1)?.?X2+2%-3=0,

A(x+3)(x-1)=0,

.,.X+3=0或％—1=0,

均=3,x2=-1;

(2)據題意，可得4(2m-4,3m)在第二象限，

.|2m-4<0

二I3m>0'

解得0<m<2.

7.(24?25九上?江西萍鄉?期末)⑴解方程：(x-3/=2%-6：

(2)已知］=g=%且2a+b+2c=—30,求Q+6+C的值.

【答案】(1)%1=3,不=5

(2)-18

【分析】本題主要考查解一元二次方程，比的性質，掌握因式分解法，由比的性質得到Q=2k,h=3k,c=4k,

是解題的關鍵.

(1)運用因式分解法求一元二次方程即可；

(2)運用比的性質設*=-=-=k,則a=2k,b=3k,c=4k,代入計算可得k=—2,則Q=2k=-4,b=

234

3k=-6,c=4k=-8,由此即可求解.

【詳解】解：(1)(%-3)2=2%—6,

等式右邊提取公式得，(x-3)2=2(x-3),

移項得，（x-3）2-2（%-3）=0：

因式分解得，（％-3）（》-3-2）=0,

A-3=0或%—3—2=0,

解得,%1=3,%2=5；

???設與=g=：=匕

?'.a=2k,b=3k,c=4k,

A2a+b+2c=2x2k+3k+2x4k=-30,整理得15k=-30,

解得，k——2,

/.G=2k=—4,b=3k=—6,c=4k=—8?

G+b+c=—4+（—6）+（—8）=—18.

8.（24-25九上?江西贛州經開區期末考試?期末）（1）解方程：X2-4X=0；

（2）如圖，已知。，E分別是△A8C的邊力8,AC上的點，4力ED=48,AD=3,力8=8,4E=4,求AC的

長度.

【答案】(1)xt=0,x2=4；(2)6

【分析】本題考查J'解一元二次方程和相似三角形的判定與性質，熟練掌握一元二次方程的解法和相似三

角形的判定與性質是解題的關鍵.

(1)運用因式分解法求解即可；

(2)由=4力=4力，得再根據相似比列出比例式即可得出結果.

【詳解】解：(1)/一4%=0,

x(x-4)=0,

x=0,x-4=0,

=0,x2=4；

(2)\*Z-AED=44二4/1,

△ADE?bACB?

AD_AE

~AC~~AB

?：AD=3,AB=8,AE=4,

???34

AC8

：,AC=6.

9.（24-25九上?江西宜春?期末）（1）解方程：X2+5X-6=0；

（2）如圖，水平放置的圓柱形排水管的截面為。O,有水部分弓形的高CD=2,水面寬度力8=4加.求截

面?。的半徑.

【答案】（1）勺二-6,x2=1（2）3

【分析】本題考查解一元二次方程，勾股定理和垂徑定理，掌握垂徑定理是解題的關鍵.

（1）運用因式分解法解一元二次方程即可；

（2）連接。力，設。。的半徑為r,則。C=r-2,AC=^AB然后根據力。？+。。2=。爐列方程解

題即可.

【詳解】解：（1）“2+SX-6=0

（x+6）（%-1）=0

解得=-6,x2=1;

（2）連接04

設0。的半徑為丁，則。。二丁-2,AC=1-AB=2y/2,

在Rt△。力C中，AC2+OC2=0A2,即（2立產+（廣-2產=戶，

解得：r=3.

10.（24?25九上?江西贛州章貢區?期末）（1）解方程：x（x+l）=2（x+l）.

(2)如圖，在aABC中，D,E兩點分別在力B,AC邊上，DEIIBC,如果級AE=6,求EC的長.

DB2

【答案】(1)勺二-1,無2=2

(2)EC=4

【分析】本題考查解一元二次方程，平行線分線段成比例，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步驟、

平行線分線段成比例定理是解題的關鍵.

(1)利用因式分解法解一元二次方程即可：

(2)根據平行線分線段成比例定理列出比例式,，杷已知數據代入計算即可.

【詳解】解：(I)x(x+1)=2(x+1),

移項，得：x{x+1)-2(x+1)=0,

因式分解，得：(X+1)(#-2)=0,

得：x+1=0或％-2=0,

解得：與=-1,不=2：

(2),:DE||BC,

.AEAD

??ECDB,

又?嘿DB=32AE=6,

解得：EC=4.

11.(24?25九上?江西宜西上高縣?期木)(1)解方程：2x2-3x=0

(2)如圖所示，4B為。。的直徑，弦CD148于點H,若4?=10,CD=8,求OH的長度.

D

【答案】（1）%=0,0=*（2）。"=3

【分析】此題考查解一元二次方程，垂徑定理，勾股定理，熟練掌握解一元二次方程的方法及垂徑定理是

解題的關犍.

（1）根據因式分解法解方程；

（2）連接0C,根據垂徑定理及勾股定理求出0H的長度.

【詳解】解：（1）2x2-3%=0

x（2x-3）=0

.?.X=0,或2%—3=0

解得久1=0，%2=

（2）解：連接。C,如圖.

vCD1AB,

11

-，CH=DH=-CD=-x8=4

乙乙

???直徑4B=10,

:.OC=5.

GH=y/OC2-CH2=3.

12.（24-25九上,江西贛州上猶縣?期末）（1）解方程：X2-6X-4=0；

（2）如圖，將a/IBC以點C為旋轉中心，逆時針旋轉180。，得到△DEC,過點A作力尸IIBE,交。E的延長線

于點?，求證：乙B=￡F.

【答案】（1）勺=3+g,不=3-舊；（2）見解析

【分析】本題主要考查解一元二次方程，旋轉的性質，平行的性質，熱練掌握接一元二次方程是解題的關

鍵.

（1）根據公式法進行計算即可;

（2）根據旋轉的性質得到28=，DEC,再由平行的性質得到乙尸=4DEC,通過等量代換即可得到答案.

【詳解】（1）解：x2-6x-4=0,

A=(-6)2-4x1x(-4)=52,

…芝誓二3±舊,

解得，勺=3十V13,%2=3-V13（解法不唯一）

（2）證明：由旋轉的性質得：乙B=LDEC,

???AF||BE,

ZF=/.DEC

???/B=NF.（證法不唯一）

13.（24?25九上?江西贛州安遠縣?期末）（1）解方程：X2+2X-3=0；

（2）如圖，已知點A,B,。是。0上三點，且。力J.8C十點D,若半彳仝04=3,AD=1,求弦8c長.

【答案】(1)勺=1,%2=-3(2)2V5

【分析】本題考查了解一元二次方程，垂徑定理，勾股定理等;

（1）進行因式分解為（4%+瓦）（做%+b2）=0的形式可得%%+瓦=0或好+）=0,即可求解;

（2）連接。5,由垂徑定理得BC=28。，由勾股定理得5。=70B?一。。2,即可求解:

能根據方程的不同形式選擇恰當的方法，并能熟練利用垂徑定理和勾股定理求解是解題的關鍵.

【詳解】解：（I）（%—1）（%+3）=0,

x-1=0或％+3=0,

?,-%1=1?x2=-3

(2)連接。8,

?:。4=3,AD=1,

:.GB=3,0D=0A-AD=2,

OA1BC,

???BC=280,

BD=y/0B2-0D2

=、/32-22

=縣,

???BC=2V5.

14.（24-25九上?江西贛州瑞金?期末）①解方程：X2-2X=3.

②如圖，在正方.形力中，AB=4,E為Z1B的中點，連接DE,將△。4E繞點。按逆時針方向旋轉90。得到△

DCF,連接EF,求EF的長.

【答案】①占=

3,x2=-1@EF=2V10

【分析】①利用因式分解法解方程即可；

②先由正方形的性質得出力。=AB=4,LA=9°,運用勾股定理列式ED=V42+22=2瓜結合旋轉性

質得ED=Z)凡Z,EDF=90°,然后結合勾股定理列式計算，即可作答.

【詳解】解：@X2-2X=3,

A%2—2x—3=0?

?*.(x-3)(%+1)=0,

A%—3=0?x+1=0,

Xj=3,x2=—1

②?.?四邊形4BCD正方形，

:.AD=AB=4,4A=90°,

???E為力B的中點，

EA=-AB=2,

2

ED=V224-42=2>/5,

又繞點。按逆時創方向旋轉90。得到△DCF,

:.ED=DF,Z,EDF=90°,

EF=y/DE2+DF2=2V10.

【點睛】本題主要考查了因式分解法解一元二次方程，正方形的性質以及勾股定理，旋轉性質，正確掌握

相關性質內容是解題的關鍵.

?點04元一次方程的判別式判斷根的情況

1.（24-25九上?江西贛州瑞金?期末）下列方程中，有兩個相等實數根的是（）

A.（x-2）2=-1B.（x-2）2=0

C.（x-2）2=1D.（%-2）2=2

【答案】B

【分析】本題考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟練掌握開平方法解方程是解題的關鍵.

分別對每一個選項運用直接開平方法進行解方程即可判斷.

【詳解】解：A、（x-2）2=-l<0,故該方程無實數解，故本選項不符合題意；

B、（％-2）2=0,解得：xx=x2=2,故本選項符合題意；

C、（％-2）2=1,x-2=±1,解得%1=3,無2=1，故本選項不符合題意；

D、（x-2）2=2,x-2=±A/2,解得必=2+41,x2=2-\[2,故本選項不符合題意.

故選:B.

2.（24-25九上?江西贛州章貢區?閨末）一元二次方程/+%-2=0的根的情況是（）

A.有兩個不相等的實數根B.沒有實數根

C.有兩個相等的實數根D.無法確定

【答案】A

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，根據一元二次方程根的判別式即可求解，掌握一元二次方

程根的判別式是解題的關鍵.

【詳解】解：+1-2=0,

:.K=b2-4ac=I2-4x1x(-2)=9>0,

???方程有兩個不相等的實數根，

故選：A.

3.(24-25九上?江西贛州大余縣?期末)若關于X的一元二次方程/一軌+c=0有兩個相等的實數根，則實數

c的值為()

A.-16B.-4C.4D.16

【答案】C

【分析】根據方程的根的判別式A=b2-4ac=(-4)2-4x1xc=0即可.本題考查了一元二次方程的根

的判別式，熟練掌握根的判別式是解題的關鍵.

【詳解】???方程/-4%+c=0有兩個相等的實數根，a=ltb=-4,c=c,

:.k=b2-4ac=(-4)2—4xlxc=0.

A4c=16,

解得c=4.

故選C.

4.124-25九上?江西贛州經開區期末考試?期末)已知關于匯的一元二次方程-4%+2=0有兩個不相等的

實數根.

(1)求7H的取值范圍；

(2)若小為正整數，求此時方程的根.

【答案】(l)mV2

(2)4=2+V2,x2=2—y/2

【分析】本題考查了根的判別式，解一元一次不等式和解一元二次方程，能根據根的判別式和已知得出不

等式是解題的關鍵.

(1)根據判別式即可求出答案；

(2)根據機的范圍可知m=l,代入原方程后根據一元二次方程的解法即可求出答案.

【詳解】(1)解：???方程4無+2=0有兩個不相等的實數根，

:.A=(-4)2—4mx2=16—8m>0,

???nt<2；

(2)?.?m為正整數，且znV2,

???m=1

當n=1時，方程為/-4%+2=0,

解得：=2+V2,x2=2—\[2.

5.(24-25九上?江西贛州瑞金?期末)已知;q,孫是關于刀的方程/-1-k+1=。的兩個不相等的實

數根.

(1)求女的取值范圍；

(2)若々V4,且》曲,不都是整數，求々的值.

【答案】(1次>1

(2)k的值為2

【分析】本題主要考查了已知一元二次方程根的情況求參數的取值范圍，解題的關鍵是熟練掌握當墳-

4ac>0時，方程有兩個不相等的實數根；當爐-4ac=。時，方程有兩個相等的實數根：當爐-4ac<0時，

方程沒有實數根.

(1)根據判別式,即可解答：

(2)根據(I)中得出的A的取值范圍，得出整數k的值為2、3,分別求出當k=2時，當k=3時，方程的

解，即可解答.

【詳解】(1)解：?.?方程有兩個穴相等的實數根，

???△>0,

即A=(-2k)2-4xlx(/c2-/c+l)=4/c-4>0

解得，k>1；

(2)解：???k<4,

：.l<k<4,

???k為整數，

??.整數k的值為2、3,

當A=2時，方程為/—4%+3=0,

解得人1—1,x2=3,

當A=3時，%2-6%+7=。此時方程解不為整數，

綜上所述，k的值為2.

6.(24-25九上?江西贛州于都縣?期末)已知一元二次方程(。-3)產-4x+2=0.

(1)若方程的一個根為％=—1,則a的值為；

(2)若方程有相等的實數根，求a的值.

【答案】(l)a=-3

(2)(1=5

【分析】本題考查了一元二次方程的根與根的判別式，熟練掌握一元二次方程的根的判別式求法，注意二

次項系數的取值情況是解答本題的關鍵.

(1)將％=-1代入?元二次方程3-3)/-4%+2=0,即可求出a的值；

(2)根據“方程有相等的實數根”可得△=(),再結合二次項系數。-3安0,即可求出a的值.

【詳解】(1)解：方程的一個根為％=

；?Q—3+4+2=0,

解得：a=-3；

(2)解：根據題意，可得16-8(Q-3)=0且a—3H0,

解得：a=5.

7.(24-25九上?江西新余仙女湖區?期末)關于x的一元二次方程m/-4x+3=0有實數根.

⑴求機的取信范闈：

(2)若小為正整數，求出此時方程的根.

【答案】(l)mwg且mHO

⑵4=1?x2=3

【分析】(1)由二次項系數非零及根的判別式AN0,可得出關于，〃的一元一次不等式組，解之即可得出

，〃的取值范圍；

(2)由(1)的結論，結合/〃為正整數，可得出機的值，再其代入原方程，解之即可得出結論.

【詳解】(1)解：???關于x的一元二次方程7九/一4久+3=0有實數根，

.17nH0

,?(△=(-4)2—4xznx3>0'

解得：ni<士且mH0,

3

???陽的取值范圍為m<5且m工0：

?5

(2)???機工［且瓶裝0,且機為正整數，

n=1,

原方程為%2-4%4-3=0?

即(%—3)(%—1)=0,

解得：%i=1,x2=3.

【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式、一元二次方程的定義以及因式分解法解一元二次方程，解

題的關鍵是：（1）利用二次項系數非零及根的判別式ANO,找出關于小的一元一次不等式組；（2）代入

〃，的值，求出方程的解.

8.（24-25九上?江西宜春上高縣?期末）已知關于K的方程/-（k+2）%+k=0.

（1）求證：A取任何實數值，方程總有兩個不相等的實數根；

（2）若口△48C斜邊長Q=3,另兩條邊長4c恰好是這個方程的兩個根，求△4BC的周長.

【答案】（1）見解析

（2）A48C的周長為4+%.

【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式的意義，根與系數的關系.

（1）根據一元二次方程根的判別式的意義證明即可；

（2）利用根與系數的關系求得b+c=k+2,bc=k,再利用完全平方公式得到（A+2）2-2xk=9,求

得人+。=返+1,據此求解即可.

【詳解】（I）證明：*.*△=（/<+2）2—4/c=Zc2+4/c4-4—4/c=/c2+4>0,

???無論k取何值，方程總有兩個不相等的實數根；

（2）解：???邊長江。恰好是這個方程％2-（憶+2）%+4=0的兩個根，

.\b+c=k+2,be=k,（k>0）

???&△ABC斜邊長a=3,

：.b2+c2=32=9,

???（b+c）2-2兒=9,即Q+2）2-2xk=9,

整理得X+2k=5,即理+1）2=6,

=V6-1（負值已舍），

.,./?+c=V6+1,

AA4BC的周長為Q+b+c=3+V6+l=4+V6；

???AABC的周長為4十侃

一元二次方程的根與系數的關系

1.（24-25九上?江西贛州喘金?期末）一元二次方程/+2x+1=0的兩根之和為

【答案】-2

【分析】本題主要考查了根與系數的關系，熟知一元二次方程根與系數的關系是解題的關鍵，利用一元二

次方程根與系數的關系即可解決問題.

【詳解】解：由一元二次方程根與系數的關系知，

若方程Q/+hx+C=0（QH0）的兩根為%2?則+%2=-，X1X2=~

???一元二次方程為+2x+1=0,

，兩根之和為：—：=—2,

故答案為：一2.

2.（24-25九.1二?江西贛州興國縣第五中學?期末）設打、力是方程7-,九心。的兩個根，且也+歷=-3,則機的值

是.

【答案】-3

【分析】由根與系數的關系可得打+也=如結合*+也=-3可得出關于"，的一元一次方程，解之即可得出結論.

【詳解】解：x/、X2是方程x2-mx=0的兩個根，

??x/+x￡=m.

VA/+X2=-3?

m=-3.

故答案為：-3.

【點睛】本題考查了根與系數的美系：若打，X2是一元二次方程，/+飯+C=0（存0）的兩根時，X/+X2=《，

X1X2=^-.

a

3.（24-25九上?江西贛州南康區?期末）若與，％?是一元二次方程?一+2%-々-1=0的兩根，且與初二一3,

則A的值為.

【答案】2

【分析】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，根據一元二次方程根與系數的關系求解即可，掌握一

元二次方程根與系數的關系是解題的關鍵.

【詳解】解：?.”】，不是一元二次方程/+2%-1一1=0的兩根，

??X]%2=-=-k~~],

又;”1%2=-3,

-k-1=-3，

:?k=2,

故答案為：2.

4.（24-25九上?江西南昌江西師范大學附屬中學紅谷灘區濱江分校?期末）若。、0為方程/-5%-1=0的兩

個實數根，則戊2-5。+33?的值為.

【答案】-2

【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數的關系，一元二次方程解的定義，根據根與系數的關系可

得卬？=-1,根據一元二次方程解的定義可得十一5a=1,據此利用整體代入法求解即可.

【詳解】解：??a6為方程/一5%-1=0的兩個實數根，

/.G/?=-1,a2—5a—1=0,

a2-5a=1,

'?a2—Sa+3as=1+3x（—1）=-2,

故答案為：—2.

5.（24-25九匕江西弋陽具?期末）若一元二次方程/-3x-1=0的兩個根為石，x2,則%+%2-44的伯

【答案】4

【分析】本題考查了一元二次方程根與系數的關系；根據一元二次方程根與系數的關系可得勺+不=

3/X1X2=-1,代入代數式，即可求解.

【詳解】解：???一元二次方程/-3x-1=0的兩個根為.,x2,

Xi+&-=3—(—1)=4>

故答案為：4.

元一次方程的判別式與根與系數的關系

1.（24-25九上?江西贛州上猶縣?明末）關于匯的一元二次方程》2一（3+m）x+3m=0.

（1）試判斷該方程根的情況；

（2）若%1，X2是該方程的兩個實數根，且2%1-％1%2+2X2=12,求771的值.

【答案】（1）當m=3時，△=0,方程有兩個相等的實數根；當凱豐3時，△>0,方程有兩個不相等的實數

根；

(2)?n=-6

【分析】本題考查了一元二次方程根與系數的關系及根的判別式：

(1)根據一元二次方程根的判別式判斷即可；

根據求出即可.

(2)2Tl—xtx2+2X2=12m

(詳解】(1)解：△=[-(3+rri)Y—4x37nx1=mz4-6m+9—12m=(m—3)2,

.?.當m=3時，A=0,方程有兩個相等的實數根：

當戊工3時，A>0,方程有兩個不相等的實數根.

(2)解:由題意得6，

無

v21—x1x2+2X2=12,

???2(3+m)-3m=12,

解得：m=-6.

2.(24-25九上?江西贛州大余縣?期末)已知關于x的一元二次方程/+2x+2k-4=0有兩個不相等的實數

根.

(1)求A的取值范偉I；

(2)當々=1時，設方程的兩根分別為與，x2,求與2+&2的值.

【答案】(1%<弓

(2)*+據=8

【分析】本題主要考查了根的判別式以及根與系數關系的知識.

(1)根據一元二次方程/+2x+2/c-4=0有兩個不相等的實數根得到A=22-4x1x(2/c-4)=20-

8k>0,解不等式求出攵的取值范圍即可；

(2)把k=1代入方程，求出入1+%2=-2,xxx2=—2,進而求出向2+不？的值.

【詳解】(1)解：???一元二次方程/+2%+2k-4=0有兩個不相等的實數根，

???△=22-4X1x(2/:-4)=20-8/c>0,

解得k<|，

即女的取值范圍為〃

(2)解：當％=1時，方程為/-2%—2=0,

解得%1+x2=-2,xtx2=-2,

則好+好=(X1+x2V-2x^2=(一2產-2x(-2)=8.

3.(24-25九上?江西贛州安遠縣期末)若勺，不是關于x的一元二次方程/-4x+k-3=0的兩個實數根.

⑴求出實數人的取值范圍；

⑵若方程的兩個實數根滿足/?X2=1，求k的值.

【答案】（l）k<7

（2）k=4

【分析】本題主要考杳了一元二次方程根的判別式，根與系數的關系，熟練掌握一元二次方程杈的判別式，

根與系數的關系是解題的關鍵.

（1）利用一元二次方程根的判別式，即可求解；

（2）利用一元二次方程根與系數的關系可得必?必=憶一3=1,即可求解.

【詳解】（1）解：由題意，得A=（—4）2—4（k—3）N0,

解得k<7.

（2）解：?.?％i=k-3=1,

:.k=4.

4.（24-25九上?江西宜春?期末）如果關于X的一元二次方程a/+必+c=0有兩個實數根，且其中一個根是

另一個根的3倍，那么稱這樣的方程為“三倍根方程”.例如：方程/-4工+3=0的兩個根是I和3,則這

個方程就是“三倍根方程”.

⑴方程/-12x+27=0_（填“是”或“不是”）“三倍根方程”;

（2）若關于％的方程M-8%+c=。是“三倍根方程”，求c的值；

（3）若/一（小十n）x+mn=0是關于工的“三倍根方程”，求代數式一^的值.

【答案】（1）是

⑵12

（3后

【分析】本題考查了根與系數的關系：若均,不是一元二次方程Q/+bx+C=o（a工0）的兩根時，+&二

—乂“丫2=￡，也考查了因式分解法解方程.

（1）先解方程，然后根據“三倍根方程”的定義進行判斷：

（2）設方程--8x+c=0的兩根為t,3t,則利用根與系數的關系得t+3￡=8,t?3￡=c,然后先求出如

再計算出C的值；

（3）設方程的兩根為a,3a,利用根與系數的關系得到m+幾=4a,nm=3小，再把原式進行變形，再整

體代入計算即可.

【詳解】（1）解：解方程"-Ux+27=0得必=3,右=9,

所以/一12x+27=0是“三倍根方程”；

(2)設方程/-8x+c=0的兩根為333

根據根與系數的關系得t+3t=8,t-3t=c,

解得t=2,

Ac=2x6=12；

(3)設方程%2-(m+n)%+m?i=0的兩根為a,3a,

根據根與系數的關系得Q+3Q=m+n,a-3a=mn,

即n+n=4Q,mn=3a2,

.mnmn3a23

..-----=------------=-----------=—,

m2+n2(m+n)2-2mn16a2-2x3c210

元一次方程的應用

1.(24-25九上?江西贛州興國縣第五中學?期末)某校建設校園農場.如圖，該矩形農場長32m,寬20m,要

求在農場內修筑同樣寬的道路(圖中陰影部分)，余下部分作為試驗田，且使試驗田的面積為540m2,若

設道路的寬為無m,那么可列方程為(化為一般形式).

32

【答案】x2-52%+100=0

【分析】本題主要考杳一元二次方程的實際應用，關鍵是利用平移求面積.通過平移可得試驗田為矩形,

長為(32-x)m,寬為(20-x)m,再根據面積的等量關系列出方程，最后化為一般形式即可.

【詳解】由題意得，

(32-x)(20-x)=540,

整理得，x2-52x+100=0.

故答案為：x2-52%+100=0.

2.(24-25九上?江西贛州上猶縣?期末)《九章算術》是我國古代數學名著，有題譯文如下：今有門，不知其

高寬；有竿，不知其長短.橫放，竿比門寬長出4尺；豎放，竿比門高長出2尺；斜放，竿與門對角線長

恰好相等.問門高、寬和對角線的長各是多少？設門對角線的長為x尺，可列方程為.

【答案】。-2y+(%-4/=/

【分析】此題主要考查一元二次方程的應用即勾股定理，解題的關鍵是熟知勾股定理的性質，列方程求解.設

竿的長度為“尺，則門高為2)尺，門寬為4)尺，根據勾股定理列出方程即可求解.

【詳解】解：設竿的長度為工尺，則門高為2)尺，門寬為(％-4)尺，故門對角線長為“尺.

根據勾股定理得(%-2產+(%-4)2=%2,

故答案為：-2尸+6-4)2=/.

3.(24-25九上?江西弋陽縣?期末)如圖,要設計一本書的封面，封面長24cm,寬18cm,正中央是一個與整

個封面長寬比例相同的矩形.如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、二邊襯等寬，

左、右邊襯等寬，應如何設計四周邊襯的寬度(結果保留小數點后一位)？

【答案】上、下邊襯的寬均為4(3-￥)、l.6cm,左、右邊襯的寬均為3(3-1.2cm

【分析】本題主要考查一元二次方程的應用，封面的長寬之比是24:18=4:3,中央的矩形的長寬之比也應

是4:3,設中央的矩形的長和寬分別是4acm和3acm,由此得上、下邊襯與左、右邊襯的寬度之比是4:3,設

上、下邊襯的寬均為4xcm,左、右邊襯的寬均為3xcm,則中央的矩形的長為(24-8x)cm,寬為(18-6x)cm,

根據題意可得(24-8x)(18-6x)=；X24X18,進而求解即可.

【詳解】解：封面的長寬之比是24:18=4:3,中央的矩形的長寬之比也是4:3,設中央的矩形的長和寬分

別是4acm和3acm,由此得上、下邊襯與左、右邊襯的寬度之比是

11

-(24-4a):-(18-3a)

=4(6—a):3(6—a)

=4:3.

設上、下邊襯的寬均為4xcm,左、右邊襯的寬均為3xcm,則中央的矩形的長為(24-8x)cm,寬為(18-

6x]cm.由題意得：

(24-8x)(18-6x)=X24X18.

整理，得a—3）2=二.

4

解方程，得％=3-手或》=3+竽，

又??,24—8%>0,18-6%>0,

x<3,

「=3-%

2

???上、下邊襯的寬均為4x（3-孚）n1.6cm,左、右邊襯的寬均為3x（3-手）a1.2cm.

4.（24-25九上?江西贛州興國從笫日中學?期末）2021年是中國共產黨建黨100周年，全國各地積極開展“弘揚

紅色文化，重走長征路”主題教育學習活動，贛州市人民政府批準興國烈1?陵園為第一批市級烈1?紀念設施

基地.據了解，當年3月份該基地接待參觀人數0.5萬人，5月份接待參觀人數增加到0.605萬人.

（1）求這兩個月參觀人數的月平均增長率；

（2）：安照這個增長率，預計6月份的參觀人數是多少？

【答案】（1）10%

（2）0.6655萬人

【分析】本題考查了一元二次方程的應用一增長率問題，解題的關鍵是根據題目條件列出等式，求出增長

率，再利用增長率來預測.

（1）設這兩個月參觀人數的月平均增長率為x，根據題意列出等式解出即可；

（2）利用（1）中求出的月平均增長率計算即可.

【詳解】（1）解：設這兩個月參觀人數的月平均增長率為X，

由題意得：0.5（1+%）2=0.605,

解得：s=10%,必=-2.1（不合題意，舍去），

答：這兩個月參觀人數的月平均增長率為10%;

（2）解：0.605x（1+10%）=0,6655（萬人），

答：六月份的參觀人數為0.6655萬人.

5.（24-25九上?江西贛州瑞金?期末）某商場銷售一批兒童玩具，立均每天能售出20件，每件盈利40元.經調

查發現：這種玩具的售價每降低1元，平均每天能多售出2件，設每件玩具降價x元.

（1）降價后，每件玩具的利潤為元，平均每天的銷售量為件；（用含x的式子表示）

（2）為了擴大銷售，盡快減少庫存，商場決定采取降價措施，但需要每天盈利1200元，那么每件玩具應降價

多少元？

【答案】(1)(40-X),(20+2x)

⑵每件玩具應降價20元

【分析】本題考查了一元二次方程的應用，抓住數量關系正確列出方程是解題關鍵.

(1)根據“玩具的售價每降低1元，平均每天能多售出2