2025高考數(shù)學(xué)試題分類：三角函數(shù)（附解析）

2025高考三角函數(shù)

一、單選題

2.(2025?新高考II卷)在VA8C中，BC=2,4C=1+G，AB=亞,則人=()

A.45°B.60°C.120°D.135°

A解析:由題意得cosA=

2AB?AC2x6xi：］+G)2

又0vAvl80,所以A=45".

故選A.

3.（2025?新高考I卷）若點(diǎn)3,0）（。>0）是函數(shù)y=2lan|x-^的圖象的一個對稱中心，則

。的最小值為（）

4兀

D.

B?ic,?T

B解析：根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，），=2tan（xT的對稱中心橫坐標(biāo)滿足吟人工,

tJJ4

即y=2tan（x/）的對稱口心是徑+],0）/eZ,

即。=三十儂,AwZ,

32

乂。〉0,則k=0時4最小，最小值是—,

即“咤

故選B.

4.（2025?天津?）/（x）=sin3x+e）（/>0,F<e<7T）,在一葛噌上單調(diào)遞增，且工哈

為它的一條對稱軸，（早。）是它的一個對稱中心，當(dāng)xw0，：時，/*）的最小值為（）

A.一走B.--C.ID.0

22

nit

-co-（p=-+2kn

A解析：設(shè)f（x）的最小正周期為兀根據(jù)題意有:，（山，丘Z）,

—CD+（/）=mTl

由正弦函數(shù)的對稱性可知4-工=（2#]）7（〃eZ）,

3124''

2nn+n..

即NN一K=------69=4/7+2,

42co

又/a)在考M上單調(diào)遞增，則

9ZIMZ'ITZ，kt)z

n2

(p=--\-2kn

69=2?則

2n

(P=nm--

jr.I?n

V^e(-7t,7t),，攵=0,〃2=1時，(p=—?,*f(x)=sin2x+—,

I3j

_itit4兀

當(dāng)xe0卷時,2x+-e

3

由正弦函數(shù)的單調(diào)性可知/(x),=sin也=-9.

"\/mm32

故選A

5.(2025?北京?)設(shè)函數(shù)/(x)=sin3+cos@x(ty：>0),若/(x+;t)=/*)恒成立，且/(刈

在上存在零點(diǎn)，則。的最小值為()

4

A.8B.6C.4D.3

C解析：函數(shù),f(x)=sinex+cos6yx=0sin]&x+；](?>O),

設(shè)函數(shù)/*)的最小正周斯為T,由/*+兀)=/(八)可得燈=兀(01<),

所以T二得嚓(屣N)即/=2口(丘N)

又函數(shù)/(>)在|"0闈上存在零點(diǎn)，旦當(dāng)國時，的+；」￡,芋+1],

4J4J4|_444

所以~7"+T-71?即N3；

44

綜上，。的最小值為4.

故選C.

6.(2025.新高考II卷.)己知0<ra<r4.cosy=.則sin(a-?)=()

A.也B.也C.逑D.述

1051010

D解析：cosa=2cos23-l=2x(￥)-1=-^,

因?yàn)?<°<乃，則gva<7c,則sina=VI-cos2a=

試卷第2頁，共10頁

.(乃).乃.用4及，3)加7近

貝miUlsina—=sinacos—cosasin—=-x-------x—=-------.

k4j4452(5)210

故選D.

二、多選題

7.(2025.新高考I卷.)已知V4AC的面積為!，若

4

cos2A+cos2^+2sinC=2,coS/4cos^sinC=—,則()

4

A.sinC=sin2?\+sin:BB.AB=42

C.sinA+sin?=—D.AC2+BC2=3

2

ABC解析：cos2A+cos2B+2sinC=2,由二倍角公式，

I—2sin2A+1—?.sin2A+2sinC=2,

整理可得，sinC=sin2A+sin2B>A選項(xiàng)正確;

由誘導(dǎo)公式，sin(A+B)=sin(7t-C)=sinC,

展開可得sinAcos8+sinBcos4=sin°A+sin2B>

即sin4(sinA-cos8)+sin5(sinB-cosA)=0,

下證C=(.

方法一：分類討論

若A+3=巴，則sinA=cos5,sinB=cos4可知等式成立;

2

若A+8<[即A<=-B,由誘導(dǎo)公式和正弦函數(shù)的單調(diào)性可知，sinA<cos8,同理

22

sinB<cosA,

又sinA>0,sin8>0,于是sinA(sinA-cosB)+sinB(sinB-cosA)<0,

與條件不符，則不成立；

若A+8>工，類似可推導(dǎo)出sin力(sinA-cosB)+sinB(sin3—cosA)>0,則A+8>2不成

22

立.

綜上討論可知，A+B=1即c=t

22

方法二：邊角轉(zhuǎn)化

sinC=sin，A+sin，8時、由Cw(O,兀)，貝lJsinCw(O,l],

于是lxsinC=sin?A+sin2fi>sin2C，

由正弦定理，a2+b2>c\

由余弦定理可知，cosCNO,則C€(0,§,

若。狂(0弓)，則A+4>；,注意到cosAcos8sinC=；,則cosAcos8>0,

于是cosA>0,cos8>0(兩者同負(fù)會有兩個鈍角，不成立)，于是A,4c(0,f,

結(jié)合A+3>￥QA>巴—8,而A,￥-8都是銳角，則sinA>sin但-8]=cosB>0,

22212J

于是sinC=sin，A+sin2B>cos2B+sin28=1,這和sinCW1相矛盾,

故。€(0卷)不成立，則C=]

方法三：結(jié)合射影定理(方法一改進(jìn))

由sinC=sin?A+sin?8，結(jié)合正弦定理可得，c=as\nA+bsinB,由射影定理可得

c=acosB+bcosA,于是“sinA+OsinB=acosB+。8sA,

則a(sinA-cosB)+b(sinB-cos4)=0,可同方法一種討論的角度，推出A+8=g,

方法四：和差化積(方法一改進(jìn))

續(xù)法三：

6t(sinA-cosB)+ZKsinB-cosA)=0,可■知sin人一cosA,sin“一cos人同時為0或者異號,即

(sinA-cosB)(sinB-cos/4)<0,展開可得，

sinAsin/?-sinAcosA-cosI3sinB+cosAcosB<0,

即cos(A—8)—g(sin2A+sin28)W0,結(jié)合和差化積，cos(A-^)(1-sin(A+B))<0,由上

述分析，，則,■|，1,,貝lJcos(A—B)20,則l—sin(A+8)K0,即

sinC^l.于是sinC=l,可知C=].

由cosAcosBsinC=—=cosAcosB,由4+B=—,貝ijcosg=sin人，即sinAcosA=一,

424

則sin2A=；,同理sin2B=J,由上述推導(dǎo)，弓｝則2428c(0,兀)，

不妨設(shè)A<8,則2A=m，28=軍，即4=義,8=普，

661212

由兩角和差的正弦公式可知sin2+sin2=^二立+丑也="，C選項(xiàng)正確

1212442

試卷第4頁，共10頁

由兩角和的正切公式可得，tan普=2+6,

設(shè)8C=，,AC=（2+G）f,則A8=（&+后），

由Sw=g（2+J5）/=：,則/=土芋=j與1,則"在二1.

24412\/2

于是AB=（顯可=0B選項(xiàng)正確，由勾股定理可知，AC2+BC2=2,D選項(xiàng)錯誤.

三、填空題

8.（2025?上海,）函數(shù)V=8sx在一；,；上的值域?yàn)?/p>

［0』

【分析】利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可得.

解析：由函數(shù)產(chǎn)cosx在［go］上單調(diào)遞增，在0,；單調(diào)遞減，

且〃一/=oj（o）=1=冬

故函數(shù)y=cosx在-得上的值域?yàn)椋?』.

故答案為：［0』.

9.（2025?上海?）小申同學(xué)觀察發(fā)現(xiàn)，生活中有些時候影子可以完全投射在斜面上.某斜面

上有兩根K為1米的垂直于水平面放置的桿了，與斜面的接觸點(diǎn)分別為A、6,它們在陽光

的照射下呈現(xiàn)出影子，陽光可視為平行光：其中一根桿子的影子在水平面上，長度為0.4

米；另一根桿子的影子完全在斜面上，長度為0.45米.則斜面的底角0=.（結(jié)果

用角度制表示，精確到0.01。）

12.58

【分析】先根據(jù)在A處的旗桿算出陽光和水平面的夾角，然后結(jié)合B處的旗桿算出斜面角.

解析：如圖，在A處，tanx=-i-=2.5,在8處滿足tanNC￡D=2.5,

0.4

(其中ED〃水平面，CE是射過8處桿子最高點(diǎn)的光線，光線交斜面于E),

故設(shè)3。=)，，則ED=黑,

由勾股定理，/+(皆)=°452,解得0.098,

于是0=arcsin?12.58

0.45

故答案為：12.58

10.(2025?北京,)關(guān)于定義域?yàn)镽的函數(shù)/(%),給出下列四個結(jié)論:

①存在在R上單調(diào)遞增的函數(shù)/(x)使得/(x)+f(2x)=-x恒成立；

②存在在R上單調(diào)遞減的函數(shù)/Cr)使得〃x)-/(2x)=x恒成立；

③使得/(幻+/(-x)=cos.「恒成立的函數(shù)f(x)存在且有無窮多個；

④使得/(x)-f(-x)=cos上恒成立的函數(shù)/(A)存在且有無窮多個.

其中正確結(jié)論的序號是.

試卷第6頁，共10頁

【分析】利用反證法可判斷①④的正誤，構(gòu)造函數(shù)并驗(yàn)證后可判斷②③的正誤.

解析：對于①，若存在在R上的增函數(shù)滿足/(.V)+/(2X)=T,

則/(0)+f(2x0)=-0,即40)=0,

故x>0時，f(4x)>f(2x)>/(x)>0,故/(4x)+/(2x)>/(x)+/(2x),

故—2x>—x即xvO,矛盾,故①錯誤；

對于②，取/(力=-4，該函數(shù)為R上的減函數(shù)且/(x)-/(2x)=x,

故該函數(shù)符合，故②正確;

1

對于③，取〃力=—COSX+7/LV.weR

2

此時〃X)+/(T)=COSX.由〃7WR可得/(X)有無窮多個,

故③正確:

對于④，若存在/(x),使得/(X)-〃T)=COSX,

令x=0,則0=cos0,但cosO=l,矛盾，

故滿足/(x)-/(-x)=cosx的函數(shù)不存在，故④錯誤.

故答案為：②③

11.(2025?北京?)已知。，尸e[0,2n],且sin(a+〃)=sin(。一夕)，cos(a+〃)wcos(a-〃).寫

出滿足條件的一組①夕的值a=，P=.

三(答案不唯一)(答案不唯一)

26

解析：因?yàn)閟in(a+〃)=sin(a-0,cos(a+/?)^cos(a-/7),

所以a+Aa-〃的終邊關(guān)于y軸對稱，且不與V軸重合：

故a+/?+a一6=7t+2EJ:wZ且2+/7工^+阮，/wZ,

即a=；+EkZ,故取a=".可滿足題設(shè)要求.

四、解答題

12.(2025?天津高考)在VABV中,角A氏C的對邊分別為。也。.已知

asinB=J5/?cosA,c-2b=1>a=V7.

(I)求4的值;

⑵求c的值：

(3)求sin(A+28)的值.

解析：（1）已知asin3=VJ〃cosA,由正弦定理=-^~^

sinAsinB

得asin8=bsinA=GbcosA,顯然cosA工0,

得tanA=>/5，由OVAVJT,

故A=*

（2）由（1）知cosA=J,且c=2〃+l,a=@,

由余弦定理/=〃+/-2/?ccosA,

則7=6+（2力+l）2-2x，伙2〃+1）=36+3力+1,

2

解得b=l（〃=一2舍去），故c=3.

（3）由正弦定理."=b^.b=\,a=A/7,sinA=—?

sinAsinB2

得sinB=2^4=叵，且“>/人則3為銳角，

a14

故COSB=9V7,故sin2〃=2sinAcosB=,

1414

11

ficos2B=l-2sin2B=1-2x

故sin（A+2B）=sinAcos25+cosAsin2B=—x—+—=

2142147

13.（2025?北京高考）在V4AC中，cosA=-；,asinC=4夜.

⑴求c的值;

(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得VA4C存在，求

邊上的高.

條件①：4=6；條件②：asinB=1°.；條件③：V4BC的面積為10夜.

3

解析：(1)因?yàn)閏os4=一；,Aw(0,7t),所以sinA=Jl—cos2A=邁,

33

由正弦定理有asinC=csinA=3與(?=4夜，解得c=6；

3

(2)如圖所示，若VA8C存在，則設(shè)其8C邊上的高為A。，

試卷第8頁，共10頁

c

D

A-------------------

若選①，a=6,因?yàn)閏=6,所以C=A,因?yàn)閏osA=-g<0,這表明此時三角形48c有

兩個鈍角，

而這是不可能的，所以此時三角形A8C不存在，故邊上的高也不存在；

若選②，“sin8=吆2，由asinC=4夜有sin85,由正弦定理得仁之,所以

3寸正飛,6

b=5.

所以由余弦定理得a=>/伊+c'一?ccosA=^25+36—2x5x6x一;=9,

此時三角形A8C是存在的，且唯一確定，

所以S.sc='人csinA=—fiCi4D,BP-x5x6x^^-=—x9AD,

?22232

所以8c邊上的高AO=二史；

9

若選③，VA8C的面積是10夜