2026年高考物理一輪復(fù)習(xí)：動態(tài)平衡和臨界極值問題（講義）學(xué)生版+解析

第10講動態(tài)平衡和臨界極值問題

核心考點(diǎn)

考點(diǎn)一動態(tài)平衡問題............................................................1

考點(diǎn)二平衡中的臨界、極值問題.................................................4

考點(diǎn)一動態(tài)平衡問題

基礎(chǔ)過關(guān)

1.“一力恒定，另一力方向不變”的動態(tài)平衡問題

一個力（"）恒定，另一個力（乃）方向不變，作出不同狀態(tài)下的矢量三角形，確定力大小的變化。

若Fi與后不垂直，當(dāng)■后時，后有最小值，Bmm=Fisin。，如圖乙。

2.“一力恒定，另兩力方向均變化”的動態(tài)平衡問題

一力恒定（如重力），其他二力的方向均變化，但二力分別與繩子、兩物體重心連線方向平行,

即三力構(gòu)成的矢量三角形與aACO幾何三角形相似，則對應(yīng)邊比值相等。

基本矢量圖，如圖所示

基本關(guān)系式：等=普=?。

HR+rL

3.一力恒定，另外兩力方向均變化，但兩力方向夾角保持不變的動態(tài)平衡問題

利用正弦定理或利用輔助圓，恒力為圓的一條弦，恒力所對應(yīng)角的頂點(diǎn)在圓上移動，可保持圓

心角不變，根據(jù)不同位置判斷各力的大小變化。

[例1]（2025?河南?三模）蜘蛛通過兩根蛛絲（OA和03）懸掛在樹枝上保持平衡。初始時,

蛛吆OA與豎直方向的夾角為仇蛛絲。3水平，如圖所示。若獵物在A點(diǎn)被蛛絲纏住并向右

側(cè)移動，蛛絲03仍保持水平。蜘蛛始終靜止，蛛絲形變量可忽略不計且蛛絲未斷裂。下列說

法正確的是（）

A.蛛絲OA的拉力逐漸減小，蛛絲03的拉力逐漸增大

B.蛛絲04的拉力逐漸增大，蛛絲06的拉力逐漸減小

C.蛛絲OA和OB的拉力均逐漸增大

D.蛛絲0A和OB的拉力均逐漸減小

【例2】（2025?陜西渭南?三模）如圖所示，一個大理石半球靜置在水平地面上，球心為0。一

只小螞蟻緩慢從圖中Q點(diǎn)沿圓弧爬向半球面最高點(diǎn)P，運(yùn)動過程中大理石半球始終保持靜止。

已知。。與。尸的夾角為8=45。，在此過程中，下列說法正確的是（）

A.大理石半球?qū)π∥浵伒淖饔昧ψ兇?/p>

B.大理石半球?qū)π∥浵伒闹С至ψ冃?/p>

C.地面對大理石半球的摩擦力始終為零

D.地面對大理石半球的支持力變小

【例3】（2（）25?湖南懷化?三模）如圖甲所示，工人用叉車?yán)諘r，可簡化為如圖乙所示的模

型：ZBAC=90°,叉車臂AC與水平方向夾角為8。不計球形石墩表面摩擦，叉車和石墩始

終保持相對靜止，在叉車勻速運(yùn)動的過程中，若夕從0。緩慢增加為90。，叉車臂對石墩的作用

力FAC和車把對石墩的作用力F科的大小變化為（）

B

A.一直增加B.F.先增加后減小

C.%。先減小后增加D.F.一直在減小

【例4】（2025?山東威海?三模）如圖所示，工人利用定滑輪通過繩索施加拉力尸，將一根均勻

的綱梁A8拉起，定滑輪位于鋼梁A端的正上方，拉起的過程中鋼梁繞A端緩慢轉(zhuǎn)動。拉力尸

的大小（）

A.始終不變B.逐漸增大

C.逐漸減小D.先增大后減小

【例5】（2025?貴州畢節(jié)?三模）如圖所示，豎直桿M、N固定于地面，輕繩a一端固定于N桿

上的F點(diǎn)，另一端與光滑輕質(zhì)小圓環(huán)拴接于。點(diǎn)；輕繩b一端穿過小環(huán)后固定于M桿上的E

點(diǎn)，另一端與小物體連接。若初始時刻。點(diǎn)的位置比E點(diǎn)高，整個系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，a、b

繩上的拉力分別記為工和乙，則（）

A.僅將E點(diǎn)緩慢上移少許，工增大

B.僅將七點(diǎn)緩慢下移少許，入增大

C.僅將M桿緩慢左移少許，6減小

D.僅將M桿緩慢左移少許，工減小

精講考點(diǎn)

1.分析動態(tài)平衡問題的流程

化“動”為“耕’“野”中求"動"

受力分析A畫不同狀態(tài)下的受力平衡圖構(gòu)造矢量三角形

定性分析

-------根據(jù)矢量三角形邊長關(guān)系確定矢量

的大小變化

。?三角函數(shù)關(guān)系

三生蘭」正弦定理f找關(guān)系求解

?相似三角形

考點(diǎn)二平衡中的臨界、極值問題

基礎(chǔ)過關(guān)

1.臨界問題

當(dāng)某物理量變化時，會引起其他幾個物理量的變化，從而使物體所處的平衡狀態(tài)“恰好出現(xiàn)”

或“恰好不出現(xiàn)”，在問題的描述中常用“剛好”“恰能”“恰好”等。臨界問題常見的種類:

(1)由靜止到運(yùn)動，摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力。

(2)繩子恰好伸直，拉力尸=0。

(3)剛好離開接觸面，支持力尸N=0。

2.極值問題

平衡中的極值問題，一般指在力的變化過程中的最大值和最小值問題。

3.解題方法

(1)極限法：首先要正確地進(jìn)行受力分析和過程分析，把某個物理量推向極端(極大或極小)，從

而找出平衡的臨界點(diǎn)利極值點(diǎn)。

(2)數(shù)學(xué)分析法：根據(jù)物體的平衡條件寫出物理量之間的函數(shù)關(guān)系(或畫出函數(shù)圖像)，用數(shù)學(xué)方

法求極值(如求二次函數(shù)極值、公式極值、三角函數(shù)極值)。

(3)物理分析方法：根據(jù)物體的平衡條件，作出力的矢量圖，利用平行四邊形定則進(jìn)行動態(tài)分

析：確定最大值與最小值。

【例6】(2025.河北邯鄲?模擬預(yù)測)我國明代綜合性科技巨著《天工開物》“五金'端中提到為

了將礦石從礦坑中運(yùn)出，工人們會搭建簡易的斜面通道，這是古代勞動人民智慧的結(jié)晶。如圖

所示，若斜面的傾角為15。，方形礦石與斜面間的動摩擦因數(shù)為且，重力加速度為g。現(xiàn)用

3

輕繩拉著質(zhì)量為m的礦石沿斜面勻速上滑,所需的拉力最小值為（）

瓜\/6+V2

〃火C.D.---機(jī)g

■'

【例7】（2025?浙江湖州?三模）如圖所示,一足夠長的細(xì)線一端連接穿過水平細(xì)桿的滑塊A,

另一端通過光滑滑輪連接重物B,此時兩邊細(xì)線豎直。某時刻，水平拉力產(chǎn)作用在滑塊A上,

使A向右移動。已知A、B的質(zhì)量分別為例和2〃z,滑塊A與細(xì)桿間的動摩擦因數(shù)為W。則

3

()

F

B

A.若A做勻速運(yùn)動，則B也做勻速運(yùn)動

B.若B做勻速運(yùn)動，則A做加速運(yùn)動

C.若A緩慢向右運(yùn)動，當(dāng)細(xì)線與細(xì)桿間的夾角為30。時，拉力廠有最小值

D.若A緩慢向右運(yùn)動到細(xì)線與細(xì)桿間的夾角為30。時，拉力E一直在增大

【例81（24-25高一上?湖北武漢?期末）如圖所示，能承受最大拉力均為100N的三段輕繩40、

BO、C。系于。點(diǎn)，質(zhì)量為加=lkg的物體系于C端，A。與水平頂板間的夾角為例30。，BO

水平，A、B點(diǎn)固定，物體靜止不動，然后在物體上作用一個豎直向下、大小從零逐漸增大的

外力。g取lOm/s?。（結(jié)果可以用根號表示）求：

⑴外力作用前，AO繩拉力八大小？30繩拉力加大小?

⑵為保證所有繩都不斷，所加外力的最大值？

【例9】（24-25高一上.江蘇常州.期中）如圖所示，用一根輕質(zhì)細(xì)繩將一重力大小為10N的相

框?qū)ΨQ地懸掛在墻壁上，畫框上兩個掛釘間的距離為0.5m。已知繩能承受的最大張力為10N,

為使繩不斷裂，繩子的最短長度為（）

13D.4

A.0.5mB.1.0mC.—m

33

【例10】（24-25高二上?云南曲靖?階段練習(xí)）如圖所示，用兩根長均為1m的輕繩把一重為10N

的物體懸吊在天花板上，兩細(xì)繩與豎直方向的夾角個（未知）相同，若每根輕繩能承受的最大

拉力為5及N,則繩子與天花板兩懸點(diǎn)間的距離不得超過多少？

精講考點(diǎn)

1.在力的方向發(fā)生變化的平衡問題中求力的極小值時，一般利用三角函數(shù)求極值。也可利用

“摩擦角”將四力平衡轉(zhuǎn)化為三力平衡，從而求拉力的最小值。例如：如圖所示，物體在拉力

尸作用下做勻速直線運(yùn)動，改變。大小，求拉力的最小值時，可以用支持力與摩擦力的合力

「代替支持力與摩擦力，入與R的合力/方向一定，即“摩擦角”。滿足tana=3=〃，則

Fmin=〃zgsina,此時0=a9

第10講動態(tài)平衡和臨界極值問題

核心考點(diǎn)

考點(diǎn)一動態(tài)平衡問題............................................................1

考點(diǎn)二平衡中的臨界、極值問題.................................................4

考點(diǎn)一動態(tài)平衡問題

基礎(chǔ)過關(guān)

1.“一力恒定，另一力方向不變”的動態(tài)平衡問題

一個力（FD恒定，另一個力伊2）方向不變，作出不同狀態(tài)下的矢量三角形，確定力大小的變化。

若尸I與死不垂直，當(dāng)6_LB時，”3有最小值，6mm=FisinO,如圖乙。

2.“一力恒定，另兩力方向均變化”的動態(tài)平衡問題

一力恒定（如重力），其他二力的方向均變化，但二力分別與繩子、兩物體重心連線方向平行,

即三力構(gòu)成的矢量三角形與AACO幾何三角形相似，則對應(yīng)邊比值相等。

基本矢量圖，如圖所示

基本關(guān)系式：等=魯=?。

HR+rL

3.一力恒定，另外兩力方向均變化，但兩力方向夾角保持不變的動態(tài)平衡問題

利用正弦定理或利用輔助圓，恒力為圓的一條弦，恒力所對應(yīng)角的頂點(diǎn)在圓上移動，可保持圓

心角不變，根據(jù)不同位置判斷各力的大小變化。

[例1]（2025?河南?三模）蜘蛛通過兩根蛛絲（OA和03）懸掛在樹枝上保持平衡。初始時,

蛛吆OA與豎直方向的夾角為仇蛛絲。3水平，如圖所示。若獵物在A點(diǎn)被蛛絲纏住并向右

側(cè)移動，蛛絲03仍保持水平。蜘蛛始終靜止，蛛絲形變量可忽略不計且蛛絲未斷裂。下列說

法正確的是（）

A.蛛絲OA的拉力逐漸減小，蛛絲03的拉力逐漸增大

B.蛛絲04的拉力逐漸增大，蛛絲06的拉力逐漸減小

C.蛛絲OA和OB的拉力均逐漸增大

D.蛛絲0A和OB的拉力均逐漸減小

【答案】D

【詳解】設(shè)蜘蛛的重力為G,蛛絲0A的拉力為蛛絲0B的拉力為尸2,由平衡條件有

F^sind=F21COS0=G

解得耳F,=Gtan0

COS0

當(dāng)。減小時，cos。增大，tan。減小，故F/減小，后也減小。

故選De

【例2】（2025?陜西渭南?三模）如圖所示，一個大理石半球靜置在水平地面上，球心為0。一

只小螞蟻緩慢從圖中Q點(diǎn)沿圓弧爬向半球面最高點(diǎn)P,運(yùn)動過程中大理石半球始終保持靜止。

已知。。與0P的夾角為8=45。，在此過程中，下列說法正確的是（）

A.大理石半球?qū)π∥浵伒淖饔昧ψ兇?/p>

B.大理石半球?qū)π∥浵伒闹С至ψ冃?/p>

C.地面對大理石半球的摩擦力始終為零

D.地面對大理石半球的支持力變小

【答案】C

【詳解】AB.對小螞蟻受力分析如圖所示

可知大理石半球?qū)π∥浵伒淖饔昧橹С至εc摩擦力的合力，大小始終等于螞蟻的重力，保持

不變；螞蟻受到的摩擦力為/=mgsin”

螞蟻受到的支持力為&=mgcos0

小螞蟻緩慢從圖中。點(diǎn)沿圓弧爬向。點(diǎn)的過程中。逐漸變小，則小螞蚊受到的支持力變大，摩

擦力變小，大理石半球?qū)π∥浵伒淖饔昧Σ蛔儯蔄B錯誤；

CD.選取大理石半球與小蛆蟻組成的整體為研究對象，可知二者只受到重力與地面的支持力，

所以大理石半球受到地面的支持力始終大小等于二者重力的合力，保持不變，大理石半球與地

面之間沒有摩擦力的作用，故C正確，D錯誤。

故選Co

【例3】（2025?湖南懷化?三模）如圖甲所示，工人用叉車?yán)諘r，可簡化為如圖乙所示的模

型，ZBAC=90°,叉車臂AC與水平方向夾角為，。不計球形石墩表面摩擦，叉車和石墩始

終保持相對靜止，在叉車勻速運(yùn)動的過程中，若。從0。緩慢增加為90。，又車臂對石墩的作用

甲乙

A.一直增加B.F.先增加后減小

C.%°先減小后增加D.F.一直在減小

【答案】AD

【洋解】在叉車勻速運(yùn)動的過程中，對石墩進(jìn)行受力分析，并將石墩所受的三個力進(jìn)行平移構(gòu)

成一個首尾相接的矢量三角形，在。從0。增加為90。過程中，該矢量三角形的三個頂點(diǎn)應(yīng)落在

一，個圓上，如圖所示

重力為圓的直徑，由圖可知，尸"一直增加，Etc一直在減小。

故選ADo

【例4】（2025?山東威海三模）如圖所示，工人利用定滑輪通過繩索施加拉力尸，將一根均勻

的綱梁A8拉起，定滑輪位于鋼梁A端的正上方，拉起的過程中鋼梁繞A端緩慢轉(zhuǎn)動。拉力尸

的大小（）

A.始終不變B.逐漸增大

C.逐漸減小D.先增大后減小

【答案】C

【詳解】對鋼梁AB受力分析，向下的重力〃吆，細(xì)繩的拉力F以及地面對A點(diǎn)的作用力N（摩

擦力和支持力的合力），三個力的合力交于一點(diǎn)，組成力的封閉三角形，則由相似三角形可知

mg_F

~CA~~OC

則隨著鋼梁8點(diǎn)逐漸升高，貝JOC的減小，尸減小。

故選c。

【例5】（2025?貴州畢節(jié)?三模）如圖所示，豎直桿M、N固定于地面，輕繩a一-端固定于N桿

上的F點(diǎn)，另一端與光滑輕質(zhì)小圓環(huán)拴接于。點(diǎn)；輕繩b一端穿過小環(huán)后固定于M桿上的E

點(diǎn)，另一端與小物體連接。若初始時刻O點(diǎn)的位置比￡點(diǎn)高，整個系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，a、b

繩上的拉力分別記為工和則（）

MN

A.僅將七點(diǎn)緩慢上移少許，工增大

B.僅將七點(diǎn)緩慢下移少許，入增大

C.僅將M桿緩慢左移少許，產(chǎn)b減小

D.僅將M桿緩慢左移少許，工減小

【答案】D

【詳解】A.兩根繩子與水平方向的夾角分別為。、夕，物塊質(zhì)量為〃？，因為b繩跨過小圓環(huán)

與物塊相連，同一根繩子所以冗=mg

先將E點(diǎn)緩慢向上移動少許，兩個心之間的夾角變大，所以兩個力的合力減小，因為F.與兩

個心的合力大小相等，方向相反，所以工減小，乙不變，A錯誤；

B.將E點(diǎn)緩慢向下移動少許，兩個兄之間的夾角變小，所以兩個力的合力變大，因為工與

兩個居的合力大小相等，方向相反，所以工變大，尸b不變，B錯誤；

CD.將M桿向左移動少許，夕減小，即兩個兄之間的夾角變大，所以兩個力的合力變小，

因為工與兩個心的合力大小相等，方向相反，所以工減小，心不變，C錯誤，D正確。

故選Do

精講考點(diǎn)

1.分析動態(tài)平衡問題的流程

化“動”為“耕’W中求"動”

受力分析--------"畫不同狀態(tài)下的受力平衡圖構(gòu)造矢量三角形

定性分析

-------＞根據(jù)矢量三角形邊長關(guān)系確定矢量

的大小變化

AI三角函數(shù)關(guān)系

定量計:1正弦定理f找關(guān)系求解

I相似三角形

考點(diǎn)二平衡中的臨界、極值問題

基礎(chǔ)過關(guān)

1.臨界問題

當(dāng)某物理量變化時，會引起其他幾個物理量的變化，從而使物體所處的平衡狀態(tài)“恰好出現(xiàn)”

或“恰好不出現(xiàn)”，在問題的描述中常用“剛好”“恰能”“恰好”等。臨界問題常見的種類:

(1)由靜止到運(yùn)動，摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力。

(2)繩子恰好伸直，拉力/=()。

(3)剛好離開接觸面，支持力尸N=0。

2.極值問題

平衡中的極值問題，一般指在力的變化過程中的最大值和最小值問題。

3.解題方法

(1)極限法：首先要正確地進(jìn)行受力分析和過程分析，把某個物理量推向極端(極大或極小)，從

而找出平衡的臨界點(diǎn)和極值點(diǎn)。

⑵數(shù)學(xué)分析法：根據(jù)物體的平衡條件寫出物理量之間的函數(shù)關(guān)系(或畫出函數(shù)圖像)，用數(shù)學(xué)方

法求極值(如求二次函數(shù)極值、公式極值、三角函數(shù)極值)。

(3)物理分析方法：根據(jù)物體的平衡條件，作出力的矢量圖，利用平行四邊形定則進(jìn)行動態(tài)分

析，確定最大值與最小值。

【例6】（2025?河北邯鄲?模擬預(yù)測）我國明代綜合性科技巨著《天工開物》“五金”篇中提到為

了將礦石從礦坑中運(yùn)出，工人們會搭建簡易的斜面通道，這是古代勞動人民智慧的結(jié)晶。如圖

所示，若斜面的傾角為15。，方形礦石與斜面間的動摩擦因數(shù)為且，重力加速度為g。現(xiàn)用

3

輕繩拉著質(zhì)量為〃?的礦石沿斜面勻速上滑，所需的拉力最小值為（）

A.—mgB.---mgC.—mgD.---mg

乙3

【答案】A

【詳解】對礦石受力分析如圖

將五N與耳合成，設(shè)其合力方向與汽N成。夾角，易知tana=2=正，得。=30。

外3

分別作出A、A與再合力的反向延長線，可知重力與G的反向延長線夾角與斜面傾角相等,

即夕=15。，由幾何關(guān)系得，過重力的下端點(diǎn)作外與工合力反向延長線的垂線，即為所需的

拉力最小值，=mgsin（a+/）,得（而二正加白。

2

故選Ao

【例7】（2025?浙江湖州?三模）如圖所示，一足夠長的細(xì)線一端連接穿過水平細(xì)桿的滑塊A,

另一端通過光滑滑輪連接重物B,此時兩邊細(xì)線豎直。某時刻，水平拉力/作用在滑塊A上，

使A向右移動。已知A、B的質(zhì)量分別為機(jī)和2〃?，滑塊A與細(xì)桿間的動摩擦因數(shù)為無。則

3

)

6

B

A.若A做勻速運(yùn)動，則B也做勻速運(yùn)動

B.若B做勻速運(yùn)動，則A做加速運(yùn)動

C.若A緩慢向右運(yùn)動，當(dāng)細(xì)線與細(xì)桿間的夾角為30。時，拉力廠有最小值

D.若A緩慢向右運(yùn)動到細(xì)線與細(xì)桿間的夾角為30。時，拉力廠一直在增大

【答案】D

【詳解】AB.對AB兩滑塊速度關(guān)系如圖所示

由幾何關(guān)系有力=VACOS6^

若A做勻速運(yùn)動，。逐漸減小，cos。逐漸增大，則B的速度逐漸增大；若B做勻速運(yùn)動，0

逐漸減小，cose逐漸增大，則A的速度逐漸減小，故AB錯誤；

CD.對滑塊B有7=2mg

由于滑塊A從圖示（最初是豎直的）位置開始緩慢向右移動至。=30°過程中30,46490

可卻Tsin8=2mgsin0>mg

則在豎直方向上有Tsin6=mg+N

則在水平方向有尸=4%+7以光。

聯(lián)立解得

F=2mgcos9+24mgsin9一4mg=2mgjl+,cos3+,sin0-〃ng

（Jl+X?J1+4）

^1V341

假沒sina=『^二〒,cosa=^==-

Jl+42/+〃-2

解得a=60

則可求得F=2mg11+sin（60+。）一Ring

滑次A從圖示虛線位置開始緩慢向右移動過程中，。減小,可知尸逐漸增大，當(dāng)。=30°時

解得拉力尸有最大值匕3s=6,咫

故C錯誤，D正確。

故選Do

【例81（24-25高一上?湖北武漢?期末）如圖所示，能承受最大拉力均為100N的三段輕繩4。、

80、。。系于。點(diǎn)，質(zhì)量為加=lkg的物體系于。端，A。與水平頂板間的夾角為6三30。，B0

水平，A、8點(diǎn)固定，物體靜止不動，然后在物體上作用一個豎直向下、大小從零逐漸增大的

外力。g取10m/s2o（結(jié)果可以用根號表示）求：

/////////////////////////////

￡￡

（1）外力作用前，A。繩拉力〃大小？B。繩拉力方大小？

（2）為保證所有繩都不斷，所加外力的最大值？

【答案】（D20N；10月N

（2）40N

【詳解】（1）外力作用前，以物體為對象，根據(jù)受力平衡，=mg=10N

T10

外力作用前，以。點(diǎn)為對象，根據(jù)受力平衡可得AO繩拉力大小為-N=20N

sin^0.5

80繩拉力大小為心=Jc_=10V3N

tan。

(2)根據(jù)[=上=2],看=工=序

sin0tan0

可知普〉，

為保證所有繩都不斷，則有北==27；：=2(m^4-F)<100N

sin，

解得所加外力的最大值為F=40N

【例9】（24-25高一上?江蘇常州?期中）如圖所示，用一根輕質(zhì)細(xì)繩將一重力大小為10N的相

框?qū)ΨQ地懸掛在墻壁上，畫框上兩個掛釘間的距離為0.5m。已知繩能承受的最大張力為10N,

為使繩不斷裂，繩子的最短長度為（