人教A版必修第二冊高一數學下冊：復數的乘、除運算

7.2.2復數的乘、除運算

【學習目標】1.掌握復數代數形式的乘法和除法運算2理解復數乘法的交換律、結合律和乘

法對加法的分配律.

知識梳理

知識點一復數乘法的運算法則和運算律

1.復數的乘法法則

設zi=a+〃i,Z2=c+di(a,b,c,dWR)是任意兩個復數,則ziz=3+bi)(c+"i)=3c—bd)

+(ad+/?c)i.

2.復數乘法的運算律

對任意復數Z|,Z2,Z3GC,有

交換律Z|Z2=31

結合律(Z|Z2)Z3=Z1J[Z2Z3)

乘法對加法的分配律Z1⑵+Z3)=Z"2+Z]Z3

思考|z『=z2,正確嗎？

答案不正確.例如,|i|2=l,而P=T.

知識點二復數除法的法則

設Z[=a+bi,Z2=c+di(〃，b,c,d￡R,且c+l#。)是任意兩個復數,

.，田aIbiacIbd,bc-ad..................

則&*())?

自我檢測

l.(l+i)(2+i)=.

答案l+3i

解析依題意得(l+i)(2+i)=2+i2+3i=l+3i.

2.i是虛數單位，復數＞=________.

1—I

答案2-i

1-3(l-3i)(l+i)4-2i_

解析I=(lT)(l+i)=2=2-1.

3.復數z=i(-2-i)(i為虛數單位)在復平面內所對應的點在第象限.

答案四

解析因為z=i(—2—i)=l—2i,

所以復數z對應的點在第四象限.

4.已知復數z五(i是虛數單位)，則|z|=.

答案小

解析團=7+^=③=|i+2|=小.

題型探究

一、復數代數形式的乘法運算

例1”算下列各題.

(l)(l-i)(l+i)+(-l+i)；

(2)(2-i)(-I+5i)(3-4i)+2i.

解(l)(l-i)(l4-i)4-(-14-i)=l-i2-14-i=l+i.

(2)(2-i)(-l+5i)(3-4i)+2i

=(-2+lOi+i—5i2)(3-4i)+2i

=(3+lli)(3-4i)+2i

=(9-12i+33i-44i2)+2i

=53+21i+2i=53+23i.

反思感悟(1)兩個復數代數形式乘法的一般方法

①首先按多項式的乘法展開.

②再將i?換成一1.

③然后再進行復數的加、戒運算.

(2)常用公式

①(。+歷)2="一"+2i/歷(%(WR).

?{a+hi)(a-/?i)=d2+b\a,〃￡R).

③(l±i)2=±2i.

跟蹤訓練1(1)計算：(l-i/一(2-3i)(2+3i)等于()

A.2-13iB.13+2i

C.I3-13iD.-13-2i

答案D

解析(l-i)2-(2-3i)(2+3i)=1-2i+i2-(4-9i2)=一13—2i.

(2)若兔數(l-i)(a+i)在兔平面內對應的點在第二象限，則實數〃的取值范圍是()

A.(-8,|)B.(-8,—1)

C.(l,+8)D.(-L+8)

答案B

解析因為z=(l—i)(〃+i)=a+1+(l—a)i,

所以它在復平面內對應的點為(a十1,1—〃)，

又此點在第二象限,

〃+1<0,

所以解得〃＜一1.

l-d>0,

二、復數代數形式的除法運算

例2(1)如圖，在復平面內，復數ZI，Z2對應的向量分別是后，OB,則復數”對應的點位

于()

A.第一象限B.第二象限

C.第二.象限D.第四象限

答案B

解析由復數的幾何意義知，Z[=-2—i,Z2=i,

所以U=『=T+2i,

對應的點在第二象限.

⑺在管(1+01,(|-0：(3-4i)(2+2i)^

⑵”算：1+1+i4+3i,

工人....l+i,..l-i8(3-4i)(l+i)3.,8-2i(l+i)

解原式=[(l+i)2戶口+[(1—4產幣—'(3_hJ,=(2i)3.i+(一公)3.(—i)——_L

=8+8-16-16i=-16i.

反思感悟(1)兩個復數代數形式的除法運算步驟

①首先將除式寫為分式.

②再將分子、分母同乘以分母的共振復數.

③然后將分子、分母分別進行乘法運算，并將其化為復數的代數形式.

(2)常用公式

?[=-i：

跟蹤訓練2(I)設復數z滿足==i,則|z|等于()

1Z

A.lB，V2C.^3D.2

答案A

解析由產=1得1+2=?—2),

加-1+i(-l+i)(Li)—(1一講.「一

即z一-n「(i+i)(i)=-2_一】,|Z|=L

⑵計算：修磊U平生

5,、7+i(7+i)(3-4i)25-25i

解①3+4i=(3+4i)(3—4i)=25-=1-L

小(-l+i)(2+i)-3+i(-3+i),i

-==—I—3i.

—i—i—i-i

三、在復數范圍內解方程

例3在復數范圍內解方程,F+6x+10=0.

解因為f+6x+10=f+6x+9+1=(x+3)2+1,

所以。+3)2=-1,

又因為i?=-1,

所以(%+3)2=i2,

所以x+3=±i,

即x=-3±i.

反思感悟當一元二次方程中/vO時，在復數范圍內有兩根且互為共稅復數.

跟蹤訓練3已知1+i是方程f+bx+c=O(〃，c為實數)的一個根.

⑴求〃，c的值；

(2)試判斷l-i是不是方程的根.

解(l)：l+i是方程/+班+。=0的根，且〃，。為實數，

??.(l+i)2+〃(l+i)+c=0,即A+c+S+2)i=0,

》+。=0.b=-2,

解得

2+力=0,c=2.

(2)由(1)知方程為f—2x+2=0,

把l-i代入方程左邊得(1一8一2(1-i)+2=0=右邊,

即方程式成立.

，1—i是方程的根.

隨堂練習

1.若“，i為虛數單位，且(a+i)i=b+i,則()

A.q=l,b=IB.?=-I,b=\

C.a=—1?b=-1D.a=l,b=—\

答案D

解析?.?(a+i)i=4i—1=b+i,

??a=\,b=—\.

2.復數(l+i)2(2+3i)的值為()

A.6—4iB.-6-41

C.6+4iD.-6+4i

答案D

解析(l+i)2(2+3i)=2i(2+3i)=-6+4i.

3.在復平面內，復數由+(1+小i＞對應的點位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案B

解析7^-+(l+V3i)2=|i+|+1-3+2^31

=一升(}+2⑹i,對應點在第二象限.

4.(1+i)2-1^4=.

答案-"3掌14

解析(1+產一會

3,14.

=-5+TL

5.方程f+3=0在復數范圍內的解為x=.

答案±73i

小結

1.知識清單：

(I)復數的乘法及運算律.

⑵復數的除法運算.

(3)復數的綜合運算.

⑷在復數范圍內解方程.

2.方法歸納：分母實數化：配方法解方程：求根公式法.

3.常見誤區：分母實數化時忽視i2=-l造成運算錯誤.

對點訓練

基礎鞏固

1.復平面內表示復數z=i(—2+i)的點位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案C

解析z=i(-2+i)=-2i4-i2=-l-2i,

故復平面內表示復數z=i(-2+i)的點位于第三象限.

2.若z(l+i)=2i,則z等于()

A.-1-iB.-1+i

C.l-iD.l+i

答案D

短垢2i2i(-i)

解析z_14-i-(H-i)(l-i)-1+L

3.設2=言，則團等于()

A.2B.小C.^2D.1

答案C

翻新_3-i_(3-i)(l-2i)_l7.

解祈z」+2i—(]+2i)(|—2i)—G5h

所以|z|=，l

4.(l+i產一(1一講°的值是()

A.-l024B.l024C.OD.512

答案C

解析???(l+i)2=2i,???(l+i)4=-4,

又(1—i)2=—2i,???(1—i?=—4,

.,.(14-i)20-(l-i)20=(-4)5-(-4)5=0.

5.若Z+3=6,z?T=10,則z等于()

A.l±3iB.3±i

C3+iD.3-i

答案B

解析設z=〃+砥a,〃￡R),則z=〃-bi,

2a=6,

由題意得解得

/+/=10,b=\

???z=3±i.

6.設復數z=l+，ii,則z2—2z=.

答案一3

解析z2—2z=(I+也i)2-2(l+&i)

=1+(62+2的-2-2信=一3.

7.兔數串i為虛數單位)的實部等于.

答案一3

解析由題意可得2~p'=-3—i,—3—i的實部為-3.

8.已知關于x的方程加+工+。=0(〃，c￡R)的一個根是2+3i,則“一。=

答案3

解析由題意，得a(2+3i)2+(2+3i)+c=0,

即一5a+2+c+(12a+3)i=0.

—5〃+2+c=0,

由復數相等的充要條件，得

12。+3=0,

所以a-c=3.

9.計算：

(~l+i)(2+i)

(1)JF；

(l+2i)2+3(l-i)

(一)；

⑶冏+^a

W…(―l+i)(2+i)-3+i

斛(1)--------p--------=J=一

(1+2講+3(1—i)-3+4i+3—3i

(2)TH2+i

_i2.

-2+i-5十針

⑶筒+集濟號卜噴&

=i6+i=-l+i.

,石皿(1—i)2+3(l+i)

10.已知復數z=1—片」-

⑴求復數z；

（2）若^+四+人=1—i,求實數。，〃的值.

一2i+3+3i3+i

解(l)z=-=2ri

_(3+i)(2+i)

5

=1+i.

⑵把z=I+i代入z24-?z+/?=1—i,

得(1+i>+a(l+i)+Z?=1—i,

整理得a+b+(2+a)i=l—i,

a+b=l,ci——3,

所以解得

2+a=-ib=4.

綜合運用

11.若復數二^的實部與虛部分別為a,b,則點4（/3a）必在下列哪個函數的圖象上（）

J1

x+1

A.），=2'B.y=—

C.y=|x|D.y=—2r—1

答案D

解析因為一：_i=（_3，i）（一1+i）=~2+^

所以〃=一|,力==所以A&—|），

把點A的坐標分別代入選項，只有D選項滿足.

l+2i———

12.已知i為虛數單位，若復數z==,z的共物復數為z,則z?z等于（）

?525

A.lB.—1CjD.一/

答案A

解析依題意,得z-QT）Q+i）t

所以z=—i,所以z-z=i(—i)=l.

13.設復數z=-2+i,若復數z+：的虛部為江則〃=.

4

答案5

解析因為z=-2+i,所以z+J=-2+i+T7

z—2十1

-2—i21

=T+i+（_2+i）（—2—廣一2+一二手

—12.4

一5十5八

4

所以b=j

「4口1+i-1

14.定義一種運算：/="/一兒.則復數

LcJj_23i.

的共挽復數是.

答案一l-3i

「1+i—I

解析,:'?=3iU+i）+2=—l+3i,

L23iJ

???其共獨復數為一l-3i.

拓展探究

15.若一個復數