人教版高中數學必修第二冊 第4課時 余弦定理、正弦定理應用舉例【原卷+答案】

第六章第4課時余弦定理、正弦定理應用

舉例

A級必備知識基礎練

1.如圖，在河岸一側取A,8兩點,在河岸另一側取一點C,若A8=12m,借助測角儀測得N

CAB=45°,ZCBA=60°，則。處河面寬CO為()

A.6(3+V5)mB.6(3-V3)m

C.6(3+2V3)mD.6(3-2百)m

2.如圖Q,C,8三點在地面同一直線上從CQ兩點測得點A的仰角分別是

人。(0〈份,則點A離地面的高度AB等于()

asinasin。asinasin。

A.B.

sin(/?-a)cos(a-F)

c.asinacosfiDacosasin/?

sin(/?-a),cos(af)

3.從某電視塔的正東方向的A處,測得塔頂仰角是60°,從電視塔的西偏南3()°的B處,

測得塔頂仰角為45°間距離為35m,則此電視塔的高度是()

A.5V21mB.10m

4900

rmD.35m

13

4.一艘船上午9:30在A處，測得燈塔5在它的北偏東30c的方向，且與它相距872n

mile,之后它繼續沿正北方向勻速航行，上午10:00到達8處，此時又測得燈塔S在它的北

偏東75°的方向，則此船的航速是()

A.8(>/6+V2)nmile/hB.8(V6—V2)nmile/h

C.l6(V6+V2)nmile/hD.16(V6—V2)nmile/h

5.如圖，兩座山峰的高度AM=C7V=3OOm,為測量峰頂M和峰頂N之間的距離，測量隊在

8點(ARC在同一水平面上)測得M點的仰角為2點的仰角為也且則兩座山

峰峰頂之間的距離MN=()

A.300mB.600m

C.3OOV2mD.600V2m

6.某船在岸邊A處向正東方向航行xnmile后到達B處,然后朝南偏西60°方向航行3n

mile到達C處，若A處與C處的距離為百nmile,則x的值為.

7.已知甲船在島B的正南方A處,48=10nmile,甲船以4nmile/h的速度向正北方向的島

8航行,同時乙船自島8出發以6nmile/h的速度向北偏東60°的方向航行,當甲、乙兩

船距離最近時.，計算它們所航行的時間.

8.某人見一建筑物A在正北方向，另一建筑物B在北偏西30°方向.此人沿北偏西70°

方向行走了3km后到達C,則見A在其北偏東56°方向上,8在其北偏東74°方向上，試

求這兩個建筑物間的距離.

B級關鍵能力提升練

9.如圖所示，在坡度一定的山坡4處測得山頂上一建筑物CQ的頂端C相對于山坡的斜

度為15°,某人向山頂前進100m到達8處,又測得C相對于山坡的斜度為45°,若

CD=50m,山坡的坡角為。則cos0=()

3

2

B.V3-1

C.2-V3

D.—

2

10.(多選題)某人向正東方向走了xkm后向右轉了15。°,然后沿新方向走了3km,結果

離出發點恰好V5km,則x的值為()

A.V3B.2V3

C.2D.3

11.甲、乙兩樓相距20米,從乙樓底望甲樓頂的仰角為60°,從甲樓頂望乙樓頂的俯角為

30°,則甲樓的高是米，乙樓的高是米.

12.江岸邊有一炮臺高30m,江中有兩條船，由炮臺頂部測得兩條船的俯角分別為45°與

60°,且兩條船與炮臺底部的連線成30°角，求兩條船之間的距離.

13.某海上養殖基地A,接到氣象部門預報，位于基地南偏東60°方向相距20(V3+l)n

mile的海面上有一臺風中心，影響半徑為2()nmile,正以1()V2nmile/h的速度沿其一方

向勻速直線前進，預計臺風中心將從基地東北方向刮過且(B+l)h后開始影響基地持續

2h.求臺風移動的方向.

14.在某次軍事演習中，紅方為了準確分析戰場形勢,在兩個相距為手。的軍事基地C和D

處測得藍方兩支精銳部隊分別在A處和8處，且N4Q8=30°,/&)C=30°二

60°,NACB=45°,如圖所示.求藍方這兩支精銳部隊之間的距離.

答案：

1.B解析在△C8Q和△ADC中,

BD

sin(90°-60c)BD==AQ+8O=(1+

由正弦定理得,AD

(40=CD

sin(90°-45°)

y)CD=l2=>CD=6(3-V3)m.

2.A解析在△AQC中,ND4C二夕-a.

由正弦定理，得=

sin(g-a)sina

asina

：.AC=

sin(/7?a)'

??.A8=ACsin左嚅手.

3.A解析設此電視塔的高度是xm,如圖所示.則4。二二m,N3C4=150°、48=35m.

v3

CX2+|X2-352

cos150"=——J—.

2.第道

.\x=5yj21.

故選A.

4.D解析由題意，得在ZkSAB中，NBAS=30°,ZSBA=180°-75°=105°,N3S4=45°.

九

由正弦定理，得募F

故此船的航速為"今二16(乃-V2)(nmile/h).

2

5.C解析在中、8M=缶=^=3()。&(m),

在R△BCV中,BN=缶=^=600(m),

在dBMN中.MN“BM2+BN2-2BMBNcos乙MBN

2

+6002-2X300V2X600

=300&(m).故選C.

6.國或2b在△A8C中，由余弦定理，得AC2=AB2+BC2-2ABBCCOS氏即x2+9-2*3cos

30°二(通產即f-3V5x+6=0,解得X=2A/5或x=V3.

7.解如圖,設甲、乙兩船距離最近時航行時間為/h,距離為snmile,

此時甲船到達C處,則甲船距離B島(l()-4f)nmile,乙船距離B島6inmile,

222

所以在ABC。中，由余弦定理，得cos120°=(6t)+(1°-4"-S=』,化簡得$2=28產-2()任1()0.所

lU-4v)2

以當，二懸=5時，M取最小值，即當甲、乙兩船距離最近時陀們所航行的時間是^h.

8.解如圖，在△BCO中,NBOC=70°-30°=40°,ZBCO=(180°-70°)-74°=36°,

/.ZCBO=180°-40°-36°=104°.

,:003,

由正弦定理，得一上一=一吆一，則8。二%蟠一.

sin104sin36sinl04

在△ACO中,NAOC=70°,NCAO=56°,則/ACO=54°.

由止弦定埋，得二^=-^二，則A。=會*.

sin56sin54sin56

在aAB。中，由余弦定理，得

AB=>JAO24-BO2-2AOBOcos300~1.630(km)=l630(m).

故這兩個建筑物間的距離約為1630m.

9.B解析在△ABC中，由三弦定理，得8c二”當等=.1斐I11】二、二50(遍-&)(m).

sinz.ACBsin(45-15)

在△6CO中，由正弦定埋，得sinZBDC=，i(：s'nA(：，iD=對顯可皿-=遍八

CD50

由題圖知cos。=sinNAOE二sinN8QC=V5-l,故選B.

10.AB解析如圖所示，在AABC中,AB=MBC=3/C=V5,NA8C=30°,

由余弦定理得,AC2=482+5C2_2A3NCCOSNABC,

即(V5)2=f+32-ZT3cos30°,

解得x=2yG或x=>/3.

11.2()73—解析甲樓的高為20tan6()°=20xV3=2()V3?);

3

乙樓的高為20V3-20tan30°=20>/3-20x^=竽（米）.

12.解設炮臺頂部為A,兩條船分別為3,C,炮臺底部為。（如圖）,

則NBAO=45"，/CAO=3(F,ZBDC=3OU,4。=30m.

在RtAABD與RtAACD中,tan45°嗯tan300啜

解得DB=3()m,DC=l()V3m.

在ADBC中，由余弦定理，得BC2=DB2+DC2-2DBDCCOS30°，即^C2=302+(10A/3)2-

2x30x1()73x—,

2

解得^C=1（）V3m.

13.解如圖,設預報時臺風中心為8,開始影響基地時臺風中心為C,

基地剛好不受影響時臺風中心為。，則8,。,。在一條直線上,且4。-201101混,4。-20

mile.

由題意，得AB=20(V3+l)nmile,￡)C=20\/2nmile,BC=10V2(V3+